সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

প্রশ্নমতে,
x + y = 55
বা, y = 55 - x
এবং 5x = 6y
বা, 5x = 6 (55 - x) [y এর মান বসিয়ে]
বা, 5x = 330 - 6x
বা, 5x + 6x = 330 [পক্ষান্তর করে] 
বা, 11x = 330
∴ x = 30 [উভয়পক্ষকে 11 দ্বারা ভাগ করে]
 
∴ বড় সংখ্যাটি, x = 30
এবং ছোট সংখ্যাটি y = 55 - 30 = 25

প্রশ্ন: (x - 5)(a + x) = x² - 25 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 5)(a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
⇒ a + x - x = 5
∴ x = 5

প্রশ্ন: a - 4 = (a - 4)/a এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a - 4 = (a - 4)/a
বা, a² - 4a = a - 4
বা, a² - 5a + 4 = 0
বা, a² - 4a - a + 4 = 0
বা, a(a - 4) - 1(a - 4) = 0
বা, (a - 1) (a - 4) = 0

হয়, ‍a - 1 = 0 অথবা, a - 4 = 0
বা, a = 1 অথবা, ‍a = 4
∴ a = 1, 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট {1, 4}

দেওয়া আছে,
x² + pq = (p + q)x
বা, x² - (p + q)x + pq = 0
বা, x² - px - qx + pq = 0
বা, x(x - p) - q(x - p) = 0
বা, (x - p)(x - q) = 0
∴ x = p, q

প্রথম রাশিঃ
4(x² + ax)²,
= 2×2 x² (x + a)²
দ্বিতীয় রাশিঃ
6(x³ - a²x)
= 2×3 x(x + a)(x - a)
তৃতীয় রাশিঃ
14x³(x³ - a³)
= 2 × 7 × x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³) 

4/5 = 0.8
9/17 = 0.53
1/2 = 0.5
2/3 = 0.67
3/4 = 0.75
5/7 = 0.71
∴ 1/2, 4/5 এবং 9/17 এর মাঝে অবস্থান করে না

প্রশ্ন:  x² = x√2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = x√2
x² - x√2 = 0
x(x - √2) = 0

হয় 
x = 0

অথবা
x - √2 = 0
x = √2

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

বা, 5x/6 + 3 = x/3 + 3
বা, 5x/6 - x/3 = 0
বা, 3x/6 = 0
বা, x = 0

প্রশ্ন: 6(2x + 1) = 6(x - 2) হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
6(2x + 1) = 6(x - 2)
বা, 12x + 6 = 6x - 12
বা, 12x - 6x = - 12 - 6
বা, 6x = -18
বা, x = -18/6
∴ x = - 3

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ১৫ এবং তাদের গুণফল ৫৬। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অংকদ্বয়ের সমষ্টি = ১৫
অংকদ্বয়ের গুণফল = ৫৬

এখন অপশনগুলো একে একে যাচাই করি—

ক) ৭৮
অংকদ্বয় = ৭ এবং ৮
সমষ্টি = ৭ + ৮ = ১৫
গুণফল = ৭ × ৮ = ৫৬
⇒ শর্ত পূরণ করে

খ) ৯৬
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৬
সমষ্টি = ৯ + ৬ = ১৫
গুণফল = ৯ × ৬ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

গ) ৯৪
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৪
সমষ্টি = ৯ + ৪ = ১৩
⇒ শর্ত পূরণ করে না

ঘ) ৬৯
অংকদ্বয় = ৬ এবং ৯
সমষ্টি = ৬ + ৯ = ১৫
গুণফল = ৬ × ৯ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

অতএব,
শর্ত পূরণকারী একমাত্র সংখ্যা হলো ৭৮

সঠিক উত্তর:
ক) ৭৮

প্রশ্ন: সমীকরণটিতে p এর মান কত?

সমাধান:

5(1 − x) + 3(2 − x) = − 29
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -29
বা, - 8x = -29 - 11
বা, x = -40/-8 = 5

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (0, 0) এবং (x₂, y₂) = (3, 3)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂​ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1

আমরা জানি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ ​= m(x - x₁​)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0)     ; [(x_1​, y₁​) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x

অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
a - (- b) - (- c) - (- d) 
= a + b + c + d 
= 1 + 1 + 2 + 2 
= 6

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে,
শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ৫ক = ৪ + ১২
⇒ ক = ১৬

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৬ টি।

(১/৩ × ৬)/(৪/৬ × ১২/২) + ৩/৪
= ২/৪ + ৩/৪
= (২+৩) / ৪
= ১(১/৪)

প্রশ্ন: (√5 + 1)x + 4 = 4√5 হলে, x এর মান কত?
 
সমাধান: 
(√5 + 1)x + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)x = 4√5 - 4
⇒ x = 4(√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/(√5 + 1)(√5 - 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{(√5)² - 1²}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{5 - 1}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/4
⇒ x = (√5 - 1)(√5 - 1)
⇒ x = (√5 - 1)²
⇒ x = (√5)² - 2√ 5 + 1²
⇒ x = 5 - 2√5 + 1
∴ x = 6 - 2√5

প্রশ্ন: একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক

প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯ জন

প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৭ক + ৯ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৫) × ৯ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৪৫ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৭ক = ৯ + ৪৫
⇒ ২ক = ৫৪
⇒ ক = ২৭

অতএব, সেমিনার কক্ষে সারির সংখ্যা = ২৭টি
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯
= (২৭ - ৫) × ৯
= ২২ × ৯
= ১৯৮ জন

∴ ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৯৮ জন।

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 3 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 3) = 1
⇒ x = y - 3
⇒ x - y = - 3 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 2y - x + y = - 7 + 3
⇒ - y = - 4
⇒ y = 4

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 4 = - 3
⇒ x = -3 + 4
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/4

(3/x) + {4/(x+1)} = 2
বা, {3x+3+4x} / {x(x+1)} = 2
বা, 7x+3=2(x²+x)
বা, 2x²-7x+2x-3 = 0
বা, 2x²-5x-3 = 0
বা, 2x²-6x+x-3 = 0
বা, 2x(x-3)+1(x-3) = 0
বা, x-3 = 0 [(2x+1) = 0 is not acceptable]
So, x = 3

১ম সমীকরণ, 3x-7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মেলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
⇒ x = -1
এখন, y-2x-3 = 0 সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
y - 2(-1) - 3 = 0
⇒ y+2-3 = 0
∴ y = 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 2 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুইটি সংখ্যা হলো x এবং y ; [যেখানে, x > y]

দেওয়া শর্তমতে,
x + y = 14  ……… (1)
x - y = 2   ……… (2)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 14 + 2
⇒ 2x = 16
∴ x = 8
এখন x = 8 কে সমীকরণ (1)-এ বসাই, 
⇒ 8 + y = 14
⇒ y = 14 - 8
∴ y = 6

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি 8 এবং 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১১৫ থেকে যত বড়, ২০৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি ক।

প্রশ্নমতে,
ক - ১১৫ = ২০৫ - ক
বা, ক + ক = ২০৫ + ১১৫
বা, ২ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ / ২
∴ ক = ১৬০

অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৬০।