সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২৮ / ২৯ · ২,৭০১–২,৮০০ / ২,৮৯২

২,৭০১.

x²-2x-1 = 0 হলে, x+(1/x) = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 2√2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

x²-2x-1 = 0
=> x - 2 - 1/x = 0 [x দ্বারা ভাগ করে]
=> x - 1/x = 2
এখন,
(x + 1/x)² = ( x - 1/x)²+ 4*x*1/x
=> (x + 1/x)² = 2² + 4
=> (x + 1/x)² = 8
=> x + 1/x = 2√2

২,৭০২.

x + 3y = 40 এবং y = 3x হয় তাহলে y = ?

ক
4
খ
6
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 3y = 40 এবং y = 3x হয় তাহলে y = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 3y = 40
এবং y = 3x

∴ x + 3(3x) = 40
⇒ x + 9x
⇒ 10x = 40
∴ x = 4

∴ y = 3 × 4 = 12

২,৭০৩.

(x/3) - (x/4) = (x+1)/6 সমীকরণের সমাধান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

(x/3) - (x/4) = (x+1)/6
⇒ (4x - 3x)/12 = (x+1)/6
⇒ x/12 = (x+1)/6
⇒ 6x = 12x +12
⇒ 6x - 12x = 12
⇒ - 6x = 12
∴x = -2

২,৭০৪.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি পূর্বাপেক্ষা 36 বৃদ্ধি পায় । সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি পূর্বাপেক্ষা 36 বৃদ্ধি পায় । সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + y

প্রশ্নমতে,
(10x + y) - (10y + x) = 36
বা, 10x + y - 10y - x = 36
বা, 9x - 9y = 36
বা, 9(x - y) = 36
বা, x - y = 36/9
∴ x - y = 4

∴ সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য = 4 ।

২,৭০৫.

2x² + 5x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

ক
বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
খ
বাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব, অসমান ও মূলদ
ঘ
অবাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 2x² + 5x + 1 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5 এবং c = 1
∴ নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 1
⇒ D = 25 - 8
⇒ D = 17

যেহেতু, D > 0 এবং D = 17 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়,
তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

২,৭০৬.

y/x² = 1/3 এবং 2x - y = 0 হলে y = ?

ক
6
খ
12
গ
-6
ঘ
-12

ব্যাখ্যা

2x - y = 0
∴ y = 2x ...... (1)
আবার, y/x² = 1/3
বা, 2x/x² = 1/3
বা, 2/x = 1/3
∴ x = 6
(1) নং ⇒ y = 2.6 = 12

২,৭০৭.

যদি 2/x = 4, 2/y = 8 হয় তাহলে, x² - y² = ?

ক
1/2
খ
1/4
গ
3/8
ঘ
3/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2/x = 4, 2/y = 8 হয় তাহলে, x² - y² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2/x = 4
⇒ 4x = 2
⇒ x = 2/4
⇒ x² = (1/2)²
∴ x² = 1/4

এবং,
2/y = 8
⇒ 8y = 2
⇒ y = 2/8
⇒ y² = (1/4)²
∴ y² = 1/16

∴ x² - y² = 1/4 - 1/16
= (4 - 1)/16
= 3/16

২,৭০৮.

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) a - 1
ঘ
ঘ) a + 1

ব্যাখ্যা

a - [a - {a - (a - (a - 1))}]
= a - [a - {a - (a - a + 1)}]
= a - [a - {a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1

২,৭০৯.

ax²+ b এর মান x = 1 হলে 1 এবং x = 3 হলে 25 হয়। x = 2 হলে এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 10
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

১ম শর্তমতে,
a(1)² + b = 1
a + b = 1 ..................(1)
২য় শর্তমতে,
a(3)² + b = 25
9a + b = 25......................(2)

(2) - (1)⇒
9a + b - a - b = 25 - 1
8a = 24
a = 3

(1)নং হতে পাই,
a + b = 1
3 + b = 1
b = 1 - 3
b = - 2

x = 2 হলে
ax² + b = 3 × 2² + (- 2)
= 12 - 2
= 10

২,৭১০.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ১১২ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

ক
৩২
খ
৪৮
গ
৬৪
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ১১২ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ১১২
বা, (৫ক + ২ক)/৫ = ১১২
বা, ৭ক = ১১২ × ৫
বা, ক = (১১২ × ৫)/৭
বা, ক = ৮০

∴ একটি সংখ্যা = ৮০
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৮০)/৫ = ৩২

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ৮০ - ৩২ = ৪৮

২,৭১১.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশী। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশী। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক
৯
খ
১১
গ
৭
ঘ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশী। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশী। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, দশকের অঙ্ক = ক ও এককের অঙ্ক = খ
এককের অঙ্ক = দশকের অঙ্ক + ৩
খ = ক + ৩

সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের তিনগুণের তুলনায় ৪ বেশি
১০ক + খ = ৩(ক + খ) + ৪
⇒ ১০ক + খ = ৩ক + ৩খ + ৪
⇒ ১০ক - ৩ক + খ - ৩খ = ৪
⇒ ৭ক - ২খ = ৪
⇒ ৭ক - ২(ক + ৩) = ৪ [খ এর মান বসিয়ে]
⇒ ৭ক - ২ক - ৬ = ৪
⇒ ৫ক = ১০
⇒ ক = ২
খ = ২ + ৩ = ৫

∴ অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = ক + খ = ২ + ৫ = ৭

২,৭১২.

(m/5) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m-এর মান কত?

ক
ক) 30
খ
খ) 45
গ
গ) 90
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/5) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m-এর মান কত?

সমাধান:
(m/5) + 3 = (2m/15) + 6
⇒ (m + 15)/5 = (2m + 90)/15
⇒ m + 15 = (2m + 90)/3
⇒ 3m + 45 = 2m + 90
⇒ 3m - 2m = 90 - 45
∴ m = 45

২,৭১৩.

(ax - cy, a² - c²) = (0, ay - cx) হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (a, c)
খ
খ) (c, a)
গ
গ) (0, a)
ঘ
ঘ) (c, 0)

ব্যাখ্যা

(ax - cy, a² - c²) = (0, ay - cx)
এখানে,
ax - cy = 0
ax = cy
x = cy/a ............(1)
a² - c² = ay - cx
a² - c² = ay - c(cy/a)
a² - c² = (a²y - c²y)/a
y = a (a² - c²)/(a² - c²)
y = a
y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x = c
∴ (x, y ) = (c, a)

২,৭১৪.

কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৯ বেশি হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
২
খ
৪
গ
৩
ঘ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৯ বেশি হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৩ = ক + ৯
বা, ৩ক - ক = ৯ - ৩
বা, ২ক = ৬
∴ ক = ৩

২,৭১৫.

x² - (a - b)x - ab = 0 হলে x = ?

