সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২১ / ২৯ · ২,০০১–২,১০০ / ২,৮৯২

২,০০১.

x + 1/x = 0 হলে, x = ?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

x + 1/x = 0
or, (x² + 1)/x = 0
or, x² + 1 = o
or, x² = - 1
∴ x = √(-1)

২,০০২.

|2a + 4| < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
- 6 < a < 2
খ
- 5 < a < 1
গ
- 3 < a < 4
ঘ
- 1 < a < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2a + 4| < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
|2a + 4| < 6
⇒ - 6 < 2a + 4 < 6
⇒ - 6 - 4 < 2a + 4 - 4 < 6 - 4
⇒ - 10 < 2a < 2
⇒ - 10/2 < 2a/2 < 2/2
⇒ - 5 < a < 1

২,০০৩.

একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
7
খ
8
গ
9
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² + x = 9(x +1)
বা, x² + x = 9x + 9
বা, x² + x - 9x -9 =0
বা, x² - 8x - 9 = 0
বা, x² - 9x + x - 9 = 0
বা, x(x - 9) +1 (x - 9) = 0
বা, (x - 9) (x + 1) = 0
হয়,
x - 9 = 0
∴ x = 9

অথবা,
x + 1 = 0
বা, x = -1
কিন্তু x ≠ -1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

২,০০৪.

x + y = 15 এবং x - y = 13 হলে xy এর মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 13
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 15 এবং x - y = 13 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 15
x - y = 13

∴ 2x = 28
বা, x = 14

∴ y = 15 - 14 = 1

এখন,
xy = 14 × 1 = 14

২,০০৫.

x² + px + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

ক
6√2
খ
2√6
গ
2√4
ঘ
3√6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + px + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 6 = 0
যেহেতু দুইটি মূল সমান তাই সমীকরণের নিশ্চায়ক শূণ্য হবে। b² - 4ac = 0
∴ p² - 4 . 1 . 6 = 0
⇒ p² - 24 = 0
⇒ p² = 24
⇒ p = √(4 × 6)
∴ p = 2√6

২,০০৬.

x/y = 2 এবং x + 2y = 4 হলে x ও y এর মান কত?

ক
1, 2
খ
3, 4
গ
2, 1
ঘ
3, 6

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x/y = 2 এবং x + 2y = 4

এখন,
x/y = 2
বা, x = 2y

আবার,
x + 2y = 4
বা, x + x = 4
বা, 2x = 4
বা, x = 2

এখন x এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 2
বা, y = 1

২,০০৭.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
8
খ
9
গ
10
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৪৭ - ৩৮ = ৯ জন

২,০০৮.

{(9^x - 4) / (3^x - 2)} - 2 এর মান কত?

ক
ক) 3^x - 2
খ
খ) 3^x + 2
গ
গ) 3^x
ঘ
ঘ) 9^x

ব্যাখ্যা

(9^x - 4)/(3^x - 2) - 2
= {(3^x)2 - 2²}/(3^x - 2) - 2
= (3^x + 2)(3^x - 2)/(3^x - 2) - 2
= 3^x + 2 - 2
= 3^x

২,০০৯.

দুইটি সংখ্যার গুণফল 146 এবং বর্গের যোগফল 333 হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

ক
ক) 23
খ
খ) 24
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 146 এবং বর্গের যোগফল 333 হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাদ্বয় x ও y

১ম শর্তমতে,
xy = 146
২য় শর্তমতে,
x² + y² = 333

এখন,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 333 + (2 × 146)
⇒ (x + y)² = 333 + 292
⇒ (x + y)² = 625
⇒ x + y = √625
∴ x + y = 25

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 25

২,০১০.

- 7a + 8b = 9 এবং 5a - 4b = - 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
ক) (1, - 2)
খ
খ) (1, 2)
গ
গ) (2, 2)
ঘ
ঘ) ( - 1, 2)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
- 7a + 8b = 9......... (1)
5a - 4b = - 3 ...........(2)

(1) + (2) × 2 ⇒
- 7a + 8b + 10a - 8b = 9 - 6
3a = 3
a = 1

(1) নং a এর মান বসিয়ে পাই
- 7× 1 + 8b = 9
- 7 + 8b = 9
8b = 9 + 7
8b = 16
b = 16/8
b = 2

নির্ণেয় সমাধান (a , b) = (1, 2)

২,০১১.

4(2a + 1) = 4(a - 2) হলে a এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2a + 1) = 4(a - 2)
বা, 8a + 4 = 4a - 8
বা, 8a - 4a = - 8 - 4
বা, 4a = -12
বা, a = -12/4
∴ a = - 3

২,০১২.

a/b = 4, a + 2b = 12 হলে a এর মান কত?

ক
ক) ৮
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৬
ঘ
ঘ) ৪

ব্যাখ্যা

a/b = 4
⇒ a = 4b
এখন, a + 2b = 12
⇒ 4b + 2b = 12
∴ b = 2
∴ a = 4 × 2 = 8

২,০১৩.

যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

ক
- 3
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [∴ y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3

২,০১৪.

3x² - 5x - 4 = 0 এর মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

ক
5/3
খ
- (5/3)
গ
2/3
ঘ
- (4/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x² - 5x - 4 = 0 এর মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
3x² - 5x - 4 = 0

a = 3
b = -5
c = -4

সুতরাং,
ax² + bx + c = 0,

∴ মূলদ্বয়ের যোগফল = x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-5)/3 = 5/3

২,০১৫.

একটি বিদ্যালয়ের নবম শ্রেণির পরীক্ষায় x জন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর 1950। একই পরীক্ষায় অন্য একজন নতুন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত নম্বর 34 যোগ করায় প্রাপ্ত নম্বরের গড় 1 কমে গেল। x = ?

ক
ক) - 65
খ
খ) 64
গ
গ) 30
ঘ
ঘ) 36

ব্যাখ্যা

x জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় =1950/x
এবং (x + 1) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = (1950 + 34)/(x + 1)
শর্তানুসারে,
1950/x - (1950 + 34)/(x + 1) = 1
বা, (1950x + 1950 - 1984x)/x(x + 1) = 1
বা, x² + 35x - 1950 = 0
বা, x² + 65x - 30x - 1950 = 0
বা, (x + 65)(x - 30) = 0
∴ x = 30 কিন্তু x ≠ - 65

২,০১৬.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 11 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
38
খ
83
গ
29
ঘ
92

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 11 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (11 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(11 - x)} = 110 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (11 - x)} = 9x + 11

প্রশ্নমতে,
(9x + 11) - (110 - 9x) = 45
⇒ 9x + 11 - 110 + 9x = 45
⇒ 18x - 99 = 45
⇒ 18x = 45 + 99
⇒ 18x = 144
⇒ x = 144/18
⇒ x = 8

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 110 - (9 × 8)
= 110 - 72 = 38

২,০১৭.

