সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২৭ / ২৯ · ২,৬০১–২,৭০০ / ২,৮৯২

২,৬০১.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী কত?

ক
১০ জন
খ
২০ জন
গ
৩০ জন
ঘ
২৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী কত?

সমাধান:
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন
ডেকের যাত্রী সংখ্যা 50 - x জন
ডেকের ভাড়া 15 টাকা
কেবিনের ভাড়া 15 × 2 = 30 টাকা

প্রশ্নমতে,
15(50 - x) + 30x = 1200
বা, 750 - 15x + 30x = 1200
বা, 15x = 450
বা, x = 30

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 50 - 30 = 20 জন

২,৬০২.

(2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1) হলে, x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1)
⇒ 2x² + 6x - x - 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² + 5x - 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² + 5x - 3 - 2x² - 2x = 0
⇒ 3x - 3 = 0
⇒ 3(x - 1) = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

২,৬০৩.

x + 2y = 7 এবং 2x - y = 4 সরল রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দু কত?

ক
(3, 2)
খ
(1, 4)
গ
(2, 5)
ঘ
(4, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - y = 4 সরল রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 7 ..........(১)
2x - y = 4 ..........(২)

সমীকরণ (২)-কে 2 দ্বারা গুণ করে (১) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
x + 2y + 4x - 2y = 7 + 8
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
∴ x = 3

এখন, x এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 2y = 7
⇒ 3 + 2y = 7
⇒ 2y = 7 - 3
⇒ y = 4/2
∴ y = 2

সুতরাং, সরলরেখা দ্বয়ের ছেদ বিন্দু হলো (3, 2)।

২,৬০৪.

50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
8 ‍ফুট
খ
10 ‍ফুট
গ
9 ‍ফুট
ঘ
11 ‍ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি অংশ = x
অপর অংশটি = x/4

প্রশ্নমতে,
x + x/4 = 50
⇒ (4x + x)/4 = 50
⇒ 5x = (50 × 4)
⇒ 5x = 200
⇒ x = 200/5
∴ x = 40

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 40/4
= 10 ফুট।

২,৬০৫.

কোন সংখ্যার সঙ্গে ৪ যোগ করে, যোগফলকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে ৯ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ৪ বিয়োগ করাতে বিয়োগফল ১১ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ২০
খ
খ) ২১
গ
গ) ২২
ঘ
ঘ) ২৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সঙ্গে ৪ যোগ করে, যোগফলকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে ৯ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ৪ বিয়োগ করাতে বিয়োগফল ১১ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
[{(ক + ৪) × ৫} ÷ ৯] - ৪ = ১১
{(ক + ৪) × ৫} ÷ ৯ = ১৫
(ক + ৪) × ৫ = ১৫ × ৯
ক + ৪ = (১৫ × ৯)/৫
ক + ৪ = ২৭
ক = ২৭ - ৪
ক = ২৩

২,৬০৬.

x - [x - {x + 1}] এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) .1
গ
গ) 1.1
ঘ
ঘ) x + 1

ব্যাখ্যা

x - [x - {x + 1}]
= x - [x - x - 1]
= x + 1

২,৬০৭.

A = 2 হলে, 5/A এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 5/2
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

সুতরাং 5/A = 5/2

২,৬০৮.

(2x + 3y, 4) = (13, 5x - 2y) হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(2, 3)
খ
(4, 1)
গ
(3, 1)
ঘ
(5, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x + 3y, 4) = (13, 5x - 2y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 13 ...... (i)
এবং 5x - 2y = 4 ...... (ii)

{(i) নং × 5} - {(ii) × 2} ⇒
10x + 15y - 10x + 4y) = 65 - 8
⇒ 19y = 57
∴ y = 3

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই:
2x + (3 × 3) = 13
⇒ 2x + 9 = 13
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (2, 3)

২,৬০৯.

কোন পরীক্ষায় একটি ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টি প্রশ্ন হতে ১৫টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয়, এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিয়ে থাকে তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক
ক) ২০টি
খ
খ) ৩০টি
গ
গ) ৪০টি
ঘ
ঘ) ৫০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় একটি ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টি প্রশ্ন হতে ১৫টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয়, এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিয়ে থাকে তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১৫ + (n - ২০)/৩ = n এর ৫০%
বা (৪৫ + n - ২০)/৩ = n এর ৫০/১০০
বা, (n + ২৫)/৩ = n/২
বা, ৩n = ২n + ৫০
বা, ৩n - ২n = ৫০
n = ৫০

২,৬১০.

নিচের কোন সমীকরণটির একটি মূল 2 + i√3

ক
ক) x² + 4x - 7 = 0
খ
খ) x² - 3x + 2 = 0
গ
গ) x² - 4x + 7 = 0
ঘ
ঘ) x² - 4x - 7 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটির একটি মূল 2 + i√3-

সমাধান:
x² + 4x - 7 = 0
= (2 + i√3)² + 4(2 + i√3) - 7
= 4 + 4√3i + (i√3)² + 8 + 4√3i - 7
= 4 + 8√3i - 3 + 1
= 8√3i + 2 ≠ 0

x² - 3x - 7
= (2 + i√3)² - 3(2 + i√3) - 7
= 4 + 4√3i + (i√3)² - 6 - 3√3i - 7
= 4 + √3i - 3 - 13
= √3i - 12 ≠ 0

x² - 4x + 7
= (2 + i√3)² - 4(2 + i√3) + 7
= 4 + 4√3i + (i√3)² - 8 - 4√3i + 7
= 4 - 3 - 8 + 7
= 11 - 11
= 0

x² - 4x - 7 = 0
= (2 + i√3)² - 4(2 + i√3) - 7
= 4 + 4√3i + (i√3)² - 8 - 4√3i - 7
= 4 - 3 - 8 - 7
= - 14 ≠ 0

২,৬১১.

একটি শ্রেনীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেনীর ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
৫৫ জন
খ
৬৫ জন
গ
৭৫ জন
ঘ
১১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেনীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেনীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি
১ম শর্তমতে,
ছাত্রসংখ্যা = ৫(ক - ৫) জন

২য় শর্তমতে,
ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৭ জন
∴ ৫(ক - ৫) = ৩ক + ৭
⇒ ৫ক - ২৫ = ৩ক + ৭
⇒ ৫ক - ৩ক = ৭ + ২৫
⇒ ২ক = ৩২
∴ ক = ১৬

∴ ছাত্রসংখ্যা = (৩ × ১৬) + ৭ = ৫৫ জন

২,৬১২.

x - a = 8 সমীকরণে x কী?

ক
ক) ঘাত
খ
খ) চলক
গ
গ) সহগ
ঘ
ঘ) ধ্রুবক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - a = 8 সমীকরণে x কী?

সমাধান:
x - a = 8 সমীকরণে x একটি চলক।

২,৬১৩.

