পাটিগণিত

a:b = 4:7 = (4×5):(7×5) = 20:35
and b:c = 5:6 = (5×7):(6×7) = 35:42
So a:b:c = 20:35:42

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
অপর অংশটি = x/4 

প্রশ্নমতে, 
x + (x/4) = 45 
⇒ (4x + x)/4 = 45 
⇒ 5x = (45 × 4) 
⇒ 5x = 180 
⇒ x = 180/5 
∴ x = 36 

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট।

প্রশ্ন: ৭৫ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত ২ : ১ । কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আম : কমলা = ২ : ১
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের সমষ্টি = ২ + ১ = ৩
আমের রসের পরিমাণ = ৭৫ × (২/৩) = ৫০ লিটার
কমলার রসের পরিমাণ = ৭৫ × (১/৩) = ২৫ লিটার

ধরি মূলধন = ১০০ টাকা
তাহলে ছয় বছরে মুনাফা-মূলধন = ২০০ টাকা
ছয় বছরে মুনাফা = ১০০ টাকা
১০০ টাকায় ৬ বছরে মুনাফা = ১০০ টাকা
১০০ টাকায় ৪ বছরের মুনাফা = (১০০ × ৪) / ৬ = ২০০/৩ টাকা
তাহলে মুনাফা-মূলধন = ১০০ + ২০০/৩ = ৫০০/৩ টাকা
∴ মুনাফা-মূলধন ৫০০/৩ টাকা হলে মূলধন = ১০০ টাকা
'''' ২০৫০ '''' '''' '''' '''' = (৩ × ১০০ × ২০৫০) / ৫০০ = ১২৩০ টাকা

১ম রাশি,
2x²y + 4xy²
= 2xy(x + 2y) 
২য় রাশি,
4x³y - 16xy³ 
= 4xy(x + 2y)(x - 2y)
৩য় রাশি,
5x²y²(x² + 4xy + 4y²)
= 5x²y²(x + 2y)²
∴ ল.সা.গু. = 20x²y²(x - 2y)(x + 2y)²

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৮ টি

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পণ্যের উপর ক্রমাগত প্রথমে ১০% ও দুই মাস পর ২০% মূল্যহ্রাস দেওয়া হলে, পণ্যটির উপর প্রকৃত মূল্যহ্রাসের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনে করি, পণ্যটির প্রাথমিক মূল্য ১০০ টাকা।

প্রথমে ১০% মূল্যহ্রাসের পর নতুন মূল্য = ১০০ - (১০০ এর ১০%) = ৯০ টাকা।

দুই মাস পর আবার ২০% মূল্যহ্রাস দেওয়া হলো (বর্তমান মূল্য ৯০ টাকার ওপর)।

∴ দ্বিতীয়বার মূল্যহ্রাস = ৯০ এর ২০% = (৯০ × ২০)/১০০ = ১৮ টাকা।

∴ পণ্যটির বর্তমান বিক্রয় মূল্য = ৯০ - ১৮ = ৭২ টাকা।

প্রকৃত বা মোট মূল্যহ্রাসের পরিমাণ = ১০০ - ৭২ = ২৮ টাকা।

∴ শতকরা মূল্যহ্রাস = (২৮/১০০) × ১০০%
= ২৮%

Let X be the number which is added to 80
80% of X = 0.8X
Now,
80 + 0.8X = X
0.2X = 80
X = 80/0.2 = 400

বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ২০% ক্ষতি পূরণ হয়ে ১০% লাভ হতো।
অর্থ্যাৎ, ২০%+১০% = ৬০
৩০% = ৬০
∴ ১০০% = (৬০×১০০)/৩০ = ২০০
∴ ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ছিলো = (২০০-২০০×২০%) = ১৬০

প্রশ্ন: একটি বালতির ১/৪ অংশ পানি ভর্তি আছে। যদি ৬ লিটার পানি সরানো হয় তবে ১/৮ অংশ ভর্তি থাকে। বালতিটি কত লিটার পানি ধারন করতে পারে?