3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হয়?

ক
5
খ
4
গ
4.
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হয়?

সমাধান:
মনে করি,
3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে x যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে।

প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5

∴ 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে।

২,০১৮.

দুটি সংখ্যার গুণফল ১৮৯ এবং সংখ্যা দুটির যোগফল ৩০। সংখ্যা দুটি কত?

ক
১৮, ৯
খ
১০, ৩
গ
৬৩, ৩
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৮৯ এবং সংখ্যা দুটির যোগফল ৩০। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ৩০ - ক

প্রশ্নমতে
ক(৩০ - ক) = ১৮৯
বা, ৩০ক - ক^২ = ১৮৯
বা,- ক^২+ ৩০ক - ১৮৯ = ০
বা,- (ক^২ - ৩০ক + ১৮৯) = ০
বা, ক^২ - ৩০ক + ১৮৯ = ০
বা, ক^২ - ২১ক - ৯ক + ১৮৯ = ০
বা, ক(ক - ২১) - ৯(ক - ২১) = ০
বা, (ক - ২১)(ক - ৯) = ০

হয়
ক - ২১ = ০
ক = ২১

অথবা
ক - ৯ = ০
ক = ৯

২,০১৯.

(2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

ক
2/3
খ
1/3
গ
- 1/2
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6
বা, x + 5 = 3x + 6
বা, x - 3x = 6 - 5
বা, -2x = 1
বা, x = 1/-2
∴ x = - 1/2

২,০২০.

যদি x² + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0, তবে p এর মান কত?

ক
√6
খ
0
গ
√48
ঘ
√24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 6 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
p² - 4 × 1 × 6
= p² - 24

যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p² - 24 = 0
⇒ p² = 24
∴ p = √24

২,০২১.

আসলামের নিকট ৮০০ টাকা আছে। তিনি তার কিছু সংখ্যক বন্ধুর প্রত্যেককে ৬ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পড়ে। আসলামের বন্ধুর সংখ্যা কত?

ক
৭০ জন
খ
২৫০ জন
গ
১০০ জন
ঘ
১৫০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আসলামের নিকট ৮০০ টাকা আছে। তিনি তার কিছু সংখ্যক বন্ধুর প্রত্যেককে ৬ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পড়ে। আসলামের বন্ধুর সংখ্যা কত?

সমাধান:

মনে করি,

আসলামের বন্ধুর সংখ্যা = x জন

প্রশ্নমতে,

৬x − ১০০ = ৮০০

বা, ৬x = ৮০০ + ১০০

বা, ৬x = ৯০০

বা, x = ৯০০/৬

∴ x = ১৫০

∴ আসলামের বন্ধুর সংখ্যা = ১৫০ জন।

২,০২২.

(2x + 3y)/(3x+2y) = 5/6 হলে x:y = কত?

ক
6:8
খ
3:8
গ
8:6
ঘ
8:3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
(2x + 3y)/(3x+2y) = 5/6
বা, 12x + 18y = 15x + 10y
বা, 3x = 8y
বা, x/y = 8/3
বা, x:y = 8:3

২,০২৩.

যদি 4x + 5y = 83 এবং 3x /2y = 21/22 হয়, তবে 2x - y এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3x /2y = 21/22
x/y = (21/22) × (2/3)
x/y = 7/11
x = 7y/11............(1)

আবার
4x + 5y = 83
4(7y/11) + 5y = 83
(28y/11) + 5y = 83
(28y + 55y)/11 = 83
83y/11 = 83
y = 83 × (11/83)
y = 11

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই
x = (7× 11)/11
x = 7

2 x - y = 2×7 - 11
= 14 - 11
= 3

২,০২৪.

x²+4y²+8x−16y+16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) -4xy
খ
খ) 4xy
গ
গ) -2xy
ঘ
ঘ) 2xy

ব্যাখ্যা

x²+4y²+8x−16y+16
= (x)² + (-2y)² + (4)² + 2.x.(-2) + 2.(-2).4 + 2.x.4 + 4xy
= (x - 2y + 4)² + 4xy
প্রদত্ত রাশিটির সাথে - 4xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

২,০২৫.

হলে x এর মান কত?

ক
ক) a/b
খ
খ) ab
গ
গ) 1/ab
ঘ
ঘ) a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে x এর মান কত?

সমাধান:

২,০২৬.

দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ করলে 5 হয়। আবার প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ যোগ করলে 12 হয়। সংখ্যা দুটি কত?

ক
ক) 3 এবং 4
খ
খ) 4 এবং 5
গ
গ) 3 এবং 2
ঘ
ঘ) 5 এবং 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ করলে 5 হয়। আবার প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ যোগ করলে 12 হয়। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যাটি x
দ্বিতীয় সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে
3x - 2y = 5.............(1)

২য় শর্তমতে
2x + 3y = 12 ................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
9x - 6y + 4x + 6y = 15 + 24
13x = 39
x = 3

(2) ⇒
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 6
y = 2

প্রথম সংখ্যাটি 3
দ্বিতীয় সংখ্যাটি 2

২,০২৭.

3x - y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

ক
(2, 5)
খ
(2, 6)
গ
(3, 5)
ঘ
(3, 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

সমাধান:
3x - y = 3 ............... (1)
5x + y = 21 ..............(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
3x - y = 3
5x + y = 21
8x = 24
∴ x = 3

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
(3 × 3) - y = 3
বা, 9 - y = 3
বা, y = 9 - 3
∴ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 6)

২,০২৮.

3x - 5y = - 9, 5x - 3y = 1 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(4, 3)
খ
(2, 4)
গ
(3, 3)
ঘ
(2, 3)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3x - 5y = - 9.............(1)
5x - 3y = 1.................(2)

(1) নং × 3 - (2) নং × 5 ⇒
9x - 15y - (25x - 15y) = - 27 - 5
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5
- 16x = - 32
x = - 32/- 16
x = 2

(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5x - 3y = 1
5 × 2 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1- 10
- 3y = - 9
y = - 9/- 3
y = 3

(x, y) = (2,3)

২,০২৯.

a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে b এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

abc = 36
বা, 3c.(3/2)c.c = 36
বা, (9/2)c³ = 36
বা, c³ = 8 = 2³
∴ c = 2
∴ b = 3c/2 = 3/2 × 3 = 3

২,০৩০.

