সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২৩ / ২৯ · ২,২০১–২,৩০০ / ২,৮৯২

২,২০১.

a/x - b/x = a - b হলে, x = ?

ক
ক) -1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

a/x - b/x = a - b
বা, (a - b)/x = a - b)
বা, x = 1
∴ x = 1 হলে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

২,২০২.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
১৬
খ
১৮
গ
২০
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

৩ক + ২ক = ৯০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ১৮

২,২০৩.

“a সংখ্যাটি 5 এর বর্গ অপেক্ষা 10 বেশি” এই তথ্যটি গাণিতিক আকারে প্রকাশ করে পাই-

ক
a + 10 = 25
খ
a - 10 = 25
গ
25 - 10 = a
ঘ
25 - a = 10

ব্যাখ্যা

5 এর বর্গ = 25
∴ a, 25 অপেক্ষা 10 বেশি
∴ a - 10 = 25
বা, a = 25 + 10

২,২০৪.

The batting average for 40 innings of a cricket player is 50 runs. His highest score in an innings exceeds his lowest score by 172 runs. If these two innings are excluded, the average score of the remaining 38 innings is 48 runs, Find his highest score in an innings.

ক
ক) 180 runs
খ
খ) 170 runs
গ
গ) 174 runs
ঘ
ঘ) 168 runs

ব্যাখ্যা

Question: The batting average for 40 innings of a cricket player is 50 runs. His highest score in an innings exceeds his lowest score by 172 runs. If these two innings are excluded, the average score of the remaining 38 innings is 48 runs, Find his highest score in an innings.

Solution:
ধরি
সর্বোচ্চ স্কোর ছিলো = x
সর্বোনিম্ন স্কোর ছিলো = (x - 172)

প্রশ্নমতে
(50 × 40) - {x + (x - 172)} = 38 × 48
বা, 2x = 2000 + 172 - 1824
বা, 2x = 348
x = 174

২,২০৫.

x + 6 = 9 হলে 10x + 6 = কত?

ক
ক) 39
খ
খ) 36
গ
গ) 26
ঘ
ঘ) 46

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 6 = 9 হলে 10x + 6 = কত?

সমাধান:
x + 6 = 9
x = 9 - 6
x = 3

10x + 6 =10 × 3 + 6 = 36

২,২০৬.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ১৮ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৪৫ এবং ২৭
খ
৪০ এবং ২২
গ
৫৪ এবং ৩৬
ঘ
৫০ এবং ৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ১৮ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক এবং খ।

ক - খ = ১৮ ...........(i)
এবং
ক + খ = ৪ × (ক - খ)

ক - খ এর মান (i) নং সমীকরণ থেকে বসিয়ে পাই,
ক + খ = ৪ × ১৮
⇒ ক + খ = ৭২ ...........(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(ক - খ) + (ক + খ) = ১৮ + ৭২
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/২
⇒ ক = ৪৫

এখন, ক-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৪৫ - খ = ১৮
⇒ খ = ৪৫ - ১৮
⇒ খ = ২৭

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৪৫ এবং ২৭।

২,২০৭.

পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। ৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের চারগুণ। পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
৪২, ১৪
খ
৪৮, ১৬
গ
৫০, ১৫
ঘ
৪৫, ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। ৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের চারগুণ। পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক বছর

৫ বছর আগে,
পুত্রের বয়স = ক - ৫
পিতার বয়স = ৩ক - ৫

প্রশ্নমতে,
৩ক - ৫ = ৪(ক - ৫)
বা, ৩ক - ৫ = ৪ক - ২০
বা, ৪ক - ৩ক = ২০ - ৫
বা, ক = ১৫

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ৩ × ১৫ = ৪৫ বছর

২,২০৮.

a + b = 2, a² + b² = 4 হলে a³ + b³ =?

ক
4
খ
6
গ
8
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 2, a² + b² = 4 হলে a³ + b³ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 2, a² + b² = 4
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 4 = (2)² - 2ab
⇒ ab = 0

এখন,
a³ +b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (2)³ - 3 × 0 × 2
= 8

২,২০৯.

x/3 - 2/y = 1 এবং x/4 + 3/y = 3 হলে y এর মান কত?

ক
ক) -2
খ
খ) 2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

(1) নং × 1/4 - (2) নং × 1/3 হতে পাই,
x/12 - 1/2y - x/12 - 1/y = 1/4 -1
বা, - 1/2y - 1/y = - 3/4
বা, -1 -2/2y = - 3/4
বা, (-3)/2y = - 3/4
বা, 2y = 4
∴ y = 2

২,২১০.

3x + 4y = 14 , 4x - 3y = 2 এর সমাধান সেট কত হবে?

ক
(2, 3)
খ
(2, 2)
গ
(3, 2)
ঘ
(3, 3)

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
3x + 4y = 14………..(i)
4x - 3y = 2………..(ii)
(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই
9x + 12y = 42
16x - 12y= 8
25x = 50
∴, x = 2
x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3 × 2 + 4y = 14
বা, 6 + 4y = 14
বা, 4y = 14 - 6
বা, 4y = 8
∴,y = 2

অপশন টেস্ট করুন
সমীকরণে অপশনে দেয়া x ও y এর মান গুলো বসিয়ে পাই
(i) নং সমীকরণে
3 × 2 + 4 × 2 = 14
(iI) নং সমীকরণে
4 × 2 - 3 × 2 = 2

২,২১১.

2x + 3y − 7 = 0 এবং x + 2y − 4 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(2, 3)
খ
(3, 4)
গ
(1, 5)
ঘ
(2, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y − 7 = 0 এবং x + 2y − 4 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
2x + 3y = 7 ...... (1)
x + 2y = 4 ...... (2)

সমীকরণ (2)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:
2(x + 2y) = 2 × 4
⇒ 2x + 4y = 8 ...... (3)

সমীকরণ (3) থেকে (1) বিয়োগ করি,
(2x + 4y) - (2x + 3y) = 8 - 7
⇒ 2x + 4y - 2x - 3y = 1
⇒ y = 1

y = 1 সমীকরণ (2)-এ বসাই,
x + 2(1) = 4
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 2

∴ সরলরেখা দুটি (2, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,২১২.

ক
1/4
খ
- 5
গ
- 3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,২১৩.

দুটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২। বড় সংখ্যাটির সঙ্গে ছোট সংখ্যাটির দ্বিগুন যোগ করলে যোগফল ১৩ হয়। সংখ্যা দুটি কত?

ক
ক) ৮,৪
খ
খ) ৭,৩
গ
গ) ৯,২
ঘ
ঘ) ৯,৪

ব্যাখ্যা

ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y
১ম শর্তমতে, (x-y)/2 = 2 বা, x-y = 4 ---------(১)
২য় শর্তমতে, x+2y = 13 বা, x = 13-2y ----------(২)
(১) নং হতে পাই, 13-2y-y = 4 বা, y = 3
(2) নং হতে পাই, x = 7
বড় সংখ্যাটি 7 এবং ছোট সংখ্যাটি 3

২,২১৪.

ax + by = a²; bx - ay = ab; এই সহ-সমীকরণের (x, y) এর সমাধান কোনটি?

