পাটিগণিত

খ এর বেতন ১০০ টাকা
ক এর বেতন ১৩৫ টাকা 

১৩৫ টাকায় খ এর বেতন কম ৩৫ টাকা
১টাকায় খ এর বেতন কম ৩৫/১৩৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় বেতন কম (৩৫×১০০)/১৩৫
                                       = ২৫.৯৩ টাকা

প্রশ্ন: যদি কবির এর ওজন 10 পাউন্ড কমে, তাহলে কবির এর ওজন তার বোনের ওজনের দ্বিগুণ হবে। এখন তাদের উভয়ের ওজন 280 পাউন্ড হলে বর্তমানে কবির এর ওজন কত?

সমাধান: 
ধরি,
কবিরের বর্তমান ওজন = k পাউন্ড
তার বোনের বর্তমান ওজন = s পাউন্ড

প্রশ্নমতে,
k - 10 = 2s 
k = 2s + 10 ........(1)

আবার, তাদের  বর্তমানে মোট ওজন,
k + s = 280
⇒ 2s + 10 + s = 280
⇒ 3s = 280 - 10
⇒ 3s = 270
⇒ s = 270/3
∴ s = 90

∴ কবিরের বর্তমান ওজন, k = 2s + 10 = 2 × 90 + 10 = 180 + 10 = 190 পাউন্ড

অতএব, কবিরের বর্তমান ওজন = 190 পাউন্ড।

বড় সংখ্যাটি, (৭৯ + ১) / ২ = ৪০

প্রশ্ন: ৫০০ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

সমাধান:
• মৌলিক সংখ্যা (Prime Number):
- যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা ১ ও নিজ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
- উদাহরণ: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি।

এখানে,
৫০১ = ৩ × ১৬৭ ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা নয়।
৫০৩ ⇒ ১ ও ৫০৩ ছাড়া অন্য কোনো ভাজক নেই ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা।
৫০৭ = ৩ × ১৬৯ ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা নয়।
৫০৯ ⇒ ১ ও ৫০৯ ছাড়া অন্য কোনো ভাজক নেই ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা।
কিন্তু ৫০৩-এর চেয়ে বড়।

অতএব, ৫০০ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো ৫০৩।

সমবায় সমিতিতে যতজন সদস্য প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাদা দেয়।
২০৪৮০ ÷ ২০ = ১০২৪
১০২৪ এর বর্গমূল ৩২
সুতরাং, ঐ সমিতিতে মােট সদস্য সংখ্যা ৩২ জন।

প্রশ্ন: ৪৮ কিলোগ্রাম বালি ও পাথরের মিশ্রণে বালির পরিমাণ ২৫%। মিশ্রণে বালির পরিমাণ কত কিলোগ্রাম?

সমাধান: 
বালির পরিমাণ ২৫% 

১০০ কিলোগ্রামে বালি থাকে ২৫ কিলোগ্রাম
∴ ১ কিলোগ্রামে বালি থাকে = (২৫/১০০) কিলোগ্রাম
∴ ৪৮ কিলোগ্রামের মিশ্রণে বালি থাকে = (২৫ × ৪৮)/১০০ কিলোগ্রাম 
= ৪৮/৪ 
= ১২ কিলোগ্রাম 

∴ মিশ্রণে বালির পরিমাণ ১২ কিলোগ্রাম।

০.৩
১/৩ = ০.৩৩
২/৩ = ০.৬৭
২/৫ = ০.৪০

প্রশ্ন: দুটি দড়ির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭২ মিটার এবং ৪০ মিটার। দড়ি দুটিকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হলে প্রতিটি টুকরোর দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ কত হতে হবে যাতে কোনো দড়ি অবশিষ্ট না থাকে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি দড়ির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭২ মিটার এবং ৪০ মিটার।

দড়ি দুটিকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হলে প্রতিটি টুকরোর সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য হবে ৭২ ও ৪০ এর গ. সা. গু এর সমান।

৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ = ৮

সুতরাং, প্রতিটি টুকরোর সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হতে পারবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪৫% থেকে ৪৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪৫। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪৫% - ৪৫ = ৪৫
বা, ক এর ৪৫/১০০ = ৪৫ + ৪৫
বা, ৪৫ক/১০০ = ৯০
বা, ৪৫ক = ৯০ × ১০০
বা, ক = (৯০ × ১০০)/৪৫
বা, ক = ২০০

∴ সংখ্যাটি = ২০০

প্রশ্ন: যদি (x/y) = (y/z) = (3/4) হয়, তবে x : z এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 3/4
এবং y/z = 3/4

