পাটিগণিত

আমরা জানি, লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
লাভ = ৯০ - ৭৫ = ১৫ টাকা
৭৫ টাকায় লাভ হয় ১৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (১৫ × ১০০)/৭৫ = ২০ টাকা
∴ লাভ ২০%

ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৭ + ক)/(১৭ + ক) = ৩/৫
বা, ৩৫ + ৫ক = ৫১ + ৩ক
বা, ২ক = ১৬
∴ ক = ৮

ফেল করে ১৫%
∴ পাস করে = (১০০ - ১৫)% = ৮৫%
৮৫% = ৪২৫ হলে,
১০০% = (৪২৫ × ১০০)/৮৫
= ৫০০ জন

১০% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে,
১ম বছর শেষে সুদাসল = ২০০০ এর ১১০/১০০ = ২২০০ টাকা
২য় বছর শেষে সুদাসল = ২২০০ × ১০৮/১০০
= ২৩৭৬ টাকা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৪/৭ অংশ কালো এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৯ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির কালো অংশ = ৪/৭ অংশ
খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৪/৭) অংশ
 = (৭ - ৪)/৭ অংশ
= ৩/৭ অংশ

কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৪/৭) - (৩/৭) অংশ
 = (৪ - ৩)/৭ অংশ
= ১/৭ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৭ অংশ = ৯ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৭×৯)/১ মিটার
= ৬৩ মিটার

৮ টি সংখ্যার সমষ্টি ৩১৭ এবং ৩ টি সংখ্যার সমষ্টি ৯০।
∴ ১১ টি সংখ্যার গড় হবে = (৩১৭ + ৯০) / ১১ = ৪০৭/১১ = ৩৭ 

৪০০ নম্বরের মধ্যে ১০০ নম্বর কম পেয়েছে অর্থ্যাৎ (৪০০-১০০) = ৩০০ নম্বর পেয়েছে।
৪০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে ৩০০ নম্বর।
∴ ১০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে (৩০০ × ১০০)/৪০০ = ৭৫।

0 = 0 × 3,
3 = 3 × 1,
12 = 3 × 4
∴ গ. সা. গু = 3

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৭ : ১১। যদি পূর্বরাশি হয় ২১, তবে উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
দুটি রাশির অনুপাত = ৭ : ১১

ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ১১ক

প্রশ্নানুসারে:
৭ক  = ২১
⇒ ক = ৩

∴ উত্তর রাশি = ১১ ক = ১১ × ৩ = ৩৩

প্রশ্নঃ একটি বাক্সে এক ডজন আয়না আছে। কিছু আয়না ভেঙ্গে গেল। ভালো আয়না ও ভাঙ্গা আয়নার অনুপাত নিচের কোনটি হতে পারে না?

সমাধাণঃ
এক ডজন = 12 টি

∴ 12 অবশ্যই অনুপাতের যোগফল দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, 12 অপশন (খ) এর 3+2=5 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 

∴ উত্তরঃ 3:2

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 60% এর সাথে 48 যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
x এর 60% + 48 = x 
⇒ x × (60/100) + 48 = x 
⇒ (60x/100) + 48 = x 
⇒ (60x + 4800)/100 = x 
⇒ 60x + 4800 = 100x 
⇒ 100x - 60x = 4800
⇒ 40x = 4800 
⇒ x = 4800/40 
∴ x = 120

∴ সংখ্যাটি = 120  ।

৫টির ক্রয়মূল্য ৪ টাকা হলে ১ টির ক্রয়মূল্য ৪/৫ টাকা
৫টাকায় ৪ টি বিক্রয় করলে ১ টি বিক্রয় করে ৫/৪ টাকায়
∴ ১টিতে লাভ হয় ৫/৪ - ৪/৫ = ৯/২০ টাকা
৪/৫ টাকায় লাভ হয় ৯/২০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (৫ × ৯ × ১০০)/(৪ × ২০) = ৫৬.২৫ টাকা
∴ ৫৬.২৫% লাভ হয়।

