সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা ক টি
প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
সুতরাং, ছাত্রী সংখ্যা = ৬(ক-২)
আবার, ৫ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
সুতরাং, ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক+৬
প্রশ্নমতে, ৬(ক-২) = ৫ক+৬
বা, ৬ক -১২ = ৫ক +৬
বা, ক = ৬+১২ = ১৮ টি

প্রশ্ন: 2x + y = 11 এবং 3x - y = 4 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 11 ............ (1)
3x - y = 4 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 11 + 4
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(3) + y = 11
⇒ 6 + y = 11
⇒ y = 11 - 6
⇒ y = 5

∴ x = 3 এবং y = 5

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x² +1)/x = 2
বা, x² +1 = 2xq
এখন, x/(x² - x +1) qq
= x/(x² + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 2x² - 4x + 3 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2
b = - 4
c = 3
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (- 4)² - 4 × 2 × 3
= 16 - 24
= - 8 < 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ঋনাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই। অর্থাৎ কাল্পনিক। 
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

বি: দ্র:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
1) b² -  4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে। 
3) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 120 বাদ দেওয়ায় শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 75 থেকে 72 এ নেমে আসলো। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট কতজন শিক্ষার্থী ছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
মোট নম্বর = a
এবং শিক্ষার্থী সংখ্যা = b

প্রশ্নমতে,
a/b = 75 .......... (1)

আবার, (a - 120)/b = 72
⇒ (a/b) - (120/b) = 72
⇒ 75 - (120/b) = 72   [ (1) নং থেকে মান বসিয়ে ]
⇒ - (100/b) = 72 - 75
⇒ 120/b = 3
⇒ 3b = 120
∴ b = 40
অর্থাৎ, মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 40 জন

একক স্থানীয় অংকটি x এবং দশক স্থানীয় অংকটি y
সংখ্যাটি x + 10y
১ম শর্তমতে, x + y + 7 = 3y
x – 2y = - 7 --------- (1)
২য় শর্তমতে, x + 10y – 18 = y + 10x
9y – 9x = 18
y – x = 2 ---------- (2)
+ (2)
y = 5
x – 10 = - 7
x = 3
x এর মান বসিয়ে
3 + 10.5 = 53

প্রশ্ন: যদি x + y = 2 এবং x - y = 4 হয় তবে (x, y) = কত?

সমধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = 2 ........(১)
x - y = 4 ........(২)

(১) + (২) করে পাই,
(x + y) + (x - y) = 2 + 4
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

এখন, 
x = 3 (১)  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ 3 + y = 2
∴ y = - 1

সুতরাং (x, y) = (3, - 1).

 3x - 7y = -10........... (1)
- 2x + y = 3 .................(2)

(1)নং  + (2)নং × 7⇒
 3x - 7y - 14x + 7y = - 10 + 21
-11x = 11
⇒ x = -1

এখন, 1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
 -2(-1) + y = 3
⇒ 2+y = 3
⇒ y = 1

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট ৬০ জন যাত্রী আছে। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের মাথাপিছু ভাড়া ২০ টাকা এবং মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ক জন

ডেকের ভাড়া = ২০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২০ × ৩ = ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৬০ক + ২০(৬০ - ক) = ২৪০০
⇒ ৬০ক + ১২০০ - ২০ক = ২৪০০
⇒ ৪০ক = ২৪০০ - ১২০০
⇒ ৪০ক = ১২০০
⇒ ক = ৩০

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৩০ জন

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0 
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0 
বা, (x - 1)² = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

a>b
1/a<1/b [ ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উলটে যায়]

দেওয়া আছে, x + y = 4 ......(i) এবং x − y = 3 ......(ii)
(i) + (ii) = 2x = 7
∴ x = 3(1/2)
∴ y = (1/2)
∴ 2x + 2y = 8

প্রশ্ন: 3x + 4y = 18 এবং 5x - 2y = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
3x + 4y = 18 ............... (1)
5x - 2y = 4 ................ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 4 করে পাই,
6x + 8y + 20x - 8y = 36 + 16
⇒ 26x = 52
∴ x = 2

