পাটিগণিত

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪

এখানে ১ কুড়ি = ২০টি এবং দেড় ডজন = ১৮ টি।
অর্থাৎ, ১৮ টির দামে লাভ হয় ২ টি ।
শতকরা লাভ হবে = (২/১৮)×১০০ = ১১.১১%

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২

ধরি,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক
৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৩) : (২ক + ৩) = ৭ : ৩
⇒ (৫ক + ৩)/(২ক + ৩) = ৭/৩
⇒ ৩(৫ক + ৩) = ৭(২ক + ৩)
⇒ ১৫ক + ৯ = ১৪ক + ২১
⇒ ১৫ক - ১৪ক = ২১ - ৯
∴ ক = ১২

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৫ × ১২ = ৬০ বছর

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং ঢাকা হতে সকাল ৭ টান ছেড়ে দিয়ে বিকাল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৩০০ কিলোমিটার
ঢাকা থেকে ছাড়ে সকাল ৭:০০ টায়
এবং চট্টগ্রাম পৌঁছায় বিকাল ৩:০০ টায় 

∴ মোট সময় = ৮ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়   
= ৩০০/৮
= ৭৫/২ ; [৪ দ্বারা ভাগ করে পাই]
= ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা।

√.49 + √.0049
= 0.7 + 0.07
= 0.77

প্রশ্ন: ৭২ টাকায় ৮ টি কলম বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হলো। প্রতি ডজন কলমের ক্রয়মূল্য কত ছিলো?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য    ১০০/৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০/৭৫) × ৭২ টাকা
= ৯৬ টাকা

৮ টি কলমের ক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা
১ টি কলমের ক্রয়মূল্য   ৯৬/৮ টাকা
১২ টি কলমের ক্রয়মূল্য  (৯৬/৮) × ১২ টাকা
= ১৪৪ টাকা

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৯ মাসে ২০,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ২০,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০
সময়, n = ৯ মাস = ৯/১২ = ৩/৪ বছর

সুদ, I = Pnr
= ২০,০০০ × (৩/৪) × (৮/১০০)
= ১,২০,০০০/১০০
= ১,২০০ টাকা

৬, ৮, ১০ ও ১২ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ৫ = ১২০
সুতরাং নির্ণেয় বর্গ সংখ্যাটি = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ × ২ × ৫ × ৫
= ৩৬০০

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৯ টাকা। কলমটির মূল্য ১৮ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৫ টাকা কম হলে, কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হবে। বইটির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
বইয়ের মূল্য = ৯৯ - x টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৮ = ২ × {(৯৯ - x) - ১৫}
⇒ x + ১৮ = ২ × (৮৪ - x)
⇒ x + ১৮ = ১৬৮ - ২x
⇒ x + ২x + ১৮ = ১৬৮
⇒ ৩x + ১৮ = ১৬৮
⇒ ৩x = ১৫০
⇒ x = ৫০

∴ কলমের মূল্য = ৫০ টাকা
∴ বইয়ের মূল্য = ৯৯ - ৫০ = ৪৯ টাকা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা 
= ২৫ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৩ ∶ ২

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৩/(৩+২) X ৪০ = ২৪ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ২/(৩+২) X ৪০ = ১৬ লিটার।

নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ২ ∶ ৩
= (২ X ১২) ∶ (৩ X ১২)
= ২৪ ∶ ৩৬

∴ অকটেন মিশাতে হবে = ৩৬ - ১৬ = ২০ লিটার।

ধরি, মোট ভোটার সংখ্যা ক জন
নির্বাচিত ব্যক্তি ভোট পাই ক × ৮৪% টি
পরাজিত ব্যক্তি ভোট পাই ক × ১৬% টি
প্রশ্নমতে,
বা, ক × ৮৪% - ক × ১৬% = ৪৭৬
বা, ৬৮ক = ৪৭৬ × ১০০
বা, ক = (৪৭৬ × ১০০)/৬৮
বা, ক = ৭০০
∴মোট ভোটার সংখ্যা ৭০০ জন।

৮৪০ এর ৭.৫%
= ৮৪০ × ৭.৫/১০০
= ৮.৪ × ৭.৫
= ৬৩

ধরি, ববি ও কবির কাছে যথাক্রমে ৭x ও ৯x টি আপেল আছে।
প্রশ্নমতে,
৭x+২১ : ৯x-২১ = ৭ঃ৬
⇒ (৭x+২১)/(৯x-২১) = ৭/৬
⇒ ৪২x + ১২৬ = ৬৩x - ১৪৭
⇒ ২১x = ২৭৩
∴ x = ১৩
∴ কবির কাছে ববি অপেক্ষা বেশি আছে = (৯x-৭x) টি
                                                           = ২x টি
                                                           = (২×১৩) ”
                                                           = ২৬ টি

ধরি,
অতিক্রান্ত দূরত্ব = x মাইল
স্রোতের অনুকুলে যেতে সময় লাগে t ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে 2t ঘন্টা
নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = x/t
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = x/2t
________________________
2 স্রোতের বেগ = x/2t
স্রোতের বেগ x/t = 16 মাইল/ঘন্টা
নৌকার বেগ = 16-4 = 12 মাইল/ঘন্টা

প্রশ্ন: তেলভর্তি একটি পাত্রের ওজন ১৮ কেজি। পাত্রের এক-তৃতীয়াংশ তেলভর্তি হলে তার ওজন ৮ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ তেলের ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১৮ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/৩ = ৮ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/৩) = ১৮ - ৮
বা, y - y/৩ = ১০
বা, (৩y - y)/৩ = ১০
বা, ২y/৩ = ১০
বা, y = ১০ × ৩/২
বা, y = ১৫ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ১৫ = ১৮
বা, x = ১৮ - ১৫
বা, x = ৩ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৩ কেজি

