সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

xy = 35 = 7×5 = 1×35
∴ x + y = 7 + 5 = 12
অথবা, 35 + 1 = 36 যা সর্বোচ্চ।

প্রশ্ন: 3x + 4y = 10 এবং 2x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 10 ......... (1)
2x - 3y = 1 .......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
3(3x + 4y) + 4(2x - 3y) = 3 × 10 + 4 × 1
⇒ 9x + 12y + 8x - 12y = 30 + 4
⇒ 17x = 34
⇒ x = 34/17
∴ x = 2

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৯ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
 ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৫ = ২ক + ৯
বা, ৩ক - ২ক = ৯ - ৫
বা, ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪

প্রশ্ন কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ২ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ = ক + ৬
⇒ ৩ক - ক = ৬ - ২ 
⇒ ২ক = ৪
⇒ ক = ৪/২
⇒ ক = ২

∴ সংখ্যাটি ২।

প্রশ্ন: [{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}]² = কত?

সমাধান:
{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}
= y(x + y) + x(x - y) - (x² - y²)/xy
= (xy + y² + x² - xy - x² + y²)/xy
= 2y²/xy
= 2y/x

∴ [{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x² - y²)/xy}]²
= (2y/x)²
= 4y²/x²

x + 2y = 4.........(1)
এবং xy = 2
বা, y = 2/x

(1) নং থেকে পাই x + 2.2/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
∴ x = 2

প্রশ্ন: 2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) =?

সমাধান:
2x + y = 8
⇒ 4x + 2y = 16 ............(1)
3x - 2y = 5 ............(2)

(1) + (2) ⇒
4x + 2y + 3x - 2y = 16 + 5
⇒ 7x = 21
∴ x = 3

(2) নং হতে পাই,
3x - 2y = 5
⇒ 3 × 3 - 2y = 5
⇒ 9 - 2y = 5
⇒ 2y = 4
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

3x = 15 + 3
বা, 3x = 18
∴ x = 6
এখন,
3x + 2 = 3 X 6 + 2 = 20

দেওয়া আছে, x/y = 2
∴ y = x/2
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.x/2 = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 3/4 অংশ তার 1/2 অংশের চেয়ে 10 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3x/4) - (x/2) = 10
বা, (3x - 2x)/4 = 10 
বা, x/4 = 10
বা, x = 10 × 4
বা, x = 40
∴ x = 40

∴ সংখ্যাটি = 40  । 

প্রশ্ন: x² - 10x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - 10x + 25 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = - 10
c = 25

এখন, সমীকরণের নিশ্চয়ক (Discriminant) নির্ণয় করি।
নিশ্চয়ক, D = b² - 4ac
= (- 10)² - 4 × 1 × 25
= 100 - 100
= 0

যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য-
• D > 0 (ধনাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও অসমান।

• D = 0 (শূন্য)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

• D < 0 (ঋণাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: কাল্পনিক/জটিল ও অসমান।

•  D > 0 এবং D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
মূলের প্রকৃতি: মূলদ ও অসমান।

•  D > 0 কিন্তু D পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়
মূলের প্রকৃতি: অমূলদ ও অসমান।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু ২০ টাকা ও ৫০ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৪০ এবং মোট টাকার পরিমাণ ১২৫০ হলে, ২০ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
২০ টাকার নোট রয়েছে = ক টি
৫০ টাকার নোট রয়েছে = (৪০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৫০(৪০ - ক) = ১২৫০
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৫০ক = ১২৫০
⇒ ২০০০ - ৩০ক = ১২৫০
⇒ - ৩০ক = ১২৫০ - ২০০০
⇒ - ৩০ক = - ৭৫০
⇒ ৩০ক = ৭৫০
⇒ ক = ৭৫০/৩০
∴ ক = ২৫

সুতরাং, ২০ টাকার নোট রয়েছে ২৫টি।

মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x+25) = 75X100 [∵ 75 টাকা = 7500 পয়সা]
⇒ x²+25x-7500 = 0
⇒ x²+100x-75x-7500 = 0
⇒ x(x+100)-75(x+100) = 0

Either, (x+100)=0 or, x-75 = 0
∴ x = -100(Which is not acceptable) | ∴ x=75
∴ ঐ শ্রেণীতে ৭৫ জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

প্রশ্ন: x² - 2x - 48 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -

সমাধান:
x² - 2x - 48 = 0
⇒ x² - 8x + 6x - 48 = 0
⇒ x(x - 8) + 6(x - 8) = 0
⇒ (x + 6)(x - 8) = 0

হয়, x + 6 = 0 
বা, x = - 6

অথবা, x - 8 = 0
বা, x = 8

∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 6, 8

x/y = 3
বা, x = 3y
আবার,
x + 2y = 15
বা, 3y + 2y = 15
বা, 5y = 15
∴ y = 3
∴ x = 3y
= 3.3
= 9

প্রশ্ন: একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ১০ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৮ জন করে বসলে ৬ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সারির সংখ্যা = ক

প্রতি সারিতে ১০ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ১০ জন

প্রতি সারিতে ৮ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৮ক + ৬ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ১০ = ৮ক + ৬
⇒ ১০ক - ৩০ = ৮ক + ৬
⇒ ১০ক - ৮ক = ৬ + ৩০
⇒ ২ক = ৩৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, সেমিনার কক্ষে সারির সংখ্যা = ১৮টি
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ১০ জন
= (১৮ - ৩) × ১০
= ১৫ × ১০ = ১৫০ জন