ক
(a², b²)
খ
(a, b)
গ
(0, a)
ঘ
(a, 0)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax + by = a²; bx - ay = ab; এই সহ-সমীকরণের (x, y) এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ax + by = a² ............ (1)
bx - ay = ab..........(2)

সমীকরণ (1)-কে b দিয়ে গুণ করে পাই, abx + b²y = a²b.......(3)
সমীকরণ (2)-কে a দিয়ে গুণ করে পাই, abx - a²y = a²b.......(4)

এখন, (3) - (4) করে পাই,
abx + b²y - abx + a²y = a²b - a²b
⇒ y(a² + b²) = 0
∴ y = 0

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
ax + 0 = a²
⇒ x = a²/a = a
∴ x = a

সুতরাং, সমাধান (x, y) = (a, 0)

২,২১৫.

একটি সংখ্যা 542 হতে যত বড় 630 হতে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 486
খ
খ) 686
গ
গ) 586
ঘ
ঘ) 786

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - 542 = 630 - x
বা, x + x = 630 + 542
বা, 2x = 1172
বা, x = 1172/2
x = 586

২,২১৬.

যদি x² + fx + 3 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় তবে f এর মান কত?

ক
2√3
খ
2√6
গ
3√3
ঘ
√6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² + fx + 3 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় তবে f এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + fx + 3 = 0
যেহেতু মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান, সুতরাং নিশ্চয়ক b² - 4ac = 0 হবে।

f² - (4 × 1 × 3) = 0
⇒ f² - 12 = 0
⇒ f² = 12
⇒ f = √12
⇒ f = √(4 × 3)
⇒ f = 2√3

২,২১৭.

(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 হলে, x এর মান কত?

ক
x = 2
খ
x = - 1/2
গ
x = 1
ঘ
x = - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x - 6x = - 12
বা, 6x = - 12
বা, x = -12/6
∴ x = - 2

∴ নির্ণেয় x এর মান = - 2 ।

২,২১৮.

(3a + 2b, 18) = (7, 2a + 8b) হলে (a,b) এর মান কত?

ক
(1, 1)
খ
(- 1, 2)
গ
(1, 2)
ঘ
(1, - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ: (3a + 2b, 18) = (7, 2a + 8b) হলে (a,b) এর মান কত?

সমাধান:
3a + 2b = 7 .......... (1)
2a + 8b = 18 ......... (2)

(2) নং - {(1) নং × 4} হতে পাই,
2a + 8b - 12a - 8b = 18 - 28
⇒ - 10a = - 10
∴ a = 1
a এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
3 × 1 + 2b = 7
⇒ 2b = 7 - 3
⇒ 2b = 4
∴ b = 2

সুতরাং (a, b) = (1, 2)

২,২১৯.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৪টি বেঞ্চে খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ২ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

ক
২২ টি
খ
১৮ টি
গ
২৫ টি
ঘ
২৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৪টি বেঞ্চে খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ২ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
শ্রেণির মোট বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ব্যবহৃত বেঞ্চ = ক − ৪
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৩(ক − ৪)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ২ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে
∴ বেঞ্চে বসতে পারে = ২ × ক = ২ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ২ক + ১০

প্রশ্নমতে,
৩(ক − ৪) = ২ক + ১০
⇒ ৩ক − ১২ = ২ক + ১০
⇒ ৩ক − ২ক = ১০ + ১২
⇒ ক = ২২

∴ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা = ২২ টি

২,২২০.

'ক' ও 'খ' দুটি সংখ্যা । 'ক' এর ১/২ এবং 'খ' এর ১/৩ যোগ করলে ৪৫ হয় । 'খ' এর ১/২ এবং 'ক' এর ২/৫ যোগ করলে ৫০ হয়। 'ক' ও 'খ' এর মান কত?

ক
ক = ৫০, খ = ৬০
খ
ক = ৬০, খ = ৫০
গ
ক = ৪০, খ = ৪৮
ঘ
ক = ৬০, খ = ৪৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ক' ও 'খ' দুটি সংখ্যা । 'ক' এর ১/২ এবং 'খ' এর ১/৩ যোগ করলে ৪৫ হয় । 'খ' এর ১/২ এবং 'ক' এর ২/৫ যোগ করলে ৫০ হয়। 'ক' ও 'খ' এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম শর্তমতে,
(ক/২) + (খ/৩) = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ)/৬ = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ) = ২৭০………(১)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
(খ/২) + (২ক/৫) = ৫০
বা, (৪ক + ৫খ)/১০ = ৫০
বা, ৪ক + ৫খ = ৫০০…………(২)

(১) নং х ৪ - (২) নং х ৩,
১২ক + ৮খ - ১২ক - ১৫খ = ১০৮০ - ১৫০০
- ৭খ = - ৪২০
খ = ৬০

খ এর মান ১ নং এ বসিয়ে পাই,
৩ক + ১২০ = ২৭০
৩ক = ২৭০ - ১২০
৩ক = ১৫০
ক= ৫০

২,২২১.

x - 2y = - 2, 3x - 2y = 6 সমীকরণ জোটের (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (3, 3)
খ
খ) (- 2, 3)
গ
গ) (1, - 3)
ঘ
ঘ) (4, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 2y = - 2, 3x - 2y = 6 সমীকরণ জোটের (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
x - 2y = - 2.............(1)
3x - 2y = 6.............(2)

(2) - (1) ⇒
3x - 2y - (x - 2y) = 6 + 2
3x - 2y - x + 2y = 8
2x = 8
x = 4

(1) ⇒
4 - 2y = - 2
- 2y = - 2 - 4
- 2y = - 6
y = 3

(x, y) = (4, 3)

২,২২২.

(p/3) + 3 = (2p/15) + 6 সমীকরণে p এর মান কত?

ক
15
খ
13
গ
7
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (p/3) + 3 = (2p/15) + 6 সমীকরণে p এর মান কত?

সমাধান:
(p/3) + 3 = (2p/15) + 6
⇒ (p/3) - (2p/15) = 6 - 3
⇒ (5p - 2p)/15 = 3
⇒ 3p/15 = 3
⇒ p/15 = 1
∴ p = 15

২,২২৩.

৩০ টি প্রশ্নের একটি নৈর্ব্যত্তিক পরীক্ষায় নবিতা সবগুলো প্রশ্নের উত্তর প্রদান করে ৪০ নম্বর পেল। প্রতিটি প্রশ্নের সঠিক উত্তরের জন্য ২ নম্বর পায় এবং ভুল উত্তরের জন্য ·৫০ নম্বর কাটা হলে নবিতা কতটি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছিল?

ক
২০ টি
খ
২২ টি
গ
২৬ টি
ঘ
৩০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ টি প্রশ্নের একটি নৈর্ব্যত্তিক পরীক্ষায় নবিতা সবগুলো প্রশ্নের উত্তর প্রদান করে ৪০ নম্বর পেল। প্রতিটি প্রশ্নের সঠিক উত্তরের জন্য ২ নম্বর পায় এবং ভুল উত্তরের জন্য ·৫০ নম্বর কাটা হলে নবিতা কতটি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছিল?

