লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিকোণমিতি

মোট প্রশ্ন১,২৮৮এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিকোণমিতি

PrepBank · পাতা ৭ / ১৩ · ৬০১–৭০০ / ১,২৮৮

৬০১.
(5/sec2θ) + {2/(1 + cot2θ)} + 3sin2θ = কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    8
  3. গ
    3
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (5/sec2θ) + {2/(1 + cot2θ)} + 3sin2θ = কত?

সমাধান:

৬০২.
cos4θ - sin4θ = 2/3 হলে, 1 - 2sin2θ = কত?
  1. ক
    3/2
  2. খ
    6/11
  3. গ
    4/5
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos4θ - sin4θ = 2/3 হলে, 1 - 2sin2θ = কত?

সমাধান:
cos4θ - sin4θ = 2/3
⇒ (cos2θ - sin2θ)(cos2θ + sin2θ) = 2/3
⇒ cos2θ - sin2θ = 2/3
⇒ 1 - sin2θ - sin2θ = 2/3
∴ 1 - 2sin2θ = 2/3
৬০৩.
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3) হলে, θ এর মান বের করুন।
  1. ক
    0°
  2. খ
    15°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3) হলে, θ এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3)
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (1 + √3 + 1 - √3)/(1 + √3 - 1 + √3)
⇒ 2sinθ/2cosθ = 2/(2√3)                                        [যোজন-বিয়োজন করে] 
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan 30° 
∴ θ = 30°

৬০৪.
১৮ মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) ১২.৭২৮ (প্রায়)
  2. খ
    খ) ১২.৭৮২ প্রায়
  3. গ
    গ) ১২.৮৭২ (প্রায়)
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮ মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 18মিটার
দেওয়ালটির উচ্চতা AB =?
ভূমির সঙ্গে উৎপন্ন কোণ ∠ACB = 45°

sin∠ACB = লম্ব/অতিভুজ 
sin45° = AB/AC
1/√2 = AB/18
AB = 18/√2
AB = 12.728
৬০৫.
secθ = 5/4 হলে, cos2θ - sin2θ =?
  1. ক
    ক) 25/7
  2. খ
    খ) 9/25
  3. গ
    গ) 7/25
  4. ঘ
    ঘ) 4/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secθ = 5/4 হলে, cos2θ - sin2θ =?

সমাধান:
secθ  = অতিভুজ/ভুমি = 5/4
অতিভুজ = 5 একক
ভূমি = 4 একক

অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভুমি২
⇒ লম্ব২ = অতিভুজ২ - ভুমি২
⇒ লম্ব২ = 52 - 42 = 25 - 16 = 9

লম্ব = √9 = 3 একক

∴ sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5

secθ = 5/4
∴ cosθ =4/5

 ∴ cos2θ - sin2θ = (4/5)2 - (3/5)2
= (16/25) - (9/25)
= 7/25
৬০৬.
tanA = 1 হলে 2sinAcosA এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA = 1 হলে 2sinAcosA এর মান কত? 

সমাধান: 
 tanA = 1
tanA = লম্ব/ভূমি 
লম্ব = 1, ভূমি = 1

আমরা জানি 
(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2
(অতিভুজ)2 = 12 + 12
(অতিভুজ)2 = 1 + 1
(অতিভুজ)2 = 2
(অতিভুজ) = √2

sinA = লম্ব/অতিভুজ = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

2sinAcosA = 2(1/√2)(1/√2) = 2/2 = 1
৬০৭.
45° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে কত হবে?
  1. ক
    π/4 রেডিয়ান
  2. খ
    8π রেডিয়ান
  3. গ
    4/π রেডিয়ান
  4. ঘ
    π/8 রেডিয়ান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 45° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান:
45° = 45π/180
= π/4 রেডিয়ান
৬০৮.
cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    0
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2
৬০৯.
secA + tanA = 7/3 হলে, secA - tanA=?
  1. ক
    4/3
  2. খ
    1/3
  3. গ
    3/7
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:  secA + tanA = 7/3 হলে, secA - tanA=?
​
​​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sec2A - tan2A = 1
⇒ ​(secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(7/3)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(secA + tanA) = 1/(7/3)
⇒ ​(secA + tanA) = 3/7

৬১০.
  1. ক
    3/4
  2. খ
    1/2
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    - 4/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:

৬১১.
2cosθ = 1 হলে, sin2θ এর মান কত?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    √2
  3. গ
    2/√3
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2cosθ = 1 হলে, sin2θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ = cos60°
∴ θ = 60°

