পাটিগণিত

মনে করি,
জুনে দুই প্রকার আমেরই প্রতিকেজির দাম ছিল x Taka
প্রশ্নমতে জুলাইতে,
১ কেজি ফজলির দাম হয় 1.4x
১ কেজি ল্যাংড়ার দাম হয় 0.8x
প্রশ্নে বলা আছে, সমান পরিমাণ মিশ্রনের ১ কেজির দাম ৭৭ টাকা। সমান পরিমাণ হলে। ১ কেজিতে দুই আমেরই ১/২ কেজি করে লাগবে। আমরা তাহলে ১ কেজি করে নিলে দুই আমের মিশ্রন সমান হবে এবং ৭৭ টাকা করে মোট দুই কেজি আম হবে।
তাহলে,
1.4x + 0.8x = 77*2
=> 2.2x = 154
=> x = 70

প্রত্যক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানর পরে অবশিষ্ট গাছ থাকবে
    ৫৯৫। ২৪
    ৪
     ____
৪৪। ১৯৫
      ১৭৬
      ____
      ১৯
∴ ১৯ টি গাছ অবশিষ্ট থাকবে

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ২/৭ অংশের মূল্য ৫৬০০০ টাকা হলে ১/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান: 
২/৭ অংশ বাড়ির মূল্য ৫৬০০০ টাকা
∴ ১ অংশ বাড়ির মূল্য = (৫৬০০০ × ৭)/২ = (২৮০০০ × ৭) টাকা
∴ ১/৪  অংশ বাড়ির মূল্য = (২৮০০০ × ৭)/৪ টাকা
= ৪৯০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ২১৭৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
২১৭৮ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
২১৭৮ = ২ × ৩ × ৩ × ১১ × ১১
 = ২ × ৩^২ × ১১^২

এখানে, ২ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)।
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ২১৭৮ কে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

ধরি, সোনা ও তামার পরিমাণ ৫ক ও ২ক
প্রশ্নমতে,
৫ক + ২ক = ৪২
বা, ৭ক = ৪২
বা, ক = ৬
সুতরাং সোনা = ৫ × ৬ = ৩০ গ্রাম এবং তামা = ৪২ - ৩০ = ১২ গ্রাম।
আবার ধরি, খ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।
প্রশ্নমতে,
(৩০ + খ) : ১২ = ৭ঃ২
বা, (৩০ + খ)/১২ = ৭/২
বা, ৬০ + ২খ = ৮৪
বা, ২খ = ২৪
বা, খ = ১২ গ্রাম

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি এক ডজন কলা ৫% ক্ষতির পরিবর্তে ৫% লাভে বিক্রি করলে ৫ টাকা বেশি লাভ করে। তাহলে এক ডজন কলার ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
এক ডজন কলার ক্রয়মূল্য = ক টাকা

∴ ৫% ক্ষতি করলে বিক্রয়মূল্য হতো = ক × (৯৫/১০০) = ৯৫ক/১০০
∴ ৫% লাভ করলে বিক্রয়মূল্য হলো = ক × (১০৫/১০০) = ১০৫ক/১০০

প্রশমতে, ৫% লাভে বিক্রি করায় ৫% ক্ষতির চেয়ে ৫ টাকা বেশি পাওয়া গেছে। অর্থাৎ দুটি বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ৫ টাকা
∴ (১০৫ক/১০০) - (৯৫ক/১০০) = ৫
⇒ (১০৫ক - ৯৫ক)/১০০ = ৫ 
⇒ ১০ক/১০০ = ৫ 
⇒ ক = ৫ × ১০ 
∴ ক = ৫০ 

সুতরাং এক ডজন কলার ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি নির্বাচনে তিনজন প্রার্থী প্রতিদ্বন্দ্বিতা করলেন। 'ক' পেল ৩০% এবং 'খ' পেল ৪৫% ভোট। যদি 'গ' মোট ৯০০০ ভোট পেয়ে থাকে, তবে মোট ভোটার কতজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
'ক' পেল = ৩০% ভোট
'খ' পেল = ৪৫% ভোট
∴'গ' পেল = ১০০% - (৩০% + ৪৫%) = ২৫% ভোট
'গ' মোট ৯০০০ ভোট পেল এবং এটি মোট ভোটের ২৫%।

∴ মোট ভোট = (গ-এর ভোট/গ-এর শতকরা হার) × ১০০
= (৯০০০/২৫) × ১০০
= ৩৬০ × ১০০
= ৩৬০০০ জন 

সুতরাং, মোট ভোটার সংখ্যা ৩৬০০০ জন।

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ১৬ টি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করে ৬০% নম্বর পেল। ৯০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে? 

