পাটিগণিত

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ৮, ১২ ও ১৮ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৬, ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

অতএব, ৭২ সেকেন্ড পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৪০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৪০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ১০% = ১০/১০০
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, c = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০(১ + ১০/১০০)^২
= ৪০০ × (১১০/১০০)^২
= ৪০০ × (১১/১০)^২
= ৪০০ × (১২১/১০০)
= ৪০০ × ১.২১ 
= ৪৮৪

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৪৮৪

Question: N can do a piece of work in 80 days. He works at it for 10 days and then M alone finishes the remaining work in 42 days. In how much time will N and M workings together, finish the work?

Solution:
N ৮০ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ 
N ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৮০ অংশ 
N ১০ দিনে করতে পারে কাজটির (১ × ১০)/৮০ অংশ
= ১/৮ অংশ

অবশিষ্ট কাজ  = ১ - ১/৮ 
= (৮ - ১)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ 

M ৭/৮ অংশ কাজ করে ৪২ দিনে 
M ১ অংশ কাজ করে (৪২ × ৮)/৭ দিনে 
= ৪৮ দিনে

M ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৪৮ অংশ 

M ও N ১ দিনে করতে পারে কাজটির (১/৮০) + (১/৪৮) অংশ 
= (৩ + ৫)/২৪০
= ৮/২৪০
= ১/৩০

M ও N ১/৩০ অংশ  কাজ করতে পারে ১ দিনে
= M ও N ১ অংশ  কাজ করতে পারে (১ × ৩০)/১ দিনে
= ৩০ দিনে

ধরি,
আয় = ১০০ টাকা,
ব্যায় = ৭৫ টাকা
এবং সঞ্চয় = ২৫ টাকা
৫০% বৃদ্ধিতে আয় = ১৫০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে ব্যায় = ৭৫ × ১২০/১০০ = ৯০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ১৫০ - ৯০ = ৬০ টাকা
∴ বৃদ্ধি = ৬০ - ২৫ = ৩৫ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধির হার = (৩৫ × ১০০)/২৫
= ১৪০%

ধরি, আয় ৩০ টাকা ও ব্যয় ১৫ টাকা, তাহলে সঞ্চয় (৩০-১৫) = ১৫ টাকা
৩০ টাকায় সঞ্চয় করে ১৫ টাকা
১০০ 〃 〃 〃(১০০×১৫)/৩০ টাকা
= ৫০ টাকা

প্রশ্ন: ১ হেক্টোমিটার সমান কত মিটার?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ হেক্টোমিটার = ১০০ মিটার।
মেট্রিক পদ্ধতিতে হেক্টোমিটার হলো দৈর্ঘ্যের একটি একক, যার মান ১০০ মিটারের সমান। 

প্রশ্ন: যদি দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৮ হয় এবং একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হয়, তবে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩

আমরা জানি,
সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ক × (২ক/৩) = ৪৮ × ৮
⇒ ২ক^২/৩ = ৩৮৪
⇒ ২ক^২ = ৩৮৪ × ৩
⇒ ২ক^২ = ১১৫২
⇒ ক^২ = ৫৭৬
⇒ ক = √৫৭৬
∴ ক = ২৪

অতএব, ছোট সংখ্যাটি = (২৪ × ২)/৩ = ১৬

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(৮০ × x) = ১২ × ১৮০
⇒ x = (১২ × ১৮০)/৮০
= ২৭

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ৪ : ৫ হলে, লাভের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ৪ক এবং বিক্রয়মূল্য = ৫ক
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
লাভ = ৫ক - ৪ক = ১ক

লাভের হার = লাভ / ক্রয়মূল্য × ১০০%
= ১ক / ৪ক × ১০০%
= ০.২৫ × ১০০%
= ২৫%

According to question,
√(0.25/0.0009) × √(0.09/0.36)
⇒ √((25/9)×100) × √(9/36)
⇒ ((5×10)/3) × (3/6)
⇒ 25/3
⇒ 8(1/3)

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১২% হার চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ১৫০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ১৫০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১২%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
C = P(1 + r/১০০)ⁿ
= ১৫০০০ × {1 + (১২/১০০)}^২
= ১৫০০০ × (১১২/১০০)^২
= ১৫০০০ × (১.১২)^২
= ১৫০০০ × ১.২৫৪৪
= ১৮,৮১৬ টাকা

মুনাফা = C - P
= ১৮,৮১৬ − ১৫,০০০
= ৩,৮১৬ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৩,৮১৬ টাকা।

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটির গড় কত?