সমাধান:
সঠিক উত্তর = ক
ভুল উত্তর = (৩০ - ক)

প্রশ্নমতে,
২ক - ০·৫০(৩০ - ক) = ৪০
⇒ ২ক - ১৫ + ০·৫০ক = ৪০
⇒ ২·৫ক = ৫৫
⇒ ক = ৫৫/২·৫
∴ ক = ২২ টি

২,২২৪.

2x + 3y = 7, 6x - 7y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
ক) (1,4)
খ
খ) (2,3)
গ
গ) (3,2)
ঘ
ঘ) (2,1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 7, 6x - 7y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 7..............(1)
6x - 7y = 5..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 49 + 15
32x = 64
x = 2

(1) ⇒
2 × 2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 - 4
3y = 3
y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (2,1)

২,২২৫.

(x−3)/(x−2) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 1/(2−x) হবে?

ক
ক) x-2
খ
খ) x-3
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) -1

ব্যাখ্যা

ধরি, p যোগ করতে হবে।
∴{(x−3)/(x−2)}+p = 1/(2-x)
⇒1/(2-x)-{(x-3)/(x-2)} = p
⇒1/(2-x) + (x-3)/(2-x) = p
⇒(1+x-3)/(2-x) = p
⇒{(-1)(2-x)}/(2-x) = p
⇒ p = -1

২,২২৬.

x = 2 + 2^2/3 + 2^1/3 হলে, x³ - 6x² + 6x - 2 মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

x = 2 + 2^2/3 + 2^1/3
⇒ x - 2 = 2^2/3 + 2^1/3
⇒ (x - 2)³ = (2^2/3 + 2^1/3)³
⇒ x³ - 3.x².2 + 3.x.2² - 2³ = (2^2/3)³ + (2^1/3)³ + 3.2^2/3.2^1/3( 2^2/3 + 2^1/3)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 2² + 2¹ + 3.2(x - 2)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 4 + 2 + 6x - 12
⇒ x³ - 6x² + 6x - 2 = 0

২,২২৭.

p এর মান কত হলে, px² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?

ক
p < 5
খ
p > 4
গ
p = 4
ঘ
p > 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে, px² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হওয়ার শর্ত হলো, এর নির্ণায়ক (Discriminant) শূন্য থেকে ছোট হবে।
অর্থাৎ, b² - 4ac < 0

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,
px² - 12x + 9 = 0
এখানে, a = p, b = - 12, c = 9।

শর্তানুসারে,
b² - 4ac < 0
⇒ (- 12)² - 4(p)(9) < 0
⇒ 144 - 36p < 0
⇒ 144 < 36p
⇒ 144/36 < p
⇒ 4 < p
⇒ p > 4

সুতরাং, p এর মান 4 এর চেয়ে বেশি হলে সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে।

২,২২৮.

যদি x - 2y = 6 এবং x + 2y = 8 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

ক
x = 7, y = 1/2
খ
x = 5, y = 3
গ
x = 6, y = 1/2
ঘ
x = 8, y = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - 2y = 6 এবং x + 2y = 8 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
x - 2y = 6
বা, x = 6 + 2y ...............(1)

x + 2y = 8
বা, 6 + 2y + 2y = 8
বা, 4y = 8 - 6
বা, y = 2/4
∴ y = 1/2

(1) নং হতে পাই,
x = 6 + 2 × 1/2
বা, x = 6 + 1
∴ x = 7

২,২২৯.

x² - (a + b)x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট হবে-

ক
{a, b}
খ
{a, - b}
গ
{- a, b}
ঘ
{- a, - b}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - (a + b)x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট হবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - (a + b)x + ab = 0
⇒ x² - ax - bx + ab = 0
⇒ x(x - a) - b(x - a) = 0
∴ (x - a) (x - b) = 0

এখন,
x - a = 0
∴ x = a

আবার,
x - b = 0
∴ x = b

∴ x = {a , b}

২,২৩০.

3a - 2b = 8 এবং 2a + 5b = - 1 হলে, a এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a - 2b = 8 এবং 2a + 5b = - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3a - 2b = 8 ....... (1)
এবং 2a + 5b = - 1 ........ (2)

{(1)নং × 5} + {(2)নং × 2} ⇒
15a - 10b + 4a + 10b = 40 - 2
⇒ 19a = 38
⇒ a = 38/19
∴ a = 2

২,২৩১.

6x + 9 = 4(2x + 1) + 6 হলে, x-এর মান কত?

ক
- 1/2
খ
2
গ
- 1
ঘ
- 2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x + 9 = 4(2x + 1) + 6 হলে, x-এর মান কত?

সমাধান:
6x + 9 = 4(2x + 1) + 6
⇒ 6x + 9 = 8x + 4 + 6
⇒ 6x - 8x = 10 - 9
⇒ - 2x = 1
∴ x = - 1/2

২,২৩২.

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

ক
ক) 3/5
খ
খ) 4/7
গ
গ) 2/5
ঘ
ঘ) 5/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = y

∴ ভগ্নাংশটি = x/y, y ≠ 0

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
বা, x + 7 = 2y
বা, x - 2y = - 7 ---------- (1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
বা, x = y - 2
x - y = - 2 ---------- (2)

(1) - (2) হতে পাই,
x - 2y = - 7
x - y = - 2
- y = - 5
∴ y = 5
y এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
বা, x = - 2 + 5
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 3/5

২,২৩৩.

2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
(5, 6)
খ
(6, 8)
গ
(7, 5)
ঘ
(7, 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2y = 2x - 4
⇒ y = (2x - 4)/2
⇒ y = x - 2 ..............(1)

এখন,
4x - 5y = 3
⇒ 4x = 3 + 5y
⇒ 4x = (3 + 5y)
⇒ 4x = 3 + 5(x - 2)
⇒ 4x = 3 + 5x - 10
⇒ 4x = 5x - 7
⇒ 5x - 4x = 7
⇒ x = 7

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = (7 - 2) = 5

∴ (x, y) = (7, 5)

২,২৩৪.

x² - y² = 15 এবং x - y = 3 হলে (x, y) = ?

ক
(1, 4)
খ
(-1, -4)
গ
(-4, -1)
ঘ
(4, 1)

ব্যাখ্যা

x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 3(x + y) = 15
∴ x + y = 5.....(1)
আবার, x - y = 3.......(2)
(1)নং + (2)নং ⇒ 2x = 8
∴ x = 4
(1)নং থেকে পাই
4 + 9 = 5
∴ y = 1
∴ (x, y) = (4, 1)

২,২৩৫.

5x - x² - 6 = 0 এর মান নির্ণয় করুন।

ক
- 2, 3
খ
- 3, 2
গ
2, 3
ঘ
- 2, - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x - x² - 6 = 0 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
5x - x² - 6 = 0
⇒ - x² + 5x- 6 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0
⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
⇒ (x - 2)(x - 3) = 0
∴ x = 2 অথবা x = 3

২,২৩৬.