∴ ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৫০ জন।

অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর হলে মীরার বর্তমান বয়স 16 বছর।
ধরি, x বছর পরে মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্নমতে,
2 × (4+x) = 16+x
8 + 2x = 16+x
∴ x = 8
সুতরাং, যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন মীরার বয়স হবে- 16 + 8 = 24 বছর।

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে 120 টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা 280 টি। তা হলে কতটি গরু আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = x টি
∴ গরু আছে = (120 - x) টি
প্রশ্নমতে,
2x + 4(120 - x) = 280
⇒ 2x + 480 - 4x = 280
⇒ 480 - 2x = 280
⇒ 2x = 480 - 280
⇒ 2x = 200
⇒ x = 200/2
∴ x = 100

সুতরাং, মুরগি আছে 100 টি
এবং গরু আছে (120 - 100) = 20 টি

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী ৬০ জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণেরও ১০ টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৫০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ৪২০০ টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৫০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ৫০ × ২ + ১০ টাকা = ১১০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৫০ক + ১১০(৬০ - ক) = ৪২০০ টাকা
⇒ ৫০ক + ৬৬০০ - ১১০ক = ৪২০০
⇒ ৬৬০০ - ৬০ক = ৪২০০
⇒ ৬০ক = ৬৬০০ - ৪২০০
⇒ ৬০ক = ২৪০০
∴ ক = ৪০

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০ জন

প্রশ্ন: 4x² + 4x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
4x² + 4x + 1 = 0 কে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 4, b = 4, c = 1

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= 4² - (4 × 4 × 1)
= 16 - 16
= 0

নিশ্চায়ক শূন্য হলে, মূলদ্বয় বাস্তব এবং সমান হয়।
অতএব, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 6 গুণ সমান 24 হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = a 
প্রশ্নমতে,
(a - 3) × 6 = 24
⇒ 6a - 18 = 24
⇒ 6a = 24 + 18
⇒ 6a = 42
⇒ a = 42/6
∴ a = 7

অতএব, সংখ্যাটি = 7 

x - [x - {x - (x +1)}]
= x - [x - {x - x -1}]
= x - [x + 1]
= x - x -1
= -1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২২ এবং তাদের অন্তর ৮ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = খ
প্রশ্নমতে,
ক + খ = ২২ ........(১)
এবং
ক - খ = ৮ ..........(২)

(১) ও (২) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
২ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/২
⇒ ক = ১৫

ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
১৫ - খ = ৮
⇒ খ = ১৫ - ৮
⇒ খ = ৭

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ১৫ এবং ৭।

প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া = ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)

প্রশ্নমতে,
(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
বা, {২৪০০ (ক + ১০) - ২৪০০ক}/ {ক(ক + ১০)} = ৮
বা, (২৪০০ক + ২৪০০০ - ২৪০০ক)/(ক^২ + ১০ক) = ৮
বা, ৮ক^২ + ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ৮(ক^২ + ১০ক - ৩০০০) = ০
বা, ক^২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
∴ (ক + ৬০) (ক - ৫০) = ০

যেহেতু ক ≠ - ৬০
সুতরাং ক = ৫০

∴ বাসে গিয়েছিল = ৫০ + ১০ = ৬০ জন।

দেয়া আছে, x = 3y
এখন,
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০০২ × ০.০০২)
= ০.০০০০০৪ / ০.০০০০০৪
= ৪ / ৪
= ১

যেহেতু মূলদ্বয় সমান
∴ নিশ্চায়ক = ০
বা, (-b)²- 4.1.4 = 0
বা, b² -16 = 0
বা, b² = 16
∴ b = 4

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x³ - kx² + 5x + 7 কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 9 হয়, তবে k এর মান কত? 

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ = f(2)
f(2) = 2(2)³ - k(2)² + 5(2) + 7
= 16 - 4k + 10 + 7
= 33 - 4k

প্রশ্নমতে,
33 - 4k = 9
⇒ - 4k = 9 - 33
⇒ - 4k = - 24
⇒ k = 6

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার আট গুণের সাথে 7 যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার দশ গুণ হতে 13 কম হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x × 8 + 7 = x × 10 - 13
⇒ 8x + 7 = 10x - 13
⇒ 7 + 13 = 10x - 8x 
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি = 10

প্রশ্ন: (9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x² + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b² - 4ac
= (6)² - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। 5 বছর পূর্বে পিতার বয়স, পুত্রের বয়সের চারগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৩ক - ৫) = ৪(ক - ৫)
বা, ৩ক - ৫ = ৪ক - ২০
বা, ৪ক - ৩ক =২০ - ৫
∴ ক = ১৫

বর্তমানে পুত্রের বয়স = ১৫ বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ × ১৫ = ৪৫ বছর

{(x+3y)² (x-3y)²}²
= [{(x+3y)(x-3y)}²]²
= [{(x)²-(3y)²}²]²
= {x²-9y²}⁴
আমরা জানি, কোন রাশির পদ সংখ্যা = (পাওয়ার + 1) টি।
∴ প্রদত্ত রাশিটির পদসংখ্যা = 4 + 1 = 5টি।