সমাধান:
ধরি, বালতিটি 'ক' লিটার পানি ধারন করতে পারে

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) - ৬ = ক/৮
⇒ (ক/৪) - (ক/৮) = ৬
⇒ (২ক - ক)/৮ = ৬
⇒ ক = ৬ × ৮
∴ ক = ৪৮

∴ বালতিটি ৪৮ লিটার ধারণ করতে পারে।

প্রশ্ন: রিফাত ৬০০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৮ মাস পর নাহিয়ান কিছু টাকা নিয়ে ওই ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ৩ : ২ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। নাহিয়ানের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ২

ধরি, নাহিয়ানের বিনিয়োগ = ক টাকা

রিফাতের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং নাহিয়ানের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৬০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/২
⇒ ৭২০০০/(৪ক) = ৩/২
⇒ ১৮০০০/ক = ৩/২
⇒ ৩ক = ১৮০০০ × ২
⇒ ৩ক = ৩৬০০০
⇒ ক = ৩৬০০০/৩
⇒ ক = ১২০০০

∴ নাহিয়ানের বিনিয়োগ = ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে চলতে চলতে প্ল্যাটফর্মে দাঁড়িয়ে থাকা একজন ব্যক্তিকে যথাক্রমে ১৭ সেকেন্ড ও ৭ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটি একে অপরকে ১৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটির গতির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি, দুটি ট্রেনের বেগ যথাক্রমে x মি./সেকেন্ড  এবং y মি./সেকেন্ড

আমরা জানি, দূরত্ব = বেগ × সময়
∴ প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৭x মিটার 
এবং দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭y মিটার

এখন, মোট সময় = মোট দূরত্ব/মোট বেগ
⇒ (১৭x + ৭y)/(x + y) = ১৩
⇒ ১৭x + ৭y = ১৩x + ১৩y 
⇒ ৪x = ৬y
⇒ x/y = ৩/২
∴ x ∶ y = ৩ ∶ ২

প্রশ্ন: একজন লোক ঘণ্টায় y কি.মি হাঁটতে পারেন। x কি.মি দূরত্ব অতিক্রম করতে ঐ লোকের কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট 

এখন, 
y কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০ মিনিট 
 ∴ ১ কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০/y মিনিট
 ∴ x কি.মি হাঁটতে পারেন = ৬০x/y মিনিট

সুতরাং, ব্যক্তির x কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৬০x/y​ মিনিট।

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৫ : ৩। যদি ছাত্রীর চেয়ে ছাত্র ১৬০ জন বেশি হয়, তবে ক্লাসে মোট ছাত্র-ছাত্রী কতজন?

সমাধান:
স্কুলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৫ : ৩
মনেকরি
ছাত্র সংখ্যা = ৫ক
ছাত্রীসংখ্যা = ৩ক 

প্রশ্নমতে
৫ক - ৩ক = ১৬০
⇒ ২ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/২ 
∴ ক = ৮০ 

∴ স্কুলে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = (৫ক + ৩ক) জন 
= ৮ক জন
= (৮ × ৮০) জন
= ৬৪০ জন

সুতরাং, স্কুলে মোট ছাত্র-ছাত্রী ৬৪০ জন।

আমরা জানি,
সুদাসল C, মুলধন P, সুদের হার r এবং সময় n হলে
C = P (১ + nr/১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১ + n ✕ ৬ ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১০০ + ৬n ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮০০ ∕ ৪৫০ = ১০০ + ৬n
⇒ ৬n = ১২৪ - ১০০
⇒ n = ২৪ ∕ ৬
∴ n = ৪ বছর

প্রশ্ন: একটি দেওয়াল ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হলে বিক্রেতার ৫% লাভ হতো। দেওয়াল ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা
৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৫ - ৯০ = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = (১০০/১৫) × ২১০
= ১৪০০ টাকা

প্রশ্ন: এক ডজন কলম ১২০ টাকায় ক্রয় করে হালি কত টাকায় বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ডজন = ৩ হালি

৩ হালি কলমের ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ হালি কলমের ক্রয়মূল্য = ১২০/৩ = ৪০ টাকা

২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৪০)/১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ হালি ৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে। 

রুবেল, রবিন, রায়হানের মূলধনের অনুপাত = ৩২০০০০ : ৪০০০০০ : ৪৮০০০০
= ৩২ : ৪০ : ৪৮
= ৪ : ৫ : ৬
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ৫ + ৬
= ১৫
রুবেলের লভ্যাংশ = ৩০০০০০ × ৪/১৫
= ৮০,০০০ টাকা
রায়হানের লভ্যাংশ = ৩০০০০০ × ৬/১৫
= ১,২০,০০০ টাকা
∴ রায়হান, রুবেল অপেক্ষা = ১,২০,০০০ - ৮০,০০০
= ৪০,০০০ টাকা বেশি পায়

প্রশ্ন: টাকায় ১২টি কলা ক্রয় করে টাকায় কয়টি বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে?

