পাটিগণিত

প্রশ্ন: যদি u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭ হয় এবং u = ৭২ হয়, তাহলে w-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭

এখন, ১ম অনুপাতকে ৯ দ্বারা এবং ২য় অনুপাতকে ৭ দ্বারা গুণ করে পাই,
u : v = ৯ × ৪ : ৯ x ৭ = ৩৬ : ৬৩ ...........(i)
v : w = ৯ × ৭ : ৭ × ৭ = ৬৩ : ৪৯ ...........(ii)

সুতরাং, u ∶ v ∶ w = ৩৬ : ৬৩ : ৪৯
⇒ u ∶ w = ৩৬ ∶ ৪৯ এবং u = ৭২,
∴ w = ৪৯ × (৭২/৩৬) = ৯৮

∴ w এর মান ৯৮

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় ভাগ করতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিনটি কাঠের টুকরো যথাক্রমে, ১৪৩ মি, ৭৮ মি এবং ১১৭ মি।

এখন, 
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
১৪৩ = ১৩ × ১১ 
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩  

∴  গ.সা.গু হল ১৩ 

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হল ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ৩ কম। যদি লব ও হর উভয়ের সাথে ২ যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান ১/২ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
লব x এবং হর  y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

১ম শর্ত, 
x = y - ৩
∴ y = x + ৩ ..........(১)

২য় শর্ত, 
(x + ২)/(y + ২) = ১/২ 
⇒ ২x + ৪ = y + ২
⇒ ২x + ৪ = x + ৩ + ২ 
⇒ x = ৫ - ৪ 
∴ x = ১ 

(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই, 
y = ১ + ৩
∴ y = ৪ 

∴ ভগ্নাংশটি = x/y = ১/৪ 

ঐ ব্যক্তির সঞ্চয় = ১ - ৩/৪
= ১/৪
∴ সঞ্চয়ের শতকরা হার = ১/৪ × ১০০
= ২৫%

প্রশ্ন: আরিফের ১৯৯৮ সালের ১৯ আগষ্ট তারিখ জন্ম ২০২৪ সালের ৩১ ডিসেম্বর তার বয়স কত হবে?

সমাধান: 
বছর             মাস            দিন 
২০২৪          ১২              ৩১
১৯৯৮         ০৮              ১৯
_________________________
  ২৬ বছর    ৪ মাস       ১২ দিন 
                                  + ১ দিন     ;  [বয়স নির্ণয় করার ক্ষেত্রে সবশেষে ১ যোগ করা করতে হয়।]
_________________________
  ২৬ বছর    ৪ মাস       ১৩ দিন

অতএব, ৩১ ডিসেম্বর ২০২৪ তারিখে আরিফের বয়স ২৬ বছর ৪ মাস ১৩ দিন। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে ৫০ কম হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক। 
সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ = ঐ সংখ্যা থেকে ৫০ কম

অর্থাৎ (২/৩) ক = ক - ৫০
⇒ ৫০ = ক - (২/৩)ক  
⇒ ৫০ = (৩ক - ২ক)/৩
⇒ ৫০ = ক/৩
⇒ ক = ৫০ × ৩ 
ক = ১৫০

২৫% বৃদ্ধিতে দাম = ১০০ + ২৫ = ১২৫টাকা।

১২৫ টাকায় চিনি খাওয়া কমে = ১২৫ - ১০০ = ২৫ টাকা
১ টাকায় চিনি খাওয়া কমে = ২৫/১২৫ টাকা 
১০০ টাকায় চিনি খাওয়া কমে = (২৫ × ১০০)/১২৫ টাকা 
                                            = ২০ টাকা 

অর্থাৎ, শতকরা ২০% কমিয়েছিল

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

মোট ছাত্র = ৭০ জন, ফেল করে = ২৮ জন, পাশ করে = (৭০-২৮) বা ৪২ জন
∴ পাশ করে = (৪২ × ১০০)/৭০
= ৬০%

প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ৬ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৩ জন লোক কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
১০ জন লোক অর্ধেক কাজ করতে পারে = ৬ দিনে
∴ ১০ জন লোক সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ৬ × ২ = ১২ দিনে

এখন,
১০ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ১০) দিনে
∴ ৩ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ১০)/৩ = ৪০ দিনে

একটি স্টেশন থেকে যাত্রা শুরু করে অপর স্টেশন পর্যন্ত ট্রেনটি ঘন্টায় ৫টি ট্রেনের দেখা পাবে এবং পথে ৫টি ট্রেন আগে থেকে ছিল।
সুতরাং মোট ট্রেন = ৫+৫ = ১০টি

প্রশ্ন: ১৫ এর কত শতাংশ ১ এর ১৫ শতাংশের সমান? 

