পাটিগণিত

এখানে,
p = ৬২৫০০ টাকা
r = ৮%,
n = ৩
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(1 + r)ⁿ
= ৬২৫০০ × {১ + (৮/১০০)}^৩
= ৬২৫০০ × (১০৮/১০০)^৩
= ৭৮,৭৩২ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = ৭৮,৭৩২ - ৬২,৫০০
= ১৬২৩২ টাকা
আবার,
সরল সুদ = p × n × r
= ৬২৫০০ × ৩ × (৮/১০০)
= ১৫,০০০ টাকা
∴ সুদের পার্থক্য = ১৬,২৩২ - ১৫০০০
= ১,২৩২ টাকা

শর্তমতে, ক + ২ক + ৩ক + ৪ক + ৫ক = ৭৫০০
বা, ১৫ক = ৭৫০০
বা, ক = ৭৫০০/১৫ = ৫০০
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = ৫ × ৫০০ - ৫০০ = ২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: শতকরা ৬ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৫০০০ টাকা সুদে-মূলে ৮০০০ টাকা হয়?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৫০০০ টাকা
সুদ, I = (৮০০০ - ৫০০০) টাকা = ৩০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%

আমরা জানি, I = (P × n × r)/ ১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (৩০০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৬)
⇒ n = ১০ বছর

∴ সময় = ১০ বছর

প্রশ্ন: ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫০০ মিটার লম্বা একটি প্লাটফর্ম ২ মিনিটে অতিক্রম করলে ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কি.মি. ছিল?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার

∴ মোট দূরত্ব = ৩০০ + ৫০০ = ৮০০ মিটার
সময় = ২ মিনিট = (২ × ৬০) সেকেন্ড = ১২০ সেকেন্ড

এখন,
ট্রেনটি ১২০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৮০০ মিটার
ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০/১২০) মিটার
ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০/১২০) × ৩৬০০ মিটার
= ২৪০০০ মিটার
= (২৪০০০/১০০০) কিলোমিটার
= ২৪ কিলোমিটার

∴ ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ২৪ কি.মি. ।

প্রশ্ন: ২০০ মিটার লম্বা উপকূল এক্সপ্রেস একটি খুঁটিকে ১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কত কি.মি./ঘণ্টা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার
খুঁটি অতিক্রম করতে সময় = ১০ সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময়
= ২০০/১০
= ২০ মি/সে
= ২০ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা ; [১ মি/সে = ১৮/৫ কিমি/ঘণ্টা] 
= (২০ × ১৮)/৫
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের গতিবেগ ৭২ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/3​ হয় এবং ভগ্নাংশটির হর-এর সাথে 8 যোগ করলে এর মান 1/4 হয়।  ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = a/b

এখন, ১ম শর্তমতে, 
(a - 1)/b = 1/3
⇒ b = 3a - 3 .......(১)

আবার,
a/(b + 8) = 1/4
⇒ b + 8 = 4a
⇒ b = 4a - 8

∴ 3a - 3 = 4a - 8
⇒ 4a - 3a = 8 - 3
∴ a = 5

a এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
b = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
∴ b = 12

∴ ভগ্নাংশটি = 5/12 

(২১ + ২৭ + ২৯)/৩ = (৩০ + ২১ + ক)/৩
বা, ২১ + ২৭ + ২৯ = ৩০ + ২১ + ক
বা, ৭৭ = ৫১ + ক
বা, ক = ৭৭ - ৫১
বা, ক = ২৬

প্রশ্ন: ৬টি মেশিন ৮ মিনিটে ৪৮টি শার্ট সেলাই করতে পারে। যদি এখন ৩টি মেশিন ২০% দ্রুত চালানো হয়, তবে ৬৬টি শার্ট সেলাই করতে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
৬ মেশিন ৮ মিনিট সেলাই করে = ৪৮ শার্ট
১ মেশিন ৮ মিনিট সেলাই করে = ৪৮/ ৬ শার্ট
১ মেশিন ১ মিনিট সেলাই করে = ৪৮/(৬ × ৮) শার্ট = ১ শার্ট

∴৩টি সাধারণ মেশিনে = ৩ শার্ট/মিনিট 

বাকি ৩ টি মেশিনে ২০% দ্রুত চালানো হলে, 
৩ মেশিন ১ মিনিটে সেলাই করতে পারে = ৩ × ১.২ শার্ট = ৩.৬ শার্ট

তাহলে ৬ টি মেশিন ১ মিনিটে সেলাই করতে পারে = ৩ + ৩.৬ = ৬.৬ টি শার্ট
৬৬ শার্ট সেলাই করতে সময় লাগবে = (৬৬/৬.৬) = ১০ মিনিট

