পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৪০ ও ৯০ এর মধ্যে অবস্থিত ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটির অন্তর কত?

সমাধান:
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১
আবার,
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৮৯

∴ সংখ্যা দুটির অন্তর = (৮৯ - ৪১)
= ৪৮

পদ্ধতি-১ঃ
১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।
∴ লাভ হয় = ১/৫ - ১/৬ = ১/৩০
এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ৬/৩০ টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬×১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

পদ্ধতি-০২ঃ
৬ টি লেবুর ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা হলে-
৫ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১০০/৫ টাকা।
৬ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = (১০০×৬)/৫
= ১২০ টাকা।
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১২০ - ১০০ টাকা = ২০ টাকা।
শর্টকাট মেথডঃ
লাভের হার = (১০০/৫) (৬-৫)% = ২০% ।

প্রশ্ন: সামি একটি শ্রেণির সামনে থেকে সপ্তম এবং পেছন থেকে ২০ তম হলে ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
সামি শ্রেণির সামনে থেকে সপ্তম অর্থাৎ সামির সামনে আছে ৬ জন
সামি শ্রেণির পিছন থেকে কুড়িতম অর্থাৎ সামির পিছনে আছে ১৯ জন

∴ ঐ শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থী আছে (৬ + ১ + ১৯) জন 
= ২৬ জন

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ৪ যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে,
(x/৩) + ৪ = x/২
বা, (x/২) - (x/৩) = ৪
বা, (৩x - ২x)/৬ = ৪
বা, x/৬ = ৪ 
∴ x = ২৪

∴ সংখ্যাটি = ২৪ ।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩৭০ টাকায় বিক্রয় করায় ৩০ টাকা ক্ষতি হয়। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য = ৩৭০ + ৩০ = ৪০০ টাকা

৪০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৩০ টাকা
১ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৩০/৪০০ টাকা
১০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (৩০ × ১০০)/৪০০ টাকা
= ৭.৫ টাকা

∴ নির্ণেয় ক্ষতি ৭.৫%

প্রশ্ন: একটি বই ৬৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য   ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৮০) × ৬৪০ টাকা
= ৮০০ টাকা

আবার,
২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য    ১২৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২৫/১০০) × ৮০০ টাকা
= ১০০০ টাকা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি ব্যাংকে ২ বছর মেয়াদে বার্ষিক ৬% চক্রবৃদ্ধি হারে ৫,০০০ টাকা মূলধন রাখলেন। তিনি ২ বছর শেষে মোট কত টাকা পাবেন? 

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৫,০০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৬% = ৬/১০০
সময়, n = ২ বছর 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫০০০ × {১ + (৬/১০০)}^২
= ৫০০০ × {(১ + ০.০৬)}^২
= ৫০০০ × (১.০৬)^২
= ৫০০০ × ১.০৬ × ১.০৬
= ৫,৬১৮ টাকা। 

৫/৬= ০.৮৩
৩/৪= ০.৭৫
৮/১১= ০.৭২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৮০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/৮০
∴ গ.সা.গু = ৪৫

প্রশ্ন: কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৭২০ = ৮ × ৯ × ১০ (৩টি)
৭২০ = ২ × ৩ × ৪ × ৫ × ৬ (৫টি)
৭ × ৮ × ৯ × ১০= ৫০৪০ , যা ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য। 
৮ × ৯ × ১০ × ১১ = ৭৯২০, যা ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য। 

এটা সঠিক উত্তর মূলত ৩টি।
অপশনে যেহেতু ৩ নেই তাই সঠিক উত্তর হিসেবে ৪ গ্রহণযোগ্য।

∴ কমপক্ষে ৪ টি পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

ধরি,
সংখ্যাটি x.
∴ (3 - x)/(5 - x) = 4/5
বা, 15 - 5x = 20 - 4x
বা, -x = 5
∴ x = -5

প্রশ্ন: ১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান: 
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ১৩১
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ১০৭
∴ সংখ্যা দুইটির গড় = (১৩১ + ১০৭)/২ = ১১৯

প্রশ্ন: ২৫৩১৩ কে কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ১২৭ ও ভাগশেষ ৪০ থাকে?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ভাজ্য =২৫৩১৩
ভাগশেষ = ৪০
ভাগফল = ১২৭

আমরা জানি,

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় m, n
m এর ৬৫% = ৬৫m/১০০
n এর ১/২ = n/২
∴ ৬৫m/১০০ = n/২
১৩০m = ১০০n
বা, m/n = ১০০/১৩০ =১০/১৩
∴ m : n = ১০ : ১৩

বানরটি ১ মিনিটে ৫ ফুট উপরে উঠে কিন্তু পরের মিনিটে ৩ ফুট নেমে যায়।
∴ ২ মিনিটে ওঠে = ( ৫ - ৩ ) = ২ ফুট
বাঁশের দৈর্ঘ্য = ২০ গজ = ৬০ ফুট
তাহলে বানরটি ৫৪ মিনিটে ৫৪ ফুট উঠবে এবং ৫৫ মিনিটে বানরটি ৫৯ ফুট উঠবে
৫৬ মিনিটে সে ৩ ফুট নিচে গিয়ে (৫৯ - ৩) = ৫৬ ফুটে চলে যাবে।
∴ ৫৭ মিনিটে ৫ ফুট উপরে উঠে বাশের শেষ প্রান্তে চলে যাবে।

প্রশ্ন: (৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৪ × ২) = ? 

