সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

মনে করি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ।
১ম শর্তমতে, ক - খ = 5
বা, ক = খ + 5 ---------(1)
এবং ২য় শর্তমতে,
ক^২ - খ^২ = 75
বা, (খ + 5)^২ - খ^২ = 75
বা, খ^২ + 10খ + 25 - খ^২ = 75
বা, 10খ = 75 - 25
বা, খ = 50/10
সুতরাং খ = 5
এখন ক = 5 + 5
সুতরাং ক = 10
সুতরাং সংখ্যা দুটির বিয়োগফল = 10 - 5 = 5

প্রশ্ন: আকাশ 500 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 5 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার সংখ্যা = X
প্রতি খাতার দাম = 500/X টাকা

যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম = 500/(X + 5) টাকা

প্রশ্নমতে,
(500/X) - {500/(X + 5)} = 5
বা, [{500(X + 5)} - 500X]/{X(X + 5)} = 5
বা, 2500 = 5X(X + 5)
বা, 500 = X(X + 5)
বা, X² + 5X - 500 = 0
বা, X² + 25X - 20X - 500 = 0
বা, X(X + 25) - 20(X + 25) = 0
বা, (X + 25) (X - 20) = 0
X = - 25 (গ্রহণযোগ্য নয়), X = 20

∴ আকাশ 20 টি খাতা ক্রয় করেছিলো।

ধরি,
ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = x
বৃহত্তর সংখ্যাটি = x + 25
শর্তমতে,
4 X (x + 25) = 5x
বা, 4x + 100 = 5x
∴ x = 100
অতএব, ক্ষুদ্রতর সংখ্যা 100 এবং বৃহত্তর সংখ্যা 125.

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ -৫০ক + ৫২৫০ = ২৫৫০
⇒ -৫০ক = ২৫৫০ - ৫২৫০
⇒ -৫০ক = -২৭০০
⇒ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
⇒ (x - a)/(a² - b²) = -{(x - b)/(a² - b²)}
⇒ (x - a)/(a² - b²) + (x - b)/(a² - b²) = 0
⇒ (x - a + x - b)=0
⇒ 2x = a + b
∴ x = (a + b)/2.

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক ৪। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির ৪ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক ৪

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x

অতএব,
সংখ্যাটি = ১০x + ৪

প্রশ্নমতে,
⇒ x + ৪ = (১০x + ৪)/৪
⇒ ৪(x + ৪) = ১০x + ৪
⇒ ৪x + ১৬ = ১০x + ৪
⇒ ১০x - ৪x = ১৬ - ৪
⇒ ৬x = ১২
⇒ x = ১২/৬ = ২

∴ সংখ্যাটি = ১০ × ২ + ৪ = ২৪

2a - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] 
= 2a - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - 2b + 3c - a + 3b - 3c
= a + b

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক বেতন কামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৪,৮০,০০০ টাকা হলে কামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, কামালের মাসিক বেতন = ক টাকা
রহিমের মাসিক বেতন = ক + ৫০০০ টাকা

প্রশ্নমতে,
১২(ক + ক + ৫০০০) = ৪৮০০০০
⇒ ১২ক + ১২ক + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪ক + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪ক = ৪৮০০০০ - ৬০০০০
⇒ ২৪ক = ৪২০০০০
⇒ ক = ৪২০০০০/২৪
⇒ ক = ১৭৫০০

∴ কামালের মাসিক বেতন = ১৭৫০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 এবং 5 হলে, সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x² - (3)x + (- 10) = 0
⇒ x² - 3x - 10 = 0

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অংক ক
একক স্থানীয় অংক (ক + ৩)
সংখ্যাটি = ১০ক + (ক + ৩) = ১১ক + ৩

প্রশ্নমতে, 
১১ক + ৩ = ৩(ক + ক + ৩) + ৪
বা ১১ক = ৬ক + ৯ + ৪ - ৩
বা ৫ক = ১০
∴ক = ২

∴সংখ্যাটি = ১১ × ২ + ৩ = ২৫

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা = x জন

প্রথম ক্ষেত্রে:
৫ জন বসে ১টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে x/৫ টি বেঞ্চে
এবং ২টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/৫) + ২

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
৪ জন বসে ১টি বেঞ্চে
এবং ৮ জন দাঁড়িয়ে থাকে
∴ বসে = (x - ৮) জন
∴ বেঞ্চ লাগে = (x - ৮)/৪ টি