এখন
sin2θ
=(sin60°)2
=(√3/2)2
= 3/4
৬১২.
২০ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে ৩০° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ৫ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার
  3. গ
    ১৫ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে ৩০° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
​
​
ধরি, দেয়ালের উচ্চতা = AB মিটার এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য = AC = ২০ মিটার।
উৎপন্ন কোণ ∠ACB = ৩০°।

এখন,
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
∴ sin ∠ACB = AB/AC
⇒ sin ৩০° = AB/২০
⇒ ১/২ = AB/২০
⇒ AB = ২০ × ১/২ 
​∴ AB = ১০ মিটার

∴ দেয়ালটির উচ্চতা = ১০ মিটার

৬১৩.
১৩ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?
  1. ক
    ৫ মিটার
  2. খ
    ৮ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
১৩২ = ১২২ + ক২
⇒ ক২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ ক২ = ২৫
∴ ক = ৫ মিটার
৬১৪.
যদি cosec2θ + cot2θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    1
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cosec2θ + cot2θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec2θ = 1 + cot2θ

দেওয়া আছে,,
cosec2θ + cot2θ = 5/3
⇒ 1 + cot2θ + cot2θ = 5/3
⇒ 2 cot2θ = (5/3) -1
⇒ 2cot2θ = 2/3
⇒ cot2θ = 2/6
⇒ cot2θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3
৬১৫.
cos⁡45° × sec⁡45°  সমান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/√2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos⁡45° × sec⁡45°  সমান কত?

সমাধান:
cos⁡45° × sec⁡45°
= cos⁡45° × (1/cos⁡45°)
= 1
৬১৬.
(- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?
  1. ক
    চতুর্থ
  2. খ
    প্রথম
  3. গ
    দ্বিতীয়
  4. ঘ
    তৃতীয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান: 

(- 520°) = (- 450° - 70°) = (- 5 × 90° - 70°) 
(- 520°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 520°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
সুতরাং, (- 540°) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।
৬১৭.
যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ  - cos(- θ) =? 
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ  - cos(- θ) =? 

সমাধান: 
cotθ = 1
⇒ cotθ = cot 45°
∴ θ = 45 

sinθ  - cos(- θ) 
= sinθ - cosθ
= sin45 - cos 45° 
= (1/√2) - (1/√2)
= 0 
৬১৮.
  1. ক
    41/39
  2. খ
    43/39
  3. গ
    21/19
  4. ঘ
    15/17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৬১৯.
যদি sin x = 3/4 হয়, তাহলে cos x = ?
  1. ক
    ক) √3/2
  2. খ
    খ) √7/4
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি sin x = 3/4 হয়, তাহলে cos x = ? 
সমাধান :
cosx
= √(1 - sin2x)
= √{1 - (3/4)2}
= √(7/16)
= √7/4
৬২০.
একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 12 মিটার উঁচু হলে, ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?
  1. ক
    10√3 মিটার
  2. খ
    12√3 মিটার
  3. গ
    20 মিটার
  4. ঘ
    24 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 12 মিটার উঁচু হলে, ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

ধরি, গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত।
∴ tan 30° = AB/AC
⇒ 1/√3 = 12/a
∴ a = 12√3 মিটার
৬২১.
একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য 60√3 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হবে?
  1. ক
    20√3 মিটার
  2. খ
    30 মিটার
  3. গ
    40√3 মিটার
  4. ঘ
    60 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য 60√3 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হবে?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা AB = 60√3 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
∠ACB = θ = 60°

∆ABC তে,
tan θ = AB/BC
⇒ tan 60° = (60√3)/BC
⇒ √3 = (60√3)/BC
⇒ BC = (60√3)/√3
⇒ BC = 60

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 60 মিটার

৬২২.
যদি sec4θ - sec2θ = 3 হয় তবে, tan4θ + tan2θ এর মান কত হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sec4θ - sec2θ = 3 হয় তবে, tan4θ + tan2θ এর মান কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec2θ = 1 + tan2θ

প্রদত্ত রাশি,
sec4θ - sec2θ = 3
⇒ (sec2θ)2 - sec2θ = 3
⇒ (1 + tan2θ)2 - (1 + tan2θ) = 3
⇒ (1 + 2tan2θ + tan4θ) - (1 + tan2θ) = 3
⇒ 1 + tan4θ + 2tan2θ - 1 - tan2θ = 3
∴ tan4θ + tan2θ = 3

৬২৩.
sin210° + sin280° =?
  1. ক
    sin10°
  2. খ
    cos10°
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin210° + sin280° =?