ক
ক) {a, b}
খ
খ) {-a, b}
গ
গ) {a, -b}
ঘ
ঘ) {-a, -b}

ব্যাখ্যা

x² - (a - b)x - ab = 0
বা, x² - ax + bx - ab = 0
বা, x(x - a) + b(x - a) = 0
বা, (x - a)(x + b) = 0
∴ x = a, -b

২,৭১৬.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?

ক
18 টি
খ
20 টি
গ
22 টি
ঘ
24 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 20 টি।

২,৭১৭.

9a² + 16b² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে?

ক
12ab
খ
36ab
গ
24ab
ঘ
144ab

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² + 16b² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
9a²+ 16b²
= (3a)² + (4b)²
= (3a + 4b)² - 2.3a.4b
= (3a + 4b)² - 24ab

∴ 9a² + 16b² + 24ab = (3a + 4b)²

২,৭১৮.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সঙ্গে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
১৬
খ
১৮
গ
২০
ঘ
২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সঙ্গে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,

সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে

৩ক + ২ক = ৯০

⇒ ৫ক = ৯০

⇒ ক = ১৮

২,৭১৯.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

ক
16, 28
খ
16, 20
গ
12, 20
ঘ
12, 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4

শর্তমতে,
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16
∴ একটি সংখ্যা = 16

এবং অপর সংখ্যা = x + 4
= 16 + 4
= 20

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20 ।

২,৭২০.

4x² - 7x + 2 = 0 সমীকরণের একটি মূল (7 - √17)/8 হলে অপর মূলটি-

ক
ক) (7 + √17)/8
খ
খ) (7 - √17)/8
গ
গ) (- 7 + √17)/8
ঘ
ঘ) (- 7 - √17)/8

ব্যাখ্যা

সমীকরণের অমূলদ মূল যুগলরূপে আসে।
∴ একটি মূল (7 - √17)/8 হলে এর অনুবন্ধী অমূলদ সংখ্যা (7 + √17)/8 হবে সমীকরণের অপর মূল।

২,৭২১.

ক
0
খ
- 1
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
{a + (1/a)}³ = (√3)³
⇒ a³ + (1/a)³ + 3.a.(1/a) {a + (1/a)} = 3√3
⇒ a³ + (1/a)³ + 3√3 = 3√3
⇒ a³ + (1/a)³ = 0
⇒ a⁶ + 1/a³ = 0
⇒ a⁶ + 1 = 0
⇒ a⁶ = -1

a¹⁸ + a¹²+ a⁶ + 1
= (a⁶)³ + (a⁶)² + a⁶ + 1
= (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= -1 + 1 - 1 + 1
= 0

২,৭২২.

6x² - 8x + 1 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি-

ক
ক) বাস্তব ও সমান
খ
খ) বাস্তব ও অসমান
গ
গ) মূলদ
ঘ
ঘ) অবাস্তব

ব্যাখ্যা

সমীকরণের নিশ্চায়ক = (-8)² - 4.6.1
= 64 - 24
= 40 > 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান।

২,৭২৩.

একটি লঞ্চে মোট যাত্রী ৮০ জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণেরও ১৫ টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ৩১২০ টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

ক
১৬ জন
খ
১৮ জন
গ
২০ জন
ঘ
১৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী ৮০ জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণেরও ১৫ টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ৩১২০ টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন।
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = (৮০ - ক) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (৩০ × ২ + ১৫) টাকা
= ৬০ + ১৫ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৭৫(৮০ - ক) = ৩১২০
⇒ ৩০ক + ৬০০০ - ৭৫ক = ৩১২০
⇒ ৬০০০ - ৪৫ক = ৩১২০
⇒ ৪৫ক = ৬০০০ - ৩১২০
⇒ ৪৫ক = ২৮৮০
⇒ ক = ২৮৮০/৪৫
∴ ক = ৬৪

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৮০ - ৬৪ = ১৬ জন।

২,৭২৪.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে তিনটি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে তিনজন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

ক
৬০
খ
১৮
গ
৫৪
ঘ
৩৬

ব্যাখ্যা

মনে করি ছাত্র সংখ্যা x
মোট বেঞ্চের সংখ্যা = x /4 + 3
শর্তমতে,
x/4 + 3 = (x - 6)/3
x = 60
তাহলে বেঞ্চের সংখ্যা = 60/4 + 3 = 18 টি

২,৭২৫.

যদি x + 3y = 40 এবং y = 3x হয়, তবে y = ?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) 22

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 3y = 40 এবং y = 3x
∴ x + 3(3x) = 40
⇒ 10x = 40
∴ x = 4
∴ y = 3 × 4 = 12

২,৭২৬.

একটি ট্যাংকের 2/5 অংশ পূর্ণ আছে। যদি ট্যাংকে আরো 16 লিটার পানি দেয়া হয় তাহলে 6/7 অংশ হয়। ট্যাংকে কতটুকু পানি ধরে?

ক
ক) 30 লিটার
খ
খ) 35 লিটার
গ
গ) 39 লিটার
ঘ
ঘ) 42 লিটার

ব্যাখ্যা

ধরি
ট্যাংকে পানি ধরে x

প্রশ্নমতে,
বা, (6x/7) - (2x/5) = 16
বা, (30x - 14x)/35 = 16
বা, 16x/35 = 16
বা, x/35 = 1
বা, x = 35

২,৭২৭.

মা থেকে মেয়ে 18 বছরের ছোট। 6 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 54 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

ক
9 বছর
খ
10 বছর
গ
12 বছর
ঘ
13 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মা থেকে মেয়ে 18 বছরের ছোট। 6 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 54 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
∴ মায়ের বয়স = (x + 18) বছর

শর্তমতে,
(x + 6) + (x + 18 + 6) = 54
বা, x + 6 + x + 24 = 54
বা, 2x + 30 = 54
বা, 2x = 54 - 30
বা, 2x = 24
বা, x = 24/2
∴ x = 12

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = 12 বছর।

২,৭২৮.

2x + y = 7 এবং x - y = 2 হলে y এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 7 এবং x - y = 2 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
2x + y = 7.................(1)
x - y = 2.................(2)

(2) নং হতে পাই,
x - y = 2
x = 2 + y

এখন,
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2x + y = 7
বা, 2(2+ y) + y = 7
বা, 4 + 2y + y = 7
বা, 3y + 4 = 7
বা, 3y = 7 - 4
বা, 3y = 3
∴ y = 1

২,৭২৯.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে এবং প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
ক) 18 জন
খ
খ) 5 জন
গ
গ) 24 জন
ঘ
ঘ) 72 জন

ব্যাখ্যা

ছাত্র সংখ্যা y হলে,
১ম ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = y/6 + 2
২য় ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = (y - 8)/2
প্রশ্নানুসারে,
y/6 + 2 = (y - 8)/2
বা, (y + 12)/6 = (y - 8)/2
বা, 2y + 24 = 6y - 48
বা, 6y - 2y = 24 + 48
বা, 4y = 72
বা, y = 72/4
বা, y = 18
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 18 জন।

২,৭৩০.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৫ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৫ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
২৭
খ
৩৮
গ
৪৯
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৫ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৫ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশকের অঙ্ক ক হলে,
এককের অঙ্ক (ক + ৫)

∴ সংখ্যাটি = ১০ক + ক + ৫ = ১১ক + ৫

প্রশ্নানুসারে,
১১ক + ৫ = ৩(ক + ক + ৫) + ৫
বা, ১১ক - ৬ক = ২০ - ৫
বা, ৫ক = ১৫
∴ ক = ৩
∴ সংখ্যাটি = ১১ × ৩ + ৫= ৩৮

২,৭৩১.

একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হতো। কলমের দাম কত?

ক
17 টাকা
খ
22 টাকা
গ
25 টাকা
ঘ
26 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হতো। কলমের দাম কত?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার দাম = a টাকা
তাহলে, কলমের দাম = 75 - a টাকা
∴ কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে হয় = (75 - a + 2) = (77 - a) টাকা

প্রশ্নমতে,
a - 5 = 2(77 - a)
⇒ a - 5 = 154 - 2a
⇒ 3a = 159
⇒ a = 159/3
∴ a = 53
∴ কলমের দাম = 75 - 53 = 22 টাকা

২,৭৩২.

y/x = 1/3; x+2y = 10 হলে x ও y এর মান কত?

ক
ক) (1, 2)
খ
খ) (6, 2)
গ
গ) (0, 4)
ঘ
ঘ) (3, 1)

ব্যাখ্যা

y/x = 1/3
or, x = 3y

x + 2y = 10
or, 3y + 2y = 10 [ x এর মান বসিয়ে ]
or, 5y = 10
or, y = 2
x = 6
(6, 2)

২,৭৩৩.

৪০ সংখ্যাটি x অপেক্ষা ১১ বেশি। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে পাই,

ক
ক) x-১১ = ৪০
খ
খ) x+১১ = ৪০
গ
গ) x-৪০ = ১১
ঘ
ঘ) x+৪০ = ১১

ব্যাখ্যা

শর্তানুসারে,
x এর সহিত ১১ যোগ করলে ৪০ এর সমান হয়।
অর্থাৎ, x+১১ = ৪০

২,৭৩৪.

x + y = 6 হলে, 3xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
ক) 15
খ
খ) 23
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে, 3xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
x = 1, y = 5 হলে, 3xy = 3 × 1 × 5 = 15
x = 2, y = 4 হলে, 3xy = 3 × 4 × 2 = 24
x = 3, y = 3 হলে, 3xy = 3 × 3 × 3 = 27
x = 4, y = 2 হলে, 3xy = 3 × 4 × 2 = 24
x = 5, y = 1 হলে, 3xy = 3 × 5 × 1 = 15

২,৭৩৫.

3x - 2y = 5 এবং 2x + 3y = 12 হলে, (x , y) = ?

ক
ক) (1, 3)
খ
খ) (2, 3)
গ
গ) (3, 1)
ঘ
ঘ) (3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2y = 5 এবং 2x + 3y = 12 হলে, (x , y) =?

সমাধান:
3x - 2y = 5 .............(1)
2x + 3y = 12 ............(2)

(1)নং × 3 + (2) নং × 2 হতে পাই,
9x - 6y + 4x + 6y = 15 + 24
বা, 13x = 39
∴ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3y = 12
বা, 3y = 12 - 6
বা, 3y = 6
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

২,৭৩৬.

একটি বাক্সে কিছু দশ টাকা ও পাঁচ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৬১ এবং মোট টাকার পরিমান যদি ৪৯০ হয় তবে পাঁচ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

ক
২২
খ
২৪
গ
২৬
ঘ
৩০
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু দশ টাকা ও পাঁচ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৬১ এবং মোট টাকার পরিমান যদি ৪৯০ হয় তবে পাঁচ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

সমাধান:
পাঁচ টাকার নোট রয়েছে = ক টি
দশ টাকার নোট রয়েছে = (৬১ - ক) টি

প্রশ্নমতে
৫ক + ১০(৬১ - ক) = ৪৯০
বা, ৫ক + ৬১০ - ১০ক = ৪৯০
বা, ৬১০ - ৫ক = ৪৯০
বা, ৫ক = ৬১০ - ৪৯০
বা, ৫ক = ১২০
∴ ক = ২৪

২,৭৩৭.

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। ১ম দুটি রাশির বিয়োগফলের সাথে তৃতীয় রাশি যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) - x² + 3y² - z²
খ
খ) 3 x² - y² - z²
গ
গ) -x² + 3y² + z²
ঘ
ঘ) x² + y² + z²

ব্যাখ্যা

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z²
১ম দুটি রাশির বিয়োগফল
= 2y²
১ম দুটি রাশির বিয়োগফল + তৃতীয় রাশি = 2y² + (-x² + y² - z² )
= - x² + 3y² - z²

২,৭৩৮.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় একক স্থানীয় অংকের তিনগুন। অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) 31x
খ
খ) 11x
গ
গ) 13x
ঘ
ঘ) 30x

ব্যাখ্যা

একক স্থানীয় অংক x হলে দশক স্থানীয় অংক 3x
সংখ্যাটি = (10 X 3x) + x = 31x
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = (10 X x) + 3x = 13x

২,৭৩৯.

1360 টাকাকে A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করা হয়েছে যাতে A পায় B এর 2/3 অংশ এবং B পায় C এর 1/4 অংশ। B কত টাকা পেল?

ক
ক) 240 টাকা
খ
খ) 960 টাকা
গ
গ) 160 টাকা
ঘ
ঘ) 480 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1360 টাকাকে A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করা হয়েছে যাতে A পায় B এর 2/3 অংশ এবং B পায় C এর 1/4 অংশ। B কত টাকা পেল?

ধরি
C পায় = x টাকা
B পায় = x এর 1/4 অংশ = x/4 টাকা
A পায় = x/4 এর 2/3 = x/6 টাকা

প্রশ্নমতে
x + x/4 + x/6 = 1360
(12x + 3x + 2x)/12 = 1360
17x/12 = 1360
17x = 1360 × 12
x = (1360 × 12)/17
x = 960

B পায় = 960/4 = 240 টাকা

২,৭৪০.

(x - y, 5) = (- 1, x + 2y) হলে (x, y) = কত?

ক
(1, 3)
খ
(1, 2)
গ
(2, - 3)
ঘ
(- 1, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - y, 5) = (- 1, x + 2y) হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
এখানে,
x - y = - 1......................(1)
x + 2y = 5.....................(2)

(1) - (2) হতে পাই,
x - y - x - 2y = - 6
⇒ - 3y = - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3
∴ y = 2

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x - 2 = - 1
⇒ x = - 1 + 2
∴ x = 1

∴ (x, y) = (1, 2)

২,৭৪১.

পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

ক
৩০
খ
৩৫
গ
৪০
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ২ক + ২ বছর

৫ বছর পর পুত্রের বয়স = ক + ৫ বছর
৫ বছর পর পিতার বয়স ২ক + ২ + ৫ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৫ + ২ক + ২ + ৫ = ১০২
⇒ ৩ক = ১০২ - ১২
⇒ ৩ক = ৯০
∴ ক = ৩০

পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০ বছর

২,৭৪২.

ax² + 7x + 6 = (x + 2) (2x + 3) হয়, তবে a এর মান কত?

ক
3
খ
2
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax² + 7x + 6 = (x + 2) (2x + 3) হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
ax² + 7x + 6 = (x + 2) (2x + 3)
বা, ax² + 7x + 6 = 2x² + 7x + 6
বা, ax² + 7x + 6 - 7x - 6 = 2x²
বা, ax² = 2x²
বা, a = 2x²/x²
∴ a = 2

২,৭৪৩.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
9, 6
খ
6, 7
গ
8, 7
ঘ
13, 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x ও y

দেওয়া আছে,
x² + y² = 113
এবং xy = 56

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, (x + y)² = 113 + 2 × 56
বা, (x + y)² = 113 + 112
বা, (x + y)² = 225
বা, (x + y)² = (15)²
∴ (x + y) = 15..............(1)

আবার,
(x - y)² = x² + y² - 2xy
বা, (x - y)² = 113 - 2 × 56
বা, (x - y)² = 113 - 112
বা, (x - y)² = 1
∴ x - y = 1................(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + x - y = 15 + 1
বা, 2x = 16
∴ x = 8

(1) সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 15
বা, 8 + y = 15
বা, y = 15 - 8
∴ y = 7

∴ সংখ্যা দুইটি (x, y) = (8, 7)।

২,৭৪৪.

3x - 2y = 0 এবং 17x - 7y = 13 হলে (x,y) = ?

ক
ক) (1,2)
খ
খ) (3,2)
গ
গ) (2,1)
ঘ
ঘ) (2,3)

ব্যাখ্যা

3x - 2y = 0 --- (1)
17x - 7y = 13 --- (2)

(1) থেকে -> x = (2y/3) --- (3)

x এর মান (2) এ বসিয়ে পাই,
y = 3

(3) এর থেকে -> x = 2

(x,y) = (2,3)

২,৭৪৫.

যদি 5C + 3 = 3C + 5, তবে C এর মান কত?

ক
ক) -1
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) -3

ব্যাখ্যা

5C + 3 = 3C + 5
বা, 5C - 3C = 5 - 3
বা, 2C = 2
∴ C = 1

২,৭৪৬.

a/b এর সাথে কত যোগ করলে b/a হবে?

ক
(b² + a²)/ab
খ
(b² - a²)/ab
গ
(b³ - a³)/ab
ঘ
(a² - b²)/ab

ব্যাখ্যা

মনে করি, a/b এর সাথে y যোগ করলে b/a হবে।
a/b + y = b/a
y = b/a - a/b
= (b² - a²)/ab

২,৭৪৭.

যদি, m = 7 - 4√3 হয়, তখন (√m + 1/√m) = ?

ক
৩
খ
৮
গ
৯
ঘ
৪

ব্যাখ্যা

ধরি,
(√m + 1/√m) = x
Or, (√m + 1/√m)² = x²
Or, m + 1/m + 2 = x²
Or, 7 - 4√3 + 1/(7 - 4√3) + 2 = x²
Or, 7 - 4√3 + (7 + 4√3)/(7 + 4√3)( 7 - 4√3) + 2 = x²
Or, 7 - 4√3 + 7 + 4√3 + 2 = x²
Or, 16 = x²
Or, x = 4
∴ (√m + 1/√m) = 4

২,৭৪৮.

x এর মান কত হলে ‍a(x - a) = b(x - b) হবে?

ক
ক) a
খ
খ) a - b
গ
গ) b - a
ঘ
ঘ) a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে ‍a(x - a) = b(x - b) হবে?

সমাধান:
a(x - a) = b(x - b)
ax - a² = bx - b²
ax - bx = a² - b²
x(a - b) = (a + b) (a - b)
x = (a + b)

২,৭৪৯.

x + y = 4 এবং xy = 4 হলে, x - y এর মান কত?

ক
32
খ
16
গ
0
ঘ
1

ব্যাখ্যা

(x - y )²
= (x + y)² - 4xy
= 4² - 4 × 4
= 0

∴ x - y = 0

২,৭৫০.

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হরের সাথে 3 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 3 হয়। ভাগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 1/6
খ
খ) 3/5
গ
গ) 7/9
ঘ
ঘ) 9/6

ব্যাখ্যা

ধরি, ভগ্নাংশটি = x/y
প্রশ্নমতে, (x + 3)/y = 2 ..........(1) এবং x/(y - 3) = 3 ...........(2)
(1) নং থেকে পাই, x =2y - 3 .......(3)
(3) এর x এর মান (2) এ বসিয়ে
2y - 3 = 3y - 9
⇒ -y = - 6
⇒ y = 6
y এর মান (3) এ বসিয়ে পাই, x = 9
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 9/6

২,৭৫১.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার হর, লব অপেক্ষা 40 বেশি হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/7
খ
খ) 1/5
গ
গ) 5/9
ঘ
ঘ) 9/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার হর, লব অপেক্ষা 40 বেশি হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
x লব হলে, হর = x + 4

ভগ্নাংশের বর্গ = {x/(x + 4)}²
= x²/(x² + 8x + 16)

প্রশ্নানুসারে,
x² + 8x + 16 = x² + 40
বা, x = 3

∴ হর = 7
ভগ্নাংশটি = 3/7

২,৭৫২.

যদি a + b = 6, ab = 8 হয় তবে a এবং b এর মান কত?

ক
2, 3
খ
3, 4
গ
4, 2
ঘ
7, 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 6, ab = 8 হয় তবে a এবং b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
$a + b = 6 ........ (1)$ $ab = 8$ আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 6² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4
∴ (a - b)²= 4
⇒ a - b = 2........(2)

এখন (1) + (2)
a + b + a - b = 6 + 2
⇒ 2a = 8
⇒ a = 4
a এর মান 1 নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + b = 6
⇒ b = 6 - 4
⇒ b = 2
a এবং b এর মান 4, 2.

২,৭৫৩.

{(a - b)/ab} + {(b - c)/bc} + {(c - a)/ca} = কত?

ক
a
খ
b
গ
0
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(a - b)/ab} + {(b - c)/bc} + {(c - a)/ca} = কত?