যদি (x - 5) (a + x) = x² - 25 হয়, তবে a -এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 25
গ
গ) -25
ঘ
ঘ) -5

ব্যাখ্যা

(x - 5)(a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

২,৬১৪.

x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
ক) বাস্তব, মূলদ ও অসমান
খ
খ) বাস্তব ও সমান
গ
গ) অবাস্তব ও সমান
ঘ
ঘ) বাস্তব, অসমান ও মূলদ

ব্যাখ্যা

x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 1; b = - 6; c = 9

b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² – 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² – 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² – 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,৬১৫.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে এবং প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
18 জন
খ
12 জন
গ
15 জন
ঘ
21 জন

ব্যাখ্যা

ছাত্র সংখ্যা y হলে,
১ম ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = y/6 + 2
২য় ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = (y - 8)/2
প্রশ্নানুসারে,
y/6 + 2 = (y - 8)/2
বা, (y + 12)/6 = (y - 8)/2
বা, 2y + 24 = 6y - 48
বা, 6y - 2y = 24 + 48
বা, 4y = 72
বা, y = 72/4
বা, y = 18

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 18 জন।

২,৬১৬.

x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

ক
ক) b - a
খ
খ) a - b
গ
গ) a + b
ঘ
ঘ) - a - b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

সমাধান:
a(x - a) = b(x - b)
বা, ‍ax - a² = bx - b²
বা, ax - bx = a² - b²
বা, x (a - b) = (a + b) (a - b)
বা, x = {(a + b) (a - b)}/(a - b)
∴ x = a + b

২,৬১৭.

2600 টাকা তিন জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেয়া হলো যেনো প্রথম ব্যক্তি দ্বিতীয় ব্যক্তির চেয়ে দ্বিগুণ টাকা পায় এবং দ্বিতীয় ব্যক্তি তৃতীয় ব্যক্তির 1/10 গুণ টাকা পায়। প্রথম ব্যক্তি কত টাকা পায়?

ক
400 টাকা
খ
600 টাকা
গ
1200 টাকা
ঘ
1600 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2600 টাকা তিন জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেয়া হলো যেনো প্রথম ব্যক্তি দ্বিতীয় ব্যক্তির চেয়ে দ্বিগুণ টাকা পায় এবং দ্বিতীয় ব্যক্তি তৃতীয় ব্যক্তির 1/10 গুণ টাকা পায়। প্রথম ব্যক্তি কত টাকা পায়?

সমাধান:
ধরি,
২য় ব্যক্তি পায় = p টাকা

তাহলে,
১ম ব্যক্তি পায় = 2p টাকা
৩য় ব্যক্তি পায় = 10P টাকা

প্রশ্নমতে,
p + 2p + 10p = 2600
বা, 13p = 2600
বা, p = 2600/13
∴ p = 200

∴ ১ম ব্যক্তি পায় = 2 × 200 = 400 টাকা

২,৬১৮.

রহিম করিমের চেয়ে তিনগুণ বড়। রহিমের বর্তমান বয়স ১৮ বছর। যখন রহিমের বয়স করিমের বয়সের দ্বিগুন হবে তখন রহিমের বয়স কত হবে?

ক
১০ বছর
খ
২০ বছর
গ
১২ বছর
ঘ
২৪ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম করিমের চেয়ে তিনগুণ বড়। রহিমের বর্তমান বয়স ১৮ বছর। যখন রহিমের বয়স করিমের বয়সের দ্বিগুন হবে তখন রহিমের বয়স কত হবে?

সমাধান:
রহিমের বর্তমান বয়স ১৮ বছর
করিমের বর্তমান বয়স = ১৮/৩ বছর
= ৬ বছর

ধরি
ক বছর পর রহিমের বয়স করিমের বয়সের দ্বিগুন হবে

প্রশ্নমতে
ক + ১৮ = ২(ক + ৬)
ক + ১৮ = ২ক + ১২
১৮ - ১২ = ২ক - ক
ক = ৬

তখন রহিমের বয়স হবে = ১৮ + ৬ = ২৪ বছর

২,৬১৯.

একটি দানবাক্সে ৫০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মোট ১০০টি মুদ্রা পাওয়া গেল। যদি বাক্সে ৪৫ টাকা জমা হয়ে থাকে। তাহলে ৫০ পয়সার মুদ্রা কতটি আছে?

ক
৬৫ টি
খ
৬০ টি
গ
২০ টি
ঘ
৮০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দানবাক্সে ৫০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মোট ১০০টি মুদ্রা পাওয়া গেল। যদি বাক্সে ৪৫ টাকা জমা হয়ে থাকে। তাহলে ৫০ পয়সার মুদ্রা কতটি আছে?

সমাধান:
ধরি,
৫০ পয়সার মুদ্রা = ক টি
২৫ পয়সার মুদ্রা = (১০০ - ক)টি

প্রশ্নমতে,
⇒ ৫০ক + ২৫(১০০ - ক) = ৪৫ × ১০০
⇒ ৫০ক + ২৫০০ - ২৫ক = ৪৫০০
⇒ ২৫ক = ৪৫০০ - ২৫০০
⇒ ২৫ক = ২০০০
⇒ ক = ২০০০/২৫
∴ ক = ৮০

∴ ৫০পয়সার মুদ্রা আছে ৮০ টি।

২,৬২০.

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত?

ক
ab
খ
a
গ
a + b
ঘ
(a +b)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
বা,(x - a)/(a + b) (a - b) = (x - b)/- (a + b) (a - b)
বা, (x - a) = - (x - b)
বা, x - a = - x + b
বা, x + x = a + b
বা, 2x = a + b
∴ x = (a + b)/2

২,৬২১.

3x – 2y = 0 এবং 17x – 7y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (1, 2)
খ
খ) (3, 2)
গ
গ) (2, 1)
ঘ
ঘ) (2, 3)

ব্যাখ্যা

3x – 2y = 0 ……………. (1)
or, 3x = 2y
or, x = (2y/3) …………… (3)
17x – 7y = 13 ……………… (2)

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 3
এখন, y এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 2
অতএব, (x, y) = (2, 3)

২,৬২২.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
57
খ
75
গ
39
ঘ
93

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (12 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(12 - x)}
= 120 - 9x
আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (12 - x)}
= 9x + 12

প্রশ্নমতে,
(9x + 12) - (120 - 9x) = 54
বা, 9x + 12 - 120 + 9x = 54
বা, 18x - 108 = 54
বা, 18x = 54 + 108
বা, 18x = 162
বা, x = 162/18
∴ x = 9

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 120 - (9 × 9)
= 120 - 81
= 39

২,৬২৩.

(2x - 3)² = 25 সমীকরণের সমাধান কত?

ক
x = 5 অথবা x = 1
খ
x = 8 অথবা x = -2
গ
x = 7 অথবা x = -3
ঘ
x = 4 অথবা x = -1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 3)² = 25 সমীকরণের সমাধান কত?
সমাধান:
(2x - 3)² = 25
বা, 2x - 3 = ±5 [উভয়পাশে বর্গমূল করে]

এখন,
2x - 3 = 5 হলে,
2x = 8
∴ x = 4

আবার,
2x - 3 = -5 হলে,
2x = -2
∴ x = -1

অতএব, সমাধান: x = 4 অথবা x = -1

২,৬২৪.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান-

ক
x = 1, y = - 1
খ
x = 1, y = 1
গ
x =- 1, y= -1
ঘ
x = - 1, y = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান-

সমাধান;
3x - 7y + 10 = 0
⇒ 3x - 7y = - 10.................(i)

এবং y - 2x - 3 = 0
⇒ - 2x + y = 3..................(ii)

(ii) নং কে 7 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করি-
3x - 7y = - 10
- 14x + 7y = 21
_________________
(+) করে, - 11x = 11
⇒ x = - 1

x এর মান (i) নং এ বসাই,
3.(-1) - 7y = - 10
⇒ - 3 - 7y = - 10
⇒ 7y = 7
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (- 1, 1)

২,৬২৫.

ax² + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b² - 4ac = 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই
খ
মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
গ
মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান
ঘ
মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b² - 4ac = 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,৬২৬.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল যথাক্রমে 2 এবং 3 হলে, সমীকরণটি হবে-

ক
2x² - 3x + 6 = 0
খ
2x² - 5x + 3 = 0
গ
3x² - 5x + 6 = 0
ঘ
x² - 5x + 6 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল যথাক্রমে 2 এবং 3 হলে, সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 এবং 3 হলে,
সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (2 + 3)x + 2 × 3 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0

২,৬২৭.