∴৬৬টি শার্ট সেলাই করতে সময় লাগবে ১০ মিনিট 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণ, তৃতীয় সংখ্যাটির ৩/২ গুণের থেকে ৪ বেশি। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম জোড় সংখ্যা = ক
২য় জোড় সংখ্যা = ক + ২
৩য় জোড় সংখ্যা = ক + ৪

প্রশ্নমতে,
১ম সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩/২ × (৩য় সংখ্যা) + ৪
⇒ ২ক = ৩/২ × (ক + ৪) + ৪
⇒ ৪ক  = ৩(ক + ৪) + ৮  [উভয়পক্ষকে ২দ্বারা গুণ]
⇒ ৪ক = ৩ক + ১২ + ৮
⇒ ৪ক - ৩ক = ২০
∴ ক = ২০

সুতরাং,
১ম সংখ্যা = ২০
২য় সংখ্যা = ২০ + ২ = ২২
৩য় সংখ্যা = ২০ + ৪ = ২৪

অতএব, দ্বিতীয় সংখ্যাটি ২২।

শর্টকাট টেকনিকঃ A + B + AB/100
এখানে ২০+২০+ (২০×২০)/১০০ = ৪০+৪ = ৪৪%

ধরি, ১ম সংখ্যা x
১ম ৫ টি সংখ্যার যোগফল
= x + (x+১) + (x+২) + (x+৩) + (x+৪) = ৪৫০
বা, ৫x + ১০ = ৪৫০
বা, x = ৮৮  
২য় ৫ টি সংখ্যার যোগফল
= (x+৫) + (x+৬) +(x+৭) + (x+৮) + (x+৯)
= ৫x + ৩৫
= ৫ × ৮৮ + ৩৫
= ৪৭৫
∴ শেষ ৫ টি সংখ্যার যোগফল ৪৭৫।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪

আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু. 
বা, ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬ × ৪) 
= ১২০

সংখ্যাটি x,
∴ ৩x/৫ × ১/৪ = ৬০
∴ x = ৪০০

১২/১৫ = ০.৮
১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
১৭/২১ = ০.৮০৯৫
৫/৬ = ০.৮৩৩৩৩

সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশ হচ্ছে ৫/৬

১ টি কমলার ক্রয়মূল্য ১০/১২ টাকা বা ৫/৬ টাকা
এবং ১ টি কমলার বিক্রয় মূল্য ১০/৮ বা ৫/৪ টাকা
∴ ১ টি কমলায় লাভ হয় (৫/৪ - ৫/৬) টাকা বা ৫/১২ টাকা
৫/৬ টাকায় লাভ হয় ৫/১২ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃(৫×৬ / ১২×৫)×১০০ টাকা
                 = ৫০ টাকা

ধরি, বছর = ক
৭% সুদে ৬৫০ টাকায় 'ক' বছরের সুদ = ৭×ক×৬৫০/১০০ = ২৭৩ টাকা
বা, ৪৫.৫ক = ২৭৩
বা, ক = ৬
অর্থাৎ, ২৭৩ টাকা সুদ পাওয়া যাবে ৬ বছরে।

প্রশ্ন: ফুলের দোকান থেকে ১৮০ টি গোলাপ ফুল কিনে আনা হলো। ৩ দিন পর ১৮ টি ফুল নষ্ট হয়ে গেলো। শতকরা কতটি ফুল ভালো আছে?

সমাধান:
মোট ফুল কেনা হলো ১৮০ টি
এর মধ্যে নষ্ট হলো ১৮ টি
∴ ভালো ফুল রইলো = (১৮০ - ১৮) = ১৬২ টি

১৮০ টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা ১৬২ টি
১ টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা (১৬২/১৮০) টি
∴ ১০০ টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা (১৬২/১৮০) × ১০০ টি
= ৯০ টি

∴ শতকরা ৯০ টি ফুল ভালো আছে।

প্রশ্ন: 4 জন তাঁতী 4 দিনে 4টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে 8 জন তাঁতী 8 দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে?

সমাধান: 
 4 জন তাঁতি 4 দিনে মাদুর তৈরি করে = 4 টি
∴ 1 জন তাঁতি 1 দিনে মাদুর তৈরি করে = 4/(4 × 4) টি
∴ 8 জন তাঁতি 8 দিনে মাদুর তৈরি করে = (4 × 8 × 8)/(4 × 4) টি
= 16 টি 

∴ 16 টি মাদুর তৈরি করতে পারবে। 

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭। ঐ বিদ্যালয়ে ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন হলে, ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৭
এবং ছাত্রীসংখ্যা = ৩৫০ জন।

মনে করি, 
ছাত্রসংখ্যা = ৫ক
ছাত্রীসংখ্যা = ৭ক

প্রশ্নমতে,
৭ক = ৩৫০ 
বা, ক = ৩৫০/৭ 
বা, ক = ৫০ 

∴ ছাত্রসংখ্যা = (৫ × ৫০) = ২৫০ জন

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
অতএব, প্রথম ২০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২০² = ৪০০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা পৃথক পৃথকভাবে যথাক্রমে ১৫ মিনিটে ও ২০ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে রাখা হল। কিন্তু চৌবাচ্চার নিচে একটি ছিদ্র থাকায় খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হল। নল দুইটি বন্ধ থাকলে ঐ ছিদ্র দ্বারা পূর্ণ চৌবাচ্চাটি কত সময়ে খালি হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/২০ অংশ

১ম ও ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির {(১/১৫) + (১/২০)} অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ

ছিদ্র দ্বারা ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
ছিদ্র দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১২ অংশ

ধরি, ছিদ্রটি দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = ক অংশ 

∴ (৭/৬০) - ক = ১/১২
⇒ ক = (৭/৬০) - (১/১২)
⇒ ক = (৭ - ৫)/৬০
⇒ ক = ২/৬০
⇒ ক = ১/৩০

ছিদ্র দ্বারা ১/৩০ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে 
∴ ছিদ্র দ্বারা ১ (সম্পূর্ণ) অংশ খালি হয় = (১ × ৩০) মিনিটে 
= ৩০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
মনে করি, ১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে ক লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট খ লিটার পানি ধরে।
প্রশ্ন অনুসারে, ১ম নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴ খ = ১২ক ....................... (i)

আবার, দুইটি নল দ্বারা ৯৬ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
 খ = (৯৬ক - ৯৬) × ১৪ ....................... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই, ক = খ/১২

ক এর মান সমীকরণ (ii) বসিয়ে পাই,
⇒ খ = {৯৬ × (খ/১২)}  - (৯৬ × ১৪)
⇒ খ = ৮খ  - (৯৬ × ১৪)
⇒ ৭খ = ৯৬ × ১৪
⇒ খ = (৯৬ × ১৪)/৭
⇒ খ = ৯৬ × ২
∴ খ = ১৯২ 

৪৭ = ১ × ৪৭,
৬৭ = ১ × ৬৭,
৫৯ = ৫৯ × ১,
কিন্তু ৮৭ = ২৯ × ৩।
সুতরাং ৪৭, ৫৯ ও ৬৭ মৌলিক সংখ্যা এবং ৮৭ মৌলিক সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: একটি জলাধারের তিন পঞ্চমাংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং এতে আরো ৩০ লিটার পানি ঢাললে জলাধারটি ৮০% পানিপূর্ণ হয়। জলাধারটির পানি ধারণক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি, জলাধারের ধারণক্ষমতা = x লিটার
শুরুতে পানি ছিল = ৩/৫ অংশ = ৬০% (যেহেতু ৩/৫ × ১০০ = ৬০)
৩০ লিটার পানি যোগ করার পর হয় = ৮০%

শর্তমতে,
(৮০% - ৬০%) = ৩০ লিটার
⇒ ২০% = ৩০ লিটার
⇒ ১০০% = (৩০ × ১০০)/২০ লিটার
∴ ১০০% = ১৫০ লিটার

সুতরাং, জলাধারের ধারণক্ষমতা ১৫০ লিটার।

প্রশ্ন: সামির যে সময়ে ৭ বার পদক্ষেপ দেয়, মাহিম ততক্ষণে ৮ বার পদক্ষেপ দেয়। কিন্তু মাহিম ৫ পদক্ষেপে যতদূর যায়; সামির ৪ পদক্ষেপে ততদূর যায়। সামির ও মাহিমের গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মাহিমের ৫ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ১ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ৮ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের (৪ × ৮)/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
= ৩২/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব

∴ সামিরের বেগ : মাহিমের বেগ = ৭ : (৩২/৫)
= ৩৫ : ৩২

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৩৬% এর সাথে ৪৮ যোগ করলে যোগফল সেই সংখ্যার সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
 x × ৩৬% + ৪৮ = x
⇒ x - (৩৬x/১০০) = ৪৮
⇒ x - (৯x/২৫) = ৪৮
⇒ (২৫x - ৯x)/২৫ = ৪৮
⇒ ১৬x = ৪৮ × ২৫
⇒ x = (৪৮ × ২৫)/১৬
∴ x = ৭৫

১০% ক্ষতিতে ৯০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৭২০০ / ৯০ = ৮০০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮০০০×১১০ / ১০০ = ৮৮০০ টাকা