সমাধান: 
৬০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৬ টি 
∴ ১% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৬/৬০ টি 
∴ ৯০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = (১৬ ×৯০)/ ৬০ টি 
= ২৪ টি 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ২৪ টি ।

প্রশ্ন: একটি প্যান্ট ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ২৫% লাভ হয়। প্যান্টটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্যান্টটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

এবং ২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২৫ - ৯০) টাকা = ৩৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৩৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৩৫) টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭০)/৩৫ টাকা
= ২০০ টাকা

∴ প্যান্টটির ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা।

প্রশ্নঃ একটি সংখ্যার ঘনমূলের বর্গ সংখ্যাটির 20 শতাংশের সমান । সংখ্যাটি কত?

সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে, 
(∛x)² = 20% of x
বা, (∛x)² = 20x/100
বা, (∛x)² = x/5
বা, ∛x = √x/√5 (বর্গমূল করে)
বা, √x / ∛x = √5
বা, x^1/2 / x^1/3= 5^1/2
বা, x^1/2-1/3= 5^1/2
বা, x^1/6 = 5^1/2
বা, x = (5^1/2)⁶ (উভয়পক্ষের ঘাতকে 6 দ্বারা গুন করে)
বা, x = 5³
বা, x = 125

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর। ০৭ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৬ : ১। ০৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর।
৭ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিলো = ৭০ - (৭ + ৭) বছর 
= (৭০ - ১৪) বছর
= ৫৬ বছর 

ধরি,
৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = ৬ক বছর 
৭ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো = ক বছর 

প্রশ্নমতে,
৬ক + ক = ৫৬
বা, ৭ক = ৫৬
বা, ক = ৫৬/৭
বা, ক = ৮

৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = (৬ × ৮) বছর = ৪৮ বছর 
৭ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো = ৮ বছর 


∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৭ + ৪৮) বছর = ৫৫ বছর 
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭ + ৮) বছর = ১৫ বছর 

০৫ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = (৫৫ + ৫) : (১৫ + ৫) 
= ৬০ : ২০
= ৩ : ১ 

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ৪২,৫০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৪২,৫০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
সবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪২,৫০০(১ + ১/১০)^২
= ৪২,৫০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৫১,৪২৫ টাকা

সুতরাং, ২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৫১,৪২৫ টাকা। 

প্রশ্ন: যদি কোনো সংখ্যার তিন-চতুর্থাংশের দুই-পঞ্চমাংশ ৩৬ হয়, তবে সেই সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি সংখ্যাটি x,

তাহলে,


∴ সংখ্যাটি ১২০ 

ধরি,
উভয় অনুপাতের মধ্যসমানুপাত্তি b
∴ a × ৫ = b² = ৪ × ২৫
বা, ৫a = ১০০
∴ a = ২০

৫:১৮, ৭:২, ৩:৬ = ৫:১৮, ৭:২, ১:২
সুতরাং, মিশ্র অনুপাত = (৫×৭×১) : (১৮×২×২) = ৩৫:৭২

খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৪ অংশ
∴ খ ১০〃 〃 〃 ১০/১৪ 〃
= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 ১০ × ৭/২ বা ৩৫ দিনে।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৮ মাইল যায় এবং ৬ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৮ + ১৮ = ৩৬ মাইল
মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ৩৬/৯ মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা

সুতরাং, তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ ৪ মাইল।

প্রশ্নমতে, কাবিলার লাভ কম হয় = (৭ - ৫)% = ২% = ১৫ টাকা
সুতরাং ঘড়িটির মূল্য = ১৫/২% = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক
তাহলে,
৮২০ - ক = ক - ৬৫০
⇒ ২ক = ৮২০ + ৬৫০ = ১৪৭০ 
⇒ ক = ১৪৭০/২ 
∴ ক = ৭৩৫

এখানে,
২১৩ - ৫ = ২০৮ এবং
৯৪১ - ৫ = ৯৩৬

২০৮)৯৩৬(৪
        ৮৩২
       ------
         ১০৪)২০৮(২
               ২০৮
              -----
                  ০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ১০৪

প্রশ্ন: একটি বালতিতে রাখা চাল-ডালের মিশ্রণে চাল ও ডালের অনুপাত ৩ : ২ । বালতি থেকে ১৫ কেজি মিশ্রণ সরিয়ে তাতে একই পরিমাণ ডাল রাখা হলে চাল ও ডালের অনুপাত হয় ৩ : ৫ । শুরুতে বালতির মিশ্রণে কত কেজি চাল ছিলো? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মিশ্রণে চাল ও ডালের অনুপাত ছিলো = ৩ : ২
মোট অংশ = ৩ + ২ = ৫ 
ধরি,
বালতিতে মোট মিশ্রণের পরিমাণ ছিলো = ক কেজি
∴ চালের পরিমাণ ছিলো = ক এর (৩/৫) = ৩ক/৫ কেজি
∴ ডাল ছিলো = ক এর (২/৫) = ২ক/৫ কেজি

সরিয়ে ফেলা ১৫ কেজি মিশ্রণে,
চালের পরিমাণ = ১৫ এর (৩/৫) = ৯ কেজি
ডালের পরিমাণ = ১৫ এর (২/৫) = ৬ কেজি 