একটি বই ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। বইয়ের দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে বইয়ের দাম কলমের দামের তিনগুণ হতো। কলমের দাম কত?

ক
ক) 59 টাকা
খ
খ) 60 টাকা
গ
গ) 15 টাকা
ঘ
ঘ) 16 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বই ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। বইয়ের দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে বইয়ের দাম কলমের দামের তিনগুণ হতো। কলমের দাম কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি বইয়ের দাম = x টাকা
একটি কলমের দাম = (75 - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x - 5 = 3 {(75 - x) + 2}
বা, x - 5 = 3 (77 - x )
বা, x - 5 = 231 - 3x
বা, x + 3x = 231 + 5 [পক্ষান্তর করে]
বা, 4x = 236
বা, x = 236/4
বা, x = 59
∴ x = 59 টাকা

∴ বইয়ের দাম 59 টাকা

∴ কলমের দাম = (75 - 59) টাকা
= 16 টাকা

২,৬২৮.

7x - 3y = 31 এবং 9x - 5y = 41 হলে, (x, y) =?

ক
(4, - 1)
খ
(4, 1)
গ
(- 4, - 1)
ঘ
(- 4, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x - 3y = 31 এবং 9x - 5y = 41 হলে, (x, y) =?

সমাধান:
7x - 3y = 31 ................(1)
9x - 5y = 41 ...............(2)

(1) × 5 - (2) × 3 ⇒
35x - 15y - 27x + 15y = 155 - 123
8x = 32
x = 32/8
x = 4

(1) ⇒
7x - 3y = 31
28 - 3y = 31
3y = - 3
y = - 1

(x, y) = (4, - 1)

২,৬২৯.

2x + 2y = 8 এবং 2x + 3y = 11 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(2, 3)
খ
(2, 1)
গ
(1, 3)
ঘ
(4, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 2y = 8 এবং 2x + 3y = 11 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x + 2y = 8 ....... (1)
2x + 3y = 11 ....... (2)

(2) - (1) নং হতে,
2x + 3y - 2x - 2y = 11 - 8
⇒ y = 3

y এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
2x = 11 - (3 · 3)
⇒ 2x = 2
∴ x = 1
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 3)

২,৬৩০.

x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

ক
1
খ
- a
গ
a - b
ঘ
a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

সমাধান:
a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²
⇒ x(a - b) = (a + b) (a - b)
∴ x = (a + b)

২,৬৩১.

একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
55
খ
65
গ
75
ঘ
90

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(4x/5) - (2x/3) = 12
বা, (12x - 10x)/15 = 12
বা, 12x - 10x = 180
বা, 2x = 180
বা, x= 180/2
∴ x = 90

∴ সংখ্যাটি = 90.

২,৬৩২.

দুটি সংখ্যার সমষ্টি 70 এবং অন্তরফল 10 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
40
গ
45
ঘ
35

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি 70 এবং অন্তরফল 10 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = x এবং ছোট সংখ্যাটি = y

১ম শর্তমতে:
x + y = 70 ......(1)

২য় শর্তমতে:
x - y = 10 ......(2)

(1) + (2) করলে পাই,
x + y + x - y = 70 + 10
⇒ 2x = 80
⇒ x = 40

∴ বড় সংখ্যাটি = 40

২,৬৩৩.

কোন সংখ্যার 7 গুণ থেকে 3 গুণ বিয়োগ করলে 40 হয়?

ক
12
খ
11
গ
10
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 7 গুণ থেকে 3 গুণ বিয়োগ করলে 40 হয়?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
7x - 3x = 40
বা, 4x = 40
বা, x = 40/4
∴ x = 10

∴ সংখ্যাটি = 10

২,৬৩৪.

ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২০০টি । তা হলে কতটি ময়ূর আছে?

ক
৬০টি
খ
৫০টি
গ
৪০টি
ঘ
৩০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২০০টি । তা হলে কতটি ময়ূর আছে?

সমাধান:
ধরি
ময়ূর আছে ক টি
হরিণ আছে = (৮০ - ক)টি

প্রশ্নমতে,
২ক + ৪ (৮০ - ক) = ২০০
২ক + ৩২০ - ৪ক = ২০০
৩২০ - ২ক = ২০০
- ২ক = ২০০ - ৩২০
- ২ক = - ১২০
ক = ৬০

২,৬৩৫.

কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে ভগ্নাংশটি কত?

ক
5/7
খ
3/7
গ
2/3
ঘ
4/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 10 ...........(1)
y - x = 4 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 14
y = 7

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 7 = 10
x = 10 - 7
x = 3

∴ ভগ্নাংশটি = x/y = 3/7

২,৬৩৬.

আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। পিতা ও পুত্রের বয়স যথাক্রমে -

ক
ক) 32, 11
খ
খ) 30, 12
গ
গ) 40, 16
ঘ
ঘ) 36, 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে কার বয়স কত?

সমাধানঃ
মনে করি,
বর্তমানে পিতার বয়স x বছর
ও পুত্রের বয়স y বছর।

১ম শর্তানুসারে, x - 8 = 8 (y - 8)........(i)
এবং ২য় শর্তানুসারে, x + 10 = 2 (y + 10).......(ii)

(i) হতে পাই, x – 8 = 8y - 64
বা, x = 8y - 64 +8
বা, x = 8y – 56 .........(iii)

(ii) হতে পাই, x + 10 = 2y + 20
বা, 8y – 56 + 10 = 2y + 20 [(iii) হতে x এর মান বসিয়ে]
বা, 8y – 2y = 20 + 56 - 10
বা, 6y = 66
বা, y = 11

(iii) হতে পাই, x = (8 × 11) – 56 = 88 - 56 = 32
বর্তমানে পিতার বয়স 32 বছর ও পুত্রের বয়স 11 বছর।

২,৬৩৭.

2x + y = 7 এবং x + 3y = 9 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(9/4, 7/4)
খ
(13/7, 11/5)
গ
(12/5, 11/5)
ঘ
(10, 7)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 7 এবং x + 3y = 9 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 7
y = 7 - 2x ................ (1)
x + 3y = 9 ................(2)

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 3(7 - 2x) = 9
⇒ x + 21 - 6x = 9
⇒ - 5x + 21 = 9
⇒ - 5x = - 12
∴ x = 12/5

এখন x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
y = 7 - {2(12/5)}
⇒ y = 7 - (24/5)
⇒ y = (35 - 24)/5
⇒ y = 11/5

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (12/5, 11/5)

২,৬৩৮.

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
৪২ জন
খ
৫৬ জন
গ
৬০ জন
ঘ
৪৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
∴ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ জন
= ১২ × ৪ = ৪৮ জন

২,৬৩৯.