সমাধান:
(a - b)/ab + (b - c)/bc + (c - a)/ca
= {(a - b) × c} + {(b - c) × a} + {(c - a) × b}/abc
= (ca - bc + ab - ca + bc - ab)/abc
= 0/abc
= 0

২,৭৫৪.

x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

ক
3√2
খ
√2
গ
2√2
ঘ
4√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে।
∴ b² - 4ac = 0
⇒ p² - 4 × 1 × 8 = 0
⇒ p² = 32
⇒ p = √32
∴ p = 4√2

২,৭৫৫.

করিম 5 টাকা ও 10 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 150 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

ক
15 টি
খ
30 টি
গ
25 টি
ঘ
20 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: করিম 5 টাকা ও 10 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 150 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
5 টাকার স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি
10 টাকার স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি
∴ মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা = (x + x) টি = 2x টি

প্রশ্নমতে,
5 . x + 10 . x = 150
বা, 15x = 150
বা, x = 150/15
∴ x = 10

∴ করিম মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = 2x টি
= (2 × 10) টি
= 20 টি।

২,৭৫৬.

(y/p) + p = (y/q) + q হলে, y এর মান কত?

ক
ক) p
খ
খ) q
গ
গ) pq
ঘ
ঘ) 1/(pq)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (y/p) + p = (y/q) + q হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(y/p) + p = (y/q) + q
⇒ (y/p) - (y/q) = q - p
⇒ y(1/p - 1/q) = q - p
⇒ y = (q - p) / (1/p - 1/q)
⇒ y = (q - p) / {(q - p)/pq}
⇒ y = (q - p).pq/(q - p)
∴ y = pq

২,৭৫৭.

ক
ক) 1/2
খ
খ) 11/3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৭৫৮.

3x - 5y = - 9, 5x - 3y = 1 হলে (x, y) = কত?

ক
ক) (3, 2)
খ
খ) (4, 3)
গ
গ) (3, 4)
ঘ
ঘ) (2, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 5y = - 9, 5x - 3y = 1 হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
3x - 5y = - 9...................(1)
5x - 3y = 1...................(2)

(1) × 3 - (2) × 5 ⇒
9x - 15y - 25x + 15y =- 27 - 5
- 16x = - 32
x = 2

x এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই
5 × 2 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1 - 10
- 3y = - 9
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

২,৭৫৯.

5x যদি 20 থেকে 5 বেশি হয়, তাহলে 2x - 2 = কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 8
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x যদি 20 থেকে 5 বেশি হয়, তাহলে 2x - 2 = কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
5x - 5 = 20
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

∴ 2x - 2 = (2 × 5) - 2
= 10 - 2
= 8

২,৭৬০.

দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং গুণফল 6 সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তরফল কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 25
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সংখ্যা দুটি x ও y

প্রশ্নমতে,
x² +y² = 13
xy = 6
আমরা জানি
(x² - y²)² = (x² +y²)² - 4x²y²
(x² - y²)²= (x² +y²)² - 4(xy)²
(x² - y²)² = 13² - 4 × 6²
(x² - y²)² = 169 - 144
(x² - y²)² = 25
x² - y² = 5

২,৭৬১.

3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

ক
(3, 4)
খ
(4, 3)
গ
(4, 5)
ঘ
(5, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:
3x + 4y = 25 ...............(1)
4x - 3y = 0 .................(2)

(1) × 3 + (2) × 4 হতে পাই,
9x + 12y + 16x - 12y = 75
⇒ 25x = 75
∴ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
4 × 3 - 3y = 0
⇒ 12 = 3y
∴ y = 4

∴ সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু, (x, y) = (3, 4)

২,৭৬২.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২। বড় সংখ্যাটির সঙ্গে ছোট সংখ্যাটির দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল ১৩ হয়। সংখ্যা দুটি কত?

ক
৭, ৩
খ
৮, ৪
গ
৯, ২
ঘ
৯, ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২। বড় সংখ্যাটির সঙ্গে ছোট সংখ্যাটির দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল ১৩ হয়। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি x
ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
(x - y)/2 = 2
বা, x - y = 4 ---------(১)

২য় শর্তমতে,
x + 2y = 13
বা, x = 13 - 2y ----------(২)

(১) নং হতে পাই,
13 - 2y - y = 4
বা, 13 - 3y = 4
বা, - 3y = 4 - 13
বা, - 3y = - 9
বা, y = 3

(2) নং হতে পাই,
x = 13 - 2y
বা, x = 13 - 2 × 3
বা, x = 13 - 6
x = 7

বড় সংখ্যাটি = 7
ছোট সংখ্যাটি = 3

২,৭৬৩.

1 ÷ [1 + 1 ÷ {1 + 1 ÷ 1(1 + 1 ÷ 2)}] + 1 = ?

ক
13/8
খ
0
গ
1/2
ঘ
5/8
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 ÷ [1 + 1 ÷ {1 + 1 ÷ 1(1 + 1 ÷ 2)}] + 1 = ?

সমাধান:
1 ÷ [1 + 1 ÷ {1 + 1 ÷ 1(1 + 1 ÷ 2)}] + 1

২,৭৬৪.

একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
5
খ
9
গ
7
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² + x = 9(x +1)
বা, x² + x = 9x + 9
বা, x² + x - 9x -9 =0
বা, x² - 8x - 9 = 0
বা, x² - 9x + x - 9 = 0
বা, x(x - 9) +1 (x - 9) = 0
বা, (x - 9) (x + 1) = 0
হয়,
x - 9 = 0
∴ x = 9
অথবা,
x + 1 = 0
বা, x = -1
কিন্তু x ≠ -1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

২,৭৬৫.

একটি ক্রিকেট দলে যতজন স্ট্যাম্প আউট হলো তার দেড়গুণ কট আউট হলো এবং মোট উইকেটের অর্ধেক বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলো?

ক
৪ জন
খ
৩ জন
গ
২ জন
ঘ
৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলে যতজন স্ট্যাম্প আউট হলো তার দেড়গুণ কট আউট হলো এবং মোট উইকেটের অর্ধেক বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলো?

সমাধান:
ধরি
স্ট্যাম্প আউট হয় = ক জন
কট আউট হয় = ৩ক/২ জন
মোট উইকেট ১০টির অর্ধেক বোল্ড আউট হয়

শর্তমতে,
ক + (৩ক/২) + ৫ = ১০
⇒ (২ক + ৩ক)/২ = ১০ - ৫
⇒ ৫ক/২ = ৫
∴ ক = ২ জন

∴ কট আউট হয় = (৩ × ২)/২ জন
= ৩ জন

২,৭৬৬.

x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(- 1, 1)
খ
(1/3,1/3)
গ
(1, 1)
ঘ
(- 3, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 0 ......................(1)
2x - y + 3 = 0..................(2)

(1) এবং (2) সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
x + y + 2x - y + 3 = 0
⇒ 3x + 3 = 0
⇒ 3x = - 3
⇒ x = - 1

x- এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
- 1 + y = 0
∴ y = 1
সরলরেখা দুটি (- 1, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,৭৬৭.

x² - 11x + 28 এর একটি মূল 7 হলে অপর মূল কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 11x + 28 এর একটি মূল 7 হলে অপর মূল কত?

সমাধান:
x² - 11x + 28
= x² - 7x - 4x + 28
= x(x - 7) - 4(x - 7)
= (x - 7)(x - 4)

∴ x = 4, 7

∴ x একটি মূল 7 হলে অপর মূলটি হবে 4.

২,৭৬৮.

3x + 4y = 7 এবং 4x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
- 1
খ
0
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4y = 7 এবং 4x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 7......... (1)
4x - 3y = 1 ........ (2)

(1) কে 3 দিয়ে এবং (2) কে 4 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
3(3x + 4y) + 4(4x - 3y) = 3 × 7 + 4 × 1
⇒ 9x + 12y + 16x - 12y = 21 + 4
⇒ (9x + 16x) + (12y - 12y) = 25
⇒ 25x = 25
⇒ x = 25/25
∴ x = 1

২,৭৬৯.

x + y = a - b, ax - by = a²+ b² হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (- a, - b)
খ
খ) (a, b)
গ
গ) (a, - b)
ঘ
ঘ) (- a, b)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x + y = a - b...............(1)
ax - by = a² + b² ...............(2)

(1) × b + (2) ⇒
bx + by + ax - by = ab - b² + a² + b²
ax + bx = ab + a²
x(a + b) = a(a + b)
x = a

(2) ⇒
a + y = a - b.
y = - b

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (a, - b)

২,৭৭০.

কোনো সংখ্যার 4 গুণ থেকে 15 বিয়োগ করলে সংখ্যাটির 2 গুণ অপেক্ষা 5 বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
10
খ
15
গ
9
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার 4 গুণ থেকে 15 বিয়োগ করলে সংখ্যাটির 2 গুণ অপেক্ষা 5 বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্ন অনুযায়ী,
4x - 15 = 2x + 5
⇒ 4x - 2x = 5 + 15
⇒ 2x = 20
⇒ x = 20/2
∴ x = 10

২,৭৭১.

a = 15 এবং (a² - b²)/(a + b) = 10 হলে b = ?

ক
-5
খ
0
গ
5
ঘ
10

ব্যাখ্যা

a² - b²/a + b = 10
বা, {(a + b)(a - b)}/(a + b) = 10
বা, a - b = 10
বা, a - 10 = b
বা, b = a - 10
= 15 - 10
= 5

২,৭৭২.

যদি p³ + hp + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

ক
- 9
খ
- 8
গ
4
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p³ + hp + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

সমাধান:
p³ + hp + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হলে p = 2 হবে।

f(2) = 0
ধরি
f(p)= p³+ hp + 10
f(2) = 2³ + h × 2 + 10
⇒ 8 + 2h + 10 = 0
⇒ 2h + 18

যেহেতু
f(2) = 0
বা, 2h + 18 = 0
বা, 2h = - 18
∴ h = - 9

২,৭৭৩.

x/y = 5/4 হয়, তবে (x + y)/(x - y) = ?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 1/8
ঘ
ঘ) 1/9

ব্যাখ্যা

x/y = 5/4
বা, (x + y)/(x - y) = (5 + 4)/(5 - 4)
বা, (x + y)/(x - y) = 9/1
∴ (x + y)/(x - y) = 9

২,৭৭৪.

x এর মান কত হলে (2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0 হবে?

ক
(2/3)
খ
3/4
গ
- (1/2)
ঘ
- (2/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0
⇒ 2 + x + 3 - 3x - 6 = 0
⇒ - 2x - 1 = 0
⇒ - 2x = 1
∴ x = - (1/2)

∴ x এর মান - (1/2) হলে (2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0 হবে।

২,৭৭৫.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 98 হলে সংখ্যা দুটি হলো-

ক
50 এবং 48
খ
70 এবং 28
গ
60 এবং 38
ঘ
80 এবং 18

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা = x এর 2/5 অংশ = 2x/5

প্রশ্নানুসারে,
x + 2x/5 = 98
⇒ 7x/5 = 98
⇒ x =98 × 5/7
⇒ x = 70
একটি সংখ্যা 70
অপর সংখ্যা = 2 × 70/5
= 28

২,৭৭৬.

3x + 2y = 18, 3x - y = 9 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (4,2)
খ
খ) (2,3)
গ
গ) (4,5)
ঘ
ঘ) (4,3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y = 18, 3x - y = 9 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2y = 18.............(1)
3x - y = 9 .............(2)

(1) + (2) × 2 ⇒
3x + 2y + 6x - 2y = 18 + 18
9x = 36
x = 4

x এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + 2y = 18
3 × 4 + 2y = 18
12 + 2y = 18
2y = 18 - 12
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (4,3)

২,৭৭৭.

একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে 10 যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 26 বিয়োগ করলেও একই সংখ্যা পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 24
খ
খ) 26
গ
গ) 28
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x

প্রশ্নমতে,
(x/2) + 10 = 2x - 26
2x - (x/2) = 26 + 10
(4x - x)/2 =36
3x/2 = 36
x = (36 × 2)/3
x = 24

২,৭৭৮.

রহিমের আয়ের দ্বিগুণের সাথে 110 টাকা যোগ করলে 7000 টাকা হয়। রহিমের আয় কত?

ক
ক) 3275
খ
খ) 3445
গ
গ) 3555
ঘ
ঘ) 3345

ব্যাখ্যা

রহিমের আয় x টাকা হলে,
2x + 110 = 7000
⇒ x = 6890/2
∴ x = 3445

২,৭৭৯.

একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৩০০ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

ক
ক) ২৪
খ
খ) ২৫
গ
গ) ৩০
ঘ
ঘ) ৬০

ব্যাখ্যা

মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে,
ⁿC₂ = 300
n! ÷ 2!(n - 2)! = 300
n(n - 1)(n - 2)! ÷ 2!(n - 2)! = 300
n(n - 1) ÷ 2 = 300
n(n - 1) = 600
n² - n - 600 = 0
n² - 25n + 24n - 600 = 0
n(n - 25) + 24(n - 25) = 0
(n + 24)(n - 25) = 0

n = 25 কিন্তু n এর মান - ২৪ গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে ২৫ জন লোক ছিল।
সঠিক উত্তর: ২৫

২,৭৮০.

একটি ছাত্রাবাসে যতজন ছাত্র ছিল প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
৩২ জন
খ
৫৫ জন
গ
৪৮ জন
ঘ
২৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে যতজন ছাত্র ছিল প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = ক

প্রশ্ন অনুযায়ী,
প্রত্যেকে ছাত্র সংখ্যার সমান ২০ টাকা করে চাঁদা দিয়েছে অর্থাৎ, একজন ছাত্র দিয়েছে = ২০ক টাকা

সুতরাং মোট চাঁদার পরিমাণ,
ক × ২০ক = ২০৪৮০
⇒ ২০ক^২ = ২০৪৮০
⇒ ক^২ = ২০৪৮০/২০
⇒ ক^২ = ১০২৪
⇒ ক^২ = ৩২^২
∴ ক = ৩২

∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = ৩২ জন

২,৭৮১.

3x - 2y = 5, 2x + 3y = 12 হলে x - y এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2y = 5, 2x + 3y = 12 হলে x - y এর মান কত?

সমাধান:
3x - 2y = 5..................(1)
2x + 3y = 12..................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
9x - 4y + 4x + 12y = 15 + 24
13x = 39
x = 39/13
x = 3

2x + 3y = 12
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 12 - 6
3y = 6
y = 2

x - y = 3 - 2 = 1

২,৭৮২.

যদি 8x + 4 = 64 হয়, তাহলে 2x + 1 এর মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 24
গ
গ) 13
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

এখানে, 8x + 4 = 64
বা, 4(2x + 1) = 64
সুতরাং, 2x + 1 = 64/4 = 16

২,৭৮৩.

কোনো শ্রেণিতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

ক
৫৬ বছর
খ
৬২ বছর
গ
৬৪ বছর
ঘ
৬৫ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণিতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১০ বছর
∴ ২৫ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১০ × ২৫) বছর
= ২৫০ বছর

আবার,
শিক্ষকসহ ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১২ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২৫ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১২ × ২৬) বছর
= ৩১২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (৩১২ - ২৫০) বছর
= ৬২ বছর

২,৭৮৪.

2x² + mx + 4 = 0 সমীকরণের মূল দু'টি সমান হলে, m = ?

ক
ক) -4√2
খ
খ) -4
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 4/(√2)

ব্যাখ্যা

2x² + mx + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান
∴ নিশ্চায়ক = 0
বা, m² - 4.2.4 = 0
বা, m² = 32
∴ m = ± 4√2

২,৭৮৫.

এর সমাধান -

ক
ক) 2a অথবা 3a
খ
খ) 4a অথবা 3a
গ
গ) 5a অথবা 3a
ঘ
ঘ) - 3a অথবা 2a

ব্যাখ্যা

মনে করি,
(x + a)/(x - a) = y
∴ y² - 5y + 6 = 0
⇒ (y - 2)(y - 3) = 0
⇒ y = 2, 3

y = 2 হলে,
(x + a)/(x - a) = 2
⇒ x = 3a

y = 3 হলে,
(x + a)/(x - a) = 3
⇒ x = 2a
নির্ণেয় সমাধান: x = 2a, 3a

২,৭৮৬.

জাতীয় যুবদিবস উদযাপন করার জন্য একটি যুব সংগঠনের সদস্যরা ৪৫,০০০ টাকা বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে প্রত্যেক সদস্যই সমান চাঁদা দিবেন।কিন্তু ৫ জন সদস্য চাঁদা দিতে অসম্মতি জানালো। এর ফলে প্রত্যেক সদস্যের মাথাপিছু ১৫ টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেলো। ঐ যুব সংগঠনের সদস্য সংখ্যা কত ছিল?

ক
১১৫ জন
খ
১৩০ জন
গ
১২৫ জন
ঘ
১৪৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জাতীয় যুবদিবস উদযাপন করার জন্য একটি যুব সংগঠনের সদস্যরা ৪৫,০০০ টাকা বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে প্রত্যেক সদস্যই সমান চাঁদা দিবেন।কিন্তু ৫ জন সদস্য চাঁদা দিতে অসম্মতি জানালো। এর ফলে প্রত্যেক সদস্যের মাথাপিছু ১৫ টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেলো। ঐ যুব সংগঠনের সদস্য সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা ক জন
প্রত্যেকে চাঁদা দিবেন = ৪৫০০০/ক
আবার, ৫ জন না আসায় চাঁদার পরিমাণ বেড়ে হবে = ৪৫০০০/(ক - ৫) টাকা

প্রশ্নমতে,
{৪৫০০০/(ক - ৫)} - (৪৫০০০/ক) = ১৫
⇒ (৪৫০০০ক - ৪৫০০০ক + ২২৫০০০)/ক(ক - ৫) = ১৫
⇒ ক(ক - ৫) = ২২৫০০০/১৫
⇒ ক^২ - ৫ক = ১৫০০০
⇒ ক^২ - ৫ক - ১৫০০০ = ০
⇒ ক^২ - ১২৫ক + ১২০ক - ১৫০০০ = ০
⇒ ক(ক - ১২৫) + ১২০(ক - ১২৫) = ০
⇒ (ক - ১২৫)(ক + ১২০) = ০
⇒ ক = ১২৫ এবং - ১২০ [অগ্রহণযোগ্য, কারণ সদস্য সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴ ক = ১২৫

∴ যুব সংগঠনের মোট সদস্য সংখ্যা ছিল ১২৫ জন।

২,৭৮৭.

পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বর্তমান বয়সের 7গুণ। 5 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 50 বছর।পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
ক) 3 বছর
খ
খ) 12 বছর
গ
গ) 10 বছর
ঘ
ঘ) 5 বছর

ব্যাখ্যা

মনে করি, পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর
পাঁচ বছর পরে, পুত্রের বয়স =(5 + x) বছর
পাঁচ বছর পরে, পিতার বয়স = (7x + 5) বছর
প্রশ্নমতে,
x + 5 + 7x + 5 = 50
⇒ 8x = 40
⇒ x = 5
∴পুত্রের বর্তমান বয়স 5 বছর

২,৭৮৮.

x⁴ - x² - 1 = 0 হলে, 3x² + (3/x²) এর মান কত?

ক
ক) 3√3
খ
খ) 5√5
গ
গ) √5
ঘ
ঘ) 3√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ - x² - 1 = 0 হলে, 3x² + (3/x²) এর মান কত?

সমাধান:
x⁴ - x² - 1 = 0
⇒ x⁴ - 1 = x²
⇒ ( x⁴ - 1)/x² = 1
⇒ x² - (1/x²) = 1

∴ {x² + (1/x²)}²
= {x² - (1/x²)}² + 4 × x² × (1/x²)
= 1² + 4
= 5

∴ x² + (1/x²) = √5
⇒ 3{x² + (1/x²)} = 3√5
∴ 3x² + (3/x²) = 3√5

২,৭৮৯.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9, অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম। সংখ্যাটি কত?