একটি নল 12 মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে 14 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি 96 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

ক
198 লিটার
খ
192 লিটার
গ
190 লিটার
ঘ
188 লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নল 12 মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে 14 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি 96 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে x লিটার পানি প্রবেশ করে।
চৌবাচ্চাটিতে মোট y লিটার পানি ধরে।

∴ y = 12x ............(1)

আবার, দুইটি নল দ্বারা 96 মিনিটে খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়
∴ y = 96x - 96 × 14 ......................(2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই,
x = y/12

x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
y = 96 × (y/12) - 96 × 14
বা, y = 8y - 96 × 14
বা, 7y = 96 × 14
বা, y = (96 × 14)/7
∴ y = 192

সুতরাং, চৌবাচ্চাটিতে মোট 192 লিটার পানি ধরে।

২,২৩৭.

3a + 5b = 0 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে?

ক
একটিও নেই
খ
একটি
গ
দুইটি
ঘ
অসীম সংখ্যক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a + 5b = 0 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে?

সমাধান:
সমীকরণটির চলক দুটি।
যেহেতু চলক দুটি তাই সমীকরণও দুটি হলে, এর সমাধান হবে একটি।

এখানে, চলক দুটি কিন্তু সমীকরণ একটি, তাই সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান হতে পারে।
কারণ, a এর মান যতগুলো বসানো হবে b এর ততগুলো মান পাওয়া যাবে।
একইভাবে, b এর মান যতগুলো বসানো হবে a এর ততগুলো মান পাওয়া যাবে।

২,২৩৮.

12x² + 4mx + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

ক
m = ± 9
খ
m = ± 2
গ
m = ± 4
ঘ
m = ± 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12x² + 4mx + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 12, b = 4m, c = 3

সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (4m)² - 4 × 12 × 3 = 0
⇒ 16m² - 144 = 0
⇒ 16m² = 144
⇒ m² = 9
⇒ m = ± 3

২,২৩৯.

একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হত। খাতাটির দাম কত?

ক
ক) 22 টাকা
খ
খ) 35 টাকা
গ
গ) 42 টাকা
ঘ
ঘ) 53 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হত। খাতাটির দাম কত?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার দাম = x টাকা
তাহলে, কলমের দাম = 75 - x টাকা

প্রশ্নমতে,
x - 5 = 2{75 - x + 2)
⇒ x - 5 = 2(77 - x)
⇒ x - 5 = 154 - 2x
⇒ 3x = 159
⇒ x = 53

২,২৪০.

x² = 6 - y² এবং x - 1 = √2 হলে, y এর মান কত?

ক
ক) - √2
খ
খ) 1 + √2
গ
গ) 2 - √2
ঘ
ঘ) 1 - √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = 6 - y² এবং x - 1 = √2 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
x - 1 = √2
⇒ x = 1 + √2

x² = 6 - y2
⇒ x² + y² = 6
⇒ (1 + √2)² + y² = 6
⇒ 1 + 2√2 + 2 + y² = 6
⇒ 3 + 2√2 + y² = 6
⇒ y² = 3 - 2√2
⇒ y² = 1 - 2√2 + 2
⇒ y² = 1 - 2√2 + (√2)²
⇒ y² = (1 - √2)²
∴ y = 1 - √2

২,২৪১.

x/y এর সাথে কত যোগ করল্র y/x হবে?

ক
(x + y)/xy
খ
(x - y)/xy
গ
(x + y)(x - y)/xy
ঘ
(x + y)(y - x)/xy

ব্যাখ্যা

মনে করি, x/y এর সাথে p যোগ করল্র y/x হবে।
x/y + p = y/x
or, p = y/x - x/y
= (y² - x²)/xy
= (y + x)(y - x)/xy
= (x + y)(y - x)/xy
------------------------------------------
সংক্ষেপে,
নির্ণেয় সংখ্যা = y/x - x/y = (x + y)(y - x)/xy [ যোগ বললে বিয়োগ করতে হয় ]

২,২৪২.

বার্ষিক ক্রীড়া অনুষ্ঠান করার জন্য কোনো এক সমিতির সদস্যরা 45,000 টাকার বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে, প্রত্যেক সদস্যই সমান চাঁদা দিবেন। কিন্তু 5 জন সদস্য চাঁদা দিতে অসম্মতি জানালেন। এর ফলে প্রত্যেক সদস্যের মাথাপিছু 15 টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেল। ঐ সমিতিতে কতজন সদস্য ছিলেন?

ক
ক) ১৫০
খ
খ) ১২৫
গ
গ) ১৮৫
ঘ
ঘ) ৮০

ব্যাখ্যা

মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা। তাহলে. মোট চাঁদা, A=qx টাকা
পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত সদস্য সংখ্যা ছিল (x-5) জন এবং চাঁদা হলো (q+15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x-5)(q+15)
প্রশ্নানুসারে, qx= (x-5)(q+15)……….(i)
এবং qx=45,000……….(ii)
সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx=(x-5)(q+15)
বা, qx=qx-5q+15x-75
বা, 5q=15x-75=5(3x-15)
∴ q=3x-15………..(iii)
সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15)Xx=45000
বা, 3x²-15x=45000
বা,x²-5x=15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা,x²-5x-15000=0
বা, x²-125x+120x-15000=0
বা, x(x-125)+120(x-125)=0
বা, (x-125)(x+120)=0
সুতরাং, (x-125)=0 অথবা (x+120)=0
বা x=125 বা, x=-120
যেহেতু সদস্র সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴x=125
সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১২৫ জন।

২,২৪৩.

যদি 2x = 3y = 10 হয়, তাহলে 12xy = কত?

ক
1200
খ
200
গ
120
ঘ
40
ঙ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2x = 3y = 10 হয়, তাহলে 12xy = কত?

সমাধান:
12xy
= 2. 2x . 3y
= 2 × 10 × 10
= 2 × 100
= 200

২,২৪৪.

একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 1 এবং সমষ্টি 9 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/4
খ
খ) 5/4
গ
গ) 4/3
ঘ
ঘ) 4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 1 এবং সমষ্টি 9 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 1

সুতরাং, ভগ্নাংশটি হলো (x + 1)/x

প্রশ্নানুসারে,
x + x +1 = 9
বা, 2x + 1 = 9
বা, 2x = 9 - 1

বা, 2x = 8
∴ x = 4

ভগ্নাংশটি =(4 + 1)/4= 5/4

২,২৪৫.

38 সংখ্যাটি যে সংখ্যার 50% সেটি হল ______?

ক
ক) 80
খ
খ) 70
গ
গ) 65
ঘ
ঘ) 76

ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে, x এর 50/100 = 38
⇒ x =(38 × 100)/50 = 76
∴ সংখ্যাটি = 76

২,২৪৬.

দুই অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংক দুটির অন্তর ২, অংক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৫৭
খ
খ) ৪৬
গ
গ) ৩৫
ঘ
ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা

অপশন বিশ্লেষণ করার মাধ্যমে পাই, ৫৭×২ - ৭৫ = ৩৯
৪৬×২ - ৬৪ = ২৮
৩৫×২ - ৫৩ = ১৭
২৪×২ - ৪২ = ৬

২,২৪৭.