সমাধান: 
মনে করি,
১৫ এর ক% = ১ এর ১৫%
বা, ১৫ × ক/১০০ = ১ × ১৫/১০০
বা, ১৫ × ক × ১০০ = ১০০ × ১৫
বা, ক = (১০০ × ১৫)/(১৫ × ১০০)
বা, ক = ১৫০০/১৫০০
∴ ক = ১

২/৩ মিনিটে উৎপাদন করে = ১ টি
১      ''         ''          ''     = ৩/২ টি
∴ ১২০ মিনিটে করে = ৩/২× ১২০ = ১৮০ টি

প্রশ্ন: কোনো পুস্তকের ৯৬ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৫/১৩ অংশ পড়তে বাকি থাকলে পুস্তকটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
পুস্তকটির পঠিত অংশ = {১ - (৫/১৩)} অংশ 
= (১৩ - ৫)/১৩ অংশ 
= ৮/১৩ অংশ 

পুস্তকটির ৮/১৩ অংশ = ৯৬ পৃষ্ঠা 
∴ পুস্তকটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৯৬ × ১৩)/৮ পৃষ্ঠা 
= ১৫৬ পৃষ্ঠা 

∴ পুস্তকটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা = ১৫৬ । 

প্রশ্ন: একটি গ্রামে বর্তমান জনসংখ্যা ২০,০০০ জন। গ্রামটির জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৪০ জন হলে, ২ বছর পর গ্রামের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমান জনসংখ্যা, P = ২০,০০০ জন
বৃদ্ধির হার = ৪০/১০০০ = ৪/১০০ = ৪%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
n বছর পর জনসংখ্যা = P(১ + r)ⁿ
= ২০,০০০(১ + ৪/১০০)^২
= ২০,০০০ × (১০৪/১০০)^২
= ২০,০০০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫)
= ২০,০০০ × ৬৭৬/৬২৫
= ২১,৬৩২ জন

∴ ২ বছর পর গ্রামের জনসংখ্যা = ২১,৬৩২ জন

প্রশ্ন: প্রতি বছর কোনো শহরের লোকসংখ্যার ৭% জন্মগ্রহণ করে এবং ৩% মারা যায়। এক বছরে শহরে ৪০০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে ঐ শহরের মোট লোকসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = (৭ - ৩)%
= ৪%

৪ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = ১০০/৪ জন
∴ ৪০০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = (১০০ × ৪০০)/৪ জন
= ১০০০০ জন।

মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি (ক-১) এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক^২ - (ক-১)^২ = ৪৭
বা, ক^২ - (ক^২ - ২ক + ১) = ৪৭
বা, ক^২ - ক^২ + ২ক - ১ = ৪৭
বা, ২ক = ৪৮
বা, ক = ২৪
সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = ২৪ -‌ ১ = ২৩

প্রশ্ন: একটি টেবিল ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি টেবিলটি আরও ৯০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১৫% লাভ হতো। টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, টেবিলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৫) টাকা = ১১৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৫ - ৯০) টাকা = ২৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৯০০)/২৫ টাকা
= ৩,৬০০ টাকা

∴ টেবিলটির ক্রয়মূল্য = ৩,৬০০ টাকা

ধরি,
m = 2,
n = 3 হলে,
2nm = 2.3.2
= 12 যা জোড়সংখ্যা
আবার,
m = 3,
n = 2 হলে,
2nm = 12 যা জোড়সংখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

সমাধান:
প্রতিটি সংখ্যাকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:

ক) ২/৫ = ০.৪
খ) ০.৩ = ০.৩
গ) √০.৩  = ০.৫৪৭৭ (প্রায়)
ঘ) ১/৩ = ০.৩৩৩৩ (প্রায়)

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো (খ) ০.৩

প্রশ্ন: তিন ব্যক্তির বর্তমান বয়সের অনুপাত ৪ : ৭ : ৯। আট বছর আগে ওদের বয়সের যোগফল ছিল ৫৬ বছর। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
তিন ব্যক্তির বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৪ : ৭ : ৯
আট বছর আগে তাদের বয়সের যোগফল = ৫৬ বছর

