লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

মোট প্রশ্ন২,৮৯২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ১১ / ২৯ · ১,০০১–১,১০০ / ২,৮৯২

১,০০১.
2x + 3y = 13 এবং 5x - 2y = 4 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    5
  3. গ
    4
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং 5x - 2y = 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হলো,
2x + 3y = 13........... (1)
5x - 2y = 4 ............ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 3 ⇒
2(2x + 3y) + 3(5x - 2y) = 2 x 13 + 3 x 4
⇒ 4x + 6y + 15x - 6y = 26 + 12
⇒ (4x + 15x) + (6y - 6y) = 38
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

১,০০২.
x/4 - x/5 = (x - 1)/10 সমীকরণের সমাধান-
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) -2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

x/4 - x/5 = (x - 1)/10
বা, (5x - 4x)/20 = (x - 1)/10
বা, x/20 = (x - 1)/10
বা, x/2 = x - 1
বা, x = 2x - 2
বা, x = 2

১,০০৩.
কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে 5 যোগ করলে যোগফল 17 হবে? 
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে 5 যোগ করলে যোগফল 17 হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 
সংখ্যাটির দ্বিগুণ করলে হবে = 2x 
এবং এর সাথে 5 যোগ করলে হবে = 2x + 5 

প্রশ্নমতে, 
2x + 5 = 17
বা, 2x + 5 - 5 = 17 - 5   [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
বা, 2x = 12 
বা, (2x)/2 = 12/2   [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x = 6 

∴ সংখ্যাটি = 6  ।
১,০০৪.
একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ঐ সংখ্যার বর্গের অন্তর 56 হলে সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
মনেকরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে
x2 - x = 56
x2 - x - 56 = 0
x2 - 8x + 7x - 56 = 0
x(x - 8) + 7(x - 8) = 0
(x - 8)(x + 7) = 0 

হয়                         অথবা 
x - 8 = 0                     x + 7 = 0
x = 8                         x = - 7 [গ্রহণযোগ্য নয়]
১,০০৫.
কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:

মনে করি, 
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল = ‍a
দ্বিঘাত সমীকরণের অপর মূল = 1/a

∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = a.1/a = 1
∴ মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক = 1/2
১,০০৬.
xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3 এর রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে গেলে c এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 6
  2. খ
    খ) - 3
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3 

রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে 
তাহলে,
- c = (-1/2)c  + 3 
c = (c/2) -  3
c -  (c/2)  = - 3
(2c - c)/2 = - 3
c/2 = -3 
c = - 6
১,০০৭.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    72
  3. গ
    27
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = x + 10(9 - x) = 90 - 9x

অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = 10x + (9 - x) = 9x + 9

প্রশ্নমতে, (9x + 9) - (90 - 9x) = 45
⇒ 9x + 9 - 90 + 9x = 45
⇒ 18x - 81 = 45
⇒ 18x = 45 + 81
⇒ 18x = 126
⇒ x = 126/18
⇒ x = 7

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 7) = 90 - 63 = 27

১,০০৮.
এর সমাধান-
  1. ক
    11/7
  2. খ
    13/5
  3. গ
    5
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর সমাধান- 

সমাধান:

১,০০৯.
(x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?
  1. ক
    x = (6, 1)
  2. খ
    x = (2, 3)
  3. গ
    x = (1, 1)
  4. ঘ
    x = (4, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - 6) = (x - 6)/x
⇒ x(x - 6) = (x - 6)
⇒ x2 - 6x - x + 6 = 0
⇒ x(x - 6) - 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x - 1) = 0
∴ x = 6, 1
১,০১০.
x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?
  1. ক
    ক) a + b
  2. খ
    খ) ab
  3. গ
    গ) a - b
  4. ঘ
    ঘ) a/b
ব্যাখ্যা

a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a2 = bx - b2
⇒ ax - bx = a2 - b2;
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
∴ x = a + b

১,০১১.
m এর মান কত হলে 4x2 - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা
4x2 - mx + 16 = (2x)2 - 2.2x.4 + 42 - mx + 16x
                     = (2x - 4)2 + 16x - mx 

 4x2 - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে  যদি 
 16x - mx  = 0 
16x = mx
 m = 16
১,০১২.
3x যদি 15 থেকে 6 বেশি হয়, তাহলে 4x + 2 = কত?
  1. ক
    28
  2. খ
    30
  3. গ
    40
  4. ঘ
    47
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x যদি 15 থেকে 6 বেশি হয়, তাহলে 4x + 2 = কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 15 + 6
⇒ 3x = 21
⇒ x = 21/3
⇒ x = 7

∴ 4x + 2 = 4 × 7 + 2 = 30
১,০১৩.
x + y = 7; x - y = 3 হলে, (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    ক) (1, 3)
  2. খ
    খ) (5, 2)
  3. গ
    গ) (0, 6)
  4. ঘ
    ঘ) (4, 3)
ব্যাখ্যা

x + y = 7 .......(1)
x - y = 3 ...........(2)
(1) + (2) করে
2x = 10
x = 5
x এর মান (1) বসিয়ে,
5 + y = 7
y = 2
∴ (x, y) = (5, 2) 

১,০১৪.
x2 - (p+q) x + pq = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    ক) {-p, q}
  2. খ
    খ) {p, -q}
  3. গ
    গ) {p, q}
  4. ঘ
    ঘ) {-p, -q}
ব্যাখ্যা

x2 - (p+q)x + pq = 0
⇒ x2 - px - qx + pq = 0
⇒ x(x-p) - q(x-p) = 0
⇒ (x-p)(x-q) = 0
∴ x = (p,q)

১,০১৫.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    46
  2. খ
    53
  3. গ
    64
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি y। 
∴ সংখ্যাটি = 10y + x

প্রথম শর্তানুসারে,
∴ x + y = 10 ........(1)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
⇒ (10y + x) + 18 = 10x + y
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
∴ x - y = 2 .......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

এখন x = 6 হলে, (1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
⇒ 6 + y = 10
∴ y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10y + x
= 10 × 4 + 6
= 40 + 6
= 46

অতএব, সংখ্যাটি হলো 46

১,০১৬.
যদি x4−2x2+1 = 0 হয় তবে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
x4−2x2+1 = 0
⇒(x2)2 - 2.x2.1 + (1)2 = 0
⇒(x2)2 - 1 = 0
⇒(x2) - 1 = 0
⇒x2 = 1
∴ x = 1
১,০১৭.
a2 - 10a - 2ab + 25 + b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    -8b
  2. খ
    4b
  3. গ
    10b
  4. ঘ
    -4b
ব্যাখ্যা