প্রশ্ন: একটি কলম ১৫% লাভে বিক্রি করা হলো। যদি কলমটি ৩০ টাকা কমে বিক্রি করা হতো, তাহলে ৫% ক্ষতি হতো। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কলমটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা

৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৫ = ৯৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১১৫ - ৯৫ = ২০ টাকা

২০ টাকা কমে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ ৩০ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = (১০০ x ৩০)/২০ টাকা
= ১৫০ টাকা

∴ কলমটির ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা

প্রশ্ন: কোন জিনিসের ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের ৪/৫ ভাগ হলে শতকরা লাভের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্যের ৪/৫ অংশ

ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য = ৪ টাকা

এখন,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৫ - ৪
= ১ টাকা

∴ শতকরা লাভ
= (লাভ / ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (১/৪) × ১০০
= ২৫%

অতএব, সঠিক উত্তর:
খ) ২৫%

১০০ টাকায় কমে ১২ টাকা 
     ১ টাকায় কমে ১২/১০০ টাকা 
৬০০০ টাকায় কমে (১২ × ৬০০০)/১০০
                             = ৭২০ টাকা 

১ কুইন্টাল বা ১০০ কেজি চালের দাম ৭২০ টাকা 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের যোগফল ৮০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুন। তাহলে পিতার বয়স কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর 
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (৮০ - x) বছর 

প্রশ্নমতে, 
x = ৩ × (৮০ - x) 
বা, x = ২৪০ - ৩x 
বা, x + ৩x = ২৪০ 
বা, ৪x = ২৪০ 
বা, x = ২৪০/৪
∴ x = ৬০

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ বছর

আমরা জানি, মুনফা I = Pnr
প্রশ্নমতে, p = I
∴ p = pnr
⇒ ১ = ১০/১০০ n
⇒ n = ১০

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-পঞ্চমাংশের সাথে এক-ষষ্ঠাংশ যোগ করলে যোগফল ৩৩ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/৫) + (ক/৬) = ৩৩
বা, (৬ক + ৫ক)/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক = ৩৩ × ৩০
বা, ক = (৩৩ × ৩০)/১১
বা, ক = ৩ × ৩০
বা, ক = ৯০
​
​অতএব, সংখ্যাটি হবে ৯০।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ৭ এবং তাদের ল.সা.গু. ২১০ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৭ক

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৭)ক = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৩৫
⇒ ক = ৬

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫ × ক
= ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: সমানুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশিকে বলে-

সমাধান:
সমানুপাত হলো, a : b : : c : d
অথবা a/b = c/d

এখানে, 
প্রথম ও চতুর্থ রাশি → প্রান্ত রাশি (Extremes)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি → মধ্য রাশি (Means)
অর্থাৎ,
a এবং d → প্রান্ত রাশি
b এবং c → মধ্য রাশি

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য? 

সমাধান: 
৪ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ দুটি অঙ্ক (একক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ২১৪১৩৩; শেষ দুটি অঙ্ক ৩৩। ৩৩ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৩৩ = ৪ × ৮ + ১), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩২২৬৫৮; শেষ দুটি অঙ্ক ৫৮। ৫৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৫৮ = ৪ × ১৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৫২১৫৬৪; শেষ দুটি অঙ্ক ৬৪। ৬৪ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না (৬৪ = ৪ × ১৬), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৯৫২২১৮; শেষ দুটি অঙ্ক ১৮। ১৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (১৮ = ৪ × ৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গ) ৫২১৫৬৪।

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে যেতে ৫০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ১০ মিনিট দেরি হয়। আবার ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গেলে ৫ মিনিট আগে পৌঁছে। যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি,
যাত্রা পথের দূরত্ব = ’ক’ কি.মি.

ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৫০ ঘণ্টা
ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে ’ক’ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে ক/৬০ ঘণ্টা

১ম সময় ও ২য় সময়ের পার্থক্য = (১০ + ৫) মিনিট = ১৫ মিনিট
= ১৫/৬০ = ১/৪ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৫০) - (ক/৬০) = ১/৪
বা, (৬ক - ৫ক)/৩০০ = ১/৪
বা, ক/৩০০ = ১/৪
বা, ক = ৩০০/৪
∴ ক = ৭৫ কি.মি.

