সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

ধরি, লব = X এবং হর = Y
প্রশ্নমতে,
(X + ১)/(Y + ১) = ৪
X - ৪Y = ৩.....(1)
এবং
(X - ১)/(Y - ১) = ৭
X - ৭Y = -৬......(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
X = ১৫
Y = ৩
∴লব = ১৫

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x − ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x − ২ + ১০ (y + ৩) 
= x − ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x − x +৩০y − ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, x + ১০y = ২৮/২ 
∴ x + ১০y = ১৪ 

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

2x + 3y = 7 ------- (i)
5x - 2y = 8 -------- (ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই -
4x + 6y = 14 ------ (iii)
15x - 6y = 24 ------ (iv)
(iii) ও (iv) যোগ করে পাই -
19x = 38
∴ x = 2
x এর মান (i) নং এ বসালে পাই -
2 × 2 + 3y = 7
⇒ 3y = 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (2, 1)

প্রশ্ন: একসেট সংখ্যা থেকে 35 সংখ্যাটি বাদ দেয়ার ফলে সেটের গড় 14 থেকে 11 হয়ে গেল। সেটের সদস্য সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনেকরি
সেটের সদস্য সংখ্যা = x
x সংখ্যক সংখ্যার গড় = 14
x সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = 14x

একটি সংখ্যা বাদ হওয়ায় সেটের সদস্য সংখ্যা (x - 1)
x - 1 সংখ্যক সংখ্যার গড় = 11
x - 1 সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = 11(x - 1)

শর্তমতে
14x - 35 = 11(x - 1)
বা, 14x - 35 = 11x - 11
বা, 14x - 11x = 35 - 11
বা, 3x = 24
∴ x = 8

সেটের সদস্য সংখ্যা = 8

এখানে,
প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪×৫৩ = ২১২
শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫×৪১ = ২০৫
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৪৭৮ - (২১২+২০৫)
= ৪৭৮ - ৪১৭
= ৬১

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণের উপর (2, 3) ও (4, 7) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত?

সমাধান:
(2, 3)⇒
y = (2x - 1)
⇒3 = (2 × 2 - 1)
⇒3 = 4 - 1 = 3

(4, 7)⇒
y = 2x - 1
⇒7 = 2 × 4 - 1 = 7

∴ সমীকরণটি: y = (2x - 1)

x/4 + 4 = x/5 + 5
বা, x/4 - x/5 = 5 - 4
বা, (5x - 4x)/20 = 1
বা, x/20 = 1
∴ x = 20

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে,
ƒ(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 11 - 7
= 4
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 4   

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 130 হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে,
x, (x + ১), (x + ২) এবং (x + ৩)।
প্রশ্নমতে,
x + (x + ১) + (x + ২) + (x + ৩) = 130
⇒ 4x + 6 = 130
⇒ 4x = 130 - 6
⇒ 4x = 124
⇒ x = 124/4
∴ x = 31
∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো 31

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = x + 3 = 31 + 3 = 34

দেওয়া আছে,
5x - y = 8 ....... (1)
এবং 2x + y = 6 .......... (2)
(1) + (2) করে পাই,
7x = 14
বা, x = 2
(2) নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2 × 2 + y = 6
বা, y = 6 - 4
সুতরাং, y = 2
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 2)

(x-4)² = 0
⇒ x² - 8x + 16 = 0
এই সমীকরণ টিকে ax²+bx+c = 0 এর সাথে তুলনা করে -
a = 1 ; b = -8 ; c = 16
এখন,
ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a = -(-8/1) = 8

2x + 5 = 50

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 200 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'x' টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - x) টি।

প্রশ্নমতে,
x × 1 + (120 - x) × 2 = 200
⇒ x + 240 - 2x = 200
⇒ x = 240 - 200
∴ x = 40

সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 40 টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - 40) = 80 টি।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 50% থেকে 30 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির 20% হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি P

প্রশ্নমতে,
(P এর 50%) - 30 = P এর 20%
বা, (50P/100) - 30 = 20P/100
বা, (50P/100) - (20P/100) = 30
বা, 3P/10 = 30
বা, 3P = 30 × 10
বা, P = 300/3
∴ P = 100

প্রশ্ন: a² - 3a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে  c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2 
অর্থাৎ, a = 2

এখন,
a² - 3a + c = 0
⇒ (2)² - 3 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 6 + c = 0
⇒ - 2 + c = 0
∴ c = 2

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম = 240/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x - 240/(x+1) = 1
⇒ (240x + 240 - 240x)/x(x+1) = 1
⇒ x² + x = 240
⇒ x² + 16x - 15x - 240 = 0
⇒ x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
⇒ (x - 15)(x + 16) = 0
হয়, x - 15 = 0 অথবা, x + 16 = 0
∴ x = 15 অথবা ∴ x = -16 (যা অগ্রহণযোগ্য)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

x² + y² = 100.......(1)
এবং, x - y = 2.......(2)

(1) নং থেকে পাই,
x² + y² = 100
বা, (x - y)² + 2xy = 100
বা, 2² + 2xy = 100
বা, 2xy = 100 - 4
বা, 2xy = 96
∴ xy = 48

আবার, (1) নং থেকে
x² + y² = 100
বা, (x + y)² - 2xy = 100
বা, (x + y)² - 96 = 100
বা, (x + y)² = 196
বা, x + y = 14......(3)

