সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং
β = 2 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল,
α +  β = 2 + √3 + 2 - √3
∴ α +  β = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল,
αβ = (2 + √3) . (2 - √3)
= (2)² - (√3)²
= 4 - 3
∴ αβ = 1

∴ নির্ণেয় সমীকরণ p² - (α +  β) p + αβ = 0
⇒ p² - 4p + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, p² - 4p + 1 = 0

এখানে তিনটি সংখ্যা হলো ৮, ৯ এবং ১০
এদের গুনফল = ৮ x ৯ x ১০ = ৭২০
এবং যোগফল = ৮ + ৯ + ১০ = ২৭

প্রশ্ন: z = x + iy হলে, |z + 1| - |z - 1| = 0 সমীকরণটি কোনটি নির্দেশ করে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
z = x + iy
⇒ |z + 1| - |z - 1| = 0
⇒ |z + 1| = |z - 1|
⇒ √[(x + 1)² + y²] = √[(x - 1)² + y²] 
⇒ [(x + 1)² + y²] = [(x - 1)² + y²] 
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1
⇒ 4x = 0
∴ x = 0

x = 0 হচ্ছে y অক্ষের সমীকরণ। 

নির্ণেয় উত্তর, y অক্ষের সমীকরণ

প্রশ্ন: (9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x² + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax2 + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b² - 4ac
= (6)² - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

প্রশ্ন: 2x² - 7x + 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো
2x² - 7x + 3 = 0

এখানে,
a = x² এর সহগ = 2
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant),
b² - 4ac
= (- 7)² - 4 × 2 × 3
= 49 - 24
= 25

এখানে,
25 > 0 এবং 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
অতএব, নিশ্চায়ক ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ হওয়ায় সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কতটি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি।

প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (x - 2) × 5

প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = 4x + 6

প্রশ্নমতে,
(x - 2) × 5 = 4x + 6
⇒ 5x - 10 = 4x + 6
⇒ 5x - 4x = 6 + 10
⇒ x = 16

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 16টি

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির মোট বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
ব্যবহৃত বেঞ্চ = ক − ৩
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৬(ক − ৩)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে।
তাহলে বেঞ্চে বসতে পারে = ৪ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৬(ক − ৩) = ৪ক + ৬
⇒ ৬ক − ১৮ = ৪ক + ৬
⇒ ২ক = ২৪
⇒ ক = ১২

∴ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা = ১২ টি

প্রশ্ন: 2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2(x + 28) + 11 = 9(x + 2)
⇒ 2x + 56 + 11 = 9x + 18
⇒ 2x + 67 = 9x + 18
⇒ 7x = 49
⇒ x = 49/7
∴ x = 7

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x/2 - x/3 = 17
বা, (3x - 2x)/6 = 17
সুতরাং, x = 102

x - [x - {x + 2}] - 1
= x - [x - x - 2] - 1
= x + 2 - 1
= x + 1

ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, ক-১, ক, ক+১
সুতরাং শর্তমতে, (ক-১) × ক × (ক+১) = ৬০
৬০ = ৩ × ৪ × ৫
সুতরাং সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২

সংখ্যাটি x,
শর্তমতে, x² = 6x + 5
∴ x2 - 6x - 5 = 0

এখানে, y - x = 4..........(1)
3x + y = 4 .................(2)
(2) নং - (1) নং থেকে পাই 4x = 0
∴ x = 0
(1) নং থেকে পাই y - 0 = 4
∴ y = 4

প্রশ্ন: ১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}] - এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}]
= ১ - [৫ - {২ + (- ১)২}]
= ১ - [৫ - {২ - ২}]
= ১ - [৫ - ০]
= ১ - ৫ 
= - ৪ 

প্রশ্ন: 2q² + 5q + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2q² + 5q + 4 = 0
সমীকরণটিকে aq² + bq + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। 

প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x - 6x = - 12
বা, 6x = - 12
বা, x = - 12/6
∴ x = - 2

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
∴ xy = 35

সমাধানের বিকল্প পদ্ধতিঃ
4xy = ( x + y)² – (x – y)² [সূত্র]
বা, xy = {(12)² – (2)²}/4
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি, শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা x
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা x/4 + 3
আবার, যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে বসালে 6 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 6)/3
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং x/4 + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
বা, x = 60
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60 জন।

আমরা জানি,
নিশ্চয়ক D = (b² - 4ac)
∴ x² - 2x - 2 এর নিশ্চয়ক D = (-2)² - 4.1.(-2) = 12
∴ D>0 
∴ x² - 2x - 2 এর মূলের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9. অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = 9 - x 
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x
= 90 - 9x 

আবার,
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 9 - x
= 9x + 9 

প্রশ্নমতে, 
9x + 9 = 90 - 9x - 45 
⇒ 18x = 36 
⇒ x = 36/18
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 2)
= 72 । 

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 6x + 9 = 0
এখানে, a =1, b = - 6, c = 9

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
 = (- 6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6
= (60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10)/60
= 37/60

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি 9 এবং তাদের গুণফল 18। সংখ্যা দুইটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে x এবং y
শর্তানুসারে,
x + y = 9
xy = 18

এখন, 
∴ (1/x) + (1/y)
= (x + y)/xy
= 9/18
= 1/2

∴ সংখ্যা দুইটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি = 1/2

মনে করি, সংখ্যাটি, কত এবং গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যাটি, ১/ক।
সুতরাং, ক + ১/ক = 2
বা, (ক² + 1)/ক = 2
বা, ক² + 1 = 2ক
বা, ক² - ২ক + 1 = 0
বা, (ক-1)² = 0
বা, ক-1 = 0
বা, ক = 1

ধরি, সংখ্যাটি ক 
শর্তমতে, ক/৪+২০ = ১০০
বা, (ক+৮০)/৪ = ১০০
বা, ক+৮০ = ৪০০
∴ক =৩২০
অর্থাৎ, সংখ্যাটি ৩২০

ধরি বড় সংখ্যাটি a, ছোটো সংখ্যাটি b
শর্তমতে, a + b = 20…..(i), ab = 91
আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab = (20)² - 4 × 91 = 36 
∴ a - b = 6…..(ii)
(i) - (ii) করে পাই, 2b = 14
⇒ b = 7 
সুতরাং, ছোটো সংখ্যাটি হবে 7

প্রশ্ন: 5(3x - 2) = 5(x + 4) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5(3x - 2) = 5(x + 4)
বা, 15x - 10 = 5x + 20
বা, 15x - 5x = 20 + 10
বা, 10x = 30
বা, x = 30/10
∴ x = 3

মনে করি, রিতার আছে x টাকা
পল্লবের আছে (x - 6) টাকা
মিতার অছে (x + 12) টাকা
প্রশ্নমতে, x + x - 6 + x + 12 = 180
বা, 3x = 180 - 6
বা, x = 174/3
বা, x= 58
∴ পল্লবের আছে (58 - 6) = 52 টাকা।