(2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

ক
(5, 5)
খ
(4, 5)
গ
(6, 5)
ঘ
(6, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

সমাধান:
2x - 6 = 4
বা, 2x = 4 + 6
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
∴ x = 5

আবার,
2y - 5 = 5
বা, 2y = 5 + 5
বা, 2y = 10
বা, y = 10/2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5)।

২,২৪৮.

কোনো সংখ্যার ৫০% এর সাথে ৭৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

ক
১২০
খ
১৫০
গ
১৩০
ঘ
১৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৫০% এর সাথে ৭৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

তাহলে,
৫০% of x + ৭৫ = x
⇒ (৫০/১০০) x + ৭৫ = x
⇒ (১/২) x + ৭৫ = x
⇒ ৭৫ = x – (১/২) x
⇒ ৭৫ = (১/২) x
⇒ x = ৭৫ × ২
⇒ x = ১৫০

২,২৪৯.

2xy + y = 14 এবং x = 3 হলে 2y + x = কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 7
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2xy + y = 14 এবং x = 3 হলে 2y + x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3
এবং 2xy + y = 14
বা, 2 . 3y + y = 14
বা, 7y = 14
বা, y = 14/7
∴ y = 2

এখন,
2y + x = 2 . 2 + 3
∴ 2y + x = 7

২,২৫০.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫ এবং বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১
খ
খ) ২
গ
গ) ৪
ঘ
ঘ) ১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫ এবং বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা x
ছোট সংখ্যা y

শর্তমতে,
x + y = 15
x - y = 13

∴ 2x = 28
বা, x = 14

∴ ছোট সংখ্যা y = 1

২,২৫১.

x = √0.16 হলে, x এর মান-

ক
0.6
খ
0.4
গ
0.3
ঘ
0.2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √0.16 হলে, x এর মান-

সমাধান:
x = √0.16
⇒ x = √(16/100)
∴ x = 4/10 = 0.4

২,২৫২.

৪ × ০.৪/২ = ?

ক
ক) ০.০৮
খ
খ) ০.৮
গ
গ) ০.৪৫
ঘ
ঘ) ১.৬

ব্যাখ্যা

৪ × ০.৪/২
= ৪ × ০.২
= ০.৮

২,২৫৩.

2x + √2 = 3x - 4 - 3√2 হলে, x =?

ক
ক) 4√2
খ
খ) 4 + √2
গ
গ) 2 + 4√2
ঘ
ঘ) 4 + 4√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + √2 = 3x - 4 - 3√2 হলে, x =?

সমাধান:
2x + √2 = 3x - 4 - 3√2
⇒ 3x - 2x = √2 + 4 + 3√2
∴ x = 4 + 4√2

২,২৫৪.

(2x - 5, 13) = (7, 3y + 1) হলে (x, y) এর মান কত?

ক
(6, 4)
খ
(4, 2)
গ
(7, 5)
ঘ
(5, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 5, 13) = (7, 3y + 1) হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2x - 5, 13) = (7, 3y + 1)

এখন,
⇒ 2x - 5 = 7
⇒ 2x = 7 + 5
⇒ 2x = 12
⇒ x = 12/2
∴ x = 6

আবার,
⇒ 3y + 1 = 13
⇒ 3y = 13 - 1
⇒ 3y = 12
⇒ y = 12/3
∴ y = 4

সুতরাং, (x, y) = (6, 4)

২,২৫৫.

কোন সংখ্যার তিনগুন থেকে 7 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা 7 বেশি হয়। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

ক
ক) 3
খ
খ) 5
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, 3x - 7 = x + 7
⇒ 2x = 7 + 7 = 14
∴ x = 7

২,২৫৬.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
ক) ( - 1, 2)
খ
খ) ( - 2, 1)
গ
গ) ( - 1, 1)
ঘ
ঘ) (1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
3x - 7y + 10 = 0 ................. (1)
y - 2x - 3 = 0
⇒ y = 2x + 3 ..................... (2)

(1) নং হতে,
3x - 7 × (2x + 3) + 10 = 0
⇒ 3x - 14x - 21 + 10 = 0
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1

x এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
y = 2 . (- 1) + 3
⇒ y = - 2 + 3
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( - 1, 1)

২,২৫৭.

(m/3) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m এর মান কত?

ক
- 15
খ
± 15
গ
14
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/3) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m এর মান কত?

সমাধান:
(m/3) + 3 = (2m/15) + 6
⇒ (m/3) - (2m/15) = 6 - 3
⇒ (5m - 2m)/15 = 3
⇒ 3m/15 = 3
⇒ m/15 = 1
m = 15

২,২৫৮.

সমাধান সেট নির্ণয় করুন: y² = √3y

ক
{0, 1}
খ
{0, √3}
গ
{√3, 3}
ঘ
{- 1, √3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান সেট নির্ণয় করুন: y² = √3y

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y² = √3y
⇒ y² - √3y = 0
⇒ y(y - √3) = 0
হয়,
∴ y = 0
অথবা,
⇒ y - √3 = 0
∴ y = √3

সুতরাং, সমাধান সেট = {0, √3}

২,২৫৯.

{(0.7)³ + (0.3)³}/(0.7 + 0.3) এর মান কত?

ক
0.58
খ
0.48
গ
0.37
ঘ
0.39

ব্যাখ্যা

{(0.7)³ + (0.3)³}/(0.7 + 0.3)
= (0.7 + 0.3){(0.7)² - 0.7 × 0.3 + (0.3)²}/(0.7 + 0.3)
= (0.7)² - 0.7 × 0.3 + (0.3)²
= 0.49 - 0.21 + .09
= 0.58 - 0.21
= 0.37

২,২৬০.

7x - 2 - 3x² = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
ক) বাস্তব ও পরস্পর সমান
খ
খ) বাস্তব মূল নাই
গ
গ) বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
ঘ
ঘ) বাস্তব, অসমান ও মূলদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x - 2 - 3x² = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
7x - 2 - 3x² = 0

নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= ( 7)² - 4 × (- 2) × (- 3)
= 49 - 24
= 25
যেহেতু, b² - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
1) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b²- 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
3) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,২৬১.

একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² + x = 9(x +1)
বা, x²+ x = 9x + 9
বা, x² + x - 9x - 9 = 0
বা, x² - 8x - 9 = 0
বা, x² - 9x + x - 9 = 0
বা, x(x - 9) +1 (x - 9) = 0
বা, (x - 9) (x + 1) = 0
হয়,
x - 9 = 0
∴ x = 9
অথবা,
x + 1 = 0
বা, x = -1
কিন্তু x ≠ -1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋনাত্মক হয় না।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

২,২৬২.

(2a + 3b, 16) = (36, 2a + b) হলে, (a, b) এর মান কত?

ক
(3, 2)
খ
(3, 10)
গ
(2, 5)
ঘ
(3, 14)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2a + 3b, 16) = (36, 2a + b) হলে, (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
2a + 3b = 36 .............. (1)
2a + b = 16 ............... (2)

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
2a + 3b - 2a - b = 36 - 16
⇒ 2b = 20
∴ b = 10

b এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a = 16 - 10
⇒ 2a = 6
⇒ a = 6/2
∴ a = 3

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (a, b) = (3, 10)

২,২৬৩.

মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। ৫ বছর পর, মাতার বয়স দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

ক
55 বছর
খ
30 বছর
গ
40 বছর
ঘ
35 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। ৫ বছর পর, মাতার বয়স দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি,
দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি x এবং মাতার বয়স y।

প্রশ্নমতে,
⇒ y = 4x --- (১)
⇒ y + 5 = 2(x + 10) --- (২) (দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি ৫ বছর পর x + ১০ হবে)

(১) থেকে y এর মান (২) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 4x + 5 = 2x + 20
⇒ 2x = 15
⇒ x = 15/2

(১) থেকে পাই,
⇒ y = 4 × (15/2) = 30 বছর

∴ মাতার বর্তমান বয়স 30 বছর

২,২৬৪.

কোন সম্পত্তির (১/২) অংশের মূল্য ১৬০০ টাকা হলে ঐ সম্পত্তির (১/৮) অংশের মূল্যের চার গুণ কত?

ক
৪০০০
খ
২০০০
গ
১৬০০
ঘ
৮০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সম্পত্তির (১/২) অংশের মূল্য ১৬০০ টাকা হলে ঐ সম্পত্তির (১/৮) অংশের মূল্যের চার গুণ কত?

সমাধান:
কোন সম্পত্তির (১/২) অংশের মূল্য ১৬০০ টাকা
সম্পত্তির মূল্য (১৬০০ × ২) টাকা
= ৩২০০ টাকা

সম্পত্তির (১/৮) অংশের মূল্য = ৩২০০/৮ টাকা
= ৪০০ টাকা

∴ সম্পত্তির (১/৮) অংশের মূল্যের চার গুণ = ৪০০ × ৪ টাকা
= ১৬০০ টাকা

২,২৬৫.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/12 = কত?

ক
ক) 7/60
খ
খ) 1/10
গ
গ) 3/10
ঘ
ঘ) 7/10

ব্যাখ্যা

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/12
= (60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10 + 5)/60
= 42/60
= 7/10

২,২৬৬.

এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

ক
ক) [1, 4]
খ
খ) {1, 5}
গ
গ) (1, 4)
ঘ
ঘ) {1, 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
x - 4 = (x - 4)/x
⇒ x² - 4x = x - 4
⇒ x² - 5x + 4 = 0
⇒ x² - x - 4x + 4 = 0
⇒ x(x - 1) - 4(x - 1) = 0
⇒ (x - 1) (x - 4) = 0

হয়,
x - 1 = 0
বা, x = 1

অথবা,
x - 4 = 0
বা, x = 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1, 4}

২,২৬৭.

3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?

ক
3
খ
5
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5

∴ সংখ্যাটি = 5 ।

২,২৬৮.

2a + b = 7 এবং 3a + b = 10 হলে a ও b এর মান কত হবে?

ক
(2, 1)
খ
(3, 1)
গ
(3, 2)
ঘ
(2, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + b = 7 এবং 3a + b = 10 হলে a ও b এর মান কত হবে?

সমাধান:
2a + b = 7 .........(1)
3a + b = 10 .........(2)

(1) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই,
2a + b - 3a + b = 7 - 10
⇒ - a = -3
∴ a = 3

(1) নং এ a এর মান বসাই,
2 × 3 + b = 7
⇒ b = 7 - 6
⇒ b = 1
∴ a ও b এর মান যথাক্রমে 3, 1।

২,২৬৯.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের দুই-পঞ্চমাংশ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত নিচের কোনটি?

ক
5 : 1
খ
7 : 3
গ
3 : 4
ঘ
3 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের দুই-পঞ্চমাংশ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে, x ও y

প্রশ্নমতে,
⇒ x - y = (x + y) × (2/5)
⇒ 5x - 5y = 2x + 2y
⇒ 5x - 2x = 5y + 2y
⇒ 3x = 7y
⇒ x/y = 7/3
∴ x : y = 7 : 3

২,২৭০.

একটি সংখ্যার 5/6 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
58
খ
86
গ
72
ঘ
96

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 5/6 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(5x/6) - (2x/3) = 12
⇒ (5x - 4x)/6 = 12
⇒ x/6 = 12
⇒ x = 12 × 6
∴ x = 72

∴ সংখ্যাটি 72

২,২৭১.

x + 2y = 8, 2x + y = 7
সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

ক
(8, 0)
খ
(6, 1)
গ
(4, 2)
ঘ
(2, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 8, 2x + y = 7
সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রথম সমীকরণ থেকে,
x = 8 − 2y

এ মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2.(8 − 2y) + y = 7
⇒ 16 − 4y + y = 7
⇒ 16 − 3y = 7
⇒ −3y = −9
⇒ y = 3

y = 3 হলে,
x = 8 - 2.3 = 2

∴ (x, y) = (2, 3)

২,২৭২.

রহিম 5 টাকা ও 10 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প ক্রয় করল। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 450 টাকা হয়, তাহলে রহিম মোট কতটি স্ট্যাম্প ক্রয় করেছিল?

ক
30 টি
খ
45 টি
গ
60 টি
ঘ
90 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম 5 টাকা ও 10 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প ক্রয় করল। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 450 টাকা হয়, তাহলে রহিম মোট কতটি স্ট্যাম্প ক্রয় করেছিল?

সমাধান:
মনে করি, প্রতিটি মানের স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
5x + 10x = 450
⇒ 15x = 450
⇒ x = 450/15
⇒ x = 30

যেহেতু রহিম দুই ধরনের স্ট্যাম্পই সমান সংখ্যক কিনেছে,
তাই মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা = (x + x) টি
= (30 + 30) টি
= 60 টি

২,২৭৩.

x² - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় -

ক
3, 4
খ
3, - 4
গ
- 3, - 4
ঘ
- 3, 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় -

সমাধান:
x² - x - 12 = 0
বা, x² - 4x + 3x - 12 = 0
বা, x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
বা, (x + 3)(x - 4) = 0

হয়,
x + 3 = 0
বা, x = - 3

অথবা,
x - 4 = 0
বা, x = 4

∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 3, 4

২,২৭৪.

3x - 2y = 16 এবং 2x + 5y = - 21 হলে, (y, x) = কত?

ক
(2, 5)
খ
(- 3, 4)
গ
(1, 4)
ঘ
(- 5, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2y = 16 এবং 2x + 5y = - 21 হলে, (y, x) = কত?

সমাধান:
3x - 2y = 16 ........ (1)
2x + 5y = - 21 ....... (2)

(1) নং × 5 + (2) নং × 2 ⇒
15x - 10y + 4x + 10y = 80 - 42
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

(2) নং হতে ⇒
5y = - 21 - 2 ⋅ 2
⇒ y = - 25/5
∴ y = - 5

∴ (y, x) = (- 5, 2)

২,২৭৫.