2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (3, 2)
খ
খ) (2, 3)
গ
গ) (1, 3)
ঘ
ঘ) (3, 3)

ব্যাখ্যা

2x + y = 8 ...........(1)
3x - 2y = 5 ...........(2)
(1) নং থেকে পাই, y = 8 - 2x ...........(3)
(2) এ (3) এর y এর বসিয়ে পাই,
3x - 2(8 - 2x) = 5
⇒ 3x - 16 + 4x = 5
⇒ 7x = 21
⇒ x = 3
(3) নং থেকে পাই, y = 8 - 6 = 2
∴ (x, y) = (3, 2)

২,০৩১.

x²+y² = 185, x+y = 19 হলে, (x, y) = কত?

ক
ক) (11, 8)
খ
খ) (10, 9)
গ
গ) (12, 7)
ঘ
ঘ) (13, 6)

ব্যাখ্যা

x²+y² = 185
বা, (x+y)² - 2xy = 185
বা, 19² - 2xy = 185
বা, 2xy = 361-185
বা, 2xy = 176 = 2 × 2 × 2 × 2 × 11
বা, xy = 8 × 11;
আবার, 11+8 = 19
সুতরাং (x, y) = (11, 8)

২,০৩২.

{(2x + 3)/5} + 2 = (x - 1)/2 হলে x এর মান কত?

ক
21
খ
31
গ
41
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(2x + 3)/5} + 2 = (x - 1)/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
{(2x + 3)/5} + 2 = (x - 1)/2
বা, {(2x + 3)/5} - (x - 1)/2 = - 2
বা, (4x + 6 - 5x + 5)/10 = - 2
বা, - x + 11 = - 20
বা, - x = - 20 - 11
বা, - x = - 31
∴ x = 31

২,০৩৩.

ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির উভয় মূল মূলদ হওয়ার শর্ত হলো-

ক
b² - 4ac একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়
খ
b² < 4ac
গ
b² > 4ac
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির উভয় মূল মূলদ হওয়ার শর্ত হলো-

সমাধান:
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের b² – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,

• b² – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b² – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,০৩৪.

2x + 5y = 100 এবং y = 2x হয় তাহলে y = ?

ক
35
খ
25
গ
50/3
ঘ
40/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 5y = 100 এবং y = 2x হয় তাহলে y = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 5y = 100
এবং y = 2x
∴ 2x + 5(2x) = 100
⇒ 2x + 10x = 100
⇒ 12x = 100
∴ x = 25/3
∴ y = 2 × (25/3) = 50/3

২,০৩৫.

4(3a - 6) = (2a + 6) কে সমাধান করলে a এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(3a - 6) = (2a + 6) কে সমাধান করলে a এর মান কত?

সমাধান:
4(3a - 6) = (2a + 6)
⇒ 12a - 24 = 2a + 6
⇒ 12a - 2a = 6 + 24
⇒ 10a = 30
⇒ a = 30/10
∴ a = 3

সুতরাং, a এর মান = 3

২,০৩৬.

45 থেকে কোন সংখ্যাকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যা অপেক্ষা 5 বেশি হবে?

ক
ক) 10
খ
খ) 20
গ
গ) 30
ঘ
ঘ) 40

ব্যাখ্যা

মনেকরি
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে
45 - x = x + 5
x + x = 45 - 5
2x = 40
x = 20

২,০৩৭.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 7 । অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 9 কম। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 52
খ
খ) 25
গ
গ) 43
ঘ
ঘ) 61

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 7 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(7 - x) + x = 70 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 7 - x = 9x + 7
প্রশ্নমতে,
9x + 7 = 70 - 9x - 9
9x + 9x = 61 - 7
⇒ 18x = 54
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 70 - 27 = 43

২,০৩৮.

অরিণ ও ওয়াফি এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি ১৬ বছর। ৪ বছর পরে অরিণের বয়স ওয়াফির বয়সের তিনগুণ হলে অরিণের বর্তমান বয়স কত?

ক
ক) ৮ বছর
খ
খ) ১০ বছর
গ
গ) ১২ বছর
ঘ
ঘ) ১৪ বছর

ব্যাখ্যা

ধরি, অরিণের বয়স ক বছর
∴ওয়াফির বয়স (১৬ - ক) বছর
৪ বছর পর অরিণের বয়স (ক+৪) বছর
এবং ওয়াফির (২০-ক) বছর
∴ক + ৪ = ৩(২০-ক)
⇒ক +৪ = ৬০ - ৩ক
⇒ক + ৩ক = ৬০ - ৪
∴ক = ৫৬/৪ = ১৪

২,০৩৯.

দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অংক একক স্থানীয় অংকের তিনগুন।
উপরের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দিন।
একক স্থানীয় অংক x হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 13x
খ
খ) 31x
গ
গ) 21x
ঘ
ঘ) 3x

ব্যাখ্যা

একক স্থানীয় অংক x হলে, দশক স্থানীয় অংক = 3x
সুতরাং, সংখ্যাটি = x + 10.3x = 31x

২,০৪০.

3x + 2y = 16 এবং 5x - 2y = 8 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(2, 5)
খ
(3, 7/2)
গ
(5, 8)
ঘ
(5, 1/2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y = 16 এবং 5x - 2y = 8 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
3x + 2y = 16 ..........(1)
5x - 2y = 8 ..........(2)

(1) এবং (2) যোগ করলে,
(3x + 2y) + (5x - 2y) = 16 + 8
⇒ 3x + 2y + 5x - 2y = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 3

এখন (1) নং এ x-এর মান বসিয়ে পাই,
3(3) + 2y = 16
⇒ 9 + 2y = 16
⇒ 2y = 16 - 9
⇒ 2y = 7
⇒ y = 7/2

∴ সরলরেখা দুটি (3, 7/2) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,০৪১.

একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-চতুর্থাংশের চেয়ে ১২ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
২৪
খ
৩৬
গ
৪৮
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-চতুর্থাংশের চেয়ে ১২ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/২) - (ক/৪) = ১২
বা, (২ক - ক)/৪ = ১২
বা, ক/৪ = ১২
বা, ক = ১২ × ৪
ক = ৪৮

∴ সংখ্যাটি ৪৮

২,০৪২.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
(-1, 1)
খ
(1, -1)
গ
(1, 0)
ঘ
(-1, 0)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x - 7y + 10 = 0 ...... (1)
এবং,
y - 2x - 3 = 0
⇒ y = 2x + 3...... (2)

(1) হতে পাই,
3x - 7(2x + 3) + 10 = 0
⇒ 3x - 14x - 21 + 10 = 0
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1

(1) হতে পাই,
y = 2x + 3 = 2(- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
∴ y = 1

∴ (x, y) = (- 1, 1)

২,০৪৩.

সজিব প্রতিটি টিকেট বিক্রয় করে 10 টাকা করে লাভ করে । কিন্তু 100 টি টিকেট বিক্রির পর সে প্রতি টিকেটে আরো 4 টাকা করে বেশি লাভ করে । সজিব মোট 3800 টাকার টিকেট বিক্রয় করলে সে কতটি টিকেট বিক্রয় করেছিল?

ক
200 টি
খ
300 টি
গ
350 টি
ঘ
270 টি
ঙ
150টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সজিব প্রতিটি টিকেট বিক্রয় করে 10 টাকা করে লাভ করে। কিন্তু 100 টি টিকেট বিক্রির পর সে প্রতি টিকেটে আরো 4 টাকা করে বেশি লাভ করে । সজিব মোট 3800 টাকার টিকেট বিক্রয় করলে সে কতটি টিকেট বিক্রয় করেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সজিব মোট টিকেট বিক্রয় করেছিল x টি
প্রথম 100টি 10 টাকা ধরে বিক্রয় করলে আয় হয় = (100 × 10) = 1000 টাকা

14 টাকা ধরে বিক্রয় করলে আয় হয় = 14(x - 100) টাকা

প্রশ্নমতে,
1000 + 14(x - 100) = 3800
14(x - 100) = 3800 - 1000
14x - 1400 = 2800
14x = 2800 + 1400
14x = 4200
x = 4200/14
x = 300

অতএব, সজিব মোট 300 টি টিকেট বিক্রি করেছে।

২,০৪৪.

যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
x + 5y = 24
3y + 5y = 24
8y = 24
y = 3

২,০৪৫.

৪০ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দুভাগ করা হল যেন ছোট অংশটি বড় অংশের ২/৩ ভাগ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

ক
ক) ৮
খ
খ) ১৬
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা

মনে করি, বড় অংশ ৩x ফুট।
ছোট অংশ ২x ফুট।
প্রশ্নমতে, ৩x+২x = ৪০
বা, ৫x = ৪০
∴ ২x = ১৬
∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ২x = ১৬ ফুট।

২,০৪৬.

2x + 5y = 1, x + 3y = 2 হলে x + y এর মান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) - 2
গ
গ) - 3
ঘ
ঘ) - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 5y = 1, x + 3y = 2 হলে x + y এর মান কত?

সমাধান:
2x + 5y = 1..............(1)
x + 3y = 2..............(2)
(1) - (2) × 2 ⇒
2x + 5y - (2x + 6y) = 1 - 4
2x + 5y - 2x - 6y = - 3
- y = - 3
y = 3

(1) নং থেকে পাই
x + 3y = 2
x + 3 × 3 = 2
x = 2 - 9
x = - 7

x + y = - 7 + 3 = - 4

২,০৪৭.

তিনটি সংখ্যার গুণফল 972। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বৃহত্তম সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ এবং মধ্যম সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 3/2 গুন। সংখ্যা তিনটির যােগফল কত?

ক
ক) 32
খ
খ) 36
গ
গ) 34
ঘ
ঘ) 33
ঙ
ঙ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = x/3
মধ্যম সংখ্যা = (x/3)×(3/2) = x/2
প্রশ্নমতে, x × (x/2) × (x/3) = 972
Or, x³/6 = 972
Or, x³ = 972×6 = 5832
Or, x = 18
সুতরাং, সংখ্যা তিনটির যোগফল = 18+9+6 = 33

২,০৪৮.

যদি (x - 5)(a + x) = x² - 25 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
- 5
খ
5
গ
25
ঘ
- 25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - 5)(a + x) = x² - 25 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 5) (a + x) = x2 - 25
⇒ (x - 5) (a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

২,০৪৯.

যদি x + 5y = 16 এবং y = x/3 হয়, তাহলে y = কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 5y = 16 এবং y = x/3 হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 5y = 16 ...... (1)
এবং
y = x/3
⇒ x = 3y ....... (2)

এখন,
x এর মান (1) নং এ বসাই,
3y + 5y = 16
বা, 8y = 16
∴ y = 2

২,০৫০.

(-1) × (-1) × (-1) + (-1) (-1) = কত?

ক
-২
খ
০
গ
-১
ঘ
২

ব্যাখ্যা

(-1) × (-1) × (-1) + (-1) (-1)
= -1 + 1
= 0

২,০৫১.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫, বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
১
খ
২
গ
৩
ঘ
৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫, বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = x এবং ছোট সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে,
x + y = ১৫ ...... (১)
x - y = ১৩ ....... (২)

সমীকরণ (১) + সমীকরণ (২) ⇒
(x + y) + (x - y) = ১৫ + ১৩
বা, ২x = ২৮
বা, x = ১৪

সমীকরণ (১) থেকে পাই,
১৪ + y = ১৫
বা, y = ১

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ১

২,০৫২.

সরল করুন: b - [b - (a + b) - {b - (b - a + b)} + 2a]

ক
b
খ
2(a - b)
গ
0
ঘ
a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল করুন: b - [b - (a + b) - {b - (b - a + b)} + 2a]

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b - [b - (a + b) - {b - (b - a + b)} + 2a]
= b - [b - a - b - {b - (2b - a)} + 2a]
= b - [- a - {b - 2b + a} + 2a]
= b - [- a - b + 2b - a + 2a]
= b - [- 2a + b + 2a]
= b - [b]
= b - b
= 0

২,০৫৩.

দুটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২ । ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৯
খ
৮
গ
৬
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২ । ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
a ও b দুটি সংখ্যা যেখানে a > b
a + b = 17
ab = 72

আমরা জানি
(a - b)² = {(a + b)² - 4 × ab}
বা, (a - b) = √{(17)² - 4 × 72}
বা, (a - b) = √(289 - 288)
বা, (a - b) = √1
∴ a - b = 1

এখন,
a + b = 17
a - b = 1
--------------------
(-) করে, 2b = 16
∴ b = 8

∴ ছোট সংখ্যাটি = 8

২,০৫৪.

সজীবের কাছে ৮০০ টাকা আছে। কিছু সংখ্যক লোককে ৬ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পড়ে। লোকসংখ্যা কত?

ক
ক) ১০৫ জন
খ
খ) ১১৬ জন
গ
গ) ১৪০ জন
ঘ
ঘ) ১৫০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সজীবের কাছে ৮০০ টাকা আছে। কিছু সংখ্যক লোককে ৬ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পড়ে। লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা x জন

6x = 800 + 100
⇒ 6x = 900
∴ x = 150

লোকসংখ্যা ১৫০ জন।

২,০৫৫.

একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে তার বর্গ বিয়োগ করলে এবং ৬ বিয়োগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি -

ক
ক) ১ অথবা ২
খ
খ) ৩ অথবা ৪
গ
গ) ২ অথবা ৩
ঘ
ঘ) ৩ অথবা ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে তার বর্গ বিয়োগ করলে এবং ৬ বিয়োগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি -

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(5x - x²) - 6 =0
⇒ x² - 5x + 6 =0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0
⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
⇒ (x - 2) (x - 3) = 0

হয়, x - 2 = 0
∴ x = 2
অথবা, x - 3 = 0
∴ x = 3
∴ x = 2, 3

২,০৫৬.

20 পয়সা ও 25 পয়সার মোট 324 টি মুদ্রা মিলে 71 টাকা হলে 25 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা কতটি?

ক
ক) 127 টি
খ
খ) 126 টি
গ
গ) 124 টি
ঘ
ঘ) 136 টি

ব্যাখ্যা

মনেকরি ,
25 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা x টি
20 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা (324 - x) টি

প্রশ্নমতে,
.25x + .20(324 -x) = 71
25x + 20(324 -x) =7100
25x + 6480 -20x = 7100
5x =7100 - 6480
5x = 620
x= 124

25 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা 124 টি

২,০৫৭.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 2 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
68
খ
24
গ
35
ঘ
46

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 2 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x
তাহলে, একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে = x + 2
∴ সংখ্যাটি = 10x + (x + 2) = 11x + 2
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি হবে = 10(x + 2) + x = 11x + 20

প্রশ্নমতে,
11x + 20 = 2(11x + 2) - 6
বা, 11x + 20 = 22x + 4 - 6
বা, 22x - 11x = 20 + 64
বা, 11x = 22
বা, x = 2

∴ সংখ্যাটি = (11 × 2) + 2 = 24

২,০৫৮.

x² + y² = 185 এবং y = x + 3 হলে x + y = ?

ক
ক) 18
খ
খ) 19
গ
গ) 20
ঘ
ঘ) 21

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
y = x + 3
বা, x - y = -3
এবং,
x² + y² = 185
∴ (x - y)² + 2xy = 185
বা, 2xy = 185 - (x - y)²
= 185 - (-3)²
= 185 - 9
= 176
বা, xy = 88
= 8 × 11
∴ x = 8, y = 11
∴ x + y = 11 + 8
= 19

২,০৫৯.

5x - 3y = 9, 3x - 5y = - 1 হলে (x, y) =?

ক
ক) (3, 2)
খ
খ) (2, 3)
গ
গ) (1, 2)
ঘ
ঘ) (3, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x - 3y = 9, 3x - 5y = - 1 হলে (x, y) =?

সমাধান:
5x - 3y = 9
⇒ 15x - 9y = 27 ..........(1) [ 3 দ্বারা গুণ করে]

3x - 5y = - 1
⇒ 15x - 25y = - 5 ..........(2) [ 5 দ্বারা গুণ করে]

(1) - (2) হতে পাই,
15x - 9y - 15x + 25y = 27 + 5
⇒ 16y = 32
∴ y = 2

y এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
15x - 9 × 2 = 27
⇒ 15x - 18 = 27
⇒ 15x = 45
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (3, 2)

২,০৬০.

স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ৬ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে-

ক
২ ঘণ্টা
খ
৩ ঘণ্টা
গ
৪ ঘণ্টা
ঘ
৫ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ৬ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে-

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ৬
বা, ৩x = ৬
বা, x = ৬/৩
∴ x = ২

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ২ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২ × ২ = ৪ ঘণ্টা

২,০৬১.

(3x + 4y, 2) = (11, 4x - y) হলে, (y, x) এর মান কত?

ক
(2, 1)
খ
(1, 2)
গ
(2, -1)
ঘ
(-2, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x + 4y, 2) = (11, 4x - y) হলে, (y, x) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 11..........(i)
4x - y = 2........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
3x + 4y + 16x - 4y = 11 + 8
19x = 19
x = 1

(ii) হতে পাই,
4 - y = 2
y = 2

∴(y, x) = (2, 1)

২,০৬২.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ১৩ এবং সংখ্যা দুইটির গুনফল ৬ হলে সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর কত?

ক
ক) ৪ & ৩
খ
খ) ২৫
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

মনেকরি, সংখ্যা দুইটি x ও y
x² + y² = 13
xy = 6
x²y² = 36
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4 x²y²
13² - 4.36 = (x² - y²)
(x² - y²)² = 25
(x² - y²) = 5

২,০৬৩.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 হলে, 2x - 2y =?

ক
0
খ
2
গ
- 8
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 হলে, 2x - 2y =?

সমাধান:
3x - 7y + 10 = 0
⇒ 3x - 7y = -10........... (1)

y - 2x - 3 = 0

⇒ - 2x + y = 3 .................(2)

(1)নং + (2)নং × 7 ⇒

3x - 7y - 14x + 7y = - 10 + 21

⇒ - 11x = 11

∴ x = - 1

এখন, (2)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

- 2(- 1) + y = 3

⇒ 2 + y = 3

∴ y = 1

2x - 2y
= 2(- 1) - 2 × 1
= - 2 - 2
= - 4

২,০৬৪.