সমাধান: 
sin210° + sin280°
= sin210° + sin2(90 - 10)°
= sin210° + {sin(90 - 10)°}2
= sin210° + cos210°
= 1
৬২৪.
cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1/2
  4. ঘ
    - √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?

সমাধান:
cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = cos(4π)/6 [এখানে, n = 4]

এখন,
cos(4π)/6
= cos(4 × 180°)/6
= cos120°
= cos(90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2
৬২৫.
tan A = 1 হলে, A - এর মান কত ডিগ্রি ?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan A = 1 হলে, A এর মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
 tan A = 1
tanA = tan45°
A = 45°
৬২৬.
3 cotA = 4 হলে sinA এর মান কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    3/5
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    4/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 cotA = 4 হলে sinA এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
3 cotA = 4 
বা, cot = 4/3
বা, cot2A = 16/9
বা, cosec2A  - 1  = 16/9
বা, cosec2A = (16/9) + 1
বা, cosec2A = (16 + 9)/9
বা, cosec2A = 25/9
বা, cosecA = 5/3
বা, 1/sinA = 5/3
  sinA = 3/5
৬২৭.
একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?
  1. ক
    14 মিটার
  2. খ
    16 মিটার
  3. গ
    18 মিটার
  4. ঘ
    20 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুটিটি x মিটার উচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (48 - x) মিটার
sinθ = x/(48 - x)
sin30° = x/(48 - x)
বা, 1/2 = x/(48 - x)
2x = 48 - x
2x + x = 48
3x = 48
∴ x = 16
৬২৮.
উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

সমাধান:

ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য AB, ছায়ার দৈর্ঘ্য BC, উন্নতি কোণ θ
AB = BC

চিত্র হতে,
tanθ = AB/BC = 1
⇒ tanθ = tan45°
⇒ θ = 45°

অর্থাৎ, উন্নতি কোণ  45° হলে, খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে।
৬২৯.
যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 এবং (0° ≤ θ ≤ 90°) হয়, তাহলে θ এর মান কত?
  1. ক
    π/2
  2. খ
    π/4
  3. গ
    π/3
  4. ঘ
    π/5
  5. ঙ
    π/6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 7sin2θ + 3cos2θ = 4 এবং (0° ≤ θ ≤ 90°) হয়, তাহলে θ এর মান কত?

সমাধান: 

৬৩০.
tanA = 4/3 হলে, sinA = কত?
  1. ক
    ক) 4/5
  2. খ
    খ) 5/4
  3. গ
    গ) 3/5
  4. ঘ
    ঘ) 5/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 3/4 

অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3
অতিভুজ =√(42 + 32)
= √25
= 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5
৬৩১.
cosθ = 1/√2 হলে tanθ = কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    1
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ = 1/√2 হলে tanθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 1/√2
বা, cosθ = cos45°
∴ θ = 45° 

এখন,
tanθ
= tan45°
= 1

৬৩২.
sinθ = 4/5 হলে, cosθ = কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    3/5
  3. গ
    1/5
  4. ঘ
    2/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, cosθ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sinθ = 4/5

∴ cosθ = √(1 - sin2θ) 
= √{1 - (4/5)2} 
= √{1 - (16/25)} 
= √{(25 - 16)/25} 
=√(9/25) 
= 3/5
৬৩৩.
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ =?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    5/4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ 7(sinθ - cosθ) = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - 7cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - sinθ = cosθ + 7cosθ
⇒ 6sinθ = 8cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 8/6
∴ tanθ = 4/3

৬৩৪.
একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 90 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    90√3 মিটার
  2. খ
    60√3 মিটার
  3. গ
    45√3 মিটার
  4. ঘ
    30√3 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 90 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
চিত্রে
গাছটির উচ্চতা AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু B।
∠AOB = 30° এবং OA = 90 মিটার

ΔAOB এ 
tan30° = AB/OA
⇒ 1/√3 = AB/90
⇒ AB√3 = 90
⇒ AB = 90/√3
⇒ AB = 90√3/(√3.√3)
⇒ AB = 90√3/3
∴ AB = 30√3

গাছটির উচ্চতা AB = 30√3 মিটার
৬৩৫.
sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < π/2.
  1. ক
    π/2
  2. খ
    π/3
  3. গ
    π/4
  4. ঘ
    π/6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < π/2.