3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?

সমাধান:
মনে করি,
3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে x যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে।

প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5

∴ 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে।

২,৬৪০.

যদি x - y = 2 এবং xy = 24 হয়, তবে y এর ধনাত্মক মানটি হবে -

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 2 এবং xy = 24 হয়, তবে y এর ধনাত্মক মানটি হবে -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
বা, x = 2 + y

এবং, xy = 24
বা, y = 24/x
বা, y = 24/(2 + y)
বা, 2y + y² = 24
বা, y² + 2y - 24 = 0
বা, y² + 6y - 4y - 24 = 0
বা, y(y + 6) - 4(y + 6) = 0
বা, (y + 6)(y - 4) = 0

হয়, y + 6 = 0 ⇒ y = - 6
অথবা, y - 4 = 0 ⇒ y = 4
∴ y এর ধনাত্মক মানটি হবে 4.

২,৬৪১.

{(2a - 1)/5} + 1 = (a - 1)/10 হলে, 1/a² এর মান কত?

ক
3
খ
- 1/3
গ
1/9
ঘ
- 1/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(2a - 1)/5} + 1 = (a - 1)/10 হলে, 1/a² এর মান কত?

সমাধান:
{(2a - 1)/5} + 1 = (a - 1)/10
⇒ {(2a - 1)/5} - {(a - 1)/10} = - 1
⇒ {2(2a - 1) - (a - 1)}/10 = - 1
⇒ 4a - 2 - a + 1 = - 10
⇒ 3a = - 10 + 1
⇒ 3a = - 9
∴ a = - 3

∴ 1/a²= 1/(- 3)²= 1/9

২,৬৪২.

2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) =?

ক
(3, 2)
খ
(2, 3)
গ
(3, 4)
ঘ
(4, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) =?

সমাধান:
2x + y = 8
⇒ 4x + 2y = 16 ............(1)

3x - 2y = 5 ............(2)

(1) + (2) ⇒
4x + 2y + 3x - 2y = 16 + 5
⇒ 7x = 21
∴ x = 3

(2) নং হতে পাই,
3x - 2y = 5
⇒ 3 × 3 - 2y = 5
⇒ 9 - 2y = 5
⇒ 2y = 4
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

২,৬৪৩.

x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

২,৬৪৪.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 4/95
খ
খ) 98
গ
গ) 54
ঘ
ঘ) 43

ব্যাখ্যা

মনে করি,
নির্ণেয় সংখ্যার দশম স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y।
অতএব, সংখ্যাটি 10x + y।
১ম শর্ত, x + y + 5 = 3x ........(1)
∴ y = 2x - 5 ...........(2)
২য় শর্ত,
10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y - y + x - 10x - 9 = 0
⇒ 9y - 9x + 9 = 0
⇒ y - x + 1 = 0
⇒ 2x - 5 - x + 1 = 0
⇒ x = 4
(2) নং থেকে y = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 40 + 3 = 43

২,৬৪৫.

৯ + ২ [- ৮ - {- ৩ - (- ২ - ৩)} - ৪] = কত?

ক
ক) -২১
খ
খ) - ১৯
গ
গ) -২৩
ঘ
ঘ) - ২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ৯ + ২ [- ৮ - {- ৩ - (- ২ - ৩)} - ৪] = কত?

সমাধান :
৯ + ২ [- ৮ - {- ৩ - (- ২ - ৩)} - ৪]
= ৯ + ২ [- ৮ - {- ৩ - (- ৫)} - ৪]
= ৯ + ২ [- ৮ - {- ৩ + ৫} - ৪]
= ৯ + ২ [- ৮ - { + ২} - ৪]
= ৯+ ২ [- ৮ - ২ - ৪]
= ৯ + ২ [- ১ ৪]
= ৯- ২৮
= - ১৯

২,৬৪৬.

দুইটি সংখ্যার বর্গের যোগফল 85 এবং গুণফল 42 হলে সংখ্যাদুটির বর্গের অন্তরফল কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 13
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

২,৬৪৭.

3x - 2y = 5 , 2x + 3y = 12 সমীকরণদ্বয়ের (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (3,3)
খ
খ) (3,2)
গ
গ) (4,3)
ঘ
ঘ) (3,5)

ব্যাখ্যা

3x - 2y = 5............. (1)
2x + 3y = 12 ..............(2)

(1)নং × 3 + (2)নং × 2⇒
9x - 6x + 4x + 6x = 15 + 24
13x = 39
x = 39/13
x = 3

(2)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 12 - 6
3y = 6
y = 6/3
y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3,2)

২,৬৪৮.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
৪৭
খ
৩৬
গ
২৫
ঘ
১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশকের অঙ্ক ক হলে,
এককের অঙ্ক (ক + ৩)

∴ সংখ্যাটি = ১০ক + ক + ৩ = ১১ক + ৩

প্রশ্নানুসারে,
১১ক + ৩ = ৩(ক + ক + ৩) + ৪
বা, ১১ক - ৬ক = ১৩ - ৩
বা, ৫ক = ১০
∴ ক = ২
∴ সংখ্যাটি = (১১ × ২ + ৩) = ২৫

২,৬৪৯.

২টি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 199 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 70
খ
খ) 80
গ
গ) 90
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২টি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 199 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা x
∴ ছোট সংখ্যা x - 1

শর্তমতে,
x² - (x - 1)² =199
বা, x² - x² + 2x - 1 = 199
বা, 2x = 200
∴ x = 100

২,৬৫০.

দুইটি সংখ্যার গুণফল 105 এবং বর্গের যোগফল 274 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

ক
18
খ
20
গ
22
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 105 এবং বর্গের যোগফল 274 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

১ম শর্তানুসারে, xy = 105
২য় শর্তানুসারে, x² + y² = 274

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 274 + 2 × 105
⇒ (x + y)² = 274 + 210
⇒ (x + y) = √484
∴ x + y = 22

২,৬৫১.

একজন ব্যাটসম্যান ২২ টি ৪ ও ৬ এর মাধ্যমে ৯৪ রান করে। তার ৬ এর সংখ্যা কত?

ক
৩ টি
খ
৬ টি
গ
৫ টি
ঘ
১০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান ২২ টি ৪ ও ৬ এর মাধ্যমে ৯৪ রান করে। তার ৬ এর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ৪ এর সংখ্যা = ক টি
৬ এর সংখ্যা = (২২-ক) টি

প্রশ্নমতে,
৪ ক + ৬(২২ - ক) = ৯৪
⇒ ৪ক + ১৩২ - ৬ক = ৯৪
⇒ ১৩২ - ২ক = ৯৪
⇒ - ২ক = ৯৪ - ১৩২
⇒ - ২ক = - ৩৮
⇒ ২ক = ৩৮
⇒ ক = ৩৮/২
⇒ ক = ১৯

সুতরাং, তার ৪ এর সংখ্যা ১৯ টি।
অতএব, তার ৬ এর সংখ্যা = (২২ - ১৯) = ৩ টি।

২,৬৫২.

'N' সংখ্যক আম থেকে একটি ক্লাসের সকল ছাত্র কে ৮টি করে আম দিলে ১৪টি আম অবশিষ্ট থাকে। কিন্তু ৯টি করে আম দিতে গেলে আরো ১০টি আম এর প্রয়োজন হয়। ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
৩২ জন
খ
২৪ জন
গ
৪০ জন
ঘ
২২ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'N' সংখ্যক আম থেকে একটি ক্লাসের সকল ছাত্র কে ৮টি করে আম দিলে ১৪টি আম অবশিষ্ট থাকে। কিন্তু ৯টি করে আম দিতে গেলে আরো ১০টি আম এর প্রয়োজন হয়। ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ছাত্রের মোট সংখ্যা = ক

প্রথম শর্তানুসারে,
৮টি করে আম দিলে ১৪টি অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, মোট আমের সংখ্যা = ৮ক + ১৪

আবার,
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
৯টি করে আম দিতে গেলে ১০টি আমের অভাব হয়।
সুতরাং, মোট আমের সংখ্যা = ৯ক - ১০

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই আমের মোট সংখ্যা অপরিবর্তিত,
⇒ ৮ক + ১৪ = ৯ক - ১০
⇒ ৯ক - ৮ক = ১৪ + ১০
∴ ক = ২৪

সুতরাং, ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা ২৪ জন

২,৬৫৩.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটির মান পূর্বাপেক্ষা ৩৬ বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের পার্থক্য কত?

ক
৩
খ
৪
গ
৬
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটির মান পূর্বাপেক্ষা ৩৬ বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দুই অংকের সংখ্যাটির দশকের ঘরের অংক = x
একক ঘরের অংক = y

সুতরাং, মূল সংখ্যা = ১০x + y
স্থান পরিবর্তনের পর সংখ্যা = ১০y + x

প্রশ্নমতে,
স্থান পরিবর্তনের পর সংখ্যা = মূল সংখ্যা + ৩৬
⇒ ১০y + x = ১০x + y + ৩৬
⇒ ১০y + x = ১০x + y + ৩৬
⇒ ১০y - y = ১০x - x + ৩৬
⇒ ৯y = ৯x + ৩৬
⇒ ৯y - ৯x = ৩৬
⇒ ৯(y - x) = ৩৬
∴ y - x = ৪

সুতরাং, অংকদ্বয়ের পার্থক্য = ৪

২,৬৫৪.

x² - √3 x+1 = 0 হলে x³+1/x³এর মান কোনটি?

ক
12
খ
0
গ
6√3
ঘ
3√3+3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - √3 x+1 = 0 হলে x³+1/x³ এর মান কোনটি?

সমাধান:
সমীকরণটি: x² - √3x + 1 = 0
তাহলে,
x² + 1 = √3x
x + 1/x = √3 [উভয় পাশে 1/x দ্বারা ভাগ করে পাই]

এখন, x + 1/x কে ঘন করে পাই,
x³ + 1/x³= (x +1/x)³ - 3(x +1/x)
= (√3)³ - 3(√3)
= 3(√3) - 3(√3)
= 0

২,৬৫৫.

a + 4b = 37 এবং 3a + 2b = 31 হয়, তাহলে b এর মান কত?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 4b = 37 এবং 3a + 2b = 31 হয়, তাহলে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 4b = 37 ...... (1)
3a + 2b = 31 ...... (2)

(1) নং - {(ii) নং × 2} ⇒
a + 4b - 6a - 4b = 37 - 62
⇒ - 5a = - 25
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
4b = 37 - 5
⇒ b = 32/4
∴ b = 8

২,৬৫৬.

2b = 2a - 4 এবং 4a - 5b = 3 হলে, a ও b এর মান কত?

ক
7, 5
খ
7, 3
গ
5, 3
ঘ
2, 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2b = 2a - 4 এবং 4a - 5b = 3 হলে, a ও b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2b = 2a - 4
⇒ 2a - 2b = 4 ........ (1)
4a - 5b = 3 ............ (2)
(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
4a - 4b - 4a + 5b = 8 - 3
∴ b = 5
b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a - (2 × 5) = 4
⇒ 2a = 4 + 10
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (a, b) = (7, 5)

২,৬৫৭.

x⁴ + (1/x⁴) = 34 হলে, x - (1/x) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + (1/x⁴) = 34 হলে, x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
x⁴ + (1/x⁴) = 34
⇒ (x² + 1/x²)² -2.x². 1/x² = 34
⇒ (x² + 1/x²)² - 2 = 34
⇒ (x² + 1/x²)² = 36
⇒ (x² + 1/x²) = 6
⇒ (x - 1/x)² + 2.x.1/x = 6
⇒ (x - 1/x)² = 6 - 2
⇒ (x - 1/x)² = 4
⇒ (x - 1/x) = √4
∴ (x - 1/x) = 2

২,৬৫৮.

k এর মান কত হলে, kx² - 10x + 25 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
1
খ
- 5
গ
10
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে, kx² - 10x + 25 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত:
একটি দ্বিঘাত রাশি ax² + bx + c পূর্ণবর্গ হবে যদি এর নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অর্থাৎ b² - 4ac = 0
kx² - 10x + 25 এর সাথে ax² + bx + c তুলনা করে পাই,
a = k, b = - 10, এবং c = 25.

∴ (- 10)² - 4 × k × 25 = 0
⇒ 100 - 100k = 0
⇒ 100k = 100
∴ k = 100/100 = 1.

২,৬৫৯.

কোন অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/7
খ
খ) 7/3
গ
গ) 6/4
ঘ
ঘ) 8/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ অপ্রকৃত ভগ্নাংশটি = x/y ; (x>y)

১ম শর্তানুসারে,
x + y = 10 ................. (1)
২য় শর্তানুসারে,
x - y = 4 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x = 14
বা, x = 14/2
∴ x = 7
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

7 + y = 10
বা, y = 10 - 7
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 7/3

২,৬৬০.

একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩২ কেজি এবং অর্ধেক তেল থাকাকালীন পাত্রের ওজন ২০ কেজি। পাত্রটির ওজন কত?

ক
৮ কেজি
খ
১০ কেজি
গ
১২ কেজি
ঘ
১৪ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩২ কেজি এবং অর্ধেক তেল থাকাকালীন পাত্রের ওজন ২০ কেজি। পাত্রটির ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
পাত্রের ওজন x কেজি
.’. সম্পূর্ণ তেলের ওজন = ৩২ - x কেজি
অর্ধেক তেলের ওজন = ২০ - x কেজি

শর্তমতে,
৩২- x = ২(২০ - x)
বা, ৩২- x = ৪০ - ২x
বা, - x + ২x = ৪০ - ৩২
বা, x = ৮

২,৬৬১.

x - 3y + 2 = 0 এবং 5x - 15y + 10 = 0 সমীকরণদ্বয়ের কয়টি সমাধান আছে?

ক
ক) একটি
খ
খ) দুইটি
গ
গ) অসংখ্য
ঘ
ঘ) কোন সমাধান নাই

ব্যাখ্যা

x - 3y + 2 = 0 ---------- (1)
উপরোক্ত প্রথম সমীকরণের উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করলে পাই,
5x - 15y + 10 = 0 -------(2) যা প্রদত্ত দ্বিতীয় সমীকরণ।
প্রদত্ত সমীকরণ দুইটি একই হওয়ায় এদের অসংখ্য সমাধান আছে।

সমীকরণ (1) অথবা (2) থেকে পাই,
x = 3y - 2
y = 0 হলে, x = - 2 ∴ (x, y) = (-2, 0)
y = 1 হলে, x = 1 ∴ (x, y) = (1, 1)
y = 2 হলে, x = 4 ∴ (x, y) = (4, 2)
y = 3 হলে, x = 7 ∴ (x, y) = (7, 3)
------------------------------------
------------------------------------
y = n হলে, x = 3n - 2 ∴ (x, y) = (3n - 2, n)
এরকম অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে।
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে,
দুইটি সমীকরণের a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে।
যেখানে,
a₁ = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b₁ = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c₁ = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির অসংখ্য সমাধান থাকায় সমীকরণ দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল সমীকরণজোট।

২,৬৬২.

একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে 7 যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 26 বিয়োগ করলেও একই সংখ্যা পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ২০
গ
গ) ২২
ঘ
ঘ) ৩০

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x
প্রশ্নমতে,
x/2 + 7 = 2x - 26
বা, x = 22

২,৬৬৩.

4x + 10y = - 2 এবং 3x - 2y = 8 হলে, x³ + 1 এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
9
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + 10y = - 2 এবং 3x - 2y = 8 হলে, x³ + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 10y = - 2 …… (i)
এবং 3x - 2y = 8
বা, 15x - 10y = 40 ……(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

(i) নং ও (ii) নং কে যোগ করে পাই,
4x + 10y + 15x - 10y = - 2 + 40
বা, 19x = 38
বা, x = 38/19
∴ x = 2

∴ x³+ 1 = 2³+ 1 = 9

২,৬৬৪.

(4x + 5y - 20) = 0 এবং (y + x - 1) = 0 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
( 10, - 17)
খ
(- 12, 20)
গ
(- 15, 16)
ঘ
(- 6, 13)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4x + 5y - 20) = 0 এবং (y + x - 1) = 0 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 5y - 20 = 0 ......... (1)
y + x - 1 = 0
⇒ y = (1 - x) .............. (2)

(1) নং হতে পাই,
4x + 5(1 - x) - 20 = 0
⇒ 4x + 5 - 5x - 20 = 0
⇒ - x - 15 = 0
⇒ - x = 15
⇒ x = - 15

x এর মান (2) নং এ বসাই,
y = {1 - (- 15)}
⇒ y = 1 + 15
⇒ y = 16

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (- 15, 16)

২,৬৬৫.

(7x/3) + (3/5) = (2x/5) - (4/3) হলে, x + 3 = ?

ক
- 1
খ
1
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (7x/3) + (3/5) = (2x/5) - (4/3) হলে, x + 3 = ?

সমাধান:
7x/3 + 3/5 = 2x/5 - 4/3
বা, (35x + 9)/15 = (6x - 20)/15
বা, 35x + 9 = 6x - 20
বা, 35x - 6x = - 20 - 9
বা, 29x = - 29
∴ x = - 1

∴ x + 3 = - 1 + 3 = 2

২,৬৬৬.

2a + 3b = 36 , 2a + b = 16 হলে (a, b) এর মান কত?

ক
ক) (3, 10)
খ
খ) (5, 2)
গ
গ) (4, 5)
ঘ
ঘ) (4, 15)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
2a + 3b = 36................(1)
2a + b = 16................(2)

(1) - (2) ⇒
2a + 3b - 2a - b = 36 -16
2b = 20
b = 20/2
b = 10

(2) নং এ b এর মান বসিয়ে পাই
2a + 10 = 16
2a = 16 - 10
2a = 6
a = 3
নির্ণেয় সমাধান (a, b) =(3, 10)

২,৬৬৭.

Solve the equation : 3/(x - 4) = 2/(x + 5)

ক
ক) - 23
খ
খ) - 20
গ
গ) - 5
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

Question: Solve the equation: 3/(x - 4) = 2/(x + 5)
Solution:
3/(x - 4) = 2/(x + 5)
3(x + 5) = 2(x - 4)
3x + 15 = 2x - 8
3x - 2x = - 8 - 15
x = - 23

২,৬৬৮.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির 3 গুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 53
খ
খ) 35
গ
গ) 47
ঘ
ঘ) 74

ব্যাখ্যা

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x ও দশক স্থানীয় অঙ্ক y
শর্তানুসারে, x + y + 7 = 3y
বা, x = 2y - 7
এবং x + 10y - 18 = y + 10x
বা, 9y - 9x = 18
বা, 9y - 9(2y - 7) = 18
বা, 9y - 18y + 63 = 18
বা, 9y = 45
∴ y = 5
∴ x = 2y - 7 = 2 × 5 - 7 = 3
∴ সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 53
--------------------------------------------------
short-cut
অপশনের ক) - তে, 53 আছে। তাই 5 + 3 + 7 = 15 যা দশক স্থানীয় অঙ্ক, 5 এর তিনগুন। 53 - 18 = 35। তাই ক) সঠিক

২,৬৬৯.

সমাধান করুনঃ ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2

ক
ক) 0, -1
খ
খ) 1, -1
গ
গ) 1, -2
ঘ
ঘ) 2, -2

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ সমাধান করুনঃ ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2

সমাধানঃ
∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2
⇒ {∛(1 + a) + ∛(1 - a)}³ = (∛2)³ [ ঘন করে ]
⇒ {∛(1 + a)}³ + {∛(1 - a)}³ + 3 . ∛(1 + a) . ∛(1 - a) . {∛(1 + a) + ∛(1 - a)} = 2
⇒ 1 + a + 1 - a + 3 . (1 + a)^1/3. (1 - a)^1/3 {∛2} = 2 [ যেহেতু, ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2]
⇒ 2 + 3 (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3. 2^1/3= 2
⇒ 3 (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 . 2^1/3= 0
⇒ (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 = 0
⇒ (1 + a) (1 - a) = 0

হয়, 1 + a = 0
বা, a = - 1

অথবা,
1 - a = 0
বা, a = 1

∴ a = 1, -1

২,৬৭০.

(3x - 7, 4) = (5, 2y - 8) হলে (x,y) এর মান কত?

ক
(4, 6)
খ
(- 6, - 6)
গ
(2, 3)
ঘ
(- 4, - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x - 7, 4) = (5, 2y - 8) হলে (x,y) এর মান কত?

সমাধান:
সমীকরণ গঠন করি,
3x − 7 = 5
2y − 8 = 4

এখন সমীকরণদ্বয় সমাধান করে পাই,
3x−7 = 5
⟹ 3x = 5 + 7 = 12
⟹ x =12/3 = 4
∴ x = 4
এবং
2y − 8 = 4
2y = 4 + 8 = 12
⟹ y = 12/2 = 6
∴ y = 6
অতএব, (x,y) = (4,6)

২,৬৭১.

3x - 2y = 16 এবং 2x + 5y = - 21 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(3, 2)
খ
(2, -5)
গ
(3, -2)
ঘ
(-1, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2y = 16 এবং 2x + 5y = - 21 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
3x - 2y = 16 ........ (1)
2x + 5y = - 21 ....... (2)

(1) নং × 5 + (2) নং × 2 ⇒
15x - 10y + 4x + 10y = 80 - 42
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

(2) নং হতে ⇒
5y = - 21 - 2 ⋅ 2
⇒ y = - 25/5
∴ y = - 5

∴ সরলরেখা দুটি (2, -5) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,৬৭২.

x + y + z = 18 এবং x - y = z হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
9
গ
11
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + z = 18 এবং x - y = z হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y + z = 18 .......... (1)
x - y = z
⇒ y + z = x

সমীকরণ (1) -এ, y + z = x বসিয়ে পাই,
x + x = 18
⇒ 2x = 18
⇒ x = 18/2
∴ x = 9

২,৬৭৩.

a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

ক
4
খ
6
গ
0
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + 2
= 6

২,৬৭৪.