এখন (1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই, 
(3 × 2) + 4y = 18
⇒ 6 + 4y = 18
⇒ 4y = 18 - 6
⇒ 4y = 12
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a²  +  b²  +  c² = (a + b + c)² - 2ab - 2bc - 2ca
⇒ 83 = (15)² - 2(ab + bc + ca)
⇒ 83 = 225 - 2(ab + bc + ca)
⇒ 83 - 225 = -2(ab + bc + ca)
⇒ -142 = -2(ab + bc + ca)
⇒ 142/2 = (ab + bc + ca)
⇒ 71 = (ab + bc + ca)
⇒ (ab + bc + ca) = 71

∴ ab + bc + ca = 71

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: (3x - 2y, 19) = (0, 5x + 3y) হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের সমতা অনুসারে,
3x - 2y = 0 ………(1)
5x + 3y = 19 ………(2)

(1) থেকে,

3x - 2y = 0
⇒ 3x = 2y
∴ y = 3x/2 ............(3)

(2) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
5x + 3(3x/2) = 19
⇒ 5x + 9x/2 = 19
⇒ (10x + 9x)/2 = 19
⇒ 19x = 19 × 2
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

(3) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই
y = 3(2)/2
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 2 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 2
∴ সংখ্যাটি 10x + (x + 2) = 11x + 2

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 2) + x  =  11x + 20

প্রশ্নমতে,
11x + 20 = 2(11x + 2) - 6
⇒ 11x + 20 = 22x + 4 - 6 
⇒ 22x - 11x = 20 + 6 - 4 ; [পক্ষান্তর করে]
⇒ 11x = 22
⇒ x = 2

∴ সংখ্যাটি = 11x + 2 = 11 × 2 + 2 = 24

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 1 এবং সমষ্টি 7। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
[প্রশ্নে ভাষাগত কিছুটা সমস্যা আছে। ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত তা প্রশ্নে উল্লেখ নাই। তবে যেহেতু প্রশ্নে লব ও হরের পার্থক্য বলা হয়েছে, সেহেতু লব বড় ধরা হয়েছে।]

ভগ্নাংশের লব = x 
ভগ্নাংশের হর = x - 1

প্রশ্নমতে 
x + x - 1 = 7
⇒ 2x - 1 = 7
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

ভগ্নাংশটি লব = 4
ভগ্নাংশের হর = 4 - 1 = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 4/3

প্রশ্ন: করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 200 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
2x + 3x = 200
বা, 5x = 200
বা, x = 200/5
∴ x = 40

∴ করিম মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (40 + 40) টি
= 80 টি।

প্রশ্ন: রমিজ সাহেব কিছু গাছ নিয়ে একটি বাগানে গাছ রোপন করতে গিয়ে দেখল যে প্রতি সারিতে 5 টি করে গাছ লাগালে 2 টি সারি খালি থাকে। আবার, প্রতি সারিতে 3 টি করে গাছ লাগালে 2 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। বাগানে মোট কতটি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন?

সমাধান:
ধরি, গাছের সংখ্যা n এবং সারির সংখ্যা r

তাহলে,
১ম শর্তমতে, n = 5 × (r - 2) ⇒ n = 5r - 10 ...... (1)
২য় শর্তমতে, n = (3 × r) + 2 ⇒ n = 3r + 2 ...... (2)

প্রশ্নমতে,
5r - 10 = 3r + 2
⇒ 5r - 3r = 2 + 10
⇒ 2r = 12
∴ r = 6

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই।
n = (5 × 6) - 10
= 30 - 10
= 20
∴ বাগানে মোট 20 টি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন।

(1, -1) => 3 + 7 + 10 = 20; - 1 - 2 - 3 = - 6 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(1, 1) => 3 - 7 + 10 = 6; 1 - 2 - 3 = - 4 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(-1, -1) => - 3 + 7 + 10 = 14; - 1 + 2 - 3 = -2 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(-1, 1) => - 3 - 7 + 10 = 0; 1 + 2 - 3 = 0 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে]