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin2θ = (√2 - cosθ)2
⇒ 1 - cos2θ = (√2)2 - 2.√2.cosθ + cos2θ
⇒ 1 - cos2θ = 2 - 2√2cosθ + cos2θ
⇒ 2cos2θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)2 = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ cosθ = cos(π/4)
⇒ θ = π/4
৬৩৬.
cos120° এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    - (1/2)
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos120° এর মান কত?

সমাধান:
cos120°
= cos (90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2
৬৩৭.
নিচের কোনটি সঠিক ?
  1. ক
    ক) tanθ = 1/cosθ
  2. খ
    খ) tanθ = cotθ
  3. গ
    গ) tanθ = 1/cotθ
  4. ঘ
    ঘ) tanθ = cosθ/sinθ
ব্যাখ্যা
আমরা জানি 
tanθ = 1/cotθ 
cotθ = 1/tanθ
tanθ = sinθ/cosθ
cotθ = cosθ/sinθ
৬৩৮.
একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে ১০ মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ ৬০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) ১৭.৩২ ‍মি.
  2. খ
    খ) ১৭.৭২ মি.
  3. গ
    গ) ১৬.৬৫ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১৭.৭৫ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান: 
 

গাছটির উচ্চতা AB = ?
ΔABC এ 
tan60° = AB/BC
√3 = AB/10
AB = 10√3 
AB = 17.32
৬৩৯.
tanA + cotA = 4 হলে, tan2A + cot2A এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA + cotA = 4 হলে, tan2A + cot2A এর মান কত?

সমাধান:
tanA + cotA = 4
⇒ (tanA + cotA)2 = 42
⇒ tan2A + cot2A + 2tanAcotA = 16
⇒ tan2A + cot2A = 16 - 2 ⋅ 1 [যেহেতু tanA ⋅ cotA = 1]
∴  tan2A + cot2A = 14
৬৪০.
B এর মান কত হলে cos3B এর মান শূন্য হবে?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: B এর মান কত হলে cos3B এর মান শূন্য হবে?

সমাধান:
শর্তমতে,
cos3B = 0
⇒ cos3B = cos90°
⇒ 3B = 90°
⇒ B = 30°
৬৪১.
A = 45° হলে, (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 45° হলে, (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত? 

সমাধান: 
(1 - tan2A)/(1 + tan2A) 
= {1 - (tan45°)2}/{1 + (tan45°)2} 
= {1 - (1)2}/{1 + (1)2} 
= (1 - 1)/(1 + 1) 
= 0/2 
= 0 
৬৪২.
যদি sin(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে cot3θ এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে cot3θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(2θ + 15°) = 1/√2
⇒ sin(2θ + 15°) = sin(45°)
⇒ 2θ + 15° = 45°
⇒ 2θ = 45° - 15°
⇒ 2θ = 30°
∴  θ = 15°

এখন,
cot3θ
= cot(3 × 15°)
= cot(45°)
= 1

৬৪৩.
36 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হলো। গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?
  1. ক
    15 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    18 মিটার
  4. ঘ
    6 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 36 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হলো। গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

উচ্চতা = h 
ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = 36 - h মিটার
ভাঙা অংশ মাটির সাথে 30° কোণ করেছে।

এখন,
sinθ = লম্ব​/ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য
⇒ sin30° = h/(36 - h)
⇒ 1/2 = h/(36 - h)
⇒ 2h = 36 - h
⇒ 2h + h = 36
⇒ 3h = 36
⇒ h = 36/3
∴ h = 12

∴ গাছটি 12 মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল।
৬৪৪.
A = 45° হলে, cosA.sin2A এর মান কত?
  1. ক
    - 1/√2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/√2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 45° হলে, cosA.sin2A এর মান কত?

সমাধান:
cos2A.sinA = cos45°sin90°
= (1/√2) × 1
= 1/√2
৬৪৫.
যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, (cosθ)2 - 1 = কত?
  1. ক
    - 3/4
  2. খ
    - 1/4
  3. গ
    1
  4. ঘ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, (cosθ)2 - 1 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan{(π/2) - (θ/2)} = √3
⇒ cot(θ/2) = √3 [যেহেতু tan{(π/2) - θ} = cotθ]
⇒ cot(θ/2) = cot30∘
⇒ θ/2 = 30∘
⇒ θ = (30∘ × 2)
⇒ θ = 60∘