(3x + 1, 5) = (10, 4y - 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(2, 5)
খ
(5, 8)
গ
(3, 2)
ঘ
(1, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x + 1, 5) = (10, 4y - 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(3x + 1, 5) = (10, 4y - 3)

অতএব,
3x + 1 = 10
⇒ 3x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3

এবং,
4y - 3 = 5
⇒ 4y = 5 + 3
⇒ 4y = 8
⇒ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

২,২৭৬.

হলে a এর মান কত?

ক
21
খ
25
গ
27
ঘ
31

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে a এর মান কত?

সমাধান:

২,২৭৭.

(x/2) + (y/3) = 3, x - (y/3) = 3 হলে x + y এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 3
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2) + (y/3) = 3, x - (y/3) = 3 হলে x + y এর মান কত?

সমাধান:
(x/2) + (y/3) = 3................(1)
x - (y/3) = 3...................(2)

(1) + (2) ⇒
(x/2) + (y/3) + x - (y/3) = 3 + 3
(x/2) + x = 6
(x + 2x)/2 = 6
3x/2 = 6
x = (2 × 6)/3
x = 4

(1) ⇒
(4/2) + (y/3) = 3
2 + y/3 = 3
y/3 = 3 - 2
y/3 = 1
y = 3

x + y = 4 + 3 = 7

২,২৭৮.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

ক
১৫
খ
১৮
গ
১২
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:

ধরি,

বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে

∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬ জন

প্রশ্নমতে,

(ক - ৩) × ৪ = ৩ক + ৬

⇒ ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬

∴ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮ টি।

২,২৭৯.

a/b = 6, a + 2b = 16 হলে, a এর মান কত?

ক
6
খ
12
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a/b = 6, a + 2b = 16 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = 6
∴ a = 6b ....... (1)

এখন,
a + 2b = 16
⇒ 6b + 2b = 16
⇒ 8b = 16
∴ b = 2
(1) নং সমীকরণে b = 2 বসিয়ে পাই,
a = 6 × 2
⇒ a = 12

২,২৮০.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০ জন। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ১৬০০ টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
২৫
খ
৩০
গ
২০
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০ জন। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ১৬০০ টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৫০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া (২০× ২) টাকা = ৪০ টাকা

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৪০(৫০ - ক) = ১৬০০
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৪০ক = ১৬০০
⇒ - ২০ক = - ৪০০
∴ ক = ২০

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ২০ জন

২,২৮১.

x - 7y + 5 = 0 এবং 2x - 3y + 7 = 0 হলে x ও y এর মান কত?

ক
ক) 34/11 এবং 11/3
খ
খ) 32/3 এবং 34/11
গ
গ) - 34/11 এবং 3/11
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 7y + 5 = 0 এবং 2x - 3y + 7 = 0 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
x - 7y + 5 = 0 ..................(1)
2x - 3y + 7 = 0 ..................(2)

(1) × 2 - (2) ⇒
2x - 14y + 10 - (2x - 3y + 7) = 0 - 0
2x - 14y + 10 - 2x + 3y - 7 = 0
- 11y + 3 = 0
- 11y = - 3
y = - 3/- 11
y = 3/11

(1) ⇒
x - 7y + 5 = 0
x - 7 (3/11) + 5 = 0
x - (21/11) + 5 = 0
x = (21/11) - 5
x = (21 - 55)/11
x = - 34/11

নির্ণেয় সমাধান:
x = - 34/11
y = 3/11

২,২৮২.

একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি - 2 হলে, সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে ,
x + 1/x = - 2
বা, (x² + 1)/x = - 2
বা, x²+ 1 = - 2x
বা, x² + 2x + 1 = 0
বা, (x + 1)² = 0
বা, x + 1 = 0
x = - 1

২,২৮৩.

(5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

ক
6
খ
8
গ
12
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 3 = (x/3) + 10
বা, (5x/6) - (x/3) = 10 - 3
বা, (5x - 2x)/6 = 7
বা, 3x/6 = 7
বা, x/2 = 7
বা, x = 7 × 2
∴ x = 14

২,২৮৪.

একটি থলেতে ২৫ পয়সা, ১০ পয়সা এবং ৫ পয়সার মুদ্রা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে আছে। যদি সবগুলো মিলিয়ে ২৮ টাকা হয়, তাহলে ৫ পয়সার মুদ্রা কয়টি?

ক
৭৫টি
খ
৪০টি
গ
৬০টি
ঘ
১০০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে ২৫ পয়সা, ১০ পয়সা এবং ৫ পয়সার মুদ্রা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে আছে। যদি সবগুলো মিলিয়ে ২৮ টাকা হয়, তাহলে ৫ পয়সার মুদ্রা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৪ক টি
৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি

প্রশ্নমতে,
(৩ক × .২৫) + (৪ক × .১০) + (৫ক × .০৫) = ২৮
বা, ০.৭৫ক + ০.৪০ক + ০.২৫ক = ২৮
বা, ১.৪ক = ২৮
বা, ক = ২৮/১.৪
বা, ক = ২৮০/১৪
∴ ক = ২০

∴ ৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০ = ১০০ টি।

২,২৮৫.

একটি আয়তাকার বিলবোর্ডের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গ ইঞ্চি এবং এর পরিসীমা ২৪ ইঞ্চি। প্রস্থ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা শতকরা কত কম?

ক
৩৩
খ
২৫
গ
০১২৫
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বিলবোর্ডের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গ ইঞ্চি এবং এর পরিসীমা ২৪ ইঞ্চি। প্রস্থ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা শতকরা কত কম?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বিলবোর্ডের দৈর্ঘ্য = x ইঞ্চি
আয়তাকার বিলবোর্ডের প্রস্থ = y ইঞ্চি

প্রশ্নমতে
2(x + y) =24
x + y = 12.................(1)

আবার
xy = 192.................(1)

আমরা জানি
(x - y)²= (x + y)² - 4xy
বা, (x - y)² = 12² - 4 × 192
বা, (x - y)² = 144 - 768
(x - y)² = - 624

যা সমাধান করলে x বা y এর মান ঋণাত্মক আসবে।
সঠিক উত্তর হবে কোনটিই নয়।

২,২৮৬.

2(x²- 9) + 9x = 0 সমীকরণে x এর মান কত?

ক
ক) 6 এবং 1/2
খ
খ) - 6 এবং 2/3
গ
গ) - 6 এবং 3/2
ঘ
ঘ) 3 এবং 1/3

ব্যাখ্যা

2(x²- 9) + 9x = 0
2x² - 18 + 9x =0
2x² + 9x - 18 = 0
2x² + 12x - 3x - 18 = 0
2x(x + 6) - 3(x + 6) = 0
(x + 6) (2x - 3) = 0
হয় অথবা
x + 6 = 0 2x - 3 = 0
x = - 6 x = 3/2

২,২৮৭.

যদি (b - 3)(4 + 2/b) = 0 এবং b ≠ 3 হয়, তাহলে b =?

ক
- 8
খ
- 2
গ
- 1/2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (b - 3)(4 + 2/b) = 0 এবং b ≠ 3 হয়, তাহলে b =?

সমাধান:
(b - 3)(4 + 2/b) = 0
⇒ 4b + 2 - 12 - 6/b = 0
⇒ 4b - 10 - 6/b = 0
⇒ 4b² - 10b - 6 = 0 [b দ্বারা গুণ করে]
⇒ 4b²- 12b + 2b - 6 = 0
⇒ 4b(b - 3) + 2(b - 3) = 0
⇒ (b - 3)(4b + 2) = 0
∴ 4b + 2 = 0 [যেহেতু b ≠ 3, ∴ b - 3 ≠ 0]
⇒ 4b = - 2
⇒ b = - (2/4)
∴ b = - 1/2

২,২৮৮.

2x + 3y = 8 এবং 5x - 1 = 2y হলে (x, y) = ?

ক
(1, 2)
খ
(2, 1)
গ
(2, 3)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 8 এবং 5x - 1 = 2y হলে (x, y) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 8 ............. (1)
এবং
5x - 1 = 2y
⇒ 5x - 2y = 1 ........... (2)

এখন,
(1) নং সমীকরণ × 2 করে পাই,
4x + 6y = 16 ............. (3)

(2) নং সমীকরণ × 3 করে পাই,
15x - 6y = 3 ............ (4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
19x = 19
⇒ x = 19/19
⇒ x = 1

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(2 × 1) + 3y = 8
⇒ 2 + 3y = 8
⇒ 3y = 8 - 2 = 6
⇒ y = 6/3
⇒ y = 2

∴ (x, y) = (1, 2)

২,২৮৯.

x² + x - 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
অবাস্তব ও অসমান
খ
বাস্তব ও সমান
গ
অবাস্তব ও সমান
ঘ
মূলদ ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + x - 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² + x - 6 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক b² - 4ac এর মান নির্ণয় করে পাই,

b² - 4ac = (- 1)² - 4 × 1 × (- 6)
= 1 + 24
= 25
যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

২,২৯০.

তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল 75 হলে, মধ্যবর্তী সংখ্যা কত?

ক
25
খ
30
গ
35
ঘ
40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল 75 হলে, মধ্যবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা: x, x + 2, x + 4.

প্রশ্নমতে,
x + (x + 2) + (x + 4) = 75
⇒ 3x + 6 = 75
⇒ 3x = 75 - 6
⇒ 3x = 69
⇒ x = 69/3
⇒ x = 23

অতএব,
মধ্যবর্তী সংখ্যা = 23 + 2 = 25

২,২৯১.

y² = y√3 এর সমাধান সেট -

ক
ক) {1, √3}
খ
খ) {0, √3}
গ
গ) {2, √3}
ঘ
ঘ) {0, - √3}

২,২৯২.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ৬০ এবং বিয়োগফল ১০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩৫
খ
খ) ৪০
গ
গ) ৩০
ঘ
ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা

ধরি,
বড় সংখ্যাটি a এবং ছোট সংখ্যাটি b

প্রশ্নমতে
a + b = 60...................(1)
a - b = 10 ...................(2)

(1)নং + (2) নং ⇒
a + b + a - b = 60 + 10
2a = 70
a = 35

বড় সংখ্যাটি = 35

২,২৯৩.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে ২৭ বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল ৯ হলে সংখ্যাটি কত?

ক
১৮
খ
৩৬
গ
৬৩
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে ২৭ বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল ৯ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = ক
এবং দশক স্থানীয় অংক = (৯ - ক)
∴ সংখ্যাটি = {ক + ১০(৯ - ক)}
= ৯০ - ৯ক

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {১০ক + (৯ - ক)}
= ৯ক + ৯

প্রশ্নমতে,
(৯ক + ৯) - (৯০ - ৯ক) = ২৭
⇒ ৯ক + ৯ - ৯০ + ৯ক = ২৭
⇒ ১৮ক - ৮১ = ২৭
⇒ ১৮ক = ২৭ + ৮১
⇒ ১৮ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/১৮
⇒ ক = ৬

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ৯০ - (৯ × ৬)
= ৯০ - ৫৪ = ৩৬

২,২৯৪.

একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসালে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

ক
ক) ১৮ টি
খ
খ) ২০ টি
গ
গ) ১২ টি
ঘ
ঘ) ৩০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসালে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি,
বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৬

শর্তমতে,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৬
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৬
⇒ ক = ১৮

২,২৯৫.

x² + 5x + k = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি - 2 হয়, তাহলে k এর মান কত?

ক
6
খ
2
গ
- 4
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x + k = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি - 2 হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = - 2
অর্থাৎ, x = - 2

এখন,
x² + 5x + k = 0
⇒ (- 2)² + 5 × (- 2) + k = 0
⇒ 4 - 10 + k = 0
⇒ - 6 + k = 0
∴ k = 6

২,২৯৬.

যদি x + 1/x = 2 হলে x/( x² + x - 1) এর মান কত ?

ক
2
খ
1
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে ,
x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা,( x - 1 )² = 0
বা, x - 1 = 0
x = 1

এখন ,
= x/( x² + x - 1)
= 1/(1² + 1 - 1)
= 1/1
= 1

২,২৯৭.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে 5 যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে 3 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
35
খ
47
গ
53
ঘ
69

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে 5 যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে 3 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x
এবং দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + 10y

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - 3
এবং নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + 5

∴ নতুন সংখ্যাটি = x - 3 + 10(y + 5)
= x - 3 + 10y + 50
= x + 10y + 47

প্রশ্নমতে,
2(x + 10y) = x + 10y + 47
⇒ 2x + 20y = x + 10y + 47
⇒ 2x - x + 20y - 10y = 47
∴ x + 10y = 47

সুতরাং, সংখ্যাটি = 47

২,২৯৮.

(3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

ক
1
খ
1/2
গ
- 2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

সমাধান:
3a - b = 7 ..........(1)
2a + b = 3 ..........(2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
3a - b + 2a + b = 7 + 3
⇒ 5a = 10
∴ a = 2

(2) নং সমীকরণে এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 2 + b = 3
⇒ 4 + b = 3
∴ b = - 1

অতএব, a + b = 2 + (- 1)
= 1

২,২৯৯.

রিতার বয়স তন্বীর বয়সের 5 গুণ। তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে তখন রিতার বয়স কত হবে?

ক
42
খ
54
গ
36
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রিতার বয়স তন্বীর বয়সের 5 গুণ। তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে তখন রিতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর হলে রিতার বর্তমান বয়স = 6 × 5 = 30 বছর
ধরি, x বছর পরে রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
3 × (6 + x) = 30 + x
⇒ 18 + 3x = 30 + x
⇒ 3x - x = 30 - 18
⇒ 2x = 12
∴ x = 6
সুতরাং, যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে, তখন রিতার বয়স হবে 30 + 6 = 36 বছর।

২,৩০০.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও - 6 হলে, সমীকরণটি -

ক
x² + 2x - 24 = 0
খ
x² + 2x - 10 = 0
গ
x² + 2x + 10 = 0
ঘ
x² + 2x - 18 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও - 6 হলে, সমীকরণটি -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও - 6

আমরা জানি,
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (4 - 6)x + (4 × (- 6)) = 0
⇒ x² + 2x - 24 = 0