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y
∴ সংখ্যাটি = x + 10y

১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7 
∴ x - 2y = - 7 ........(1)

২য় শর্তানুসারে,
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
 ⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
 ⇒ 9(y - x) = 18
⇒ y - x = 18/9
∴ y - x = 2 ........(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = 10 - 7
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

প্রশ্ন: 5x² - 3x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x² - 3x + 4 = 0

এখানে, a = 5, b = - 3 এবং c = 4

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 3)² - 4 × 5 × 4
= 9 - 80
= - 71

যেহেতু, নিশ্চায়ক - 71 < 0, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (0, 0) এবং (x₂, y₂) = (3, 3)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂​ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1

আমরা জানি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ ​= m(x - x₁​)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0)     ; [(x_1​, y₁​) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x

অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0

দেওয়া আছে, b/(a−b)(b−c) + a/(c−a)(a−b) + c/(b−c)(c−a)
= b(c - a) + a(b - c) + c(a - b) / (a - b)(b - c)(c - a)
= (bc - ab + ab - ca + ca - bc) / (a - b)(b - c)(c - a)
= 0

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = ক 
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২) 
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক 
= ১১ক + ২০ 

শর্তানুসারে, 
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩ 
⇒ ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩ 
⇒ ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
⇒ ৩ক = ৩ 
∴ ক = ১ 

∴ সংখ্যাটি = (১১ × ১) + ২০
= ৩১ । 

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 6, অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 18 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a

∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a
= 60 - 9a

∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a)
= 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 = 60 - 9a + 18
⇒ 9a + 9a = 60 + 18 - 6
⇒ 18a = 72
∴ a = 4

∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 24/4 = 6

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৫৫ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৫৫
বা, ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ১৫৫
বা, ২ক = ১৫৫ - ১
বা, ২ক = ১৫৪
বা, ক = ৭৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
= ৭৭ + ১ = ৭৮

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে।
[গণিত বই ষষ্ঠ শ্রেণি ৮০ পৃষ্ঠা]

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, 3x + 2x = 90
⇒ 5x = 90
⇒ x = 18

3x - 7y + 10 = 0 --- (1)
y - 2x - 3 = 0 --- (2)

(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করলে পাই,
∴ x = -1

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1

(x,y) = (-1,1)

প্রশ্ন: 2x - y = 5 এবং 2x + 3y = 9 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - y = 5 ...................(১)
2x + 3y = 9 ...................(২)

(১) × 3 ⇒ 6x - 3y = 15 ...................(৩)

এখন (২) ও (৩) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(2x + 3y) + (6x - 3y) = 9 + 15
⇒ 2x + 6x + 3y - 3y = 21
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

x-এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3y = 9
⇒ 6 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 - 6 = 3
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

নির্ণয় সমাধান: (x, y) = (3, 1)

প্রশ্ন: 3x + 4y = 18 এবং 5x - 2y = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
3x + 4y = 18 .......(1)
5x - 2y = 4 .........(2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 4 করে পাই,
6x + 8y + 20x - 8y = 36 + 16
⇒ 26x = 52
⇒ x = 2

এখন (1) নং সমীকরণে x = 2 বসালে,
3(2) + 4y = 18
⇒ 6 + 4y = 18
⇒ 4y = 12
⇒ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

5(1 - x) + 3(2 - x) = -21
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -21
বা, -8x = -21 - 11
বা, -8x = -32
বা, x = -32/-8
বা, x = 4

x = 2y = 3z
∴ x = 2y এবং z = 2y/3
এখন,
xyz = 36
বা, 2y × y × 2y/3 = 36
বা, 4y³ = 36 × 3
বা, y³ = 27 = 3³
∴ y = 3

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির দুইগুণ যোগ করলে 59 হয়। আবার, প্রথমটির দুইগুণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে 9 হয়। সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = x
দ্বিতীয় সংখ্যা = y