এখন, (cosθ)2 - 1
= (cos2θ) - 1
= (cos60∘)2 - 1
= (1/2)2 - 1
= (1/4) -1 
= - 3/4
৬৪৬.
Sinθ = 5/13 এবং 90° < θ < 180° হলে tanθ = ?
  1. ক
    ক) -5/13
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 5/13
  4. ঘ
    ঘ) -5/12
ব্যাখ্যা

Sinθ = 5/13 = লম্ব/অতিভূজ
∴ লম্ব = 5, অতিঃ = 13
∴ ভূমি = √(অতিঃ2 - লম্ব2)
= √(132 - 52)
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ tanθ = লম্ব/ভূমি
= -5/12
[কারণ 90° < θ < 180° ∴ tanθ < 0]

৬৪৭.
sec2θ + cosec2θ = ?
  1. ক
    sec2θ - cosec2θ
  2. খ
    1 + ‍sin2θ
  3. গ
    sec2θ . cosec2θ
  4. ঘ
    1 + cos2θ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sec2θ + cosec2θ = ?

সমাধান:
sec2θ + cosec2θ
৬৪৮.
sinθ.√(1 + cot2θ) = ?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    cosθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ.√(1 + cot2θ) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 + cot2θ = cosec2θ

প্রদত্ত রাশি = sinθ.√(1 + cot2θ) 
= sinθ × √(cosec2θ)
= sinθ × cosecθ
= sinθ × (1/sinθ)
= 1

৬৪৯.
cosec315° এর মান কত?
  1. ক
    ক) √2
  2. খ
    খ) - √2
  3. গ
    গ) - 1/√2
  4. ঘ
    ঘ) 2√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec315° এর মান কত?

সমাধান: 
cosec315°
= cosec (4 × 90° - 45°)
= - cosec45°
= - √2
৬৫০.
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanP - cotR এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanP - cotR এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
PQ = 12 cm
PR = 13 cm
সমকোণী ত্রিভুজ PQR এ Q হলো সমকোণ
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
PR2 = PQ2 + QR2
QR2 = (13)2 - (12)2
= 169 - 144
= 25
∴QR = 5 cm

tanP = QR/PQ = 5/12
cotR = QR/PQ = 5/12
∴ tanP - cotR = (5/12) - (5/12) = 0
৬৫১.
cosecθ + cotθ = 9/2 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?
  1. ক
    2/5
  2. খ
    2/9
  3. গ
    1/9
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 9/2 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ + cotθ = 9/2

আমরা জানি,
cosec2θ - cot2θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (9/2)(cosecθ - cotθ) = 1
∴ (cosecθ - cotθ) = 2/9
৬৫২.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত? 
  1. ক
    25 মিটার
  2. খ
    28 মিটার
  3. গ
    32 মিটার
  4. ঘ
    36 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = x মিটার 

প্রশ্নমতে,
tan45° = AB/BC
⇒ 1 = x/25 [ ∴ tan45° = 1]  
⇒ x = 25 মিটার 
∴ মিনারটির উচ্চতা 25 মিটার।
৬৫৩.
60° কোণের জন্য নিচের কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
  1. ক
    ক) Sine
  2. খ
    খ) Cosine
  3. গ
    গ) Tangent
  4. ঘ
    ঘ) Secant
ব্যাখ্যা
এখানে Sin60 = √3/2,Cos60 = 1/2,tan60 = √3, Sec60 = 2.
৬৫৪.
 
চিত্র হতে cosA + secA = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 5/2
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  
চিত্র হতে cosA + secA = ?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
অতিভূজ AC = 2 এবং ভূমি, BC = √3

আমরা জানি,
(লম্ব)2 = (অতিভূজ)2 - (ভূমি)2
বা, AB2 = (2)2 - (√3)2
বা, AB2 = 4 - 3
∴ AB = 1

cosA = AB/AC = 1/2
secA = AC/AB = 2/1 = 2
∴ cosA + secA = 1/2 + 2 = 5/2
৬৫৫.
xcos30° = ycosec45° হলে x2 : y2 =?
  1. ক
    ক) 3 : 8
  2. খ
    খ) 1 : 8
  3. গ
    গ) 8 : 3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xcos30° = ycosec45° হলে x2 : y2 =?

সমাধান:
xcos30° = ycosec45° 
⇒ x/y = cosec45° / cos30°
⇒ x/y = √2 / (√3/2)
⇒  x/y = 2√2 / √3
⇒  x2/y2 = (2√2)2 / (√3)2 = 8/3
৬৫৬.
একটি গাছের পাদদেশ হতে ২৫√৩ মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ৩০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?
  1. ক
    ২৫ মিটার
  2. খ
    ৭৫ মিটার
  3. গ
    ৩৬√৩ মিটার
  4. ঘ
    √৩/২৫ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে ২৫√৩ মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ৩০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার
গাছের পাদদেশ থেকে ঐ স্থানের দূরত্ব = ২৫√৩ মিটার
শীর্ষের উন্নতি কোণ = ৩০°

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tan ৩০° = h/(২৫√৩)
⇒ ১/√৩ = h/(২৫√৩)
⇒ h = (২৫√৩)/√৩
∴ h = ২৫ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২৫ মিটার।

৬৫৭.
যদি sec²θ+tan²θ=7/12 হয়, তাহলে (sec4θ − tan4θ) এর মান নির্ণয় করুন -
  1. ক
    ক) 7/12
  2. খ
    খ) 12/7
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
sec²θ + tan²θ = 7/12
∴ (sec4θ−tan4θ) = (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ) = (7/12).1 = 7/12

৬৫৮.
(1/sin2A) - (1/tan2A) এর সমাধান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/sin2A) - (1/tan2A) এর সমাধান কত?

সমাধান:
(1/sin2A) - (1/tan2A)
= (1/sin2A) - {1/(sin2A/cos2A)​}
= (1/sin2A) - (cos2A/sin2A)
= (1 - cos2A)/sin2A
= sin2A/sin2A
= 1

৬৫৯.
cosec(90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) √3/2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√3
ব্যাখ্যা

cosec(90° - θ) = 2
বা, secθ = 2
বা, 1/cosθ = 2
বা, cosθ = 1/2

৬৬০.
একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 3 মিটার নিচে নেমে আসবে?
  1. ক
    20 মিটার
  2. খ
    15 মিটার
  3. গ
    45 মিটার
  4. ঘ
    9 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 3 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 3 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার
এবং AB = 3 মিটার
∴ BC = 15 - 3 = 12 মিটার

এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC2 + CD2 = BD2
⇒ CD2 = BD2 - BC2
⇒ CD2 = 152 - 122
⇒ CD2 = 225 - 144
⇒ CD2 = 81
⇒ CD = √81
∴ CD = 9

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 9 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 3 মিটার নিচে নামবে।

৬৬১.
tanθ = a/b হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) secθ = a/(a2 + b2)
  2. খ
    খ) cosecθ =  (√(a2 + b2) )/ a
  3. গ
    গ) sinθ = b/(a2 + b2)
  4. ঘ
    ঘ) cosθ = a/(a2 + b2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
 tanθ = a/b 
লম্ব/ভূমি = a/b 

∴ লম্ব = a এবং ভূমি = b
∴  অতিভুজ = √(a2 + b2)

cosecθ =  (√(a2 + b2) )/ a
৬৬২.
tanθ = x হলে Sin2θ = ?
  1. ক
    ক) 2x/(1 - x2)
  2. খ
    খ) 2x/(1 + x2)
  3. গ
    গ) (1 - x2)/(1 + x2)
  4. ঘ
    ঘ) (1 + x2)/(1 - x2)
ব্যাখ্যা

 Sin2θ
= 2tanθ/(1 + tan2θ)
= 2x/(1 + x2)

৬৬৩.
If θ is an acute angle, and cos θ =15/17, then find the value of cot(90- θ).
  1. ক
    ক) 17/15
  2. খ
    খ) 4/15
  3. গ
    গ) 5/17
  4. ঘ
    ঘ) 8/15
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15

৬৬৪.
sin330° + 4cot245°- sec260° এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1/8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin330° + 4cot245°- sec260° এর মান কত?

সমাধান:
sin330° + 4cot245°- sec260° 
= (sin30°)3 + 4(cot45°)2 - (sec60°)2
= (1/2)3 + 4 ⋅ (1)2 - (2)2
= (1/8) + 4 - 4
= 1/8
৬৬৫.
যদি tanθ + cotθ = √3 হয়, তবে tan6θ + cot6θ -এর মান কত হবে? 
  1. ক
    - 2
  2. খ
    - 1
  3. গ
    3
  4. ঘ
    - 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = √3 হয়, তবে tan6θ + cot6θ -এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ + cotθ = √3
⇒ (tanθ + cotθ)3 = (√3)3  ; [উভয়দিকে ঘন করে] 
⇒ tan3θ + cot3θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3  ; [a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)] 
⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3
⇒ tan3θ + cot3θ = 3√3 - 3√3 = 0  
⇒ (tan3θ + cot3θ)2 = 0   ; [উভয় দিকে বর্গ করে]
⇒ tan6θ + cot6θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0  ; [a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab] 
⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0  ; [tanθ = 1/cotθ]    
∴ tan6θ + cot6θ = - 2

৬৬৬.
যদি A = 60° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan2A) এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 1/√3
  3. গ
    গ) -√3
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = 60° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan2A) এর মান কত?

সমাধান:
2tanA/(1 - tan2A) 
= 2tan60°/ {1 - (tan120°)2}
= 2tan60°/ {1 - (tan(90 + 30)°)2}
= 2tan60°/ {1 - (-cot30°)2}
= 2√3/{1 - (√3)2}
= 2√3/(1 - 3)
= 2√3/-2
= -√3
৬৬৭.
কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ?
  1. ক
    উন্নতি কোণ < অবনতি কোণ
  2. খ
    উন্নতি কোণ = অবনতি কোণ
  3. গ
    উন্নতি কোণ > অবনতি কোণ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ? 

সমাধান:
৬৬৮.
cos{(7π/2) - θ} = ?
  1. ক
     - cosθ
  2. খ
    sinθ
  3. গ
    secθ
  4. ঘ
    - sinθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}

যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।

আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

৬৬৯.
2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    0°
  2. খ
    60°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
2sin2θ + 3cos θ = 0
বা, 2(1 - cos2θ) + 3cosθ - 3= 0
বা, 2 - 2cos2θ + 3cosθ - 3= 0
বা, - 2cos2θ + 3cosθ - 1 = 0
বা, - 1(2cos2θ - 3cosθ + 1) = 0
বা, 2cos2θ - 3cosθ + 1 = 0
বা, 2cos2θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0
বা,(cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0
হয় 
2cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ =cos60°
θ =60°

অথবা
cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1 
⇒ cosθ = Cos0°
θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়]
৬৭০.
একটি গাছের পাদদেশ হতে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° । গাছটি 30 মিটার উঁচু হলে, গাছটি হতে ঐ স্থানটির দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 15√3 মিটার 
  2. খ
    খ) 10√3 মিটার 
  3. গ
    গ) 20√3 মিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 30√3 মিটার 
ব্যাখ্যা
 
প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° । গাছটি 30 মিটার উঁচু হলে, গাছটি হতে ঐ স্থানটির দূরত্ব কত?



সমাধান:
মনেকরি গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমিতলের নির্দিষ্ট স্থান O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু A। অতএব গাছটি থেকে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব OB
∠AOB = 30° এবং AB = 30 মিটার
এখন,
tan 30° =AB /OB 
1/√3 = 30/OB 
OB = 30√3 মিটার 
৬৭১.
sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = √3/2 
⇒ sin2θ = sin60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 30°
৬৭২.
sin⁡θ=3/5 হলে, cos⁡θ এর মান কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    3/4
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    5/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  sin⁡θ=3/5 হলে, cos⁡θ এর মান কত?

সমাধান: 
sin2 θ + cos2 θ = 1
বা, ( 3 / 5 ​)2 + cos2 θ = 1 
বা,  ( 9 / 25 ) ​+ cos2 θ = 1
বা, cos2 θ = 1 − ( 9 / 25 ) = 16 / 25
বা, cos θ = √(16 / 25) = 4 / 5
৬৭৩.
A = 60° হলে, (secA - 1)/(1 + sec2A) =?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/5
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 60° হলে, (secA - 1)/(1 + sec2A) =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = 60°

প্রদত্ত রাশি = (secA - 1)/(1 + sec2A)
= (sec60° - 1)/(1 + sec260°)
= (2 - 1)/{1 + (2)2}
= 1/ (1 + 4)
= 1/5
৬৭৪.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর কোণ ∠B সমকোণ হলে, tanA এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 2/3
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর কোণ ∠B সমকোণ হলে, tanA এর মান কত?
সমাধান :
∠B = 90°
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ 
∠A + ∠C = 90°
∠A =45°, ∠C =45°

tanA = tan45° = 1
৬৭৫.
sinθ = 3/5 হলে, cosθ এর মান কত?
  1. ক
    5/8
  2. খ
    4/5
  3. গ
    5/3
  4. ঘ
    5/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ = 3/5 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2θ + cos2θ = 1
⇒ (3/5)2 + cos2θ = 1
⇒ 9/25 + cos2θ = 1
⇒ cos2θ = 1 - 9/25
⇒ cos2θ = 16/25
⇒ cos θ = √(16/25)
⇒ cos θ = 4/5 [বর্গমূল করে]

৬৭৬.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? 
  1. ক
    25 মিটার
  2. খ
    5√3 মিটার
  3. গ
    25√3 মিটার
  4. ঘ
    5√2 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? 