এখানে, a2 - 10a - 2ab + 25 + b2
= a2 + 25 + b2 - 10a - 2ab
= (-a)2 + 52 + b2 + 2.(-a).5 + 2.(-a).b + 2.5.b
= (-a+5+b)2
সুতরাং 2.5.b বা 10b যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

১,০১৮.
একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৭০
  2. খ
    ৮৫
  3. গ
    ৭৫
  4. ঘ
    ১০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ক
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় ক + ২৫ টাকা
মোট চাঁদা = ক (ক + ২৫) টাকা
= ক২ + ২৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক২ + ২৫ক = ৭৫০০
⇒ ক২ + ২৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক২ + ১০০ক - ৭৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক(ক + ১০০) - ৭৫(ক + ১০০) = ০
⇒ (ক + ১০০)(ক - ৭৫) = ০
হয় (ক + ১০০) = ০ 
(ক + ১০০) = ০ ⇒ ক = -১০০ , সম্ভব নয়

অথবা, (ক - ৭৫) = ০ ∴ ক = ৭৫
অতএব, ঐ শ্রেণিতে ৭৫ জন ছাত্র-ছাত্রী রয়েছে।
১,০১৯.
এ + ঐ = ১০ এবং এ - ঐ = ৪ হলে, ঐ = কত?
  1. ক
    ১
  2. খ
    ২
  3. গ
    ৩
  4. ঘ
    ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এ + ঐ = ১০ এবং এ - ঐ = ৪ হলে, ঐ = কত?

সমাধান:
এ + ঐ = ১০ .................(১)
এ - ঐ = ৪.....................(২)

(১)নং - (২)নং ⇒
এ + ঐ - (এ - ঐ) = ১০ - ৪
এ + ঐ - এ + ঐ = ৬
২ঐ = ৬
ঐ = ৩
১,০২০.
bc/(a−b)(a−c) + ca/(b−c)(b−a) + ab/(c−a)(c−b) = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) a+b+c
  4. ঘ
    ঘ) -1
ব্যাখ্যা
Explanation will be added.
১,০২১.
x + y = 6, 2x + y = 3 হলে x + 2y =?
  1. ক
    21
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 6, 2x + y = 3 হলে x + 2y =?

সমাধান:
x + y = 6
⇒ 2x + 2y = 12 ............(1)
2x + y = 3 ................(2)

(1) - (2) হতে পাই,
2x + 2y - 2x - y = 12 - 3
∴ y = 9

∴ x  + 9 = 6
⇒ x = 6 - 9
∴ x = - 3

∴ x + 2y = - 3 + 2 × 9 = - 3 + 18 = 15
১,০২২.
একটি কারখানায় মোট ১৬০০ জন শ্রমিক আছে। গতকাল পুরুষ শ্রমিকদের ১২% এবং নারী শ্রমিকদের ১৮% অনুপস্থিত ছিল। আজ পুরুষ শ্রমিকদের ১০% এবং নারী শ্রমিকদের ১৫% অনুপস্থিত। যদি গতকালে তুলনায় আজকে ৪০ জন কর্মী বেশি উপস্থিত থাকে, তবে কারখানায় মোট কতজন পুরুষ শ্রমিক আছে?
  1. ক
    ১০০০ জন
  2. খ
    ৯৫০ জন
  3. গ
    ৮০০ জন
  4. ঘ
    ৭২০ জন
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কারখানায় মোট ১৬০০ জন শ্রমিক আছে। গতকাল পুরুষ শ্রমিকদের ১২% এবং নারী শ্রমিকদের ১৮% অনুপস্থিত ছিল। আজ পুরুষ শ্রমিকদের ১০% এবং নারী শ্রমিকদের ১৫% অনুপস্থিত। যদি গতকালে তুলনায় আজকে ৪০ জন কর্মী বেশি উপস্থিত থাকে, তবে কারখানায় মোট কতজন পুরুষ শ্রমিক আছে?

সমাধান:
ধরি,
পুরুষ কর্মী = ক জন এবং মহিলা কর্মী = খ জন
∴ ক + খ = ১৬০০........(১)

যদি,
১০% পুরুষ কর্মী এবং ১৫% মহিলা কর্মী অনুপস্থিত থাকে তবে,
উপস্থিত আছে = ৯০% পুরুষ কর্মী এবং ৮৫% মহিলা কর্মী
= (৯০% × ক) + (৮৫% × খ)
= ৯০ক/১০০ + ৮৫খ/১০০

এবং
১২% পুরুষ কর্মী এবং ১৮% মহিলা কর্মী অনুপস্থিত থাকে তবে,
উপস্থিত আছে = ৮৮% পুরুষ কর্মী এবং ৮২% মহিলা কর্মী
= (৮৮% × ক) + (৮২% × খ)
= ৮৮ক/১০০ + ৮২খ/১০০

প্রশ্নমতে,
(৯০ক/১০০ + ৮৫খ/১০০) - (৮৮ক/১০০ + ৮২খ/১০০) = ৪০
⇒ (৯০ক + ৮৫খ - ৮৮ক - ৮২খ)/১০০ = ৪০
⇒ ২ক + ৩খ = ৪০০০
⇒ ২ক + ৩(১৬০০ - ক) = ৪০০০ [১নং হতে]
⇒ ২ক - ৩ক = ৪০০০ - ৪৮০০
∴ ক = ৮০০

∴ কারখানায় মোট পুরুষ শ্রমিক আছে = ৮০০ জন
১,০২৩.
একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে চার কম। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০০ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ২৪৯৬টি
  2. খ
    ২৬৮০টি
  3. গ
    ২০৭৬টি
  4. ঘ
    ২৮৬৬টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে চার কম। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০০ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কলামের সংখ্যা = ক 
সারির সংখ্যা = ক - ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক - ৪ = ১০০
⇒ ২ক = ১০৪
⇒ ক = ১০৪/২
∴ ক = ৫২

অতএব, কলামের সংখ্যা = ৫২
তাহলে, সারির সংখ্যা = ৫২ - ৪ = ৪৮

∴ গাছের মোট সংখ্যা = ৫২ × ৪৮ = ২৪৯৬ টি

১,০২৪.
(x - 3)(x + b) = x2 - 9 হলে, b এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    0
  3. গ
    5
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 3)(x + b) = x2 - 9 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x + b) = x2 - 9
⇒ (x - 3)(x + b) = (x - 3)(x + 3)
⇒ x + b = x + 3
⇒ x + b - x = 3
∴ b = 3

১,০২৫.
একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে ১২ যোগ করা হলে যোগফল হয় ৯। ঐ সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে ৮ যোগ করা হলে যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ৫
  2. খ
    ১০
  3. গ
    ৪
  4. ঘ
    - ৪
  5. ঙ
    ৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে ১২ যোগ করা হলে যোগফল হয় ৯। ঐ সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে ৮ যোগ করা হলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩ক + ১২ = ৯
⇒ ৩ক = ৯ - ১২
⇒ ৩ক = - ৩
∴ ক = - ১