∴ যাত্রা পথের দূরত্ব = ৭৫ কি.মি. ।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় কত টাকা জমা রাখলে ৪ বছর পর মোট মূলধন ১৪৬৪১ টাকা হবে?

সমাধান:

ধরি,
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ০.১০
সময়, n = ৪ বছর
আসল, P = ?
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ১৪৬৪১ টাকা

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
বা, P = ১৪৬৪১/(১ + r)ⁿ
= ১৪৬৪১/(১ + ০.১০)^৪
= ১৪৬৪১/(১.১০ × ১.১০ × ১.১০ × ১.১০)
= ১৪৬৪১/১.৪৬৪১ টাকা
= ১০০০০ টাকা।

∴ আসল ১০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫২০ টি আম রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি আম যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ এবং ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩

৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
        ৪৮
     ___________
           ৪০
           ৩৬
    _____________
              ৪ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক আম যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

∴ আম যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ৪০০০ টাকার ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০০ × (১ + ১/২০)^২
= ৪০০০ × (২১/২০)^২
= ৪০০০ × ২১/২০ × ২১/২০
= ৪৪১০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= (৪৪১০ - ৪০০০) টাকা
= ৪১০ টাকা

প্রশ্ন: ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
৬০০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^৩× ৩^১ × ৫^২ 

আমরা জানি,
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴  ৬০০ এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (২ + ১)
= ৪ × ২ × ৩
= ২৪

সুতরাং, ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ২০, ৩০ এবং ৪০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
প্রথমেই, ভাজক এবং ভাগশেষের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি,
২০ - ১০ = ১০
৩০ - ২০ = ১০
৪০ - ৩০ = ১০

এখানে, প্রতিটি ক্ষেত্রে পার্থক্য একই (১০)।
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ২০, ৩০ এবং ৪০ এর ল.সা.গু  অপেক্ষা ১০ কম।

২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১২০ - ১০ 
= ১১০

খ -
৯ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/৯ অংশ

গ -
১২ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/১২ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/৯ + ১/১২) = ৭/৩৬ অংশ
ক ও খ একত্রে ৩ দিনে করে = ৭/১২ অংশ।

অর্থাৎ, বাকী থাকে (১ - ৭/১২) = ৫/১২ অংশ।

ক ১ অংশ করে ২৪ দিনে
তাহলে। ৫/১২ অংশ করবে = ১০ দিনে।

ধরি, আসল ক টাকা।
সুতরাং সুদাসল ৪ক টাকা।
সুদ = ৪ক - ক
= ৩ক
আমরা জানি, সুদ = আসল × সময় × সুদের হার/১০০
সুদের হার = সুদ × ১০০/(আসল × সময়)
= ৩ক × ১০০/ক × ২৫
= ১২%

সংখ্যাটি = (৩৭৫ + ৪৬৫)/২
= ৮৪০/২
= ৪২০

প্রশ্ন: 2a + 1, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 1
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 1) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 1)
⇒ 10 = 4a + 2
⇒ 4a = 10 - 2
⇒ 4a = 8
⇒ a = 8/4
⇒ a = 2

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূন্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমন: ০, ১, ২, - ১, - ২, √২, √৩ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) - ৭.৫ → এটি একটি বাস্তব দশমিক সংখ্যা।
খ) √০ = ০ → এটি একটি বাস্তব সংখ্যা।
ঘ) ১/২ → এটি একটি বাস্তব ভগ্নাংশ।
গ) ৯ + √- ১৬ → এই সংখ্যাটির √- ১৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ, √- ১৬ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

∴ (গ) ৯ + √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×3² = 25 : 9

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৩০ ও ৪৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা, 
৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

২য় নল দ্বারা, 
৪৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৪৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৩০) + (১/৪৫) অংশ
=(৩ + ২)/৯০ অংশ
= ৫/৯০ অংশ
= ১/১৮ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা, 
১/১৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ পূর্ণ হয় = (১ × ১৮)/১ মিনিটে
​ = ১৮ মিনিটে । 

প্রশ্ন: ১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে শুধুমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো-
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯ এবং ১৪৯।