পাটিগণিত

প্রশ্ন: ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩ অনুপাতে যদি ক এর ১৬০০ টাকা থাকে তাহলে 'খ' এর টাকার পরিমান কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫

∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫

ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৮ক = ১৬০০
বা, ক = ১৬০০/৮
∴ ক = ২০০

∴ খ এর টাকার পরিমাণ = (১০ × ২০০) টাকা = ২০০০ টাকা।

অনুপাত ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ৪ × ৫ × ৩
= ৬০

মনে করি,
আগের দাম x টাকা
তাহলে, 18% কমলে দাম হয় .82x টাকা
প্রশ্নমতে,
.82x = 4100
=> x = 5000
বর্তমান দাম = 4100 + (4100 এর 25%) = 5125
পার্থক্য = (5125 - 5000) = 125 টাকা

√12 = √(3 × 4)
= 2√3 সংখ্যাটি অমূলদ সংখ্যা।

(১৮ × ১০০)/১২ = ১৫০%

প্রশ্ন: একটি হুইলচেয়ার ১২৮০ টাকায় বিক্রি করা হলে ২০% ক্ষতি হয়, তবে হুইলচেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৮০) টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৮০) × ১২৮০ টাকা
= ১৬০০ টাকা

সংখাগুলো হতে পারেঃ
১,২ ও ৩;
২,৩ ও ৪;
৩,৪ ও ৫;
৪, ৫ ও ৬;
৫, ৬ ও ৭ প্রভৃতি।
কিন্তু ৪×৫×৬ = ১২০
এবং ৪+৫+৬ = ১৫
∴ নির্ণেয় যোগফল ১৫

মনে করি,
শিপনের বেতন = ১০০ টাকা
∴ তপনের বেতন = ৩০০ টাকা
রিপনের বেতন = ২০০ টাকা
স্বপনের বেতন = ২০০ × ৭৫/১০০
= ১৫০ টাকা
∴ তপনের ও স্বপনের বেতনের অনুপাত = ৩০০ঃ১৫০
= ২ঃ১

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/২ + ১/৩) × x অংশ
= (৫x/৬) অংশ
এবং পানির উপরে আছে = (x - ৫x/৬) 
= (x/৬) অংশ 

প্রশ্নমতে, 
x/৬ = ২ 
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + {(২৪০ - ক)/৪০} = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ প্রথম অংশের দূরত্ব ১৬০ কি.মি।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 15 এবং ল.সা.গু. 225, একটি সংখ্যা 45 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = 15
ল.সা.গু. = 225
একটি সংখ্যা = 45
ধরি, অপর সংখ্যা = x

প্রশ্নমতে,
45 × x = 15 × 225
⇒ x = 3375/45
∴ x = 75

সুতরাং, অপর সংখ্যা হলো 75।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল.সা.গু 180। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 3x এবং 4x.
∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x
এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল = 12x²

আমরা জানি,
দুইটির গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, 12x² = 180 × x
বা, 12x = 180
∴ x = 15

∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3 × 15 = 45 এবং 4 × 15 = 60.

প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। কাজটি ৫ দিনে করতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোক প্রয়োজন হবে?

সমাধান:
কাজটি ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে ১০ জন
∴ কাজটি ১ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে (১০ × ১৫) জন
∴ কাজটি ৫ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে (১০ × ১৫)/৫ জন
= ১৫০/৫ জন
= ৩০ জন

অতিরিক্ত লোক প্রয়োজন হবে = ৩০ - ১০ = ২০ জন

∴ কাজটি ৫ দিনে করতে ২০ জন অতিরিক্ত লোক প্রয়োজন হবে।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৩৬% এর মান ৫৪ হলে, সংখ্যাটির ২০% কত হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩৬% = ৫৪
⇒ ক × (৩৬/১০০) = ৫৪
⇒ ক × (৯/২৫) = ৫৪
⇒ ক = (২৫ × ৫৪)/৯
⇒ ক = ২৫ × ৬
∴ ক = ১৫০

অর্থাৎ, সংখ্যাটি ১৫০

এখন,
১৫০ এর ১৫% = ১৫০ × (১৫/১০০)
= ১৫০/৫
= ৩০

প্রশ্ন: মামুনের মাসিক ইন্টারনেট বিল ৬০০ টাকা। ১ বছর পর এটি ২০% বৃদ্ধি পায় এবং আরও ৬ মাস পর ৫% বৃদ্ধি পায়। ১৮ মাস পর মামুনের বিল কত হবে?