এখন,
দ্বিতীয় অবস্থায়, ২ক + ৮ = ২(- ১) + ৮ = ৬
অতএব, সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে ৮ যোগ করা হলে যোগফল হবে ৬।
১,০২৬.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৫। অঙ্কদুটির সমষ্টি সংখ্যাটির ৫ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    ২৫
  2. খ
    ৩২
  3. গ
    ৪৫
  4. ঘ
    ৫৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৫ । অঙ্ক দুটির সমষ্টি সংখ্যাটির ৫ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = ৫

ধরি, 
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x 
∴ সংখ্যাটি = ১০x + ৫

প্রশ্নমতে, 
⇒ x + ৫ = (১০x + ৫)/৫
⇒ ৫(x + ৫) = ১০x + ৫
⇒ ৫x + ২৫ = ১০x + ৫
⇒ ১০x - ৫x = ২৫ - ৫
⇒ ৫x = ২০
⇒ x = ২০/৫ = ৪

∴ সংখ্যাটি = (১০ × ৪) + ৫
= ৪৫ ।
১,০২৭.
(x + y, 7) = (-1, x + 3y) হলে (x , y) = কত?
  1. ক
    ক) (3 , 2)
  2. খ
    খ) (-3 , 2)
  3. গ
    গ) (-5 , 4)
  4. ঘ
    ঘ) (4 , 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y, 7) = (-1, x + 3y) হলে (x , y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = -1 ........(i) 
x + 3y = 7 .......(ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই, 
- 2y = - 8
∴ y = 4

y-এর মান (i) এ বসিয়ে পাই, 
x + 4 = -1
⇒ x = -1 - 4
∴ x = -5 

∴ (x , y) = (-5 , 4)   
১,০২৮.
  1. ক
    3/8
  2. খ
    5/2
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    5/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:


১,০২৯.
x + 2y = 16, 2x + y = 14 সমীকরণের সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) (8, 4)
  2. খ
    খ) (2, 3)
  3. গ
    গ) (4, 6)
  4. ঘ
    ঘ) (12, 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 16, 2x + y = 14 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
এখানে 
x + 2y = 16............. (1)
2x + y = 14.............(2)

(2)নং × 2 - (1)নং  ⇒
4x + 2y - x - 2y = 28 - 16
3x = 12
x= 4

(1)নং সমীকরণ থেকে পাই 
4 + 2y = 16
2y = 16 - 4
2y = 12
y = 6

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (4, 6)
১,০৩০.
a, b, c প্রত্যেকে বাস্তব সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি বিতরণ বিধি মেনে চলে?
  1. ক
    ক) (b + c). a = b.a + c.a
  2. খ
    খ) (a + b) + c = a + (b + c)
  3. গ
    গ) a.b = b.a
  4. ঘ
    ঘ) (a.b).c = a.(b.c)
ব্যাখ্যা

a, b, c প্রত্যেকে বাস্তব সংখ্যা হলে,
(b + c). a = b.a + c.a [বিতরণ বিধি]
(a + b) + c = a + (b + c)[সহ সংযোগ বিধি]
a.b = b.a[বিনিময় বিধি]
(a.b).c = a.(b.c)[ সহসংযোগ বিধি]

১,০৩১.
৬ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৫ গুণ; বর্তমানে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। তাহলে পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ক) ২৪ বছর, ৮ বছর
  2. খ
    খ) ৩৬ বছর, ১২ বছর
  3. গ
    গ) ৯ বছর, ৩ বছর
  4. ঘ
    ঘ) ৪৮ বছর, ১৬ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৫ গুণ; বর্তমানে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। তাহলে পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনেকরি 
বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ক বছর

প্রশ্নমতে
(৩ক - ৬) = ৫(ক - ৬)
৩ক - ৬ = ৫ক - ৩০
৫ক - ৩ক = - ৩০ + ৬
- ২ক = - ২৪
২ক = ২৪
ক = ১২

বর্তমানে পুত্রের বয়স = ১২ বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ × ১২ = ৩৬ বছর
১,০৩২.
2x + 3y = 8, 6x - 7y = - 8 হলে (x, y) = কত? 
  1. ক
    ক) (2, 3) 
  2. খ
    খ) (3, 4) 
  3. গ
    গ) (1, 2) 
  4. ঘ
    ঘ) (4, 5) 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + 3y = 8, 6x - 7y = - 8 হলে (x, y) = কত? 

সমাধান: 
2x + 3y = 8..............(1)
6x - 7y = - 8..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 56 - 24
32x = 32
x = 1

(1) ⇒ 
2x + 3y = 8
2 × 1 + 3y = 8
2 + 3y = 8
3y = 6
y = 2 

(x, y) = (1, 2) 
১,০৩৩.
x + (1/x) = 2 রাশির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    ক) {1}
  2. খ
    খ) {0}
  3. গ
    গ) {2}
  4. ঘ
    ঘ) {3}
ব্যাখ্যা

x + (1/x) = 2
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x2 - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

১,০৩৪.
3x + y = 13 এবং x + y = 5 হলে y এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + y = 13 এবং x + y = 5 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + y = 13 ...................(1)
x + y = 5 ...................(2)

(2) নং হতে পাই,
x + y = 5
⇒ x = 5 − y

এখন,
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 13
⇒ 3(5 − y) + y = 13
⇒ 15 - 3y + y = 13
⇒ 15 - 2y = 13
⇒ - 2y = 13 - 15 
⇒ - 2y = - 2 
∴ y = 1

১,০৩৫.
x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x - y এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4 ------------ (1)
x/y = 2
⇒  x = 2y ------------ (2)

(1) নং হতে,
x + 2y = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

y = 2/2 = 1

x - y = 2 - 1 
= 1
১,০৩৬.
a + b = 6, a - b = 0 হলে ‍a/b কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6, a - b = 0 হলে ‍a/b কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
a + b = 6................(1)
a - b = 0................(2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 6 + 0
2a = 6
a = 3

(1) নং হতে পাই,
3 + b = 6
b = 6 - 3
b = 3

এখন 
a/b = 3/3 = 1
১,০৩৭.
3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-
  1. ক
    ক) 1, 1
  2. খ
    খ) 1, (1/2)
  3. গ
    গ) 2, 1
  4. ঘ
    ঘ) (1/2), 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
3x + 7y = 10 ......................(1)
4x - y = 3..........................(2)

(1) + 7 × (2) ⇒
3x + 7y + 28x - 7y = 10 + 21
31x = 31
x = 31/31
x = 1

(1) ⇒
3 × 1 + 7y = 10
3 + 7y = 10
7y = 10 - 3
7y = 7
y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)
১,০৩৮.
3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?
  1. ক
    2 এবং 3
  2. খ
    4 এবং 3
  3. গ
    5 এবং 4
  4. ঘ
    3 এবং 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
3x - y = 9 ............ (1)
2x + y = 11 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
3x - y + 2x + y = 9 + 11
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(4) - y = 9
⇒ 12 - y = 9
⇒ y = 12 - 9
⇒ y = 3

∴ x = 4 এবং y = 3

১,০৩৯.
(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২) এর মান কত?
  1. ক
    ক) ৫৫০
  2. খ
    খ) ২০০
  3. গ
    গ) ১২০
  4. ঘ
    ঘ) ৬৬০
ব্যাখ্যা

(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২)
= (১/১০ × ১১০/১০০ × ১২০/১০০) / (১/১০০ × ২/১০০)
= ৬৬০

১,০৪০.
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট -
  1. ক
    ক) সমঞ্জস
  2. খ
    খ) নির্ভরশীল
  3. গ
    গ) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
  4. ঘ
    ঘ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ব্যাখ্যা
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট এর মাত্র ১ টি সমাধান পাওয়া যায় তাই সমীকরণজোটটিকে সমঞ্জস বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোটটির ১ম সমীকরণকে ২য় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। তাই এরুপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
অনুশীলনের জন্য আরও কিছু উদাহরণ দেওয়া হলঃ
১) নিচের কোন সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল?
ক) x + 3y = 5, 4x + 12y = 20
খ) x + 3y = 5, 4x + 12y = 24
গ) x + 3y = 5, 4x + 2y = 20
ঘ) x + 3y = 5, x + 12y = 24
ব্যাখ্যাঃ
যে সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায় তা সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। 
ক) অপশনে x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।
তাই x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল।

২) যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা -
ক) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
খ) অসমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
গ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ঘ) অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল

ব্যাখ্যাঃ 
যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 
2x + y = 12
4x + 2y = 5
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
19 = 0 যা অসম্ভব
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান নাই। 
তাই যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 
১,০৪১.
6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    ক) (1, 6)
  2. খ
    খ) (1, 5)
  3. গ
    গ) (6, 3)
  4. ঘ
    ঘ) (2, 7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
6x - y = 1.........(1)
3x + 2y = 13.........(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
3x + 2y = 13
3 × 1 + 2y = 13
3 + 2y = 13
2y = 13 - 3
2y = 10
y = 5 

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)
১,০৪২.
একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    48
  3. গ
    60
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যাটি = 4x/5

প্রশ্নমতে,
x + (4x/5) = 108
বা, (5x + 4x)/5 = 108
বা, 9x/5 = 108
বা, 9x = 108 × 5
বা, x = (108 × 5)/9
বা, ক = 12 × 5
বা, ক = 60

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 60
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 108 - 60 = 48

১,০৪৩.
p2 - 6p + 9 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
  1. ক
    4 টি
  2. খ
    3 টি
  3. গ
    2 টি
  4. ঘ
    1 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 6p + 9 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 6p + 9 = 0
⇒ p2 - 3p - 3p + 9 = 0
⇒ p(p - 3) - 3(p - 3) = 0
⇒ (p - 3)(p - 3) = 0

হয়, p - 3 = 0 ⇒ p = 3
অথবা, p - 3 = 0 ⇒ p = 3

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b2 - 4ac = 0 হয় তবে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে।

এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই -
b = - 6
a = 1
c = 9

নিশ্চায়ক = (- 6)2 - 4.1.9
= 36 - 36
= 0

অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট অনুসারে সমীকরণটির মূল ২টি।
====================
⇒ জেনে রাখা ভালো -

অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।
১,০৪৪.
একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৫ জন
  2. খ
    ১০ জন
  3. গ
    ২০ জন
  4. ঘ
    ১৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, সমবায় সমিতির সদস্য সংখ্যা = ক জন।
প্রত্যেক সদস্য চাঁদা দেয় = মোট সদস্য সংখ্যার ২০ গুণ টাকা
= ২০ক টাকা।

∴ মোট সংগৃহীত টাকা = সদস্য সংখ্যা × প্রত্যেকের চাঁদা
= ক × ২০ক
= ২০ক২

প্রশ্নানুসারে,
২০ক২ = ২০০০
⇒ ক২ = ২০০০/২০
⇒ ক২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১০ জন।

১,০৪৫.
দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 12 এবং 35 হলে সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক (Reciprocal) এর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 35/12
  2. খ
    খ) 12/35
  3. গ
    গ) 13/35
  4. ঘ
    ঘ) 13/37
ব্যাখ্যা
সংখ্যা দুইটি a ও b হলে,
a+b = 12
এবং ab = 35
∴1/a + 1/b = a+b / ab = 12/35
১,০৪৬.
দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 
  1. ক
    (7, 6)
  2. খ
    (5, 7)
  3. গ
    (7, 4)
  4. ঘ
    (6, 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x2 + y2 = 61..........(¡)
x2 - y2 = 11..........(¡¡) 
-----------------------
(+) করে, 2x2 = 72
বা, x2 = 72/2
বা, x2 = 36
বা, x2 = 62
∴ x = 6
​
(¡) নং হতে পাই, 
y2 = 61 - x2
বা, y2 = 61 - (6)2
বা, y2 = 61 - 36
বা, y2 = 25
বা, y2 = 52
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

১,০৪৭.
যদি x + 2y = 10 এবং x/y = 3 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    9
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 2y = 10 এবং x/y = 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 10 .......... (1)
এবং
x/y = 3
⇒ x = 3y .......... (2)

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 3y + 2y = 10
⇒ 5y = 10
⇒ y = 10/5
∴ y = 2

y এর মান (2) এ বসিয়ে পাই,
∴ x = 3 × 2 = 6
১,০৪৮.
একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?
  1. ক
    ২৫ জন 
  2. খ
    ৩৬ জন 
  3. গ
    ৩৯ জন 
  4. ঘ
    ৪৫ জন 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি,
জিসানের পেছনে আছে = ক জন 
সামনে আছে = (ক + ১২) জন
জিসান সহ সম্পূর্ণ লাইনে আছে = (ক + ক + ১২ + ১) জন
= (২ক + ১৩) জন

প্রশ্নমতে,
২ক + ১৩ = ৩ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৩
⇒ ক = ১৩

∴ সম্পূর্ণ লাইনে ছাত্র আছে = (২ × ১৩ + ১৩) জন
= (২৬ + ১৩) জন
= ৩৯ জন 
১,০৪৯.
একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ১৫ টি
  2. খ
    ১৬ টি
  3. গ
    ১৯ টি
  4. ঘ
    ২১ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫(ক - ৩)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪ক + ৪

প্রশ্নমতে, 
৫(ক - ৩) = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ১৫ = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ৪ক = ৪ + ১৫
⇒ ক = ১৯

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৯ টি

১,০৫০.
যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 8x + y = কত?
  1. ক
    2 
  2. খ
    - 2 
  3. গ
    4 
  4. ঘ
    - 3 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 8x + y = কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0 
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4] 
বা, - 20x + 28x - 2 = 0 
বা, 8x - 2 = 0 
বা, 8x = 2 
বা, x = 2/8 
∴ x = 1/4 

∴ 8x + y = 8 × (1/4) + (- 4) 
= 2 - 4 
= - 2 

১,০৫১.
একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ১৬৮১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ২১
  2. খ
    খ) ৩১
  3. গ
    গ) ৪১
  4. ঘ
    ঘ) ৫১
ব্যাখ্যা
মনেকরি 
ছাত্র সংখ্যা = ক 

প্রশ্নমতে , 
ক × ক  = ১৬৮১
ক২ = ৪১২
ক = ৪১ 
১,০৫২.
2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y - 8 = 0 হলে (x, y) = ?
  1. ক
    (1, 2)
  2. খ
    (2, 1)
  3. গ
    (2, 3)
  4. ঘ
    (3, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y - 8 = 0 হলে (x, y) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 7 ............. (1)
এবং
5x - 2y - 8 = 0
⇒ 5x - 2y = 8 ........... (2) 

এখন,
(1) নং সমীকরণ × 2 করে পাই, 
4x + 6y = 14 ............. (3)

(2) নং সমীকরণ × 3 করে পাই, 
15x - 6y = 24 ............ (4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
19x = 38
⇒ x = 38/19
⇒ x = 2

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
(2 × 2) + 3y = 7
⇒ 4 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4 = 3
⇒ y = 3/3 
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (2, 1)
১,০৫৩.
16x2 + 24x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?
  1. ক
    বাস্তব, অসমান ও মূলদ
  2. খ
    বাস্তব ও সমান
  3. গ
    বাস্তব মূল নেই
  4. ঘ
    বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x2 + 24x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
16x2 + 24x + 9 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 16
b = x এর সহগ = 24
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (24)2 - 4 × 16 × 9
= 576 - 576
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b2 - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b2 - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

১,০৫৪.
(x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    5
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
x/2 + 3 = x/3 + 4
⇒ x/2 - x/3 = 4 - 3
⇒ (3x - 2x)/6 = 1
⇒ x/6 = 1
∴ x = 6
১,০৫৫.
5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    20 বছর
  2. খ
    15 বছর
  3. গ
    30 বছর
  4. ঘ
    25 বছর
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর বর্তমান বয়স = x বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = y বছর

প্রথম শর্তমতে,
5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ
⇒ x - 5 = 3(y - 5)  
⇒ x - 5 = 3y - 15
∴ x = 3y - 10 ……… (1)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ (3y - 10) + 10 = 2(y + 10) ; [1 নং হতে]
⇒ 3y = 2y + 20
⇒ 3y - 2y = 20
∴ y = 20

সুতরাং খ-এর বর্তমান বয়স = 20 বছর

১,০৫৬.
একটি সংখ্যার একক স্থানীয় মান a এবং দশক স্থানীয় মান b হলে সংখ্যাটি কত হবে?
  1. ক
    10ab
  2. খ
    10a + b
  3. গ
    a + 10b
  4. ঘ
    ab + 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার একক স্থানীয় মান a এবং দশক স্থানীয় মান b হলে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
একক স্থানীয় মান a 
দশক স্থানীয় মান b 

সংখ্যাটি = 10 × b + a
= 10b + a
১,০৫৭.
যদি a + b = √3 এবং b = a - 2√3 হয়, তবে a/b- এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) -3
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) √3/2
  4. ঘ
    ঘ) −3√3
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, a + b = √3…..(i)
b = a - 2√3
⇒ a - b = 2√3……(ii)
(i) + (ii), 2a = 3√3
∴ a = 3√3/2
(i) নং এ, a এর মান বসিয়ে পাই, 3√3/2 + b = √3
∴b = √3 - 3√3/2 = (2√3 - 3√3)/2 = -(√3/2)
সুতরাং, a/b = (3√3/2)/{-(√3/2)} = -3
১,০৫৮.
যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x + y = 6 ........ (i)
xy = 9 ........ (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
y = 6 - x

এখন, y এর এই মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,
x(6 - x) = 9
বা, 6x - x2 = 9
বা, x2 - 6x + 9 = 0
বা, (x - 3)2 = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

১,০৫৯.
একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসলে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত? 
  1. ক
    30 জন
  2. খ
    40 জন
  3. গ
    50 জন
  4. ঘ
    60 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসলে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনেকরি, ছাত্র সংখ্যা = x
6 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x/6) + 3 
আবার, 3 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x - 6)/3 

প্রশ্নমতে, 
∴ (x/6) + 3 = (x - 6)/3 
⇒ (x + 18)/6 = (x - 6)/3 
⇒ 6x - 36 = 3x + 54 
⇒ 6x - 3x = 54 + 36 
⇒ 3x = 90 
⇒ x = 90/3 
∴ x = 30 

∴ ছাত্র সংখ্যা = 30 জন ।
১,০৬০.
a + (2/a) = 3 হলে a3 + (8/a3) এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    8
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (2/a) = 3 হলে a3 + (8/a3) এর মান কত?

সমাধান:
a3 + 8/a3
= a3 + (2/a)3
= (a + 2/a)3 - 3.a.(2/a).(a + 2/a)
= 33 - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9
১,০৬১.
একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৫০
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৭০
  4. ঘ
    ৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬
∴ ক = ১৮ 

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি
ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন
= (১৮ - ৩) × ৪ জন
= ১৫ × ৪ জন
= ৬০ জন
১,০৬২.
যদি 3x + y = 7 এবং 3x - y = 5 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?
  1. ক
    (2, 1)
  2. খ
    (2, 2)
  3. গ
    (3, 2)
  4. ঘ
    (3, 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 3x - y = 5 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
3x + y = 7
⇒ y = 7 - 3x ............... (1)
3x - y = 5 ............. (2)

y এর মান (2) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ 3x - (7 - 3x) = 5
⇒ 3x - 7 + 3x = 5
⇒ 6x - 7 = 5
⇒ 6x = 12
∴ x = 2

x এর মান (1) নং হতে পাই,
y = 7 - (3 × 2)
⇒ y = 7 - 6
∴ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (2, 1)
১,০৬৩.
2x2 - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
  1. ক
    ক) বাস্তব ও অসমান
  2. খ
    খ) অবাস্তব ও অসমান
  3. গ
    গ) সমান
  4. ঘ
    ঘ) পূর্ণবর্গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2x2 - 4x + 5 = 0
নিশ্চায়ক= b2 - 4ac
= ( - 4)2 - 4 × 2 × 5
= 16 - 40
= - 24 < 0
যেহেতু, b2 - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।


দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১,০৬৪.
a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2

প্রদত্ত রাশি = a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + (- 2)
= 2 + 2 - 2
= 2

১,০৬৫.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 5। লবের সাথে 2 যোগ এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 4/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    3/4
  2. খ
    8/11
  3. গ
    5/6
  4. ঘ
    6/11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 5। লবের সাথে 2 যোগ এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 4/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = a
ভগ্নাংশের হর = a + 5

ভগ্নাংশটি = a/(a + 5)

প্রশ্নমতে,
(a + 2)/(a + 5 - 1) = 4/5
⇒ (a + 2)/(a + 4) = 4/5
⇒ 5a + 10 = 4a + 16
⇒ 5a - 4a = 16 - 10
∴ a = 6

∴ ভগ্নাংশটি = 6/(6 + 5) = 6/11
১,০৬৬.
9 টাকায় 7টি দরে একজন লোক এক বক্স পেন্সিল কিনলো এবং 11 টাকায় 8টি দরে বিক্রয় করলো। এতে তার 10 টাকা লাভ হলো। বাক্সে কতটি পেন্সিল ছিলো? 
  1. ক
    119টি
  2. খ
    115টি
  3. গ
    112টি
  4. ঘ
    123টি
ব্যাখ্যা
7টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য 9 টাকা 
1টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য 9/7 টাকা 

8টি পেন্সিলের বিক্রয়মূল্য 11 টাকা 
1টি পেন্সিলের বিক্রয়মূল্য 11/8 টাকা 

লাভ =  (11/8) - (9/7) 
       = (77 - 72)/56
        = 5/56

ধরি,
বাক্সে পেন্সিল ছিল x টি 

প্রশ্নমতে, 
5x/56  = 10
5x = 10 × 56
x = (10 × 56)/5
x = 112
১,০৬৭.
180 টি কমলা 70 জন বালক ও বালিকার মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেয়া হলো যেন প্রত্যেক বালক 2টি এবং প্রত্যেক বালিকা 3টি করে কমলা পায়। বালকের সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 35জন
  2. খ
    খ) 25জন
  3. গ
    গ) 30জন
  4. ঘ
    ঘ) 40জন
ব্যাখ্যা
ধরি, 
বালকের সংখ্যা x জন
বালিকার সংখ্যা 70 - x জন

প্রশ্নমতে, 
2x +3 (70 - x) =180
2x + 210 - 3x = 180 
210  - x = 180 
x = 210 - 180 
x = 30 
১,০৬৮.
50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    8 ‍ফুট
  2. খ
    10 ‍ফুট
  3. গ
    12 ‍ফুট
  4. ঘ
    15 ‍ফুট
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
অপর অংশটি = x/4

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 50
⇒ (4x + x)/4 = 50
⇒ 5x = (50 × 4) 
⇒ 5x = 200 
⇒ x = 200/5 
∴ x = 40

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 40/4
= 10 ফুট।

১,০৬৯.
কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি 2 এবং তাদের ঘনের সমষ্টি 27 হলে সমীকরণটি নির্ণয় করুন।
  1. ক
    2x2 - 18x - 34 = 0
  2. খ
    4x2 - 8x + 20 = 0
  3. গ
    6x2 - 12x - 19 = 0
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি 2 এবং তাদের ঘনের সমষ্টি 27 হলে সমীকরণটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α ও β
দেওয়া আছে,
α + β = 2 এবং α3 + β3 = 27

এখন (α + β)3 = α3 + β3 + 3αβ(α + β)
⇒ 23 = 27 + 3 · αβ · 2
⇒ 6αβ = - 19
∴ αβ = - 19/6
সুতরাং α, β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ x2 - (α + β)x + αβ = 0
বা, 6x2 - 12x - 19 = 0 ই নির্ণেয় সমীকরণ।
১,০৭০.
একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    88
  2. খ
    72
  3. গ
    90
  4. ঘ
    78
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

১,০৭১.
20 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 4 গুণ ছিলো। 4 বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স হচ্ছে:
  1. ক
    24 বছর
  2. খ
    30 বছর
  3. গ
    32 বছর
  4. ঘ
    40 বছর
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 4 গুণ ছিলো। 4 বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি, 
পিতার বর্তমান বয়স = a বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = b বছর

১ম শর্তানুসারে,  a - 20 = 4(b - 20)
⇒ a - 20 = 4b - 80
⇒ a = 4b - 60 ........ (1)

২য় শর্তানুসারে, a + 4 = 2(b + 4)
⇒ 4b - 60 + 4 = 2b + 8
⇒ 4b - 2b = 8 + 56
⇒ 2b = 64
∴ b = 32
অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স = 32 বছর

১,০৭২.
রিনা মীমের থেকে ১০ বছরের বড়। ৭ বছর পর, রিনার বয়স মীমের বয়সের দ্বিগুণ হবে। রিনার বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ক) ১৭
  2. খ
    খ) ১৬
  3. গ
    গ) ১৩
  4. ঘ
    ঘ) ১১
  5. ঙ
    ঙ) ৯
ব্যাখ্যা

ধরি, মীমের বর্তমান বয়স x বছর
রিনার বর্তমান বয়স (x + ১০) বছর
প্রশ্নমতে,
২(x + ৭) = x + ১০ + ৭
⇒ ২x + ১৪ = x + ১৭
⇒ ২x - x = ১৭ - ১৪
∴ x = ৩
অতএব, রিনার বর্তমান বয়স (১০ + ৩) বা ১৩ বছর।

১,০৭৩.
(x/8) - (x/9) = 1/12 এর সমাধান নিচের কোনটি? 
  1. ক
    6
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/8) - (x/9) = 1/12 এর সমাধান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
(x/8) - (x/9) = 1/12
বা, (9x - 8x)/72 = 1/12 
বা, x/72 = 1/12 
বা, 12x = 72
বা, x = 72/12
∴ x = 6
১,০৭৪.
(x + 8)(x - 7) এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) x2 − x + 56
  2. খ
    খ) x2 − 15x + 56
  3. গ
    গ) x2 + 15x − 56
  4. ঘ
    ঘ) x2 + x − 56
ব্যাখ্যা
(x + 8)(x - 7) = x(x - 7) + 8(x - 7) = x2 - 7x + 8x - 56 = x2 + x − 56
১,০৭৫.
p2 + 16q2 এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    8pq
  2. খ
    5pq
  3. গ
    - 4pq
  4. ঘ
    - 6pq
ব্যাখ্যা
p2 + 16q2 = p2 + (4q)2 = p2 + (4q)2 + 8pq - 8pq = (p + 4q)2 - 8pq
অতএব, (p + 4q)2 - 8pq এর সাথে 8pq যোগ করলে আমরা পাই,
(p + 4q)2 - 8pq + 8pq = (p + 4q)2 যা পূর্ণ বর্গ
১,০৭৬.
(5x + 7, 10 - y) = (12, x + 2y - 3) হলে, (x, y)-এর মান কত?
  1. ক
    (3, - 2)
  2. খ
    (1, 4)
  3. গ
    (3, - 4)
  4. ঘ
    (- 1, 0)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (5x + 7, 10 - y) = (12, x + 2y - 3) হলে, (x, y)-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(5x + 7, 10 - y) = (12, x + 2y - 3)
এখন,
⇒ 5x + 7 = 12
⇒ 5x = 12 - 7
⇒ 5x = 5
∴ x = 1 ........(1)
এবং
⇒ 10 - y = x + 2y - 3
⇒ 2y + y = 10 + 3 - x
⇒ 3y = 13 - 1 [(1) নং হতে]
⇒ 3y = 12
∴ y = 4

∴ (x, y) = (1, 4)
১,০৭৭.
শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?
  1. ক
    ক) ৪০জন
  2. খ
    খ) ৫০জন
  3. গ
    গ) ৬০জন
  4. ঘ
    ঘ) ৭০জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:  
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)
প্রশ্নমতে,
(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
{২৪০০(ক + ১০) - ২৪০০ক}/ক(ক + ১০) = ৮
(২৪০০ক + ২৪০০০ - ২৪০০ক)/(ক২ + ১০ক) = ৮
৮ক২+ ৮০ক - ২৪০০০ = ০
৮(ক২ + ১০ক - ৩০০০) = ০
ক২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
(ক + ৬০)(ক - ৫০) = ০

যেহেতু, ক ≠- ৬০  
∴ ক = ৫০ জন।

বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন
১,০৭৮.
কোন সংখ্যার সঙ্গে ৭ যোগ করে, যোগফলকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে ৯ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ৩ বিয়োগ করাতে বিয়োগফল ১২ হয়। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ২০
  2. খ
    খ) ১৮
  3. গ
    গ) ২২
  4. ঘ
    ঘ) ২৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সঙ্গে ৭ যোগ করে, যোগফলকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে ৯ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ৩ বিয়োগ করাতে বিয়োগফল ১২ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
[{(ক + ৭) × ৫} ÷ ৯] - ৩ = ১২
{(ক + ৭) × ৫} ÷ ৯ = ১৫
(ক + ৭) × ৫ = ১৫ × ৯
ক + ৭ = (১৫ × ৯)/৫
ক + ৭ = ২৭
ক = ২৭ - ৭
ক = ২০
১,০৭৯.
এক ব্যক্তি প্রতি 100 পিস পিঠা 35 টাকা দরে কিনে প্রতি ডজন পিঠা 7.20 টাকা দরে বিক্রয় করে 30 টাকা লাভ করলো। সে কতগুলো পিঠা কিনেছিলো?
  1. ক
    180 টি
  2. খ
    160 টি
  3. গ
    90 টি
  4. ঘ
    200 টি
  5. ঙ
    120 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি প্রতি 100 পিস পিঠা 35 টাকা দরে কিনে প্রতি ডজন পিঠা 7.20 টাকা দরে বিক্রয় করে 30 টাকা লাভ করলো। সে কতগুলো পিঠা কিনেছিলো?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 ডজন = 12
12 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20 টাকা
∴ 1 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20/12 টাকা
∴ 100 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = (7.20 × 100)/12 = 60 টাকা

∴ লাভ হয় = 60 - 35 = 25 টাকা

এখন,
25 টাকা লাভ হয় = 100 টি পিঠায়
∴ 1 টাকা লাভ হয় = 100/25 = 4টি পিঠায়
∴ 30 টাকা লাভ হয় = 30 × 4 = 120 টি পিঠায়

সুতরাং, সে পিঠা কিনেছিলো 120 টি। 

১,০৮০.
The solution of equation x - y = 2 and x + y = 4 is :
  1. ক
    ক) 3 and 1
  2. খ
    খ) 4 and 3
  3. গ
    গ) 5 and 1
  4. ঘ
    ঘ) -1 and -3
ব্যাখ্যা
Question: The solution of equation x - y = 2 and x + y = 4 is :

Solution: 
দেয়া আছে 
x - y = 2............(1)
x + y = 4............(2)

(1) + (2) ⇒
x -  y + x + y = 2 + 4
2x = 6
x = 3
(2) ⇒
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1 

(x, y) = (3,1)
১,০৮১.
a - [ a - { a - ( a - a + 1)}] = ?
  1. ক
    ক) a - 1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) a + 1
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
 a - [ a - { a - ( a - a + 1)}]
= a - [ a - { a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1
১,০৮২.
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2) হলে, y এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2) হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2)
⇒ y2 - y + 2y - 2 = y2 - 2y + 4y - 8
⇒ y2 + y - 2 = y2 + 2y - 8
⇒ y2 + y - y2 - 2y = - 8 + 2
⇒ - y = - 6
∴ y = 6
১,০৮৩.
x/a + a = x/b + b হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) ab
  2. খ
    খ) a
  3. গ
    গ) b
  4. ঘ
    ঘ) a/b
ব্যাখ্যা
x/a + a = x/b + b
or, x/a – x/b = b – a
or, x (1/a – 1/b) = b – a
or, x = (b – a)/(1/a – 1/b)
or, x = (b – a)/ {(b – a)/ab}
or, x = (b – a) × {ab/(b-a)}
or, x = ab
১,০৮৪.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    54
  2. খ
    72
  3. গ
    45
  4. ঘ
    63
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9

প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63

১,০৮৫.
যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 24 এবং 140 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 4/23
  2. খ
    খ) 3/25
  3. গ
    গ) 6/35
  4. ঘ
    ঘ) 2/29
ব্যাখ্যা
ধরি,
সংখ্যা দুইটি a ও b

শর্তমতে 
a + b = 24
ab=140

এখন,
(1/a) + (1/b)
= (b + a)/ab
= 24/140
=6/35
১,০৮৬.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 51 হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    ক) 23
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 26 
ব্যাখ্যা
ছোট সংখ্যাটি x হলে,
বড় সংখ্যাটি = x + 1
প্রশ্নমতে,
( x + 1)2 - x2 = 51
x2 + 2x + 12 - x2 = 51 
2x + 1 = 51
2x = 51 - 1 
2x = 50 
x = 25 

বড় সংখ্যাটি = 25 + 1 = 26
১,০৮৭.
একটি Econo কলমের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি Matador কলমের মূল্য ৪ টাকা। যদি ঐ দোকানদার ৫০০টি কলম বিক্রি করে ২৩০০ টাকা পায়, তবে সে কয়টি Econo কলম বিক্রয় করেছিল?
  1. ক
    ২৭৫
  2. খ
    ৩০০
  3. গ
    ৩১৫
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি Econo কলমের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি Matador কলমের মূল্য ৪ টাকা। যদি ঐ দোকানদার ৫০০টি কলম বিক্রি করে ২৩০০ টাকা পায়, তবে সে কয়টি Econo কলম বিক্রয় করেছিল?

সমাধান:
Econo কলম বিক্রয় করেছিল = ক টি
 Matador কলম বিক্রয় করেছিল = (৫০০ - ক) টি

প্রশ্নমতে
৫ক + ৪(৫০০ - ক) = ২৩০০ 
বা, ৫ক + ২০০০ - ৪ক = ২৩০০
বা, ক = ২৩০০ - ২০০০
∴ ক = ৩০০

Econo কলম বিক্রয় করেছিল ৩০০ টি
১,০৮৮.
7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    28
  2. খ
    36
  3. গ
    32
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে- 
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6) 

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) 
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 
= 7x + 21 
= 7 (x + 3) 

শর্তমতে, 
7 (x + 3) = 33 × 7 
বা, x + 3 = (33 × 7)/7 
বা, x + 3 = 33 
বা, x = 33 - 3 
∴ x = 30 

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6 
= 30 + 6 
= 36.
১,০৮৯.
যদি x2 + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?
  1. ক
    √12
  2. খ
    1
  3. গ
    √20
  4. ঘ
    √24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x2 + px + 6 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক, p2 - 4 × 1 × 6 = p2 - 24
যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p2 - 24 = 0
⇒ p2 = 24
∴ p = √24

১,০৯০.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর ধনাত্মক মানটি-
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর ধনাত্মক মানটি-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
বা, x = 2 + y

এবং, xy = 24
বা, y = 24/x
বা, y = 24/(2 + y)
বা, 2y + y2 = 24
বা, y2 + 2y - 24 = 0
বা, y2 + 6y - 4y - 24 = 0
বা, y(y + 6) - 4(y + 6) = 0
বা, (y + 6)(y - 4) = 0
হয়,
y + 6 = 0
⇒ y = - 6
অথবা,
y - 4 = 0
⇒ y = 4 
∴ y এর ধনাত্মক মানটি হবে 4.
১,০৯১.
(a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(a/2) + 4 = (a/4) + 6
⇒ (a/2) - (a/4) = 6 - 4
⇒ (2a - a)/4 = 2
⇒ a/4 = 2
⇒ a = 2 × 4
∴ a = 8

১,০৯২.
একটি সংখ্যার একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 10ab
  2. খ
    খ) 10a + b
  3. গ
    গ) a + 10b
  4. ঘ
    ঘ) ab + 10
ব্যাখ্যা

সংখ্যাটির একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে, সংখ্যাটি -
a + 10 × b
= a + 10b

১,০৯৩.
একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?
  1. ক
    ৬ হাত
  2. খ
    ২১ হাত
  3. গ
    ৫১ হাত
  4. ঘ
    ৯০ হাত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার

প্রশ্নমতে
∴ ক - (ক/৩) - ৩ক/৫ = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ =৬
⇒ ক/১৫ = ৬
∴ ক = ৯০
১,০৯৪.
একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ১৮
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক 

৩ক + ২ক = ৯০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ১৮
১,০৯৫.
2x + 3y = 5 হলে 4x + 6y = কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

দেয়া আছে, 2x + 3y = 5 ...(i)
(i)×2 ⇒
4x + 6y = 10

১,০৯৬.
শাকিলের বর্তমান বয়স আকিলের দ্বিগুণ। তিন বৎসর পূর্বে শাকিলের বয়স আকিলের বয়সের তিনগুণ ছিল। শাকিলের বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
 ধরি, আকিলের বর্তমান বয়স x বছর।
সুতরাং, শাকিলের বর্তমান বয়স 2x বছর।
প্রশ্নমতে,
(2x - 3) = 3(x - 3)
⇒ 2x - 3 = 3x - 9
⇒ x = 6
∴ শাকিলের বর্তমান বয়স = 2 × 6 = 12
১,০৯৭.
দুই অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 1 হলে, সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 56
  2. খ
    খ) 47
  3. গ
    গ) 74
  4. ঘ
    ঘ) 83
ব্যাখ্যা
মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x 
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y  
সংখ্যাটি x + 10y 

প্রশ্নমতে,
x + y =11 .......... (1)
x - y = 1  .......... (2)

(1)নং ও (2) নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 11 + 1
2x = 12
x= 6

(1) নং এ x  এর মান বসিয়ে পাই 
6 + y = 11
y = 11 - 6 
y = 5

সংখ্যাটি = 6 + (10 × 5) = 56
১,০৯৮.
3x + 2y = 12 সমীকরণে কতটি সমাধান আছে?
  1. ক
    ক) সমাধান নাই
  2. খ
    খ) একটি
  3. গ
    গ) দুইটি
  4. ঘ
    ঘ) অসীম সংখ্যক
ব্যাখ্যা
3x + 2y = 12 সমীকরণটি x,y এর অসীম সংখ্যক মানের জন্য সিদ্ধ হয়। সুতরাং সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
১,০৯৯.
একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ৫০
  2. খ
    খ) ৬০
  3. গ
    গ) ৭০
  4. ঘ
    ঘ) ৮০
  5. ঙ
    ঙ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

ছাত্র সংখ্যা ক হলে,
প্রশ্নমতে, ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ৬/৩
⇒ ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ২
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৩+২
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
∴ ক = ৬০

১,১০০.
যদি 3x - 2y - z = 32 + z এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4 হয়, তাহলে x + y + z = ?
  1. ক
    32
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3x - 2y - z = 32 + z এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4 হয়, তাহলে x + y + z = ?

সমাধান: 
3x - 2y - z = 32 + z
3x - 32 = 2y + 2z.........(i)

√(3x) - √(2y + 2z) = 4...........(ii)
বা, √(3x) - √(3x - 32) = 4
বা, √(3x) - 4 = √(3x - 32)
বা, 3x + 16 - 8√(3x) = 3x - 32 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই]
বা, 8√(3x) = 48 
বা, √(3x) = 6
বা, 3x = 36
∴ x = 12

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই।
36 - 32 = 2(y + z)
y + z = 2

∴ x + y + z = 12 + 2 = 14