(2) ও (3) নং যোগ করে পাই,
2x = 16
∴ x = 8

x² + y² = 185
বা, (x + y)² - 2xy = 185
বা, (x + y)² = 185 + 2xy = 185 + 2.88 = 185 + 176 = 361
∴ x + y = 19 ...........(1)
আবার,
x² + y² = 185
বা, (x - y)² + 2xy = 185
বা, (x - y)² = 185 - 2xy = 185 - 2.88
= 185 - 176 = 9
∴ x - y = 3 .................. (2)
(1)নং + (2)নং ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
আবার,
(1)নং - (2)নং ⇒ 2y = 16
∴ y = 8
∴ (xy) = (11, 8)

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

সমাধান:
9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9, b = - b এবং c = 81

সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবার শর্ত হলো, b² - 4ac = 0
⇒ b² = 4ac
⇒ (- b)² = 4 × 9 × 81  [মান বসিয়ে]
⇒ b² = 36 × 81
⇒ b = ±√(36 × 81)
⇒ b = ±√(6² × 9²)
⇒ b = ±√(6 × 9)²
∴ b = ± 54

∴ b এর মান ± 54 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।

x – 1/x = p
বা, (x² - 1)/x = p
বা, x² - 1 = px
বা, x² - px = 1
বা, x(x - p) = 1
c/x(x – p)
= c/1
= c

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 4 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 5 গুণ সমান 35 হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = a
প্রশ্নমতে,
(a - 4) × 5 = 35
⇒ 5a - 20 = 35
⇒ 5a = 55
⇒ a = 55/5 = 11

∴ সংখ্যাটি = 11

3x - 2y = 2 ........(1)
∴ x = (2 + 2y)/3 .....(3)
5x - 3y = 5 .........(2)
বা,(5(2 + 2y))/3 - 3y = 5 [(3) এর x মান বসিয়ে]
বা,10 + 10y - 9y = 15
বা,y = 15 - 10
বা,y = 5
y এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = (2 + 10)/3 = 12/3 = 4
∴ (x, y) = (4, 5)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে তার দ্বিগুণের দুই-তৃতীয়াংশ যোগ করলে যোগফল 65 হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্ন অনুসারে,
3x + 2x এর (2/3) = 65
⇒ 3x + (4x/3) = 65
⇒ (9x + 4x)/3 = 65
⇒ 13x/3 = 65
⇒ x = (65 × 3)/13
∴ x = 15

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 15

ধরি,
পুত্রের বয়স = x বছর
এবং পিতার বয়স = y বছর।
প্রশ্নমতে,
x + y = 50 -------- (1)
এবং y + {y + (y - x)} = 102
বা, 3y - x = 102 ---------- (2)
সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই,
4y = 152
∴ y = 38
এখন, y এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 38 = 50
বা, x = 50 - 38
∴ x = 12

প্রশ্ন: (a + 2b) = 4 এবং ab = 2 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 2b = 4 ...... (1)
ab = 2 ......... (2)
(2) নং হতে পাই,
a = 2/b  ..... (3)

এখন, (3) এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
(2/b) + 2b = 4
⇒ (2 + 2b²)/b = 4
⇒ 2b² + 2 = 4b
⇒ 2(b² + 1) = 4b
⇒ b² + 1 = 2b
⇒ b² - 2b + 1 = 0
⇒ (b - 1)² = 0
⇒ b = 1
b এর মান (3) নং বসাই,
a = 2

ধরি,
প্রশ্নের সংখ্যা = n
সে প্রথম ২০টি থেকে উত্তর করে ১৫ টি
অবশিষ্ট অংশ থেকে উত্তর করে (n-২০) × (১/৩)

প্রশ্নমতে,
১৫ + (n- ২০)× (১/৩) = n এর ৫০%
১৫ + (n- ২০) × (১/৩) = n /২
(৪৫ + n  - ২০)/৩ = n /২
(২৫ + n)/৩  = n /২
৩n = ৫০ + ২n 
৩n - ২n = ৫০ 
∴ n = ৫০

প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6 
বা, x + 5 = 3x + 6 
বা, x - 3x = 6 - 5 
বা, -2x = 1 
বা, x = 1/-2 
∴ x = -1/2 

((x + 3)(x - 3))/(x² - 6)
= (x² - 9)/(x² - 6)
= (x² - 6 - 3)/(x² - 6)
= {(x² - 6) - 3}/(x²- 6)
= - 3

বিকল্প: 
(x + 3) (x - 3) = x² - 9

x² - 6) x² - 9 (1        
           x² - 6
          --------
               - 3

∴ ভাগশেষ = - 3

√(x+3) = √x + √3
⇒ {√(x+3)}² = (√x + √3)² [বর্গ করে]
⇒ x+3 = (√x)² + 2.√x.√3 + (√3)²
⇒ x+3 = x + 2.√x.√3 + 3
⇒ 2.√x.√3 = 0
⇒ √x =0
∴ x = 0

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১
বা, ৬ + ২১ = ২ক - (ক/২)
বা, ২৭ = (৪ক - ক)/২
বা, ২৭ = ৩ক/২
বা, ৩ক = ২৭ × ২
বা, ক = (২৭ × ২)/৩
ক = ১৮