ধরি, 
বর্তমানে তাদের বয়স যথাক্রমে ৪ক, ৭ক, ৯ক বছর
আট বছর আগে তাদের বয়স ছিল
(৪ক - ৮), (৭ক - ৮), (৯ক - ৮)

প্রশ্নানুসারে, 
(৪ক - ৮) + (৭ক - ৮) + (৯ক - ৮) = ৫৬
⇒ ৪ক + ৭ক + ৯ক - ৮ - ৮ - ৮ = ৫৬
⇒ ২০ক - ২৪ = ৫৬
⇒ ২০ক = ৫৬ + ২৪
⇒ ২০ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২০ 
∴ ক = ৪ বছর

সুতরাং বর্তমান বয়সগুলো,
১ম ব্যক্তি = ৪ক = ৪ × ৪ = ১৬ বছর
২য় ব্যক্তি = ৭ক = ৭ × ৪ = ২৮ বছর
৩য় ব্যক্তি = ৯ক = ৯ × ৪ = ৩৬ বছর

∴ তাদের বর্তমান বয়স যথাক্রমে ১৬, ২৮ ও ৩৬ বছর

রং দ্বারা বাঁশটির আবৃত অংশ = (২/৫ + ১/৪ + ১/৩) অংশ
= (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ অংশ
= ৫৯/৬০ অংশ।
প্রশ্নমতে,
(১ - ৫৯/৬০) অংশ = ৬ মিটার
বা, ১/৬০ অংশ = ৬ মিটার
বা, ১ মিটার = ৬×৬০ = ৩৬০ মিটার।

প্রশ্ন: যদি একটি পণ্যের উৎপাদন খরচ ১০০ টাকা হয় এবং নির্মাতা ও খুচরা বিক্রেতা উভয়ই ২০% লাভে বিক্রি করেন, তাহলে পণ্যের খুচরা বিক্রয় মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্যের উৎপাদন খরচ = ১০০ টাকা
নির্মাতা ২০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য= ১০০ + ১০০ এর ২০% = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা 

এখন, নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
আবার,
খুচরা বিক্রেতা ২০%  লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ১২০ + ১২০ এর ২০% = ১২০ + {(১২০ × ২০) / ১০০} = ১২০ + ২৪ = ১৪৪ টাকা 

সুতরাং খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা মূল্য = ১৪৪ টাকা 

প্রশ্ন: n যদি জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হতে পারবে না?

সমাধান:
ধরি,
n = 2 (জোড় সংখ্যা)
∴ n +  3 = 2 + 3 = 5; যা বিজোড় সংখ্যা

2(n + 3) = 2 × (2 + 3) = 10; যা জোড় সংখ্যা

3(n + 1) = 3 × (2 + 1) = 9; যা বিজোড় সংখ্যা

n² - 1 = 2² - 1 = 3 যা বিজোড় সংখ্যা

৩০% বৃদ্ধিতে, পূর্ব বেতন ১০০ টাকায় বর্তমান বেতন ১০০ + ৩০ = ১৩০ টাকা
বর্তমান বেতন ১৩০ টাকা হলে বর্ধিত বেতন ৩০ টাকা
∴ বর্তমান বেতন ১১০৫০ টাকা হলে বর্ধিত বেতন = (৩০ × ১১০৫০)/১৩০
= ২৫৫০ টাকা

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৮৫ কি.মি.। একটি বাসের বেগ ৫৭ কি.মি./ঘণ্টা হলে, ঢাকা থেকে চট্টগ্রামে যেতে বাসটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
৫৭ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ১ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১/৫৭ ঘণ্টা
∴ ২৮৫ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ২৮৫/৫৭ ঘণ্টা 
= ৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: কামাল ১৫টি কমলা ৪৫ টাকায় ক্রয় করে প্রতি ডজন ৪৮ টাকায় বিক্রয় করলেন। কামালের শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:
১৫টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৪৫ টাকা
∴ ১টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৪৫ / ১৫ = ৩ টাকা

আবার,
১ ডজন বা ১২টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ১টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ৪৮ / ১২ = ৪ টাকা

লাভ = (৪ - ৩) টাকা = ১ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (১/৩) × ১০০%
= ৩৩.৩৩%