ধারাবাহিক অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী,
x/z = (x/y) × (y/z)
⇒ x/z = (3/4) × (3/4) [মান বসিয়ে পাই]
⇒ x/z = (3 × 3)/(4 × 4)
⇒ x/z = 9/16
∴ x : z = 9 : 16

প্রশ্ন: ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ২, ৪, ৬, ৮, ১০ এবং ১২ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু. হল ১২০।
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১২০ সেকেন্ড বা, ২ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে ৬০/২ + ১ = ৩০ + ১ = ৩১ বার

প্রশ্ন: একটি বইয়ের লিখিত মূলের উপর ১৫% ছাড় দেয়া হলো। যদি বইটির গায়ে ২৪০ টাকা লিখা থাকে তাহলে বইটি ক্রয় করতে কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
বইটির লিখিত মূল্য হলো ২৪০ টাকা এবং ছাড়ের পরিমাণ হলো ১৫%।
সুতরাং, ছাড়ের পরিমাণ = ২৪০ এর ১৫%
= ২৪০ × (১৫/১০০)
= ৩৬ টাকা 

∴ বইটির ক্রয়মূল্য = লিখিত মূল্য - ছাড় 
= ২৪০ - ৩৬ = ২০৪ টাকা 

প্রশ্ন: একটি কবিতার বই ২০% কমিশনে বিক্রয় করা হয়। কবিতার বইটির প্রকৃত বিক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা হলে বইটি কত টাকায় ক্রয় করা যাবে?

সমাধান:
২০% কমিশনে,
 বইটির প্রকৃত বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বইটি ক্রয় করা যাবে = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকায়

এখন,
বইটির প্রকৃত বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বইটি ক্রয় করা যাবে ৮০ টাকায়
বইটির প্রকৃত বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বইটি ক্রয় করা যাবে (৮০/১০০) টাকায়
বইটির প্রকৃত বিক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা হলে বইটি ক্রয় করা যাবে (৮০/১০০) × ১৫০ টাকায়
= ১২০ টাকায়

২, ৩, ৪ এবং ৫ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০ - ৩৯) = ২১

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১৫% মুনাফায় ২৮০০ টাকার কত বছরের মুনাফা ১২৬০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ২৮০০ টাকা
মুনাফা, I = ১২৬০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১৫% = ১৫/১০০ = ৩/২০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ n = I/Pr
⇒ n = ১২৬০/(২৮০০ × ৩/২০) 
⇒ n = ৩ বছর

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 মিটার
তাহলে তাকে কম হাটতে হয়েছে = 2a -a√2 = 2 - 1.414 = 0.586a মিটার
∴ কম হাটার শতকরা পরিমান = (0.586a/2a) ✕100=29.3%

প্রশ্ন: ৭২০০ টাকা ৫ : ৬ : ৭ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৬ : ৭
অনুপাতগুলোর যোগফল = (৫ + ৬ + ৭) = ১৮

∴ বৃহত্তর অংশ = ৭২০০ × (৭/১৮) = (৪০০ × ৭) = ২৮০০ টাকা
∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ৭২০০ × (৫/১৮) = (৪০০ × ৫) = ২০০০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (২৮০০ + ২০০০) টাকা = ৪৮০০ টাকা

এখানে,
৭২০০ টাকা ৭২০০ টাকার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
১ টাকা ৭২০০ টাকার (১/৭২০০) অংশ
∴ ৪৮০০ টাকা ৭২০০ টাকার (১/৭২০০) × ৪৮০০ অংশ
= ২/৩ অংশ

সরল করুন: ৩ + {(১৪ - ১০) × (২০ - ১৫) + ৩০} ÷ ২৫ - ৪

সমাধান:
৩ + {(১৪ - ১০) × (২০ - ১৫) + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + {৪ × ৫ + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + {২০ + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + ৫০ ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + ২ - ৪
= ৫ - ৪
= ১

এখানে,
১৮/৩৬ = ০.৫
৫/৩ = ১.৬৬৭
১৬/৩১ = ০.৫১৬
৮/১২ = ০.৩৩৩
উত্তরঃ ঘ।

প্রশ্ন: ৫৪০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৫৪০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^২ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৫ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: টাকায় ৬টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫টি লেবু বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা।

∴ লাভ হয় = (১/৫) - (১/৬)
= (৬ - ৫)/৩০
= ১/৩০

এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ৬/৩০ টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬ × ১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩৫৪ কিলোমিটার। চট্টগ্রাম থেকে একটি ট্রেন সকাল ৭ টায় ছেড়ে দুপুর ১ টায় ঢাকা পৌঁছায়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ট্রেনের যাত্রার সময় = সকাল ৭ টা থেকে দুপুর ১ টা = ৬ ঘণ্টা