কোন শ্রেণিতে যতজন শিক্ষার্থী তাদের প্রত্যেকে ততটি করে দশ পয়সা চাঁদা দেয়াতে ৯০ টাকা সংগৃহীত হলো। শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
৯০ জন
খ
১৫ জন
গ
৬০ জন
ঘ
৩০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শ্রেণিতে যতজন শিক্ষার্থী তাদের প্রত্যেকে ততটি করে দশ পয়সা চাঁদা দেয়াতে ৯০ টাকা সংগৃহীত হলো। শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, শিক্ষার্থী সংখ্যা x জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় 10x টাকা

প্রশ্নমতে,
x × 10x = 9000
⇒ 10x² = 9000
⇒ x²= 9000/10
⇒ x² = 900
⇒ x = √900
x = 30

∴ শিক্ষার্থী সংখ্যা 30 জন।

২,০৬৫.

x + 1/x = 2 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি-

ক
ক) বাস্তব ও সমান
খ
খ) মূলদ ও অসমান
গ
গ) অবাস্তব
ঘ
ঘ) অমূলদ ও সমান

ব্যাখ্যা

x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
সমীকরণের নিশ্চায়ক = (-2)² - 4.1.1
= 4 - 4
= 0
∴ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান

২,০৬৬.

{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy} = কত?

ক
y/x
খ
x/y
গ
2x/y
ঘ
2y/x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy} = কত?

সমাধান:
(x + y)/x + (x - y)/y - (x² - y²)/xy
= xy + y² + x² - xy - x² + y²/xy
= 2y²/xy
= 2y/x

২,০৬৭.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী কত?

ক
২০ জন
খ
২৫ জন
গ
৩০ জন
ঘ
৩৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী কত?

সমাধান:
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫০ - ক জন
ডেকের ভাড়া = ১৫ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা

প্রশ্নমতে,
১৫(৫০ - ক) + ৩০ক = ১২০০
⇒ ৭৫০ - ১৫ক + ৩০ক = ১২০০
⇒ ১৫ক = ৪৫০
∴ ক = ৩০
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৩০ জন।

২,০৬৮.

ব্যাখ্যা

২,০৬৯.

চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০৬ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২৫
খ
৩০
গ
৩৪
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০৬ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২) এবং (ক + ৩)।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ১০৬
⇒ ৪ক + ৬ = ১০৬
⇒ ৪ক = ১০৬ - ৬
⇒ ৪ক = ১০০
⇒ ক = ১০০/৪
⇒ ক = ২৫

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো ২৫।

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ক + ৩ = ২৫ + ৩ = ২৮

২,০৭০.

(x + 2y, 5) = (8, x - y) হলে (x, y) = কত?

ক
(5, 3)
খ
(4, 2)
গ
(8, 1)
ঘ
(6, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 2y, 5) = (8, x - y) হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
(x + 2y, 5) = (8, x - y) )
x + 2y = 8 ..................(1)
এবং, x - y = 5 ...........(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
x + 2y - x + y = 8 - 5
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 2. 1 = 8
⇒ x + 2 = 8
⇒ x = 8 - 2
∴ x = 6

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (6, 1)

২,০৭১.

একজন ভদ্র মহিলার বয়সের সংখ্যার অঙ্কগুলোর স্থান পরিবর্তন করলে তা তার স্বামীর বয়সের সমান হবে। তার স্বামী তার চেয়ে বড় এবং তাদের বয়সের পার্থক্য হলো তাদের বয়সের যোগফলের ১/১১ ভাগ। স্বামীর বয়স কত?

ক
৪৫
খ
৫৪
গ
৫৬
ঘ
৬৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ভদ্র মহিলার বয়সের সংখ্যার অঙ্কগুলোর স্থান পরিবর্তন করলে তা তার স্বামীর বয়সের সমান হবে। তার স্বামী তার চেয়ে বড় এবং তাদের বয়সের পার্থক্য হলো তাদের বয়সের যোগফলের ১/১১ ভাগ। স্বামীর বয়স কত?

সমাধান:

অপশন টেস্ট করে সমাধান করা অধিক সহজতর।

অপশন গ হতে- ৪৫ বছর।

ধরি,

মহিলার বয়স ৪৫ বছর।

মহিলার বয়সকে উল্টে দিলে তা তাঁর স্বামীর বয়সকে নির্দেশ করে। অর্থাৎ স্বামীর বয়স ৫৪ বছর।

শর্তমতে,

৫৪ বছর > ৪৫ বছর

তাদের বয়সের পার্থক্য = ৫৪ - ৪৫ = ৯ বছর।

তাদের বয়সের যোগফল = ৫৪ + ৪৫ = ৯৯ বছর।

তাদের বয়সের পার্থক্য/তাদের বয়সের যোগফল = ৯/৯৯ = ১/১১

যা তাদের মোট বয়সের যোগফলের এগারো ভাগের একভাগ।

∴ স্বামীর বয়স ৫৪ বছর।

২,০৭২.

x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কত হবে?

ক
ক) 3,2
খ
খ) 3,-2
গ
গ) -3,2
ঘ
ঘ) -3,-2

ব্যাখ্যা

x² - x - 6 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 1; b = - 1; c =- 6

আমরা জানি,
x = {- b ±√(b² - 4ac)}/2a
x = [- (- 1) ±√{(- 1)² - 4.1.(- 6)}]/2 .1
x = {1 ± √(1 + 24)}/2
x = (1 ± 5)/2

এখানে
x₁ = (1 + 5)/2, x₂ = (1 - 5)/2
x₁ = 3 , x₂= - 2

সমীকরণের মূলদ্বয় হবে = 3, - 2

২,০৭৩.

74 কে এমন দুইভাগে ভাগ করা হলো যেন প্রথম অংশের 5 গুণ এবং অপর অংশের 11 গুণের যোগফল 454, অংশ দুটি হলো -

ক
ক) 50, 24
খ
খ) 60, 14
গ
গ) 30, 44
ঘ
ঘ) 40, 34

ব্যাখ্যা

ধরি
১ম অংশ x
২য় অংশ 74 - x

প্রশ্নমতে,
5x + 11(74 - x) = 454
5x + 814 - 11x =454
6x = 360
x = 60

১ম অংশ 60
২য় অংশ 74 - 60 = 14

২,০৭৪.

(a/b) = 1 - (b/a) হলে, a³ + b³ এর মান কত?

