পাটিগণিত

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার সূত্র জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য
∴ C = P(1 + (r/100))ⁿ
C = ১৫৪৩৫ (১ + ৫/১০০)^২
C = ১৭০১৭ জন (প্রায়)
∴ ২ বছর পরে জনসংখ্যা ১৭০১৭ জন হবে।

প্রশ্ন: ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল সুদ ৭৫০ টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল = ৫০০০ টাকা
সময় = ৩ বছর
মুনাফা = ৭৫০ টাকা

আমরা জানি,
মুনাফার হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়)
= (৭৫০ × ১০০)/(৩ × ৫০০০)
= ৫

∴ বার্ষিক সুদের হার ৫%

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (৩২ × ৩) বছর = ৯৬ বছর

আবার,
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২২ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (২২× ২) বছর = ৪৪ বছর

∴ পিতার বয়স = (৯৬ - ৪৪) বছর = ৫২ বছর।

m কি.মি. যায় 60 মিনিটে
1 কি.মি. যায় 60/m মিনিটে
∴ x কি.মি যায় 60x/m মিনিটে

১০২ এবং ১৮৬ কে যে বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে তা হচ্ছে (১০২ - ৬) = ৯৬ এবং (১৮৬ - ৬) = ১৮০ এর গসাগু

∴ ৯৬ এবং ১৮০ এর গসাগু = ১২

প্রশ্নঃ ১২টি ডিম ১৫০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় ২৫%, তাহলে ১০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ কত?

সমাধানঃ 
দেওয়া আছে, 
ডিম বিক্রয় = ১২টি
বিক্রয়মূল্য= ১৫০ টাকা
লাভ = ২৫%

১২টি ডিমের ক্রয়মূল্য:
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য × (১ + ২৫/১০০)
⇒ ১৫০ = ক্রয়মূল্য × ১.২৫
⇒ ক্রয়মূল্য = ১৫০/১.২৫
∴ ক্রয়মূল্য= ১২০ টাকা

অতএব,
১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১২০/১২
= ১০ টাকা

তাহলে,
১০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ = ১০০/১০
= ১০ টি

∴১০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ ১০ টি।

প্রশ্ন: মুনাফা-আসল একত্রে ১০৯২ টাকা। মুনাফা আসলের ১/৩ হলে, মুনাফা কত টাকা? 

সমাধান: 
ধরি,
মুনাফা = ক টাকা
আসল = ৩ক টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (ক + ৩ক) টাকা
= ৪ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৪ক = ১০৯২
বা, ক = ১০৯২/৪
= ২৭৩ টাকা

∴ মুনাফা = ২৭৩ টাকা।

একটি রাশি ৬৪% হলে, অপর রাশিটি ১০০%।
এদের অনুপাত হবে, ৬৪% : ১০০%
= ১৬ : ২৫

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৯০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৯০০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৯০০ এর ৪০% 
= ৯০০ এর ৪০/১০০ 
= ৩৬০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৯০০ - ৩৬০) জন
= ৫৪০ জন।

সানি ২০ দিনে ১ অংশ করতে পারে।
২৫% বেশি দক্ষ হবার কারণে সুমি ২০ দিনে করতে পারে ১.২৫ অংশ
তাহলে সুমি,
১.২৫ অংশ করে ২০ দিনে
১ অংশ করবে = ২০/১.২৫ = ১৬ দিনে।

 প্রথম ৪টির গড় ৫২
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪ × ৫২
                                     = ২০৮

শেষ৫টির সংখ্যার গড় ৩৮
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫ × ৩৮
                                    = ১৯০

∴ ৯টি সংখ্যার সমষ্টি = (২০৮ + ১৯০)
                                = ৩৯৮

∴পঞ্চম সংখ্যাটি = ৪৬২ - ৩৯৮
                          = ৬৪

প্রশ্ন: যদি একটি জলাধারের ২/৭ অংশ পূর্ণ আছে এবং জলাধারটির ৫/৭ অংশ পূর্ণ করতে আরও ২৪ লিটার পানির প্রয়োজন হয়, তবে জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
২৪ লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হয় জলাধারের {(৫/৭) - (২/৭)} অংশ
= ৩/৭ অংশ

জলাধারের ৩/৭ অংশের ধারণক্ষমতা = ২৪ লিটার
∴ জলাধারের ১ বা সম্পূর্ণ অংশের ধারণক্ষমতা = (২৪ × ৭)/৩ লিটার
= ৫৬ লিটার।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ২৫% এর সাথে ৬০ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% + ৬০ = ক
⇒ {ক × (২৫/১০০)} + ৬০ = ক
⇒ {ক × (১/৪)} + ৬০ = x
⇒ (ক/৪) + ৬০ = ক
⇒ (ক + ২৪০)/৪ = ক
⇒ ক + ২৪০ = ৪ক
⇒ ৩ক = ২৪০
∴ ক = ৮০

∴ সংখ্যাটি ৮০।

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় ২a, ৩a
∴ ল.সা.গু. = ৬a
প্রশ্নমতে,
   ৬a = ৫৪
∴ a = ৯
∴ অন্তর = ৩a - ২a
= a
= ৯