প্রশ্ন: ১৬ : ২৫ অনুপাতের উভয় পদ থেকে কত বিয়োগ করলে অনুপাতের মান ১/২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
উভয় পদ থেকে বিয়োগ করতে হবে = ক

অনুপাত অনুযায়ী,
(১৬ - ক)/(২৫ - ক)  = ১/২
⇒ ২(১৬ - ক) = ২৫ - ক
⇒ ৩২ - ২ক = ২৫ - ক
⇒ ৩২ - ২৫ = ২ক - ক
∴ ক = ৭

∴ উভয় পদ থেকে বিয়োগ করতে হবে = ৭

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩ এবং B : C = ৪ : ৫ হয়, তবে A : B : C এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A : B = ২ : ৩ = (২ × ৪) : (৩ × ৪) = ৮ : ১২
∴ A : B = ৮ : ১২

এবং, 
B : C = ৪ : ৫ = (৪ × ৩) : (৫ × ৩) = ১২ : ১৫ 
∴ B : C = ১২ : ১৫

∴ A : B : C = ৮ : ১২ : ১৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ১০০৮ সংখ্যাটির মোট ভাজকের সংখ্যা নির্দেশ করে?

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।

এখানে,
√2 = 1·414.....
3/2 = 1·5(যা মূলদ)
√3 = 1·732.....
∴ 3/2, √3 এবং √2 এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা

১৬। ৬৪, ৮০, ৯৬
       -------------
   ২ । ৪, ৫, ৬
       ----------
         ২, ৫, ৩

∴ ল.সা.গু. = ১৬ × ২ × ২ × ৫ × ৩ = ৯৬০
৯৬০ সে.মি. কাপড় = ৯.৬০ মি.

প্রশ্ন: তিন অংকের ক্ষদ্রতম সংখ্যা কত?

সমাধান:
তিন অংকের সংখ্যা মানে এমন সংখ্যা যার তিনটি অঙ্ক আছে এবং প্রথম অঙ্ক শূন্য নয়।

সর্বনিম্ন এমন সংখ্যা হবে:
১০০

কারণ,
০০১ একটি এক অংকের সংখ্যা (১), তিন অংকের নয়।
১০০ এর কম হলে সংখ্যাটি দুই অংকের হয়ে যায়।

∴ তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ৮০০ টাকা ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ৮০০ টাকা  
সুদের হার, r = ১০% = ১০/১০০  
সময়, n = ২ বছর  

আমরা জানি,  
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,  
SI = P × r × n  
= ৮০০ × (১০/১০০) × ২  
= ১৬০ টাকা  

আবার,  
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,  
C = P (১ + r)ⁿ  
= ৮০০ (১ + ১০/১০০)^২ 
= ৮০০ (১.১)^২  
= ৮০০ × ১.২১  
= ৯৬৮ টাকা  

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P  
= ৯৬৮ - ৮০০  
= ১৬৮ টাকা 

∴ পার্থক্য = ১৬৮ - ১৬০ = ৮ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৮০০০ টাকা, যেখানে সুদ, আসলের ১/৪ অংশ। সুদের বার্ষিক হার কত?

সমাধান:
আসল = P
সময়,n = ৪ বছর
সুদ = আসলের ১/৪ অংশ = (১/৪) × P
মোট টাকা (সুদ + আসল) = ৮০০০ টাকা

অর্থাৎ,
P + (১/৪)P = ৮০০০
⇒ P(১ + ১/৪) = ৮০০০
⇒ P(৫/৪) = ৮০০০
⇒ P = (৮০০০ × ৪)/৫
∴ P = ৬৪০০ টাকা

∴ সুদ = (১/৪) × ৬৪০০ = ১৬০০ টাকা

আমরা জানি, 
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ১৬০০ = (৬৪০০ × r × ৪)/১০০
⇒ ১৬০০ = ২৫৬ × r
⇒ r = ১৬০০/২৫৬
∴ r = ৬.২৫ 

∴ বার্ষিক সুদের হার ৬.২৫%।

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

সংখ্যাদ্বয় ৫a, ৬a হলে গুণফল ৩০a² = ১৯২০
বা, a² = ৬৪
∴ a = ৮
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৬ × a
= ৩০ × ৮
= ২৪০

ধরি, স্থানটির দূরত্ব = x কিমি
৩০ মিনিট = ১/২ ঘন্টা।
প্রশ্নমতে,
x/৫ = x/৬ + ১/২
বা, ৬x = ৫x + ১৫ [৩০ দ্বারা গুণ করে পাই]
∴ x = ১৫ কিমি

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটি ও কম বেশী হবে না?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭ = ৭
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

সুতরাং, সর্বমোট ২১০টি গাছ হলে বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে লাগালে একটিও গাছ কম-বেশি হবে না।