সমাধান: 
(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৪ × ২)
= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৮) 
= ৪ × ২ + ১  
= ৮ + ১
= ৯  

১০ সে., ১৫ সে., ২০ সে. এবং ২৫ সে. এর ল.সা.গু. = ৩০০ সেকেন্ড = ৫ মিনিট
সুতরাং, ৫ মিনিট পরে একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ক) ১৭/২১ = ০.৮১ 
খ) ১১/১৪ = ০.৭৮ 
গ) ৫/৬ = ০.৮৩ 
ঘ) ১২/১৫ = ০.৮০ 

∴ অপশন (খ) ১১/১৪ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম।

দশটি সংখ্যার যোগফল = 10x এবং এদের প্রথম পাঁচটির যোগফল = 5y
তাহলে বাকী পাঁচটির যোগফল = 10x - 5y
সুতরাং বাকী পাঁচটির গড় = (10x - 5y)/5 = 2x - y
প্রশ্নমতে,
z = 2x - y
বা, 2x = y + z.

শর্টকাট টেকনিকঃ
= ১০০ × (১২০/১০০) × (১২০/১০০)
= ১৪৪ টাকা

প্রতিটি কলমের ক্রয়মূল্য = ২০/৫ = ৪ টাকা।
৬ টাকা করে বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য = ৬×৫ = ৩০ টাকা
সুতরাং লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ৩০ - ২০ = ১০ টাকা।
২০ টাকায় লাভ হয় ১০ টাকা
সুতরাং,লাভ হয় = (১০/২০)×১০০ = ৫০%

প্রশ্ন: একটি কাজ ৩০ জনের দ্বারা ২৪ দিনে সম্পন্ন হয়। কাজের ১৮ দিন পর যদি ১২ জন শ্রমিক বাদ পড়ে, তাহলে বাকি ১৮ জনের জন্য অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে সময় কত লাগবে?

সমাধান: 
১৮ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২৪ - ১৮) দিন 
= ৬ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (৩০ - ১২) জন 
= ১৮ জন 

৩০ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ৬ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ৬ × ৩০ দিনে 
∴ ১৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (৬ × ৩০)/১৮ = ১০ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ১০ দিনে।

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল Z হলে, নিচের কোনটি একটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না?

সমাধান:
প্রথমে Z এর মান বের করি:
Z = ১৫ × ২৮ × ৩
= (৩ × ৫) × (৪ × ৭) × (৩ × ১১)
= ৩^২ × ৪ × ৫ × ৭ × ১১

এখন, 
ক) Z/২১, এখানে Z এর মধ্যে ২১ রয়েছে, তাই পূর্ণ সংখ্যা হবে।
খ) Z/৫৫, এখানে Z এর মধ্যে ৫৫ রয়েছে, তাই পূর্ণ সংখ্যা হবে।
গ) Z/২৪, এই ভাগফলটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না কারণ Z এর মধ্যে ২৪ সংখ্যা নেই।

অতএব, Z/২৪ একটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না, এবং তাই এই উত্তরটি সঠিক।

প্রশ্ন: যদি একজন ব্যক্তি ৮ কি.মি./ঘণ্টা বেগে না হেঁটে ১২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হাঁটতেন, তাহলে তিনি ১৮ কি.মি. বেশি হাঁটতেন। তিনি প্রকৃতপক্ষে কত কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছেন?

সমাধান: 
ধরি, তিনি প্রকৃতপক্ষে x কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছেন।

প্রশ্নমতে, x/৮ = (x + ১৮)/১২
⇒ ১২x = ৮x + (৮ × ১৮)
⇒ ৪x = ৮ × ১৮
⇒ x = (৮ × ১৮)/৪
∴ x = ৩৬  

আমরা জানি,
সুদাসল C, মুলধন P, সুদের হার r, এবং সময় n হলে
C = P (১ + nr/১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১ + n × ৬ ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১০০ + ৬n ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮০০ ∕ ৪৫০ = ১০০ + ৬n
⇒ ৬n = ১২৪ - ১০০
⇒ n = ২৪ ∕ ৬
∴ n = ৪ বছর

ধরি, টাকায় x টি আপেল বিক্রয় করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
(5 - x)/x = 25%
বা, (5 - x)/x = 25/100
বা, (5 - x)/x = 1/4
বা, - 4x + 20 = x
বা, 5x = 20
বা, x = 20/5 = 4

প্রশ্ন: প্রথম 6টি 7-এর অযুগ্ম গুণিতক গড় কত?