প্রশ্নমতে,
(x/৫) + ২ = (x - ৮)/৪
বা, (x + ১০)/৫ = (x - ৮)/৪
বা, ৪x + ৪০ = ৫x - ৪০
বা, ৫x - ৪x = ৪০ + ৪০
∴ x = ৮০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36 
বা, 2x = 36 - 4 
বা, 2x = 32 
বা, x = 32/2 
∴ x = 16 
∴ একটি সংখ্যা = 16 

এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4 
= 20 

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20  ।

প্রশ্ন: {(2x - 1)/5} + 1 = (x - 1)/10 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
{(2x -1)/5} + 1 = (x - 1)/10
⇒ (2x - 1 + 5)/5 = (x - 1)/10
⇒ (2x + 4)/5 = (x - 1)/10
⇒ 10(2x + 4) = 5(x - 1)
⇒ 20x + 40 = 5x - 5
⇒ 20x - 5x = - 5 - 40 
⇒ 15x = - 45
⇒ x = - 45/15
⇒ x = - 3

সংখ্যাটি a হলে,
a - 1/a = √5
∴ a² - 1/a² = ?
এখন,
(a + 1/a)² = (a - 1/a)² + 4.a.1/a
= (√5)² + 4
= 5 + 4
= 9
বা, a + 1/a = 3

∴ a² - 1/a² = (a + 1/a)(a - 1/a)
= 3√5

3/(x - 1) + 2/(x - 2) = 5/(x - 3)
বা, 3/(x - 1) + 2/(x - 2) = 3/(x - 3) + 2/(x - 3)
বা, 2/(x - 2) - 2/(x - 3) = 3/(x - 3) - 3/(x - 1)
বা, 2(x - 3 - x + 2)/(x - 2)(x - 3) = 3(x - 1 - x + 3)/(x - 3)(x - 1)
বা, -2/(x - 2) = 6/(x - 1) [উভয়পক্ষকে (x - 3) দ্বারা গুণ করে]
বা, -1/(x - 2) = 3/(x - 1) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, 3x - 6 = -x + 1
বা, 4x = 7
∴ x = 7/4

(x-5) (a+x) = x²-25
⇒ (x-5) (a+x) = (x-5) (x+5)
⇒ a+x = x+5
∴ a = 5

প্রশ্ন: 9x² + 12x + 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
9x² + 12x + 4 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 9
b = x এর সহগ = 12
c = ধ্রুবক = 4

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (12)² - 4 × 9 × 4
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b² - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b² - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

3/(x + 1) + 4/(2 - x) = 0
বা, 3/(x + 1) = -{4/(2 - x)}
6 - 3x = (-4x) - 4
বা, 4x - 3x = (-4) - 6
∴ x = -10

প্রশ্ন: 2x² + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = m, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ m² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ m² - 64 = 0
⇒ m² = 64
⇒ m = ± 8

Given, p - 6/p = 1
⇒ p² - 6 = p
⇒ p² - p = 6
So, 6/(p²-p-1)
∴ 6/(6-1) = 6/5

প্রশ্ন: যদি a = 2/7, b = 1/3 এবং c = 1/8 হয় তাহলে a - 3b + 24c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 2/7
b = 1/3
c = 1/8

এখন, 
a - 3b + 24c
= (2/7) - (1/3) × 3 + 24 × (1/8)
= (2/7) - 1 + 3
= (2/7) + 2
= (2 + 14)/7
= 16/7

প্রশ্ন: 2a - b = 25 এবং a - 2b = 8 হলে (a - b)² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2a - b = 25 ……………(i)
a - 2b = 8 …………….(ii)

এখন,
(i) - 2 × (ii) করে পাই,

2a - b - 2a + 4b  = 25 -16 
⇒ 3b = 9 
⇒ b = 3

আবার, b এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
 2a - 3 = 25
⇒ 2a = 28
⇒ a = 14

∴ (a - b)² = (14 - 3)² 
= (11)²
= 121

দেওয়া আছে,
x + y = 7
তাই,
x এর মান 0 হলে y এর মান 7 হয়।
∴ xy = 0
x এর মান 1 হলে y এর মান 6 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 2 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 3 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 4 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 5 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 6 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 7 হলে y এর মান 0 হয়।
∴ xy = 0
সুতরাং xy এর ক্ষুদ্রতম মান 0.

মনে করি,
সংখ্যাটি x
∴ x/3 + 5 = 3x + 25
বা, x + 15 = 9x + 75 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 8x = - 60
বা, x = - 60/8 = - 15/2

x + 1/x = 3
বা, (x² + 1)/x = 3
বা, (x² + 1) = 3x
বা, x² - 2x + 1 = x
বা, (x - 1)² = x
3x/(x - 1)²
= 3x/x
= 3