1/a + 1/b = 1/c এবং ab = c হলে, কোনটি সত্য?

ক
2a - √(1 - 4c) - 1 = 0
খ
a - √(1 - 4c) - 1 = 0
গ
2a - √(1 - c) - 1 = 0
ঘ
2a - √4c - 1 = 0

ব্যাখ্যা

1/a + 1/b = 1/c
⇒ (a + b)/ab = 1/ab
⇒ (a + b) = 1 --- --- --- (1)

(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 1 - 4c
a - b = √(1 - 4c) --- --- --- (2)

(1) + (2) ⇒ 2a = √(1 - 4c) + 1
⇒ 2a - √(1 - 4c) - 1 = 0

২,৬৭৫.

দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে সংখ্যা দুটি হলো-

ক
২৩ ও ২৪
খ
২১ ও ২২
গ
২২ ও ২৩
ঘ
২৪ ও ২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে সংখ্যা দুটি হলো-

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
ছোট সংখ্যাটি = ক - ১

প্রশ্নমতে,
ক^২ - (ক - ১)^২ = ৪৭
⇒ ক^২ - ক^২ + ২ক - ১ = ৪৭
⇒ ২ক = ৪৮
∴ ক = ২৪

∴ বড় সংখ্যাটি ২৪
ছোট সংখ্যাটি = ২৪ - ১ = ২৩

২,৬৭৬.

ক
ক) 1
খ
খ) 11/29
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৬৭৭.

সুজনের মাসিক বেতন জামালের মাসিক বেতনের চেয়ে 4000 টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল 6,00,000 টাকা হলে জামালের মাসিক বেতন কত?

ক
17500 টাকা
খ
21500 টাকা
গ
23000 টাকা
ঘ
27000 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুজনের মাসিক বেতন জামালের মাসিক বেতনের চেয়ে 4000 টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল 6,00,000 টাকা হলে জামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, জামালের মাসিক বেতন = x টাকা
সুজনের মাসিক বেতন = x + 4000 টাকা

প্রশ্নমতে,
12(x + x + 4000) = 6,00,000
⇒ 12x + 12x + 48000 = 6,00,000
⇒ 24x + 48000 = 6,00,000
⇒ 24x = 6,00,000 - 48000
⇒ 24x = 552000
⇒ x = 552000/24
⇒ x = 23000

∴ জামালের মাসিক বেতন = 23000 টাকা

২,৬৭৮.

3(3x - 4) = 2(4x - 3) - 2 হলে x এর মান কত?

ক
4
খ
- 4
গ
6
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3) - 2
বা, 9x - 12 = 8x - 6 - 2
বা, 9x - 8x = - 6 + 12 - 2
বা, x = 4

২,৬৭৯.

একটি শ্রেণিকক্ষের শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 120 বাদ দেওয়ায় শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 75 থেকে 72 এ নেমে আসলো। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট কতজন শিক্ষার্থী ছিলো?

ক
50 জন
খ
36 জন
গ
40 জন
ঘ
58 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 120 বাদ দেওয়ায় শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 75 থেকে 72 এ নেমে আসলো। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট কতজন শিক্ষার্থী ছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
মোট নম্বর = a
এবং শিক্ষার্থী সংখ্যা = b

প্রশ্নমতে,
a/b = 75 .......... (1)

আবার, (a - 120)/b = 72
⇒ (a/b) - (120/b) = 72
⇒ 75 - (120/b) = 72 [ (1) নং থেকে মান বসিয়ে ]
⇒ - (100/b) = 72 - 75
⇒ 120/b = 3
⇒ 3b = 120
∴ b = 40
অর্থাৎ, মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 40 জন

২,৬৮০.

(2x + 3y, 16) = (,36, 2x + y) হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (3, 10)
খ
খ) (3, 5)
গ
গ) (10, 13)
ঘ
ঘ) (5, 3)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
2x + 3y = 36.............(1)
2x + y = 16.............(2)

(1) - (2)⇒
2x + 3y - 2x - y = 36 - 16
2y = 20
y = 10

(2) নং হতে পাই,
2x + y = 16
2x + 10 = 16
2x = 16 - 10
2x = 6
x = 3

(x, y) =(3, 10)

২,৬৮১.

একটি ভগ্নাংশের হর ৮ ও ভগ্নাংশটির মান ৮ হলে, ভগ্নাংশটির লব কত হবে?

ক
১৬
খ
৮
গ
১
ঘ
৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ৮ ও ভগ্নাংশটির মান ৮ হলে, ভগ্নাংশটির লব কত হবে?

সমাধান:
মনেকরি
ভগ্নাংশটির লব = ক

প্রশ্নমতে
ক/৮ = ৮
বা, ক = ৮ × ৮
∴ ক = ৬৪

২,৬৮২.

যদি y = 3x + 6 এবং 3x + 6 = 40 হয় তবে y এর মান কত?

ক
ক) 38
খ
খ) 36
গ
গ) 40
ঘ
ঘ) 42

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = 3x + 6 এবং 3x + 6 = 40 হয় তবে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
3x + 6 = 40
3x = 40 - 6
3x = 34
x = 34/3

আবার,
y = 3x + 6
= 3(34/3) + 6
= 34 + 6
= 40

২,৬৮৩.

একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
ক) 50 জন
খ
খ) 60 জন
গ
গ) 70 জন
ঘ
ঘ) 80 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা x জন
প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে, সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x/4) +3
আবার,
প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে বসালে 6 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 6)/3
এখন
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
(x + 12)/4 =(x - 6)/3
4x - 24 = 3x + 36
4x - 3x = 36 + 24
x = 60

ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60

২,৬৮৪.

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) 1/p
ঘ
ঘ) (p-1)

২,৬৮৫.

p = 2r, p/q = r/s এবং s = 3 হলে q = কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = 2r, p/q = r/s এবং s = 3 হলে q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p/q = r/s
বা, 2r/q = r/3 [p = 2r এবং s = 3 বসিয়ে]
বা, qr = 6r
বা, q = 6r/r
∴ q = 6

২,৬৮৬.

2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 5 …….(i)
x - y = 1 …….(ii)

(ii) হতে পাই,
x = 1 + y …….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(1 + y) + y = 5
বা, 2 + 2y + y = 5
বা, 2 + 3y = 5
বা, 3y = 5 - 2
বা, 3y = 3
বা, y = 3/3
∴ y = 1

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 1 + 1 = 2

২,৬৮৭.

y = x + 3 এবং y = - x - 3 হলে, (x, y) = কত?

ক
(-3, 0)
খ
(0, 3)
গ
(0, - 2)
ঘ
(-1, -1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = x + 3 এবং y = - x - 3 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
y = x + 3
⇒ - x - 3 = x + 3
⇒ - x - x = 3 + 3
⇒ 2x = - 6
⇒ x = - 3
এবং, y = - 3 + 3 = 0

∴ (x, y) = (-3, 0)

২,৬৮৮.

কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৪৪ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তবে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 100
খ
খ) 105
গ
গ) 110
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৪৪ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x এর ৬০% + ৪৪ = x
বা, {(x × ৬০)/১০০} + ৪৪ = x
বা, (৩x/৫) + ৪৪ = x
বা, (x - ৩x)/৫ = ৪৪
বা, (৫x - ৩x)/৫ = ৪৪
বা, ২x/৫ = ৪৪
বা, x = (৪৪ × ৫)/২
⸫ x = ১১০

⸫ সংখ্যাটি ১১০

২,৬৮৯.

পুত্র ও পিতার বর্তমান বয়সের পার্থক্য ২৫। ১০ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৭৫ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
১৫ বছর
খ
২০ বছর
গ
২৫ বছর
ঘ
১৮ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পুত্র ও পিতার বর্তমান বয়সের পার্থক্য ২৫। ১০ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৭৫ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনেকরি
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
পিতার বর্তমান বয়স = (ক + ২৫) বছর

প্রশ্নমতে,
(ক + ১০) + (ক + ২৫ + ১০) = ৭৫
বা, ক + ১০ + ক + ৩৫ = ৭৫
বা, ২ক + ৪৫ = ৭৫
বা, ২ক = ৭৫ - ৪৫
বা, ২ক = ৩০
∴ ক = ১৫

সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স ১৫ বছর।

২,৬৯০.

দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 124 এবং বৃহত্তম সংখ্যাটি x² + y² হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
(x² + y² - 1)² - (x² + y²)² = 124
খ
(x² + y²)² - (x² + y² - 1)² = 124
গ
(x² + y² - 1)² = 124
ঘ
(x² - y²)² = 124

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 124 এবং বৃহত্তম সংখ্যাটি x² + y² হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি = x² + y²
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = x² + y² - 1

প্রশ্নমতে,
(x² + y²)² - (x² + y² - 1)² = 124

২,৬৯১.

2x² + 9x+ 9 = 0 এর সমাধান কত হবে?

ক
ক) x= -3
খ
খ) x= 3/4
গ
গ) x=3
ঘ
ঘ) x=1

ব্যাখ্যা

2x² + 9x+ 9 = 0 কে দ্বিঘাত সমীকরণের আর্দশ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 9, c =9
x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ 2a
∴ x = {- 9 ± √(81 - 72)} ÷ 4
x₁ = -3/2 ; x₂ = -3

২,৬৯২.

16x² - 8x + 9 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

ক
ক) 3/4
খ
খ) 1/2
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 4/5

ব্যাখ্যা

16x² - 8x + 9 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয়ের যোগফল = - (x এর সহগ)/(x² এর সহগ)
= - (-8/16)
= 1/2

২,৬৯৩.

x + y = 6 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 7
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x + y = 6
তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 5
x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 8
x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 9
x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ xy = 8
x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ xy = 5
সুতরাং xy এর বৃহত্তম মান 9.

২,৬৯৪.

x + y = 12 ও x - y = 8 হলে, xy এর মান কত?

ক
36
খ
32
গ
20
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 ও x - y = 8 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 ..........…… (1)
x - y = 8 ..........……. (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 12 + 8
বা, 2x = 20
∴ x = 10

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
10 + y = 12
∴ y = 2

∴ xy = 10 × 2 = 20

২,৬৯৫.

দুইটি সংখ্যার যোগফল 21 এবং গুণফল 108 হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
7
খ
9
গ
11
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 21 এবং গুণফল 108 হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x + y = 21 .................. (১)
xy = 108 .................... (২)

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (21)² - 4 × 108
= 441 - 432
= 9
∴ x - y = 3 ................ (3)

(1) ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x = 21 + 3 = 24
⇒ x = 24/2
⇒ x = 12

(3) সমীকরণে x = 12 বসিয়ে পাই,
12 - y = 3
⇒ y = 12 - 3
⇒ y = 9

∴ ছোট সংখ্যাটি = 9

২,৬৯৬.

a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

ক
0
খ
2
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + 2
= 6

২,৬৯৭.

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে। আবার লব ও হরের প্রত্যকেটি থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হবে। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 7/11
খ
খ) 5/9
গ
গ) 3/5
ঘ
ঘ) 7/9

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
ভগ্নাংশটির লব= x
ভগ্নাংশটির হর=y
ভগ্নাংশটি = x/y

১ম শর্তমতে
(x + 1)/(y + 1) = 4/5
5x + 5 = 4y + 4
5x - 4y = 4 - 5
5x - 4y = - 1 .................... (1)

(x - 5)/(y - 5) = 1/2
2x - 10 = y - 5
2x - y = - 5 + 10
2x - y = 5
y = 2x - 5 ...................(2)

(1) নং সমীকরণ হতে পাই,
5x - 4(2x - 5) = - 1
5x - 8x + 20 = - 1
- 3x = - 21
x = 7
(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
y = 2 × 7 - 5
= 14 - 5
= 9

ভগ্নাংশটি = 7/9

২,৬৯৮.

৪৮০ জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে ৪০ জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে ৪০ জন প্রাপ্তবয়স্ক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন শিশু ছিল?

ক
১৮০ জন
খ
২২০ জন
গ
২০০ জন
ঘ
১৯০ জন
ঙ
২১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৮০ জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে ৪০ জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে ৪০ জন প্রাপ্তবয়স্ক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন শিশু ছিল?

সমাধান:
বনভোজনে পুরুষ ছিল = ক জন
বনভোজনে মহিলা ছিল = (ক - ৪০) জন
বনভোজনে প্রাপ্তবয়স্ক ছিল = ক + ক - ৪০ = ২ক - ৪০ জন
বনভোজনে শিশু ছিল = (২ক - ৪০ - ৪০) জন
= ২ক - ৮০ জন

প্রশ্নমতে,
২ক - ৪০ + ২ক - ৮০ = ৪৮০
⇒ ৪ক - ১২০ = ৪৮০
⇒ ৪ক = ৪৮০ + ১২০
⇒ ৪ক = ৬০০
⇒ ক = ৬০০/৪
⇒ ক = ১৫০

বনভোজনে শিশু ছিল = ২ × ১৫০ - ৮০
= ২২০ জন

২,৬৯৯.

x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, x এবং y এর মান কত?

ক
(2, 1)
খ
(3, 2)
গ
(- 3, 4)
ঘ
(4, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 7.......(১)
2x - 3y = 0.......(২)

(১) নং হতে পাই,
x + 2y = 7
∴ x = 7 - 2y .....(৩)

এখন, x এর মান (২) নং এ বসিয়ে পাই,
2x - 3y = 0
⇒ 2(7 - 2y) - 3y = 0
⇒ 14 - 4y - 3y = 0
⇒ 14 - 7y = 0
⇒ 7y = 14
∴ y = 2

y এর মান (৩) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 7 - 2y = 7 - 4 = 3
∴ x = 3

∴ নির্ণয়ে সমাধান (x, y) = (3, 2)

২,৭০০.

3x + 5y - 10 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

ক
- 3
খ
- 3/5
গ
- 2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 5y - 10 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 5y - 10 = 0 ......... (১)

আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ, y = mx + c.......... (২)
যেখানে, m = ঢাল
এখন, (১) হতে পাই,
⇒ 5y = - 3x + 10
⇒ y = (- 3/5)x + 2

(২) নং এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = - 3/5

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো, - 3/5