সমাধান: 
৭ এর প্রথম ৬ টি অযুগ্ম গুণিতক হলো:  ৭, ২১, ৩৫, ৪৯, ৬৩, ৭৭।

নির্ণেয় গড় = (৭ + ২১ + ৩৫ + ৪৯ + ৬৩ + ৭৭)/৬
= ২৫২/৬ = ৪২

প্রশ্ন: ৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত?

সমাধান:
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৫ ও ৭।
সুতরাং এদের গুণফল = ৫ × ৭ = ৩৫

প্রশ্ন: কোনো দূর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন সৈন্য নতুন এসেছিলো? 

সমাধান:
বাকি সময় = (২০ - ১০) দিন 
= ১০ দিন 

এখন,
১০ দিনের খাবার আছে = ৭২০ জন সৈন্যের
∴ ১ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০) জন সৈন্যের
∴ ৮ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০)/৮ জন সৈন্যের
= ৯০০ জন সৈন্যের

∴ সৈন্য নতুন এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন 
= ১৮০ জন।

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫০ পয়সা, ২৫ পয়সা এবং ১০ পয়সার মুদ্রা ২ : ৫ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। সবগুলো মুদ্রা মিলে একসাথে যদি ৫১০ টাকা হয়, তবে ২৫ পয়সার মুদ্রা এবং ১০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
৫০ পয়সার মুদ্রা = ২ক টি
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি

প্রশ্নমতে,
(২ক × ০.৫) + (৫ক × ০.২৫) + (৩ক × ০.১০) = ৫১০
⇒ ক + ১.২৫ক + .৩ক = ৫১০
⇒ ২.৫৫ক = ৫১০
⇒ ক = ৫১০/২.৫৫
∴ ক = ২০০

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০০ = ১০০০ টি
এবং ১০ পয়সার মুদ্রা = ৩ x ২০০ = ৬০০ টি

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা এবং ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যার সমষ্টি = (১০০০ + ৬০০) টি = ১৬০০ টি 

প্রশ্ন: আটার মূল্য ২০% কমে গেলে আটার ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পেল। এতে সুজন সাহেবের আটা বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়লো বা কমলো?

সমাধান: 
২০% কমে যাওয়ায় আটার বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
আটার ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে আটা ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

১০০ টাকার আটার স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার আটা
১ টাকার আটার স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার আটা।
৮০ টাকার আটার স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০× ৮০)/১০০
= ৯৬ টাকা।

আটা বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ৫% আয়কর দেন। তিনি ৬০০ টাকা আয়কর দিলে তার মোট আয় কত? 

সমাধান:
আয়কর ৫ টাকা হলে মোট আয় = ১০০ টাকা 
∴ আয়কর ১ টাকা হলে মোট আয় = ১০০/৫ টাকা 
∴ আয়কর ৬০০ টাকা হলে মোট আয় = (১০০ × ৬০০)/৫ টাকা 
= ১২০০০ টাকা 

হর গুলোর লসাগু = ৮০
সবগুলো হরকে ৮০ কে পরিবর্তন করলে নতুন ভগ্নাংশগুলো হবে,
৭/৮ = ৭০/৮০
১৩/১৬ = ৬৫/৮০
৩১/৪০ = ৬২/৮০
৬৩/৮০ = ৬৩/৮০
এর মধ্যে, ৭০/৮০ বৃহত্তম। অর্থাৎ, উত্তর ৭/৮

প্রশ্ন: 5, 20 এবং 80 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =
 
∴ 5, 20 এবং 80 এর জ্যামিতিক গড় = (20 × 5 × 80)^1/3
= (8000)^1/3
= (20³)^1/3
= 20

প্রশ্ন: ৫ : ৪, ৮ : ৭ এবং ৯ : ৫ এই অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৫ : ৪, ৮ : ৭ এবং ৯ : ৫

অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = (৫ × ৮ × ৯) = ৩৬০
অনুপাত তিনটির উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = (৪ × ৭ × ৫) = ১৪০

∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৩৬০ : ১৪০
= ৩৬ : ১৪
= ১৮ : ৭

ধরি,
সংখ্যাটি , x = ১১q + ৩
⇒ ৪x = ৪(১১q + ৩)
⇒ ৪x = ৪৪q + 12
এখন, ৪৪q + 12 =  11(৪q + ১) +১
সুতরাং ১১ দ্বারা ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকবে।