পাটিগণিত

প্রশ্ন: আজ যদি রবিবার হয়, তাহলে 95 তম দিনে ঠিক কোন দিন হবে?

প্রশ্ন: ২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম।

প্রশ্নমতে,
২০ = a - ৫
∴ a = ২০ + ৫

ধরি n বছর পরে তাদের ২ জনের লোন সমান হবে
প্রশ্নমতে, n বছর পরে রহিমের সুদাসল = করিমের সুদাসল
⇒ ৮০০ + ৮০০ × ৫/১০০ × n = ৬০০ + ৬০০ × ১০/১০০ × n
⇒ ৬০n - ৪০n = ২০০
⇒ n = ২০০/২০ = ১০ বছর

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x+6 = 2x - 21
∴ x = 27

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত 7 : 4 : 3 এবং পরিসীমা 14 মিটার হলে, ছোট বাহু কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 7 : 4 : 3
ধরি,
বাহুগুলো = 7x, 4x, 3x
পরিসীমা = 14 মিটার

প্রশ্নমতে,
7x + 4x + 3x = 14
⇒ 14x = 14
⇒ x = 14/14
⇒ x = 1

তাহলে:
ছোট বাহু = 3x × 1 = 3 × 1 = 3 মিটার 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 17। যদি লবের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
 ভগ্নাংশটি = a/b​ (যেখানে a = লব, b = হর, এবং a ও b পূর্ণসংখ্যা, b ≠ 0)

শর্তমতে, 
a + b = 17 
⇒ b = 17 - a .......(1)
আবার,
লবের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, অর্থাৎ
(a + 3)/b = 1
⇒ a + 3 = b
⇒ a + 3 = 17 - a   ; [(1) নং হতে]
⇒ 2a = 17 - 3
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

a এর মান (1) নং হতে পাই, 
b = 17 - a = 17 - 7 = 10
∴ b = 10

∴ ভগ্নাংশটি = 7/10

প্রশ্ন: ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সারিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গকারে সাজানো যায়?

সমাধান: 
মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূল:
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।

সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে। 

সংখ্যা তিনটির গড় হবে মধ্যবর্তী সংখ্যার মান।
∴ মধ্যবর্তী সংখ্যা = ৫৭/৩ = ১৯
তাহলে, পরবর্তী তথা ৩য় সংখ্যা = ১৯ + ২ = ২১

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় 7a, 5a
∴ ল.সা.গু. = 35a
= 175
বা, a = 5
∴ 7a, 5a এর গ.সা.গু. a = 5

অমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
তিনটি কোণের অনুপাত = ১ঃ৩ঃ২
অনুপাতের সমষ্টি = ১ + ৩ + ২ = ৬
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাপ = ( ১৮০ × ১/৬ ) = ৩০°

প্রশ্ন: চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^২ × ৫^২
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ৯০০/৬০ মিনিট = ১৫ মিনিট।

∴ ১৫ মিনিট পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৬০% শিক্ষার্থী গণিতে পাশ করল। যদি ৩৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ = ৭০%
গণিতে পাশ = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৩৫%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (৭০ + ৬০ - ৩৫)%
= (১৩০ - ৩৫)%
= ৯৫%

উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৯৫)% = ৫%
অতএব, ৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়েই ফেল করেছে।

প্রশ্ন: একজন কলা বিক্রেতা তার কাছে যে কলা ছিল তার ৪০% বিক্রয় করতে পারলো। সে গুনে দেখলো এখনো তার কাছে ১০ ডজন কলা আছে। তার কাছে প্রথমে কতটি কলা ছিল?

সমাধান:
১ ডজন = ১২ টি 
১০ ডজন = ১২ × ১০ = ১২০টি 

প্রশ্নমতে 
৬০% কলা = ১২০টি 
১% কলা = ১২০/৬০টি 
১০০% কলা = (১২০ × ১০০)/৬০টি 
= ২০০ টি 

১৫% ক্ষতিতে, ৭৬৫ টাকার বইয়ের ক্রয়মূল্য = (১০০×৭৬৫)/৮৫
∴ ২০% লাভে বইটির বিক্রয়মূল্য = (১০০×৭৬৫)/৮৫ × (১২০/১০০) = ১০৮০

সরল করুন: ৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩

সমাধান:
৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [{৫ + ৩} × {৫ × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × {১০ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × ৫ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৪০ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + ৩৯ ÷ ১৩
= ৭ + ৩
= ১০

প্রশ্ন: একটি রূপার গয়নার ওজন ৪০ গ্রাম। এতে রূপা ও খাদের অনুপাত ৩ : ১। এতে কত গ্রাম রূপা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
একটি রূপার গয়নার ওজন ৪০ গ্রাম।
এতে রূপা ও খাদের অনুপাত ৩ : ১
∴ মোট অনুপাত = ৪ 

∴ রূপা এর পরিমাণ = ৪০ এর ৩/৪
= ৩০ গ্রাম

∴ খাদের পরিমাপ = ৪০ এর ১/৪
= ১০ গ্রাম

ধরি,
অনুপাতকে ৪ : ১ করতে হলে ক গ্রাম রুপা মেশাতে হবে,
(৩০ + ক) : ১০ = ৪:১
বা, ৩০ + ক = ৪০ 
বা, ক = ১০

∴ ১০ গ্রাম রূপা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে

প্রশ্ন: আগামী পরশুর পরের দিন যদি রবিবার হয় তাহলে গতকালের আগের দিন কী বার ছিলো?

সমাধান:
আগামী পরশুর পরের দিন যদি রবিবার হয় তাহলে আজ হবে বৃহস্পতিবার।

এই ক্রম অনুসারে,
গতকালের আগের দিন ছিলো মঙ্গলবার। 

ক্রমটি হবে,
মঙ্গলবার (গতকালের আগের দিন) - বুধবার - বৃহস্পতিবার (আজ) - শুক্রবার - শনিবার (পরশু) - রবিবার (পরশুর পরের দিন)

প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৩৬৪ টি চকলেট তিন বন্ধু মধ্যে ভাগ করা হলো ১/৪ : ১/২ : ১/৩ অনুপাতে। তৃতীয় বন্ধুটি কতটি চকলেট পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১/৪ : ১/২ : ১/৩
= (১/৪) × ১২ : (১/২) × ১২ : (১/৩) × ১২   ;[৪, ২, ৩ এর ল.সা.গু = ১২]
=  ৩ : ৬ : ৪

ধরি,
তিন বন্ধু পাবে যথাক্রমে ৩ক, ৬ক, ৪ক টি চকলেট

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৬ক + ৪ক = ৩৬৪
⇒ ১৩ক  = ৩৬৪
⇒ ক  = ৩৬৪/১৩
⇒ ক  = ২৮ 

∴ ৩য় বন্ধু চকলেট পাবে = ৪ × ২৮  = ১১২ টি