ক
ক) 2ab
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b) = 1 - (b/a) হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
(a/b) = 1 - (b/a)
⇒ (a/b) + (b/a) = 1
⇒ (a² + b²)/ab = 1
∴ a² + b² = ab

a³ + b³
= (a + b) (a² - ab + b²)
= (a + b) (ab - ab)
= (a + b) 0
= 0

২,০৭৫.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৬। সংখ্যাটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির এক-চতুর্থাংশের সমান হলে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৪৭
খ
খ) ৭১
গ
গ) ৩৬
ঘ
ঘ) ৮৭

ব্যাখ্যা

অপশনে একক স্থানীয় অঙ্ক ৬ আছে এমন সংখ্যা শুধুমাত্র ৩৬-ই।
এছাড়া ৩৬, তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির (৩ + ৬ = ৯) এক চতুর্থাংশের সমান (৩৬ × ১/৪ = ৯)।

২,০৭৬.

(a + b, 4) = (6, a - b) হলে (a, b) এর মান কত?

ক
(2, 2)
খ
(3, 7)
গ
(5, 1)
ঘ
(8, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a + b, 4) = (6, a - b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 6 .......... (1)
a - b = 4 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 6 + 4
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

(1) নং এ a এর মান বসাই,
b = 6 - 5
∴ b = 1

∴(a, b) = (5, 1)

২,০৭৭.

x এর মান কত হলে 3(2x + 5) = 31 - x হবে?

ক
2
খ
16/7
গ
17/7
ঘ
15/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 3(2x + 5) = 31 - x হবে?

সমাধান:
3(2x + 5) = 31 - x
বা, 6x+ 15 = 31 - x
বা, 6x + x = 31 - 15
বা, 7x = 16
বা, x = 16/7
∴ x = 16/7

২,০৭৮.

3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে, a^-1 এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
3
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে, a^-1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3a + 4b = 14 . . . . . . (1)
4a - 3b = 2 . . . . . . (2)

{(1) নং × 3} + {(2) নং × 4}
9a + 12b + 16a - 12b = 42 + 8
⇒ 25a = 50
⇒ a = 2
∴ a^-1= 1/2

২,০৭৯.

p এর কোন ধনাত্মক মানের জন্য 4x² - px + 9 = 0 সমীকরণের মূল দুটি সমান হবে?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

যেহেতু মূল দু’টি সমান
∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক = 0
বা, (-p)² - 4.4.9 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12

২,০৮০.

x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

২,০৮১.

7x - 2 - 3x²= 0 সমীকরণের মূলগুলো হলো-

ক
ক) 2, 2/3
খ
খ) 2/3, 3
গ
গ) 1/3, 2
ঘ
ঘ) 7/3, 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x - 2 - 3x²= 0 সমীকরণের মূলগুলো হলো-

সমাধান:
7x - 2 - 3x² = 0 কে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 সাথে তুলনা করে পাই
a = - 3
b = 7
c = - 2

7x - 2 - 3x² = 0 এ
x = [- b ± √{(b)² - 4.a.c}]/2a
x = [-7 ± √{(7)² - 4.(- 3).(- 2)}]/2.(- 3)
x = (- 7 ± √25)/(- 6)
x = - (7 ± 5)/(- 6)
x = 1/3, 2

২,০৮২.

মিজান ৮% মুনাফায় ১০,০০০ টাকা ঋণ নিয়ে X বছর পর ১২,৪০০ পরিশোধ করেন। X এর মান কত?

ক
ক) ২ বছর
খ
খ) ৩ বছর
গ
গ) ৫ বছর
ঘ
ঘ) ৬ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মিজান ৮% মুনাফায় ১০,০০০ টাকা ঋণ নিয়ে X বছর পর ১২,৪০০ পরিশোধ করেন। X এর মান কত?

সমাধান:
মুনাফার হার r = ৮%
= ৮/১০০
= ২/২৫

আসল P = ১০,০০০ টাকা
মুনাফা I = ১২,৪০০ - ১০,০০০ টাকা
= ২,৪০০ টাকা

সময় n = X

আমরা জানি
I = Pnr
বা, ২,৪০০ = ১০,০০০ × X × (২/২৫)
বা, ২,৪০০ = ৪০০ × X × ২
বা, ৮০০ × X = ২৪০০
বা, X = ২৪০০/৮০০
X = ৩

২,০৮৩.

(a - 5) (x + a) = a² - 25 হলে, x -এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 25
গ
গ) - 5
ঘ
ঘ) - 25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - 5) (x + a) = a² - 25 হলে, x -এর মান কত?

সমাধান:
(a - 5) (x + a) = a² - 25
বা, ax - 5x + a²- 5a = a² - 25
বা, x (a - 5) = 5a - 25
বা, x (a - 5) = 5 (a - 5)
বা, x = 5 (a - 5)/(a - 5)
∴ x = 5

২,০৮৪.

একজন ছাত্র 5 টাকা দরে x টি পেন্সিল এবং 8 টাকা দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেন্সিল কিনেছে?

ক
ক) 8
খ
খ) 10
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ একজন ছাত্র 5 টাকা দরে x টি পেন্সিল এবং 8 টাকা দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেন্সিল কিনেছে?

সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ছাত্রটি পেন্সিল কিনেছে = x টি
ছাত্রটি খাতা কিনেছে = (x + 4) টি

এখন,
x টি পেন্সিলের মোট দাম = 5x টাকা
এবং x + 4 টি খাতার মোট দাম = 8 (x + 4) টাকা।

প্রশ্নমতে, 5x + 8 (x+4) ≤ 97
বা, 5x + 8x + 32 ≤ 97
বা, 13x ≤ 65
বা, x ≤ 65/13
বা, x ≤ 5

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 5 টি পেন্সিল কিনেছে।

২,০৮৫.

a² - 4a + 3 = 0 হলে a = ?

ক
3
খ
1
গ
2
ঘ
এবং (খ) উভয়ই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 4a + 3 = 0 হলে a = ?

সমাধান:
a² - 4a + 3 = 0
⇒ a² - 3a - a + 3 = 0
⇒ a(a - 3) - 1(a + 3) = 0
⇒(a - 3)(a - 1) = 0

হয়
a - 3 = 0
a = 3

অথবা
a - 1 = 0
a = 1

২,০৮৬.

x+1/x = 2 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

Given, x+1/x = 2
Or, (x² + 1)/x = 2
Or, x² - 2x + 1 = 0
∴ x = 1

২,০৮৭.