প্রশ্নানুসারে,
প্রথম সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার দুইগুণ যোগ করলে 59
3x + 2y = 59 .........(1) 

এবং প্রথম সংখ্যার দুইগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা বিয়োগ করলে 9
⇒ 2x - y = 9
∴ y = 2x - 9 .........(2) 

এই মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ 3x + 2(2x - 9) = 59
⇒ 3x + 4x - 18 = 59
⇒ 7x = 59 + 18
⇒ 7x = 77
∴ x = 11

এখন x = 11 বসিয়ে y বের করি,
⇒ y = 2 × 11 - 9
⇒ y = 22 - 9
∴ y = 13

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয় হলো 11 এবং 13।

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² + 5x + 4 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। 

3/x + 4/(x + 1) = 2
⇒ (3x + 3 + 4x) / {x(x + 1)} = 2
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² - 5x - 3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়
x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা
2x + 1 = 0
∴ x = - 1/2

দেওয়া আছে, x + y = 4 ......(i) এবং x − y = 3 ......(ii)
(i) + (ii) = 2x = 7
∴ x = 3(1/2)
∴ y = (1/2)
∴ x + 2y = 4(1/2)

প্রশ্ন: একটি সমিতি থেকে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৬১ টাকা সংগৃহীত হয়। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন

এখন, ১ জন সদস্য চাঁদা দেয় = ক টাকা
∴ মোট সংগৃহীত চাঁদা = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ =৯৬১ 
⇒ ক = √৯৬১ 
∴ ক = ৩১

অতএব সমিতির সদস্য সংখ্যা = ৩১ জন

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে প্রতিটি রুমে 4 জন করে ছাত্র থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। আবার প্রতিটি রুমে 3 জন করে ছাত্র থাকলে 12 জন ছাত্রের থাকার জায়গা হয় না। ঐ ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = x জন
এবং মোট রুমের সংখ্যা = r টি

প্রথম শর্ত,
প্রতি রুমে 4 জন করে থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। অর্থাৎ, 
⇒ x = 4 × (r - 3)
∴ x = 4r - 12 ……(1)

দ্বিতীয় শর্ত,
প্রতি রুমে 3 জন করে থাকলে 12 জনের জায়গা হয় না। অর্থাৎ,
∴ x = 3r + 12 ……(2)

এখন (1) ও (2) সমান করে পাই, 
⇒ 4r - 12 = 3r + 12
⇒ 4r - 3r = 12 + 12
∴ r = 24
এখন (2) নম্বর সমীকরণে,
x = 3 × 24 + 12
= 72 + 12
= 84

অতএব, ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা 84 জন। 

প্রশ্ন: p² - 4p + q = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3
∴ p = 3

এখন,
p² - 4p + q = 0
⇒ (3)² - 4 × 3 + q = 0
⇒ 9 - 12 + q = 0
⇒ - 3 + q = 0
∴ q = 3

প্রশ্ন: 10 বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল 15 : 1 । 10 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে 25 : 11 । পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি,
পিতার বর্তমান বয়স X বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স Y বছর

প্রশ্নমতে,
(X - 10)/(Y - 10) = 15/1
⇒ (X - 10) = 15(Y - 10)
⇒ (X - 10) = 15Y - 150
⇒ X - 15Y = - 150 + 10
⇒ X - 15Y = - 140 ....................... (1)

আবার,
(X + 10)/(Y + 10) = 25/11
⇒ 11(X + 10) = 25(Y + 10)
⇒ 11X + 110 = 25Y + 250
⇒ 11X - 25Y = 250 - 110
⇒ 11X - 25Y = 140 ...........................(2)

(1) × 11 - (2) ⇒
11X - 165Y - 11X + 25Y = - 1540 - 140
⇒ - 140Y = - 1680
⇒ Y = (- 1680)/(- 140)
∴ Y = 12

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স 12 বছর।