প্রশ্ন: একটি বাড়ির পূর্ব ভাড়া ও বর্তমান ভাড়ার অনুপাত ৫ : ৭ হলে, বাড়ির ভাড়া শতকরা কত শতাংশ বেড়েছে?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
বাড়ির পূর্ব ভাড়া ৫ টাকা হলে বর্তমান ভাড়া ৭ টাকা।
তাহলে, ভাড়া বেড়েছে = ৭ - ৫ = ২ টাকা

এখন,
ভাড়া ৫ টাকায় বেড়েছে = ২ টাকা
ভাড়া ১ টাকায় বেড়েছে = ২/৫ টাকা
ভাড়া ১০০ টাকায় বেড়েছে = (২ × ১০০)/৫ টাকা
= ৪০ টাকা বা ৪০%

গ.সা.গু.= (লবগুলোর গ.সা.গু.)/(হরগুলোর ল.সা.গু.)
= ({১,২,৪} এর গ.সা.গু)/({২,৩,৭} এর ল.সা.গু)
= ১/৪২

প্রশ্ন: ৮ জন পুরুষ বা ১৮ জন বালক একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। ১৬ জন পুরুষ ও ১৮ জন বালক সেই কাজের ৩ গুণ একটি কাজ কত দিনে করতে পারবে?  

সমাধান: 
এখানে, ৮ জন পুরুষের কাজ ≡ ১৮ জন বালকের কাজ
∴ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ১৮ জন বালকের কাজ ≡ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ৮ জন পুরুষের কাজ
≡ ২৪ জন পুরুষের কাজ 

৮ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩) দিন
১ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩ × ৮)  দিন
২৪ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে {(২৪ × ৩ × ৮)/২৪}  দিন
= ২৪ দিন

19, 29, 59 এই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। 
49 মৌলিক সংখ্যা নয়। 

প্রশ্ন: ৪০ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ১। কী পরিমাণ দুধ মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান: 
দুধ : পানি = ৩ : ১ 
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪ 
∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = [৪০ × (৩/৪)] = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৪০ × (১/৪)] = ১০ লিটার

ধরি, 
ক লিটার দুধ মিশ্রিত করলে দুধ এবং পানির অনুপাত হবে = ৫ : ১ 

প্রশ্নমতে, 
(৩০ + ক) : ১০ = ৫ : ১
⇒ (৩০ + ক)/১০ = ৫/১  
⇒ ৩০ + ক = ৫০ 
⇒ ক = ৫০ - ৩০ 
∴ ক = ২০ 

∴ ২০ লিটার দুধ মিশ্রিত করতে হবে।

১০৫, ১০০১, ২৪৩৬ এর গ.সা.গুই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।
১০৫ = ৩ × ৫ × ৭
১০০১ = ৭ × ১১ × ১৩
২৪৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৭ × ২৯
গ.সা.গু = ৭

প্রশ্ন: যদি একটি সংখ্যার ২০% হয় ৩০, তাহলে ঐ সংখ্যার ৪৮% কত হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x এর ২০% = ৩০
⇒ x × (২০/১০০) = ৩০
⇒ x × (১/৫) = ৩০
∴ x = ১৫০

আবার,
x এর ৪৮%
= ১৫০ × (৪৮/১০০)
= (১৫০ × ৪৮)/১০০
= ৭২০০/১০০
= ৭২

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক 7% হারে সরল সুদে 650 টাকায় কত বছরে 273 টাকা সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = 650 টাকা
সুদ, I = 273 টাকা
সুদের হার, r = 7%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
সরল সুদ, I = pnr/100
⇒ n = (I × 100)/pr
⇒ n = (273 × 100)/(650 × 7)
⇒ n = 6

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×7²
= 9 : 49

প্রশ্ন: বাংলাদেশের জনসংখ্যার স্বাভাবিক বৃদ্ধির হার ২.০% হলে দেশের জনসংখ্যা দ্বিগুণ হতে কত বছর লাগবে?

সমাধান:
ধরি 
বর্তমান জনসংখ্যা = P
জনসংখ্যা 2P হতে n বছর সময় লাগবে।
জনসংখ্যার স্বাভাবিক বৃদ্ধির হার r = ২.০% 
= ২/১০০
= ১/৫০

আমরা জানি
C = P(1 + r)ⁿ
2P = P( 1 + 1/50)ⁿ
2 = (51/50)ⁿ
log2 = n log(51/50)
log2 = nlog1.02
n = log2 ÷ log1.02
n = 35.00278

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ৫% আয়কর দেন। তিনি ১২০০ টাকা আয়কর দিলে তার মোট আয় কত?

সমাধান: 
আয়কর ৫ টাকা হলে মোট আয় ১০০ টাকা 
আয়কর ১ টাকা হলে মোট আয় ১০০/৫ টাকা
আয়কর ১২০০ টাকা হলে মোট আয় (১০০ × ১২০০)/৫ টাকা  
= ২৪,০০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩। ১২ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, পিতার বর্তমান বয়স = ৭ক বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩ক বছর

প্রশ্নমতে,
৭ক + ৩ক = ৬০
বা, ১০ক = ৬০
বা, ক = ৬

সুতরাং,
পিতার বর্তমান বয়স = ৭ × ৬ = ৪২ বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩ × ৬ = ১৮ বছর

১২ বছর আগে,
পিতার বয়স ছিল = ৪২ - ১২ = ৩০ বছর
পুত্রের বয়স ছিল = ১৮ - ১২ = ৬ বছর

∴ ১২ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত = ৩০ : ৬
= ৫ : ১