সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 5। অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 5

∴ সংখ্যাটি = 11y + 5
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে = 11y + 50

প্রশ্নমতে,
2(11y + 5) + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 10 + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 28 = 11y + 50
বা, 11y = 22
বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11 × 2 + 5
= 22 + 5 = 27

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x² + x = 9(x + 1) 
বা, x² + x = 9x + 9 
বা, x² + x − 9x − 9 =0 
বা, x² − 8x − 9 = 0 
বা,  x² − 9x + x − 9 = 0 
বা, x(x − 9) + 1 (x − 9) = 0 
বা, (x − 9) (x + 1) = 0 
হয়,
x − 9 = 0
∴ x = 9 

অথবা,
x + 1 = 0 
বা, x = − 1
কিন্তু x ≠ − 1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না। 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

প্রশ্ন: x² - 7x + k = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3 অর্থাৎ, x = 3
এখন,
(3)² - 7×3 + k = 0
⇒ 9 - 21 + k = 0
⇒ -12 + k = 0
⇒ k = 12
∴ k = 12

(x/3) - (2/y) = 4 ............... (1)
বা, (xy - 6)/3y = 4
বা, xy - 6 = 12y
∴ xy = 12y + 6 .......... (2)
আবার, (x/6) - (4/y) = 1
বা, (xy - 24)/6y = 1
বা, xy - 24 = 6y
বা, 12y + 6 - 24 = 6y
বা, 6y - 18 = 0
বা, 6y = 18
∴ y = 3
(1) নং থেকে পাই,
x/3 - 2/3 = 4
বা, x - 2 = 12
∴ x = 14
∴ (x, y) = (14, 3)

প্রশ্ন: ৩[৫ - {২ + (৬ - ৯ + ১)৪}] -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৩[৫ - {২ + (৬ - ৯ + ১)৪}]
= ৩[৫ - {২ + (- ২)৪}]
= ৩[৫ - {২ + - ৮}] 
= ৩[৫ - {- ৬}]
= ৩[৫ + ৬]
= ৩ × ১১
= ৩৩

প্রশ্ন: 


সমাধান:

শর্তমতে, a - ১১ = ৪০
বা, a = ৪০ + ১১

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
∴ অপর অংশটি = x/4 

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 45 
⇒ (4x + x)/4 = 45 
⇒ 5x = (45 × 4) 
⇒ 5x = 180 
⇒ x = 180/5 
∴ x = 36 

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট।

ধরি সংখ্যা টি ''ক''
প্রশ্নমতে, ক এর ৩০% এর ১৫% =১৮
⇒ ক এর ৩০/১০০ এর ১৫/১০০ = ১৮
⇒ ক এর ৯/২০০ = ১৮
⇒ ক = (১৮ × ২০০)/৯ = ৪০০
∴ সংখ্যা টি ৪০০

১ম সমীকরণ, 3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে 7 দিয়ে গুণ করা হয়েছে]

সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: (3x + 4y) = 23 এবং (4x - 3y) = 14 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 4y = 23 ........ (1)
4x - 3y = 14 ........ (2)

{(1) নং × 3} + {(2) নং × 4} ⇒
(9x + 12y) + (16x - 12y) = 69 + 56
⇒ 25x = 125
⇒ x = 125/25
∴ x = 5

এবার, x এর এই মানটি (1) নং এ বসিয়ে পাই,
3(5) + 4y = 23
⇒ 15 + 4y = 23
⇒ 4y = 23 - 15
⇒ 4y = 8
∴ y = 2

সুতরাং, সরলরেখা দুটি (5, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম= 240/(x+1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x-240/(x+1) = 1
⇒ (240x+240-240x)/x(x+1) = 1
⇒ x²+x = 240
⇒ x²+16x-15x-240 = 0
⇒ x(x+16)-15(x+16) = 0
⇒ (x-15)(x+16) = 0
Either, x-15 = 0 or, x+16 = 0
∴ x=15 | ∴ x=-16(Which is not acceptable)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

প্রশ্ন: 2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2
= 2.8 + (4 × 2) - 6 × 0.5 + 2
= 2.8 + 8 - 3 + 2
= 12.8 - 3
= 9.8

x² + y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x - y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ 185 = (x + y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x + y)²= 361
⇒ x + y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x + y) + (x - y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x + y) - (x - y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, √x + ১০ = ৪^২
বা, √x = ১৬ - ১০ = ৬
বা, (√x)২ = ৬^২ = ৩৬
∴ x = ৩৬

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।

প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
∴ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ জন
= ১২ × ৪ = ৪৮ জন

ax - by = 0
বা, ax = by
∴ x = (b/a)y
আবার,
ay - bx = a² - b²
বা, ay - b.(b/a)y = a² - b²
বা, y(a - b²/a) = a² - b²
y × (a² - b²)/a = a² - b²
বা, y/a = 1
∴ y = a

প্রশ্ন: 3x² - 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 3x² - 5x + 4 = 0।
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3
b = - 5
c = 4

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (-5)² - 4 × 3 × 4
= 25 - 48
= - 23 < 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান ঋণাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

• ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে-
1) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
3) b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি দোকানের ৪২ টি পণ্য রয়েছে। প্রতিটি পণ্য বিক্রয় হলে ৫০০ টাকা কমিশন এবং প্রতিটি পণ্য বিক্রয় না হলে ২০০ টাকা বেতন কাটা যাবে এমন শর্তে যদি একজন সেলসম্যান একটি নির্দিষ্ট মাসে ১২৬০০ টাকা বেতন পান তবে তিনি কতটি পণ্য বিক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রিত পণ্যসংখ্যা = ক টি 

প্রশ্নমতে,
৫০০ক - ২০০(৪২ - ক) = ১২৬০০
⇒ ৫০০ক - ৮৪০০ + ২০০ক = ১২৬০০
⇒ ৭০০ক = ১২৬০০ + ৮৪০০
⇒ ৭০০ক = ২১০০০
⇒ ক = ২১০০০/৭০০
⇒ ক = ৩০

∴ সেলসম্যানের বিক্রিত পণ্য = ৩০ টি 

2y/x - x/y
= (2y² - x²) / xy

প্রশ্ন: ৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]
= ৩ - [৮ - {৫ + (- ৩)}]
= ৩ - [৮ - {২}]
= ৩ - [৬]
= - ৩