সমাধান করুন: {8/(2x - 1)} + {9/(3x - 1)} = 7/(x + 1)

ক
ক) 3/5
খ
খ) 1/2
গ
গ) -1/2
ঘ
ঘ) 2/5

ব্যাখ্যা

{8/(2x - 1)} + {9/(3x - 1)} = 7/(x + 1)
8/(2x - 1) + 9/(3x - 1) = 4/(x + 1) + 3/(x + 1)
⇒ 8/(2x - 1) - 4/(x + 1) = 3/(x + 1) - 9/(3x - 1)
⇒ 12/(2x - 1)(x + 1) = -12/(x + 1)(3x – 1)
⇒ 3x – 1 = - 2x + 1
⇒ 5x = 2
∴ x = 2/5

২,০৮৮.

যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

ক
6
খ
18
গ
12
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0)

২,০৮৯.

3x² - 4x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত হলে k এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x² - 4x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত হলে k এর মান কত?

সমাধান:
3x² - 4x + k = 0 সমীকরণের মুলদ্বয় a ও 1/a

আমরা জানি,
a(1/a) = ধ্রুবক পদ/x² এর সহগ
1= k/3
3 = k
k = 3

২,০৯০.

দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং বিয়োগফর যথাক্রমে ২৮ এবং ৪। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
১৬
খ
১৮
গ
২০
ঘ
২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং বিয়োগফল যথাক্রমে ২৮ এবং ৪। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা x
ছোট সংখ্যা y

শর্তমতে,
x + y = 28
x - y = 4

x + y + x - y = 28 + 4
2x = 32
x = 16

২,০৯১.

হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

সমাধান:

(3/x) + {4/(x + 1)} = √2 × √2
বা, {3(x + 1) + 4x}/x(x + 1) = 2
বা, 2(x² + x) = 3x + 3 + 4x
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² + 2x - 7x - 3 = 0
বা, 2x² - 5x - 3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
বা, (x - 3) (2x + 1) = 0

হয়,
x - 3 = 0
∴ x = 3

2x + 1 = 0
x = - 1/2 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

২,০৯২.

x + y = 8 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
16
খ
20
গ
18
ঘ
32
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8

এখন,
x = 7 হলে y = 1 ; xy = 7 × 1 = 7
x = 6 হলে y = 2 ; xy = 6 × 2 = 12
x = 5 হলে y = 3 ; xy = 5 × 3 = 15
x = 4 হলে y = 4 ; xy = 4 × 4 = 16

অতএব, xy এর বৃহত্তম মান 16

২,০৯৩.

(৭ + ক) × ৩ = ৩০ হলে ‘ক’ এর মান কত?

ক
২১
খ
১০
গ
৯
ঘ
৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৭ + ক) × ৩ = ৩০ হলে 'ক' এর মান কত?

সমাধান:
(৭ + ক) × ৩ = ৩০
বা, ৭ + ক = ৩০/৩
বা, ৭ + ক = ১০
বা, ক = ১০ - ৭
∴ ক = ৩

২,০৯৪.

দুইটি বীজগাণিতিক রাশি x ও y এর গুণফল xy = 0 হলে, কোনটি সত্য?

ক
ক) x = 0 অথবা, y = 0
খ
খ) x = 0 এবং y ≠ 0
গ
গ) x ≠ 0 এবং y = 0
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

দুইটি বীজগাণিতিক রাশি x ও y এর গুণফল xy = 0 হলে, x = 0 বা y = 0 অথবা x = 0 এবং y = 0

২,০৯৫.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/3 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 100 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
40
খ
50
গ
60
ঘ
70

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/3 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 100 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
ছোট সংখ্যাটি = 2x/3

প্রশ্নমতে,
x + (2x/3) = 100
⇒ (3x + 2x)/3 = 100
⇒ 5x/3 = 100
⇒ 5x = 300
⇒ x = 60

২,০৯৬.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ২৫ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৬৩ এবং ৩৮
খ
৫০ এবং ২৫
গ
৭৫ এবং ৫০
ঘ
৬০ এবং ৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ২৫ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক এবং খ

প্রশ্নমতে,
ক - খ = ২৫ ........ (১)
এবং
ক + খ = ৫(ক - খ)
বা, ক + খ = ৫ক - ৫খ
বা, ৫ক - ক = খ + ৫খ
বা, ৪ক = ৬খ
বা, ক = ৬খ/৪
বা, ক = ৩খ/২ ......... (২)

ক এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(৩খ/২) - খ = ২৫
বা, (৩খ - ২খ)/২ = ২৫
বা, খ = ৫০

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক = ৩খ/২ = (৩ × ৫০)/২ = ৭৫

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ৫০

২,০৯৭.

যদি x² + px + 16 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0, তবে p এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 6
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² + px + 16 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
মূলদ্বয় সমান হবে যদি,
b² - 4ac = 0 হয়
⇒ p²- ( 4.1.16) = 0
⇒ p² = 64
⇒ p = 8 [ উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে]

২,০৯৮.

দুটি সংখ্যার যোগফল 53 এবং তাদের গুণফল 646 হলে সংখ্যা দুটি কত?

ক
ক) 36, 17
খ
খ) 34, 19
গ
গ) 32, 21
ঘ
ঘ) 35, 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 53 এবং তাদের গুণফল 646 হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y

১ম শর্তমতে,
x + y = 53 .................... (1)

২য় শর্তমতে,
xy = 646 ....................... (2)

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)²- 4xy
⇒ (x - y)² = (53)² - 4 × 646
⇒ (x - y)² = 2809 - 2584
⇒ (x - y)² = 225
∴ x - y = 15

(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 53 + 15
⇒ 2x = 68
∴ x = 34

(1) নং হতে পাই,
x + y = 53
⇒ 34 + y = 53
∴ y = 19

∴ সংখ্যা দুটি 34, 19

২,০৯৯.

x + 5y = 16, x + 3y = 0 হলে, x = ?

ক
ক) 8
খ
খ) - 24
গ
গ) - 8
ঘ
ঘ) 24

ব্যাখ্যা

১ম সমীকরণ থেকে ২য় সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
2y = 16
⇒ y = 8
অতএব, x = - 24

২,১০০.

{(0.7)² - (0.2)²}/(0.7 + 0.2) এর মান কত?

ক
1.0
খ
0.7
গ
0.5
ঘ
0.2

ব্যাখ্যা

{(0.7)² - (0.2)²}/(0.7 + 0.2)
= {(0.7 + 0.2)(0.7 - 0.2)}/(0.7 + 0.2)
= 0.7 - 0.2
= 0.5