সমাধান:
৪০ ও ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯

এদের মধ্যে
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৫৯

∴ সংখ্যা দুটির গড়
= (৪১ + ৫৯)/২
= ১০০/২
= ৫০

৫% হারে ১৫০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৫×১৫০০×৫)/১০০ = ৩৭৫ টাকা

ধরি, আসল a টাকা
∴ ৬% হার সুদে ১০ বছরের সুদ = (৬×a×১০)/১০০ = ৩a/৫
∴ ৩a/৫ = ৩৭৫
বা, ৩a = ৩৭৫×৫
∴ a = ৬২৫ টাকা

এখানে,
০.৩ = ০.৩
√০.৩ = ০ .৫৪৭৭
২/৫ = ০.৪
১/৩ = ০.৩৩৩৩

√০.৩ (০.৫) > ২/৫ (০.৪) > ১/৩ (০.৩৩) > ০.৩

প্রশ্ন: নজরুল ৪২ জন লোক নিয়োগ দিল যেন সে ২২ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে। ১২ দিন পর মাত্র এক-তৃতীয়াংশ কাজ শেষ হল। অতিরিক্ত কোনো লোক নেয়া না হলে অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে নির্ধারিত সময় অপেক্ষা কতদিন বেশি লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১/৩ অংশ কাজ করে = ১২ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ  করে  = ১২ × ৩ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ সময় বেশি লাগবে = (৩৬ - ২২) দিন  
  = ১৪ দিন

সুতরাং, অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে ১৪ দিন বেশি লাগবে।

ধরি, তাদের বর্তমান বয়স (৫ক + ৫) এবং (২ক + ৫)
প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৫) + (২ক + ৫) = ৫২
বা, ৭ক + ১০ = ৫২
বা, ৭ক = ৫২ - ১০
বা, ৭ক = ৪২
বা, ক = ৪২/৭ = ৬
সুতরাং পিতার বর্তমান বয়স = ৫ × ৬ + ৫ = ৩৫ বছর।

প্রশ্ন: ৭২৯ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ২। নতুন মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে হলে, কত লিটার পানি যোগ করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল মিশ্রণে দুধ ও পানির পরিমাণের 
অনুপাত = দুধ : পানি = ৭ : ২
∴ মোট অংশ = ৭ + ২ = ৯
∴ মোট মিশ্রণ = ৭২৯ লিটার 

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৭২৯ × ৭/৯ = ৫৬৭ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৭২৯ × ২/৯ = ১৬২ লিটার

আবার,
নতুন অনুপাত = দুধ : পানি = ৭ : ৩
ধরি, যোগ করা পানি = ক লিটার

নতুন মিশ্রণ,
দুধ = ৫৬৭ লিটার (অপরিবর্তিত)
পানি = ১৬২ + ক লিটার

প্রশ্নমতে, 
৫৬৭/(১৬২ + ক) = 7/৩ 
⇒ ৭(১৬২ + ক) = ১৭০১
⇒ ১১৩৪ + ৭ক = ১৭০১ 
⇒ ৭ক = ১৭০১ - ১১৩৪
⇒ ক = ৫৬৭/৭ 
∴ ক = ৮১ 

সুতরাং, ৮১ লিটার পানি যোগ করতে হবে।

৯৬, ১২০ এর ল.সা.গু.=২×২×২×৩×৪×৫=৪৮০

মনে করি, একটি সংখ্যা 'ক' তাহলে অপর সংখ্যা 'খ'
শর্তমতে, ক - খ = ১ ------- (১)
এবং কখ = ৪২।
এখন (ক+খ)^২ = (ক-খ)^২ + ৪ × কখ
বা, (ক+খ)^২ = ১^২ + ৪ × ৪২
বা, (ক+খ)^২ = ১ + ১৬৮
বা, ক+খ = √১৬৯
বা, ক + খ = ১৩ ------- (২)
(১) + (২) করে পাই,
২ক = ১৪
বা, ক = ৭
সুতরাং ৭ + খ = ১৩
খ = ৬

বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ৪/৫ × ৫ = ৪ টাকা
৪ টাকায় লাভ হয় ১ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ ১০০/৪ = ২৫ টাকা 

r% হার সুদে,
a টাকার ৫ বছরের সুদ = (a×r×৫)/১০০
= ar/২০ টাকা
∴ ar/20 = r
বা, a = ২০