ক
72
খ
36
গ
56
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9, অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = a
দশক স্থানীয় অঙ্ক = 9 - a

∴ সংখ্যাটি = (9 - a) × 10 + a
= 90 - 10a + a
= 90 - 9a
প্রশ্নমতে,
a × 10 + (9 - a) + 45 = 90 - 9a
⇒ 10a + 9 - a + 45 = 90 - 9a
⇒ 9a + 9a = 90 - 54
⇒ 18a = 36
∴ a = 2
সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যাটি = 90 - (9 × 2)
= 72

২,৭৯০.

একটি বাক্সে কিছু ২০ টাকা ও ৫০ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৪০ এবং মোট টাকার পরিমাণ ১২৫০ হলে, ২০ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

ক
২৫টি
খ
১৫টি
গ
২০টি
ঘ
৩০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু ২০ টাকা ও ৫০ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৪০ এবং মোট টাকার পরিমাণ ১২৫০ হলে, ২০ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
২০ টাকার নোট রয়েছে = ক টি
৫০ টাকার নোট রয়েছে = (৪০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৫০(৪০ - ক) = ১২৫০
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৫০ক = ১২৫০
⇒ ২০০০ - ৩০ক = ১২৫০
⇒ - ৩০ক = ১২৫০ - ২০০০
⇒ - ৩০ক = - ৭৫০
⇒ ৩০ক = ৭৫০
⇒ ক = ৭৫০/৩০
∴ ক = ২৫

সুতরাং, ২০ টাকার নোট রয়েছে ২৫টি।

২,৭৯১.

একটি গাড়ি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘন্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?

ক
80 কি.মি.
খ
100 কি.মি.
গ
120 কি.মি.
ঘ
140 কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘন্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
গাড়িটি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে গিয়েছে = x কি.মি.
গাড়িটি ঘন্টায় 40 কি.মি. বেগে গিয়েছে = 240 - x কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(x/60)+{(240 - x)/40} = 5
⇒ {2x + 3(240 - x)}/120 = 5
⇒ (2x + 720 - 3x)/120 = 5
⇒ - x + 720 = 600
⇒ - x = 600 - 720
⇒ - x = - 120
∴ x = 120

অতএব, গাড়িটি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে 120 কি.মি. গিয়েছে।

২,৭৯২.

পিতার বর্তমান বয়স তার পুত্রের বয়সের চার গুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স, পুত্রের বয়সের পাঁচগুণ ছিলো। পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
৯৬, ২৪
খ
৯০, ১৮
গ
১০০, ২৫
ঘ
৮৪, ২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স তার পুত্রের বয়সের চার গুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স, পুত্রের বয়সের পাঁচগুণ ছিলো। পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৪ক - ৬) = ৫(ক - ৬)
বা, ৪ক - ৬ = ৫ক - ৩০
বা, ৫ক - ৪ক = ৩০ - ৬
∴ ক = ২৪

∴ বর্তমানে পুত্রের বয়স = ২৪ বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৪ × ২৪ = ৯৬ বছর

২,৭৯৩.

150টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 230 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

ক
40 টি এবং 50 টি
খ
50 টি এবং 60 টি
গ
60 টি এবং 70 টি
ঘ
70 টি এবং 80 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 150 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 230 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা x টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (150 - x) টি।

প্রশ্নমতে,
x × 1 + (150 - x) × 2 = 230
⇒ x + 300 - 2x = 230
⇒ x = 300 - 230
∴ x = 70

সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 70 টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (150 - 70) = 80 টি।

২,৭৯৪.

{(x/2) + 4} = {(x/4) + 6} হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x/2) + 4} = {(x/4) + 6} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
{(x/2) + 4} = {(x/4) + 6}
⇒ (x/2) - (x/4) = 6 - 4
⇒ (2x - x)/4 = 2
⇒ (x/4) = 2
⇒ x = 8

২,৭৯৫.

৪টি ক্রম বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি বৃহত্তমটির তিনগুনের চেয়ে ৭ বেশি। সংখ্যা ৪টির যোগফল কত?

ক
৫৪
খ
৫৬
গ
৬০
ঘ
৬৪
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪টি ক্রম বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি বৃহত্তমটির তিনগুনের চেয়ে ৭ বেশি। সংখ্যা ৪টির যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি
১ম সংখ্যাটি = ক
২য় সংখ্যাটি = ক + ২
৩য় সংখ্যাটি = ক + ২ + ২ = ক + ৪
৪র্থ সংখ্যাটি = ক + ৪ + ২ = ক + ৬

প্রশ্নমতে
ক + ক + ২ + ক + ৪ + ক + ৬ = ৩(ক + ৬) + ৭
৪ক + ১২ = ৩ক + ১৮ + ৭
৪ক - ৩ক = ২৫ - ১২
ক = ১৩

সংখ্যা ৪টির যোগফল = ক + ক + ২ + ক + ৪ + ক + ৬
= ৪ক + ১২
= ৪ × ১৩ + ১২
= ৫২ + ১২
= ৬৪

২,৭৯৬.

4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
- 3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3

২,৭৯৭.

(2x + y, 10) = (7, 3x + y) হলে, (x, y) = কত?

ক
ক) (-3, 1)
খ
খ) (-3, -1)
গ
গ) (3, -1)
ঘ
ঘ) (3, 1)

ব্যাখ্যা

(2x + y, 10) = (7, 3x + y)
বা, 2x + y = 7.......(1)
এবং 3x + y = 10......(2)

(2) নং থেকে (1) নং বিয়োগ করে পাই,
x = 3
এখন,
(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
2.3 + y = 7
বা, y = 7 - 6
= 1

∴ (x, y) = (3, 1)

২,৭৯৮.

2 - [2 - {2 - (2 + 2)}] = কত?

ক
2
খ
5
গ
7
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - [2 - {2 - (2 + 2)}] = কত?

সমাধান:
2 - [2 - {2 - (2 + 2)}]
= 2 - [2 - {2 - 4}]
= 2 - [2 - {-2}]
= 2 - [2 + 2}
= 2 - 4
= - 2

২,৭৯৯.

x - 4 = (x - 4)/x হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
4
গ
উভয়টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 4 = (x - 4)/x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x - 4 = (x - 4)/x
বা, x(x - 4 ) = x – 4
বা, x(x - 4 ) - (x – 4) = 0
বা, (x - 4 ) (x - 1) = 0

হয়,
x - 4 = 0
x = 4

অথবা,
x − 1 = 0
x = 1

২,৮০০.

3x - y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

ক
(2, 5)
খ
(2, 6)
গ
(3, 5)
ঘ
(3, 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

সমাধান:

3x - y = 3 ............... (1)

5x + y = 21 ..............(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,

3x - y = 3
5x + y = 21
8x = 24

∴ x = 3

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

(3 × 3) - y = 3
বা, 9 - y = 3
বা, y = 9 - 3

∴ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 6)