পাটিগণিত

১৫% কমিশনে, ১০০ টাকার পণ্যের ক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা।
∴ ১৮০ টাকার পণ্যের ক্রয়মূল্য = ৮৫×১৬০/১০০ = ১৫৩ টাকা

১০ এর দ্বিগুণ ২০, এর বর্গ ৪০০। এর সাথে ১৫ যোগ করলে ৪১৫ হবে।

প্রশ্ন: 2500 টাকা 8 বছরের জন্য নির্দিষ্ট বার্ষিক সরল সুদের হারে বিনিয়োগ করলে মেয়াদের শেষে এটি 3725 টাকা হয়। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মূলধন (Principal) P = 2500 টাকা
সময় (Time) T = 8 বছর
মোট টাকা (Amount) A = 3725 টাকা
বার্ষিক সরল সুদের হার (Rate) R = ?

সাধারণ সরল সুদের হার বের করার সূত্র: I = (P × R × T) / 100
1225 = (2500 × R × 8) / 100
1225 = (20000 × R) / 100
1225 = 200R
R = 1225 ÷ 200
R = 6.125%

অতএব, বার্ষিক সরল সুদের হার ছিল 6.125% 

প্রশ্ন: একটি প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২৭০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা ট্রেনকে উক্ত প্লাটফর্মের অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়?

সমাধান:
এখানে,
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২৭০ মিটার
এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার।

যেহেতু ট্রেনকে প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে হলে তার নিজের দৈর্ঘ্যও অতিক্রম করতে হবে।

∴মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = (২৭০ + ২৫০) মিটার = ৫২০ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
অপশন চেক -

ক) √২ হল অমূলদ সংখ্যা কারণ এটি কোনো পূর্ণবর্গের বর্গমূল নয়।

খ) ^৩√(২৭) = ^৩√(৩)^৩ = ৩, এটি পূর্ণসংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

গ) ^৩√(৩৬) কোন পূর্ণঘন নয়, তাই এর ঘনমূল অমূলদ।   

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৪৮০ টাকায় বিক্রি করলে ২০% ক্ষতি হয়। ৭৮০ টাকায় বিক্রয় করা গেলে শতকরা কত লাভ হত?

সমাধান:
মনে করি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৮০)/৮০ টাকা
= ৬০০ টাকা

আবার, ৭৮০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হত = ৭৮০ - ৬০০ = ১৮০

ক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৮০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৮০/৬০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৭৮০ × ১০০)/৬০০ টাকা
= ৩০%

∴ চেয়ারটি ৭৮০ টাকায় বিক্রি করলে ৩০% লাভ হবে।

প্রশ্নমতে, ২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৭৫% = ৪৫০ টাকা
∴ ১২% লাভে ব্যাগের মূল্য হবে, ১১২% = (৪৫০ × ১১২) / ৭৫ = ৬৭২ টাকা

৭[১৪, ২১, ৩৫, ৪৯
২, ৩, ৫, ৭

∴ ল.সা.গু. = ৭ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ১৪৭০
∴ ১৪৭০টি গাছ লাগালে একটিও কম বেশি হবে না।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা ৩ বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর, লব অপেক্ষা ৩৩ বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = ক
তাহলে, হর = ক + ৩
∴ ভগ্নাংশটি = ক/(ক + ৩)

ভগ্নাংশটির বর্গ = {ক/(ক + ৩)}^২
= ক^২/(ক + ৩)^২
= ক^২/(ক^২ + ৬ক + ৯)

প্রশ্নমতে,
(ক^২ + ৬ক + ৯) - ক^২ = ৩৩
⇒ ৬ক + ৯ = ৩৩
⇒ ৬ক = ২৪
⇒ ক = ৪

সুতরাং, লব = ৪
হর = ৪ + ৩ = ৭

∴ ভগ্নাংশটি হলো ৪/৭

৮০ টাকায় লাভ হয় = ১০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = ১০/৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০×১০০)/৮০ টাকা
= ১২.৫ টাকা

১/২ মিনিটে উৎপাদন করে ১ টি পণ্য
১ মিনিটে উৎপাদন করে (২ × ১) টি পণ্য
∴ ২ ঘন্টা বা ১২০ মিনিটে উৎপাদন করে (২ × ১২০) = ২৪০ টি পণ্য।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার শতকরা ৩০ ভাগ ঐ সংখ্যার চার পঞ্চমাংশ অপেক্ষা ২০ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(৪ক/৫) - ক এর ৩০% = ২০
⇒ (৪ক/৫) - (৩০ক/১০০) = ২০ 
⇒ (৮০ক - ৩০ক)/১০০ = ২০
⇒ ৮০ক - ৩০ক = ২০০০
⇒ ৫০ক = ২০০০
∴ ক = ২০০০/৫০ 

∴ ক = ৪০

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল ৩৬ হলে, তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক জোড় সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে: ক, ক + ২ এবং ক + ৪

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ৩৬
⇒ ৩ক + ৬ = ৩৬
⇒ ৩ক = ৩৬ - ৬
⇒ ৩ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/৩
⇒ ক = ১০

তাহলে সংখ্যা তিনটি হলো: ১০, ১২ এবং ১৪
∴ তাদের গুণফল = ১০ × ১২ × ১৪
= ১৬৮০

∴ সংখ্যা তিনটির গুণফল হলো ১৬৮০

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70। এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
∴ মোট নম্বর = 100 × 70 = 7000