সমাধান:
মাসিক ইন্টারনেট বিল = ৬০০ টাকা

এখন,
১২ মাস পর ২০% বৃদ্ধিতে ইন্টারনেট বিল,
= ৬০০ + (৬০০ এর ২০%)
= ৬০০ + ১২০
= ৭২০ টাকা

আবার,
৬ মাস পর ৫% বৃদ্ধিতে ইন্টারনেট বিল,
= ৭২০ + (৭২০ এর ৫%)
= ৭২০ + ৩৬
= ৭৫৬ টাকা

∴ ১৮ মাস পর বিল = ৭৫৬ টাকা

প্রশ্ন: ২৫% হার মুনাফায় ১২০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন P = ১২০০০ টাকা
মুনাফার হার r = ২৫% = ২৫/১০০ = ১/৪
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(১ + r)ⁿ - P
= ১২০০০ (১ + ১/৪)^২ - ১২০০০
= ১২০০০ × (৫/৪)^২ - ১২০০০
= ১২০০০ × (২৫/১৬) - ১২০০০
= ১৮৭৫০ - ১২০০০
= ৬৭৫০ টাকা

এবং
সরল মুনাফা I = P × r × n
= ১২০০০ × (১/৪) × ২
= ৬০০০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৬৭৫০ - ৬০০০) টাকা
= ৭৫০ টাকা

সুতরাং, ২৫% হার মুনাফায় ১২০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য ৭৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চার এক-পঞ্চমাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগে?

সমাধান:
একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে।
তিনটি নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় যথাক্রমে পূর্ণ হয় ১/১০ , ১/১৫, ১/৩০ অংশ

∴ একসাথে ১ ঘণ্টায় পুর্ণ হয় = (১/১০) + (১/১৫) + (১/৩০)
= (৩ + ২ + ১)/৩০ অংশ
= ৬/৩০ অংশ
= ১/৫ অংশ 

১/৫ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
⇒ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৫) ঘণ্টায়
= ৫ ঘণ্টায়

∴ ১/৫ অংশ পূর্ণ হয় = ৫/৫ ঘণ্টায় = ১ ঘণ্টায়।

সুতরাং, চৌবাচ্চার এক-পঞ্চমাংশ পূর্ণ হতে ১ ঘণ্টা লাগবে।

১ম পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১/৬ অংশ
২য় পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১/১২ অংশ
উভয় পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ( ১/৬ + ১/১২ ) = ১/৪ অংশ
পুকুরটি পূর্ণ হতে সময় লাগে ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: সবচেয়ে বড় কোন সংখ্যা দিয়ে ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ভাগশেষ ৩, ৪ এবং ৫ থাকে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: আনাস এবং রাকিব একটি ব্যবসায় ৩ : ২ অনুপাতে বিনিয়োগ করে। যদি মোট লাভের ১০% দান করা হয় এবং আনাসের লভ্যাংশ ৮৬৪ টাকা হলে, তবে মোট লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ব্যবসায় আনাস এবং রাকিবের বিনিয়োগের অনুপাত ৩ : ২
মোট লাভের ১০% দান করা হয়
আনাসের লাভের অংশ ৮৬৪ টাকা

∴  বিনিয়োগের অনুপাতের যোগফল = (৩ + ২) = ৫

মনে করি,
মোট লাভের পরিমাণ ১০০ টাকা
∴ মোট লাভের ১০% দান করার পর অবশিষ্ট লাভের পরিমাণ = (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা

∴ মোট লাভের ১০% দান করার পর আনাসের লভ্যাংশ = ৯০ এর (৩/৫) = ৫৪ টাকা

যদি আনাসের লভ্যাংশ ৫৪ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ ১০০ টাকা
যদি আনাসের লভ্যাংশ ১ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ = (১০০/৫৪) টাকা
∴ যদি আনাসের লভ্যাংশ ৮৬৪ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ = (১০০/৫৪) × ৮৬৪ টাকা
= (১০০ × ১৬) = ১৬০০ টাকা

∴ মোট লাভের পরিমাণ ১৬০০ টাকা।

অনুপাত = ২ঃ৩ঃ৫
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ২ + ৩ + ৫ = ১০

প্রশ্ন: নিচের দশমিক সংখ্যাগুলোর বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল কত হবে?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা ০.১ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ০.০০০৯

∴ গুণফল = ০.১ × ০.০০০৯
= ০.০০০০৯

প্রশ্ন: ৪৩২১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩৪) ৪৩২১ (১২৭ 
       ৩৪ 
_____________
         ৯২
         ৬৮ 
______________
           ২৪১ 
           ২৩৮
______________ 
                ৩ 
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৪ - ৩ = ৩১

প্রশ্ন: ১১,৭০০ টাকা একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে P, Q ও R এর মধ্যে ভাগ করতে হবে, যেখানে অনুপাতটি হলো ১/২ : ১/৩ : ১/৪ তবে, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য কত টাকা?