সমাধান:
১০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১০/১০০ টাকা = ১.১ টাকা

১.১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১২টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১২/১.১ = ১০.৯০৯ টি ≈ ১১টি 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১২০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ। পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (১২০ - x) বছর

প্রশ্নমতে,
x = ৩ (১২০ - x)
বা, x = ৩৬০ - ৩x
বা, x + ৩x = ৩৬০
বা, ৪x = ৩৬০
বা, x = ৩৬০/৪
∴ x = ৯০

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৯০ বছর।

প্রশ্ন: ৭৫ টাকায় ১৫টি ডিম কিনে ৯০ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ৯০ টাকা

লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৯০ - ৭৫ টাকা
= ১৫ টাকা

লাভের শতাংশ = লাভ/ক্রয়মূল্য × ১০০
=১৫/৭৫ × ১০০
= ২০%

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান:
৫/২৪ = ০.২০৮৩
৭/৩০ = ০.২৩৩৩
৬/১৩ = ০.৪৬১৫
২/৯ = ০.২২২২

এখানে, ০.২০৮৩ হলো সবচেয়ে ছোট দশমিক মান।
∴ সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ হলো ৫/২৪​

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার সমষ্টি প্রথম সংখ্যার চেয়ে ৩০ বেশি। মাঝের সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা হলো:
ক, ক + ২, ক + ৪   [যেখানে ক একটি জোড় সংখ্যা]

প্রশ্নানুসারে,
তিনটির যোগফল = প্রথম সংখ্যা + ৩০
⇒ ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ক + ৩০
⇒ ৩ক + ৬ = ক + ৩০
⇒ ৩ক - ক = ৩০ - ৬
⇒ ২ক = ২৪
⇒ ক = ২৪/২
∴ ক = ১২ 

∴ তিনটি সংখ্যা হলো ১২, ১৪, ১৬

অতএব, মাঝের সংখ্যা = ১৪

প্রশ্ন: ৩০০ জন শ্রমিক ২৫ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে পারে। একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করতে হলে কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন?
​
​সমাধান:
​বাঁধ তৈরি করতে,
২৫ দিনে শ্রমিক লাগে= ৩০০ জন 
∴ ১ দিনে শ্রমিক লাগে = (৩০০ × ২৫) জন
​∴ ১৫ দিনে শ্রমিক লাগে = (৩০০ × ২৫)/১৫ জন = ৫০০ জন

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন হবে = (৫০০ - ৩০০) জন = ২০০ জন

ধরি, বাজার দর = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য = ১০০ × ৮০%
= ৮০টাকা
∴ লাভ = ১০০ টাকা - ৮০ টাকা
= ২০ টাকা
∴ লাভের হার = (২০ × ১০০)/৮০
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: ৮০ লিটার অকটেন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩। পেট্রোল আরও কত লিটার মেশালে অনুপাত হবে ৪ : ৫?

সমাধান:
৮০ লিটার অকটেন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৩ = ৮
∴ অকটেন আছে = (৮০ × ৫/৮) = ৫০ লিটার
∴ পেট্রোল আছে = (৮০ - ৫০) = ৩০ লিটার

ধরি, পেট্রোল 'ক' লিটার যুক্ত করলে অনুপাত ৪ : ৫ হবে।

নতুন মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ হবে (৩০ + ক) লিটার।

প্রশ্নমতে,
৫০/(৩০ + ক) = ৪ / ৫
⇒ ৪(৩০ + ক) = ২৫০
⇒ ১২০ + ৪ক = ২৫০
⇒ ৪ক = ২৫০ - ১২০
⇒ ৪ক = ১৩০
∴ ক = ৩২.৫ লিটার

∴ ৩২.৫ লিটার পেট্রোল আরও মেশাতে হবে।

দেওয়া আছে, মাসিক বিল ৪২০ টাকা
১ বছর পর ১০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪২০ + ৪২০ এর ১০/১০০ = ৪৬২ টাকা
আরো ৬ মাস পর, ২০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪৬২ + ৪৬২ এর ২০/১০০ = ৫৫৪.৪ টাকা