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়
= ৩৫৪ ÷ ৬
= ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি কম্পিউটার এবং একটি প্রিন্টারের দামের অনুপাত ৭ : ৫। যদি কম্পিউটার প্রিন্টারের চাইতে ৮০০০ টাকা বেশি দামি হয়, তাহলে প্রিন্টারের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
কম্পিউটারের দাম = ৭ক 
 প্রিন্টারের দাম = ৫ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক - ৫ক = ৮০০০ 
⇒ ২ক = ৮০০০ 
⇒ ক = ৮০০০/২ 
∴ ক = ৪০০০ টাকা 

∴  প্রিন্টারের দাম = ৫ × ৪০০০ = ২০০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিক ১২ দিনে ৯০০০ টাকা আয় করেন। ১৮ জন শ্রমিক কত দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবেন?

​সমাধান:
১৫ জন শ্রমিক ৯০০০ টাকা আয় করেন ১২ দিনে।
১ জন শ্রমিক ৯০০০ টাকা আয় করেন (১২ × ১৫) দিনে।
১৮ জন শ্রমিক ৯০০০ টাকা আয় করেন (১২ × ১৫)/১৮ দিনে।
= ১০ দিনে।

সুতরাং, ১৮ জন শ্রমিক সমপরিমাণ অর্থ ১০ দিনে আয় করবেন।​

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার দুই-পঞ্চমাংশ এবং এক-দশমাংশের পার্থক্য ৪.৫ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) - (ক/১০) = ৪.৫
⇒ (৪ক - ক)/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক = ৪.৫ × ১০
⇒ ৩ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/৩
⇒ ক = ১৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ১৫

প্রশ্ন: ৬৪ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ১। ঐ মিশ্রণে কত লিটার পানি মেশালে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৫ হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
মিশ্রণের পরিমাণ = ৬৪ লিটার
এসিড : পানি = ৭ : ১     
∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৭ + ১ = ৮

∴ এসিডের পরিমাণ = ৬৪ এর (৭/৮) = ৫৬ লিটার
 পানির পরিমাণ = ৬৪ এর (১/৮) = ৮ লিটার

মনে করি,
ক লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
৫৬ : (৮ + ক) = ৭ : ৫
⇒ ৫৬/(৮ + ক) = ৭/৫
⇒ ৫ × ৫৬ = ৭ × (৮ + ক)
⇒ ২৮০ = ৫৬ + ৭ক
⇒ ৭ক = ২২৪
∴ ক = ৩২

∴ ৩২ লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ৪৫০ এবং গ. সা. গু. ১৫। সংখ্যা দুটির অনুপাত ৫ : ৬ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = ৬ক, ছোট সংখ্যা = ৫ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল. সা. গু × গ. সা. গু
⇒ ৬ক × ৫ক = ৪৫০ × ১৫
⇒ ৩০ক^২ = ৬৭৫০
⇒ ক^২ = ৬৭৫০/৩০
⇒ ক^২= ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫

∴ ছোট সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ১৫ = ৭৫

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ১০ জন লোকের ৩৩ দিনের খাবার আছে। ছাত্রাবাসটিতে ৫ জন নতুন ছাত্র আসলে ঐ খাবারে তাদের কতদিন চলবে?

সমাধান:
ছাত্রাবাসটিতে ৫ জন নতুন ছাত্র আসায় মোট লোক = (১০ + ৫) জন = ১৫ জন 

১০ জন লোকের খাবার আছে = ৩৩ দিনের 
∴ ১ জন লোকের খাবার আছে = ৩৩ × ১০ দিনের 
∴ ১৫ জন লোকের খাবার আছে = (৩৩ × ১০)/১৫ দিনের 
= ২২ দিনের

∴ ঐ খাবারে তাদের ২২ দিন চলবে। 

প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিক ১২ দিনে একটি কাজ শেষ করেন। ২০ জন শ্রমিক একই কাজ শেষ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১৫ জন শ্রমিক কাজটি করেন = ১২ দিনে
∴ ১ জন শ্রমিক কাজটি করবেন = ১৫ × ১২ দিনে
∴ ২০ জন শ্রমিক কাজটি করবেন = (১৫ × ১২)/২০ দিনে
= ৯ দিনে

∴ ২০ জন শ্রমিক কাজটি করতে লাগবে ৯ দিন।

আমরা জানি, ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
বা, ২০ = ক্রয়মূল্য - ৩৮০
বা, ক্রয়মূল্য = ৩৮০+২০
বা, ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।
সুতরাং শতকরা ক্ষতি = ক্ষতি/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ২০/৪০০ × ১০০
= ৫%