Solution:
দেওয়া আছে,
P : Q : R = (১/২) : (১/৩) : (১/৪)

এই ভগ্নাংশগুলিকে সরল করার জন্য ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২ দ্বারা গুণ করে পাই
∴ P : Q : R = {(১/২) × ১২} : {(১/৩) × ১২} : {(১/৪) × ১২}
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

∴ ১ অংশের মূল্য = ১১,৭০০/১৩ = ৯০০ টাকা

∴ P এর অংশ = ৬ × ৯০০ = ৫৪০০ টাকা 
∴ Q এর অংশ = ৪ × ৯০০ = ৩৬০০ টাকা 
∴ R এর অংশ = ৩ × ৯০০ = ২৭০০ টাকা

সবচেয়ে বড় অংশ = P = ৫৪০০ টাকা
সবচেয়ে ছোট অংশ = R = ২৭০০ টাকা

∴ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য = (৫৪০০ - ২৭০০) = ২৭০০ টাকা

প্রশ্ন: (০.০০৪)^২= ?

সমাধান:
(০.০০৪)^২ = ০.০০৪ × ০.০০৪
= ০.০০০০১৬

২/৩ = ০.৬৭
৩/৪ = ০.৭৫
৫/৯ = ০.৫৬
৭/১২ = ০.৫৮
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ৩/৪

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৪৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। শতকরা ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
বিক্রয়মূল্য = ৪৮০ টাকা
ক্ষতি = ২০ টাকা

ক্রয়মূল্য  = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
= ৪৮০ + ২০
= ৫০০ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতি = (ক্ষতি ÷ ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (২০ ÷ ৫০০) × ১০০
= ৪%

∴ শতকরা ৪% ক্ষতি হয়।

৮০% = ২৪ টাকা
১% = ২৪/৮০ টাকা
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য অর্থাৎ, ১০০% = ২৪x১০০/৮০ টাকা = ৩০ টাকা।
অতএব সরকার ভর্তুকি দেয় (৩০-২৪) টাকা = ৬ টাকা।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ১০ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১৪ বেশি হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ১০ = ক + ১৪
বা, ২ক - ক = ১৪ - ১০
∴  ক = ৪ 

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

প্রশ্ন: এক ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য প্রথমে ২৫% বাড়াল, অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২৫% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায় কত শতাংশ পরিবর্তিত হয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
প্রথমে পণ্যের মূল্য = ১০০ টাকা
২৫% বাড়ানোর পরে মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

এরপর ১২৫ টাকার ২৫% কমালে মূল্য = ১২৫ - ১২৫ এর ২৫%
= ১২৫ - ৩১.২৫ = ৯৩.৭৫ টাকা

মূল্য পরিবর্তন = ১০০ - ৯৩.৭৫ = ৬.২৫ টাকা কমেছে

∴ শতকরা পরিবর্তন = (৬.২৫/১০০) × ১০০%
= ৬.২৫%

∴ সর্বশেষ মূল্য প্রথম মূল্যের তুলনায় ৬.২৫% কমানো হয়েছে।

প্রশ্ন: দুইটি দলের সদস্য সংখ্যার ল.সা.গু ৯০ ও গ.সা.গু ১৫ হলে এবং প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু অপেক্ষা বেশি হলে, উভয় দলের সদস্য মোট কত জন?

সমাধান:
আমরা জানি, সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
সংখ্যা দুটির গুণফল = ৯০ × ১৫ = ১৩৫০

আবার, সংখ্যা দুটি অবশ্যই তাদের গ.সা.গু (১৫) এর গুণিতক হবে।
ধরি, সংখ্যা দুটি ১৫a এবং ১৫b (যেখানে a ও b পরস্পর মৌলিক সংখ্যা)।

শর্তমতে,
১৫a × ১৫b = ১৩৫০
⇒ ২২৫ab = ১৩৫০
⇒ ab = ১৩৫০/২২৫
⇒ ab = ৬

যেহেতু a ও b পরস্পর মৌলিক, তাই তাদের গুণফল ৬ হওয়ার সম্ভাব্য জোড়া হলো (১, ৬) অথবা (২, ৩)।

যদি (a, b) = (১, ৬) হয়,
তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ১) = ১৫ এবং (১৫ × ৬) = ৯০
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু (১৫) অপেক্ষা বেশি হতে হবে। এখানে একটি দলের সদস্য ১৫ জন, যা শর্ত পূরণ করে না।

যদি (a, b) = (২, ৩) হয়, তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ২) = ৩০ এবং (১৫ × ৩) = ৪৫
এখানে ৩০ ও ৪৫ উভয়ই ১৫ অপেক্ষা বেশি, যা শর্ত পূরণ করে।

∴ উভয় দলের মোট সদস্য সংখ্যা = (৩০ + ৪৫) = ৭৫ জন।