আবার, 
60 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = 60 × 75 = 4500 

অতএব, 40 জন ছাত্রের মোট নম্বর = 7000 - 4500 = 2500 
∴ ছাত্রদের নম্বরের গড় = 2500/40 = 62.5

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠ 0। উদাহরণ: √(25) = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা:
 এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......, √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828.........
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) √3 = 1.732050................
এটি একটি অমূলদ সংখ্যা
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√7
√7 অমূলদ, ফলে 1/√7 ও অমূলদ।
∴অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √5/√180 = √5/√(36 × 5)
= √5/(6√5)
= 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1 , q = 6
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৪০ × ক = ২৪০ × ৮
⇒ ক = (২৪০ × ৮)/৪০
⇒ ক = ১৯২০/৪০
⇒ ক = ৪৮

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৮

প্রশ্ন: মা ও মেয়ের বয়সের যোগফল ৪৮ বছর। ৩ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ২। মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, ৩ বছর আগে মায়ের বয়স = ৫ক বছর
৩ বছর আগে মেয়ের বয়স = ২ক বছর

বর্তমানে মায়ের বয়স = (৫ক + ৩) বছর
এবং মেয়ের বয়স = (২ক + ৩) বছর

প্রশ্নমতে, বর্তমানে দুজনের বয়সের যোগফল ৪৮ বছর
∴ (৫ক + ৩) + (২ক + ৩) = ৪৮
⇒ ৫ক + ২ক + ৩ + ৩ = ৪৮
⇒ ৭ক + ৬ = ৪৮
⇒ ৭ক = ৪২
⇒ ক = ৬

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = ২ক + ৩ = (২ × ৬) + ৩
= ১৫ বছর

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
বৃহত্তম  সংখ্যাটি = ক + ১ 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ২৩৯
⇒ ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ২৩৯
⇒  ২ক = ২৩৯ - ১
⇒  ২ক = ২৩৮
⇒ ক = ২৩৮/২ 
∴ ক = ১১৯

∴  বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১ = ১১৯ + ১ = ১২০

সমাধান: 
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর
পিতা ও মাতার মোট বয়স (৪৫ ✕ ২) = ৯০ বছর

পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের মোট বয়স (৩৬ ✕ ৩) = ১০৮ বছর

পুত্রের বয়স = ১০৮ - ৯০ বছর 
= ১৮ বছর

এখানে,
P = ৫০০০
r = ১০
n = ৩
সরল মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, I = (৫০০০×৩×১০)/১০০ = ১৫০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন,
C = P (১+(r/১০০))n
= ৫০০০(১+(১০/১০০))৩
= ৫০০০(১+(১/১০০))৩
= ৫০০০(১+০.১)৩
= ৫০০০×(১.১)৩
= ৫০০০×১.৩৩১
= ৬৬৫৫ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (৬৬৫৫-৫০০০) = ১৬৫৫ টাকা।
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল-মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫-১৫০০) = ১৫৫ টাকা।

প্রশ্ন: ৪৫টি চকলেট ৪০ টাকায় বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে হলে ২৪ টাকায় কয়টি চকলেট বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪০)/৮০ টাকা
= ৫০ টাকা

২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ৫০)/১০০ টাকা
= ৬০ টাকা

৬০ টাকায় বিক্রয় হয় ৪৫টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় হয় ৪৫/৬০ টি
∴ ২৪ টাকায় বিক্রয় হয় (৪৫ × ২৪)/৬০ টি
= ১৮টি 

ধরি, লব = x এবং হর = y
∴ x + y = 16
x - y = 2
উপরের সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x = 9 এবং y = 7
∴ ভগ্নাংশটি = 9/7

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ৫ কি.মি.। নৌকাটি ৪৫ কি.মি. পথ গিয়ে আবার ফিরে আসতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি.

৪৫ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ ঘণ্টা
= ৩ ঘণ্টা 
 
এবং ৪৫ কি.মি. ফিরে আসতে সময় লাগে = ৪৫/৫ ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৯) ঘণ্টা
= ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: 4800 টাকার 25 শতাংশের 15 শতাংশের 10 শতাংশ কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্রে,
4800 টাকার 25%
= 4800 × (25/100)
= 1200 টাকা

২য় ক্ষেত্রে, 
1200 টাকার 15%
= 1200 × (15/100)
= 180 টাকা

২য় ক্ষেত্রে, 
180 টাকার 10%
= 180  × (10/100)
= 18 টাকা

অতএব, 4800 টাকার 25% -এর 15% -এর 10% হলো  18 টাকা।

প্রশ্ন: a এবং b দু’টি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?

সমাধান:
ধরি,
a এবং b ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা,
তাহলে, b = a + 2

a²: যেহেতু a জোড়, তাই a² জোড় হবে।

b²: যেহেতু b জোড়, তাই b² জোড় হবে।

a² + 1: যেহেতু a² জোড়, a² + 1 বিজোড় হবে।

b² + 2: যেহেতু b² জোড়, b² + 2 জোড় হবে।

∴ বিজোড় সংখ্যা = a² + 1

ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র থাকে = x জন
একজন ছাত্রের মাসিক খরচ = ১০x টাকা
প্রশ্নমতে,
x × ১০x = ৬,২৫০
১০ x^২ = ৬,২৫০
x^২ = (২৫)^২
∴ x = ২৫