এখানে,
আসল p = ১৫০০০ টাকা,
সুদের হার r = ১০%
সময় n = ২ বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল c = p(১ + r)ⁿ
= ১৫০০০ × (১ + ১০/১০০)²
= ১৫০০০ × (১১০/১০০)²
= ১৫০০০ × (১১০ × ১১০)/(১০০ × ১০০)
= ১৮১৫০ টাকা
∴ সুদ = ১৮১৫০ - ১৫০০০
= ৩১৫০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী প্রতি হালি লেবু ৪০ টাকায় ক্রয় করে প্রতি ৩ হালি ১৩৫ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ হালি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা
এবং 
৩ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১৩৫ টাকা
∴ ১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১৩৫/৩ = ৪৫  টাকা

∴ প্রতি হালিতে লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৪৫ - ৪০
= ৫ টাকা

∴ ৪০ টাকায় লাভ হয় = ৫ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৫/৪০ = ১/৮ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৮ = ১২.৫ টাকা 

সুতরাং, শতকরা লাভ হয় ১২.৫% ।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১
⇒ ২ক + ১ = ৪১
⇒ ২ক = ৪১ - ১
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

প্রশ্ন: কতজন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে যাতে প্রত্যেকে সমান সংখ্যক কলা ও আপেল পায়?

সমাধান:
এখানে, ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় ছাত্রের সংখ্যা।
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
১৪০ = ২ × ২ × ৫ × ৭

∴ ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৭ = ২৮

∴ ২৮ জন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্নঃ একটি ছাত্রাবাসে ৬০ জন ছাত্রের জন্য ২৫ দিনের খাবার মজুত আছে। ৫ দিন পর আরও ২০ জন ছাত্র ভর্তি হলে অবশিষ্ট খাবার কতদিন চলবে?

সমাধানঃ
প্রথম ৫ দিনে ৬০ জন ছাত্র ৫ দিনের খাবার খায়।
বাকি থাকে (২৫ − ৫)=২০ দিনের খাবার।
১ জনের খাবার = ৬০ × ২০ = ১২০০ দিন।
মোট ছাত্র = ৬০ + ২০ = ৮০ জন।

অতএব, ৮০ জনের জন্য খাবার চলবে = ১২০০ ÷ ৮০ = ১৫ দিন।

প্রশ্ন: যে পরিমাণ খাদ্যে ৪০০ জন লোকের ৩০ সপ্তাহ চলে। ঐ পরিমাণ খাদ্যে কতজন লোকের ১২ সপ্তাহ চলবে?

সমাধান:
৩০ সপ্তাহ খাদ্য চলে ৪০০ জন লোকের
১ সপ্তাহ খাদ্য চলে (৪০০ × ৩০)
∴ ১২ সপ্তাহ খাদ্য চলে (৪০০ × ৩০)/১২ জন লোকের
= ১০০০ জন লোকের

প্রশ্ন: ১ - ০.০৯৯৯ = ? 

সমাধান:
১ - ০.০৯৯৯
= ০.৯০০১

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১ টি চৌবাচ্চার ৩/৫ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা। চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ পূর্ণ হতে আর কত সময় লাগবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ = (১ - ৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

এখন,
চৌবাচ্চাটির ৩/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে (৬ × ৫/৩) ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ২/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫/৩) × (২/৫) ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১০ মিনিট ও ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির  অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা একইভাবে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + ((১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন,
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে
∴ অর্ধেক বা ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = (৬ × ১/২) মিনিটে
= ৩ মিনিটে

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন, ৩/১ = ৩, ১১/২ = ৫.৫ ইত্যাদি। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √৮ = √(২ × ৪) = ২√২ ; যা অমূলদ সংখ্যা 

খ) √(৮/৭) = √৮/√৭ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

গ) √৭/৩ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

ঘ) √২৭/√৪৮ = √(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬) = ৩/৪ = ০.৭৫ ; যা মূলদ সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ) √২৭/√৪৮

প্রশ্ন: ৩/৪, ৬/৮, ৯/১২ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে, 
ভগ্নাংশের লব = ৩, ৬, ৯
ভগ্নাংশের হর = ৪, ৮, ১২

লব ৩, ৬, ৯ এর গসাগু = ৩
হর ৪, ৮, ১২ এর লসাগু = ২৪

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৩/২৪
= ১/৮

ধরি,
ক্রয়মূল্য = a টাকা
১৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ৮৫a/১০০ টাকা
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১৫a/১০০ টাকা
∴ ১১৫a/১০০ - ৮৫a/১০০ = ২৪০
বা, (১১৫a - ৮৫a)/১০০ = ২৪০
বা, ৩০a/১০০ = ২৪০
বা, ৩০a = ২৪০০০
∴ a = ২৪০০০/৩০
= ৮০০

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১২ ও ১৬ সারিতে সাজানো যায়, আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২

∴ ৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

৪৮ সংখ্যাটি বর্গ নয়। বর্গ আকারে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৪৮ × ৩ = ১৪৪

∴ এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে ১৪৪

জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ৫%,
বর্তমান জনসংখ্যা ১০৫ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = ১০০ জন
বর্তমান জনসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = ১০০/১০৫ জন
বর্তমান জনসংখ্যা ৩২৫৫ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = (১০০ × ৩২৫৫)/১০৫ জন
= ৩১০০ জন।

এখানে এসিডঃপানির অনুপাত = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৪০ লিটার
= ৩০ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৪০ লিটার
= ১০ লিটার।
সুতরাং শর্তমতে, দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
৩০/(১০+ক) = ৩/২
বা, ৩০ + ৩ক = ৬০
বা, ৩ক = ৩০
বা, ক = ১০ লিটার।