অবশিষ্ট চাল = (৩ক/৫) - ৯ = (৩ক - ৪৫)/৫ কেজি 
অবশিষ্ট ডাল = (২ক/৫) - ৬ = (২ক - ৩০)/৫ কেজি 

আবার,
বালতিতে ১৫ কেজি ডাল যোগ করায়,
ডালের নতুন পরিমাণ = {(২ক - ৩০)/৫} + ১৫
= (২ক - ৩০ + ৭৫)/৫
= (২ক + ৪৫)/৫ কেজি 

প্রশ্নমতে,
{(৩ক - ৪৫)/৫}/{(২ক + ৪৫)/৫} = ৩/৫
⇒ ৫{(৩ক - ৪৫)/৫} = ৩{(২ক + ৪৫)/৫}
⇒ ৩ক - ৪৫ = (৬ক + ১৩৫)/৫
⇒ ১৫ক - ২২৫ = ৬ক + ১৩৫
⇒ ১৫ক - ৬ক = ১৩৫ + ২২৫
⇒ ৯ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/৯
⇒ ক = ৪০

∴ শুরুতে মিশ্রণে চাল ছিলো = ৩ক/৫ = (৩ × ৪০)/৫ = ২৪ কেজি 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১৬ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ১ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?

সমাধান: 
ধরি, 
চৌবাচ্চাটির গভীরতা বা উচ্চতা = x মিটার 
​
​আমরা জানি, 
​চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) 
⇒ ১৬ = (৪ × ১ × x) 
⇒ ৪x = ১৬
​⇒ x = ১৬/৪ 
∴ x = ৪ 

∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা ৪ মিটার।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১০ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

এখন, 
x টাকার ১০ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ১০) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ১০) টাকা 
= ২০ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২০ টাকা ।

প্রশ্ন: রুনা ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হাঁটে এবং রুনি ৫ মিনিটে ২৫০ মিটার হাঁটে। রুনা এবং রুনির গতিবেগের অনুপাত কত?

সমাধান: 
রুনার গতিবেগ, 
রুনা ৩/২ ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হাঁটে
∴ গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৫/(৩/২)
= ৫ × (২/৩)
= ১০/৩ কি.মি./ঘণ্টা

এবং
রুনির গতিবেগ,
রুনি ৫ মিনিটে ২৫০ মিটার হাঁটে।
∴ রুনি ১ মিনিটে = ২৫০/৫ = ৫০ মিটার
∴ রুনি ৬০ মিনিটে = ৫০ × ৬০ = ৩০০০ মিটার/ঘণ্টা
= ৩ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, রুনা : রুনি গতিবেগের অনুপাত = (১০/৩) : ৩ = ১০ : ৯ 

প্রশ্ন: একটি ৬০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট 
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩) 
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৬০ 
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৬০ 
বা, ৫ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/৫ 
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ৩৬)/৩ 
= ২৪ ফুট।

প্রশ্ন: ২০ জন শ্রমিক একটি কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে। একই কাজ ৬০ দিনে সম্পন্ন করতে চাইলে কত জন শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন?

সমাধান:
১৫ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগবে = (২০ × ১৫) জন
∴ ৬০ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগবে = (২০ × ১৫)/৬০ জন
= ৩০০/৬০ জন
= ৫ জন

∴ শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন = (২০ - ৫) জন = ১৫ জন

সমাধান:
৩৬৫ - ৫ = ৩৬০ এবং ৪৬৩ - ৭ = ৪৫৬
সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ. সা. গু ।

এখানে,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
এবং ৪৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৯

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

নোটঃ
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির অন্তর কত? 

সমাধান: 
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১ 
আবার,
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৭৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির অন্তর = (৭৯ - ৪১) 
= ৩৮ ।

প্রশ্ন: (৩/২)% কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= (৩/২)%
= (৩/২)/১০০
= ৩/(২ × ১০০)
= ৩/২০০
= ০.০১৫

সম্পত্তিটির ৭/৮ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা
সম্পত্তিটির ১ অংশের মূল্য (৯২১২ × ৮)/৭ টাকা
সম্পত্তিটির ৩/৪ অংশের মূল্য (৯২১২ × ৮ × ৩)/(৭ × ৪) টাকা
= ৭৮৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য ৬ এবং তাদের বর্গের পার্থক্য ১০৮, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, 
দুইটি সংখ্যা ক এবং খ

শর্তমতে
ক - খ = ৬ 
ক^২ - খ^২ = ১০৮

তাহলে, 
ক^২ - খ^২ = ১০৮
⇒ (ক - খ) (ক + খ) = ১০৮
 ⇒ ৬ × (ক + খ) = ১০৮
⇒ ক + খ = ১০৮/৬
⇒ ক + খ = ১৮

 ∴ দুইটির যোগফল = ১৮