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৪ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৬ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৪ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৪ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৪ অংশ = ১/২ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = ১ - (১/২) = ১/২ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৬ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৪) - (১/৬)
= (৩ - ২)/১২
= ১/১২

১/১২ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ১২)/২ = ৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ৬) ঘণ্টা = ৮ ঘণ্টা 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ২৫ যোগ করলে তা সংখ্যাটির ২/৩ অংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২৫ = ২ক/৩
বা, (২ক/৩) - (ক/৩) = ২৫
বা, (২ক - ক)/৩ = ২৫
বা, ক/৩ = ২৫
বা, ক = ২৫ × ৩
∴ ক = ৭৫

∴ সংখ্যাটি হলো ৭৫

অবশিষ্ট আছে (৩০ - ৫) = ২৫ দিন
মোট লোক = ৪০ + ১০ = ৫০ জন
৪০ জনের খাবার আছে ২৫ দিনের।
∴ ৫০ জনের খাবার আছে = (৪০×২৫) / ৫০ = ২০ দিনের।

প্রশ্ন: x/y এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

সমাধান: 
ধরি,
যোগ করতে হবে k
তাহলে, 
x/y + k = 2y/x
⇒ k = 2y/x - x/y
⇒ k = (2y² - x²)/ xy

∴ যোগ করতে হবে = (2y² - x²)/ xy

আমরা জানি দুইটি সংখ্যার গুনফল = লসাগু × গসাগু
তাহলে, ৪৮ × অপর সংখ্যা = ১৬ × ১৯২
অপর সংখ্যা = ৬৪

প্রশ্ন: ০.১ × ০.০৩ × ৪.০ = ?

সমাধান: 
০.১ × ০.০৩ × ৪.০ = ০.০১২

প্রশ্ন: একজন পুরুষ ও একজন মহিলা পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করলেন। মহিলা তার অংশের টাকা নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করলে মহিলার মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
পুরুষ ও মহিলা পুরস্কারের টাকার অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি = ( ১ + ৪) = ৫
∴ মহিলার অংশ = ১০০০ × (৪/৫) টাকা
= ৮০০ টাকা 

আবার, 
নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ভাগকৃত অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ( ২ + ১ + ১) = ৪
∴ মহিলার মায়ের অংশ = ৮০০ × (১/৪) টাকা
= ২০০ টাকা

∴ মহিলার মা পাবে = ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হার সরল মুনাফায় ৯৫০০ টাকা ৪ বছরে মুনাফা-আসলে ১২৫৪০ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ৯৫০০ টাকা
মুনাফা-আসল, A = ১২৫৪০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর

সরল মুনাফার পরিমাণ = মুনাফা-আসল - আসল
= ১২৫৪০ - ৯৫০০
= ৩০৪০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফার, SI = (Prn)/১০০ 
⇒ ৩০৪০ = (৯৫০০ × r × ৪)/১০০
⇒ ৩০৪০ × ১০০ = ৯৫০০ × r × ৪
⇒ ৩০৪০০০ = ৩৮০০০ × r
⇒ r = ৩০৪০০০/৩৮০০০
∴ r = ৮

অতএব, মুনাফার হার ৮% প্রতি বছর

Question: The average of 10 numbers is 560. The average of the first four numbers is 520, and the average of the last five numbers is 512. Find the value of the fifth number.

Solution:
Given,
First 10 number average is 560
So, sum of first 10 number= 560 × 10 = 5600

First 4 number average is 520
Sum of first 4 number = 520 × 4 = 2080

Last 5 number average is 512
Sum of last 5 number = 512 × 5 = 2560

So,
Sum of all 10 numbers= (sum of first 4) + 5th number + (sum of last 5)
5th number = Sum of all 10 numbers - (sum of first 4) -  (sum of last 5)
= 5600 - 2080 - 2560
= 5600 - 4640
= 960

∴ 5th number is 960

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (৫২ - ১৭)% = ৩৫%
শুধু গণিতে ফেল করে = (৪২ - ১৭)% = ২৫%
তাহলে উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০% - (৩৫ + ২৫ + ১৭)% = ২৩%

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর এবং মা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। মায়ের বয়স ৪৫ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
​পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর
​∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ২) বছর = ৭০ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর
​∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩০ × ২) বছর = ৬০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৬০ - ৪৫) বছর = ১৫ বছর

∴ পিতার বয়স = (৭০ - ১৫) বছর = ৫৫ বছর

অতএব, পিতার বয়স ৫৫ বছর।