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি, 
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan45° = h/25
বা, 1 = h/25
∴ h = 25

∴ মিনারটির উচ্চতা = 25 মিটার।

৬৭৭.
tanA = 5/12 হলে, sinA = কত?
  1. ক
    5/7
  2. খ
    12/5
  3. গ
    5/13
  4. ঘ
    7/12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA = 5/12 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
tanA = 5/12 
তাহলে, লম্ব = 5, ভূমি = 12 [যেহেতু, tanA = লম্ব/ভূমি]

∴ sinA = লম্ব/অতিভূজ
= লম্ব/{√(ভূমি২ + লম্ব২)}
= 5/{√(122 + 52)}
= 5/√169
= 5/13
৬৭৮.
cosx = 3/5 হলে, tanx এর মান কত?
  1. ক
    5/3
  2. খ
    4/5
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    4/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosx = 3/5 হলে, tanx এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin2x + cos2x = 1
⇒ sin2x = 1 - cos2x
= 1 - (3/5)2
= 1 - (9/25)
= (25 - 9)/25
= 16/25
∴ sinx = 4/5

এখন,
tanx = sinx/cosx
= (4/5)/(3/5)
= (4/5) × (5/3)
= 4/3
∴ tanx = 4/3

৬৭৯.
cosθ = 2/√5, হলে tanθ = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1/√2
  4. ঘ
    ঘ) 1√3
ব্যাখ্যা

এখানে cosθ = 2/√5 ⇒ secθ = √5/2
আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = sec²θ - 1
⇒ tan²θ = (√5/2)² - 1
⇒ tan²θ = 5/4 - 1
⇒ tan²θ = 1/4
∴ tanθ = 1/2

৬৮০.
যদি sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হয়, তাহলে (tanθ)2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    √2 - 3
  3. গ
    3 - 2√2
  4. ঘ
    √2 - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হয়, তাহলে (tanθ)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ)
⇒ sinθ + cosθ = √2cosθ
⇒ (sinθ + cosθ)/cosθ = √2 
⇒ (sinθ/cosθ) + (cosθ/cosθ) = √2 
⇒ tanθ + 1 = √2
⇒ tanθ = √2 - 1
⇒ (tanθ)2 = (√2 - 1)2
⇒ tan2θ = (√2)2 - 2.√2.1 + (1)2
⇒ tan2θ = 2 - 2√2 + 1
∴ tan2θ = 3 - 2√2
৬৮১.
যদি sec θ = 1/cos θ হয়, তাহলে sec 60° এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sec θ = 1/cos θ হয়, তাহলে sec 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sec θ = 1 / cos θ

এখন, 
cos 60° = 1/2 

সুতরাং,
sec 60° = 1 / (1/2)
= 1 × 2
= 2  

৬৮২.
3cotA = 4 হলে sinA এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 5/3
  2. খ
    খ) 3/5
  3. গ
    গ) 3/4
  4. ঘ
    ঘ) 4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3cotA = 4 হলে sinA এর মান কত? 

সমাধান: 
3cotA = 4
cotA = 4/3

cotA = ভূমি/লম্ব
ভূমি = 4, লম্ব = 3

আমরা জানি,
(অতিভুজ)2 = ভূমি2 + লম্ব2
(অতিভুজ)2 = 42 + 32 
(অতিভুজ)2 = 16 + 9
(অতিভুজ)2 = 25
(অতিভুজ)2 = 52 
(অতিভুজ) = 5 

sinA  = 3/5
৬৮৩.
যদি sin⁡θ = cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?
  1. ক
    90°
  2. খ
    60°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?

সমাধান:
sin⁡θ = cos⁡θ
⇒ sinθ/cosθ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°
৬৮৪.
cosec(3A) = √2 হলে, A = কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    25°
  3. গ
    20°
  4. ঘ
    15°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(3A) = √2 হলে, A = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
cosec(3A) = √2 
⇒ cosec(3A) = cosec45°
⇒ 3A = 45°
∴ A = 15°
৬৮৫.
sin2θ + cos2θ = ?
  1. ক
    ক) 1/√2
  2. খ
    খ) √3/2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin2θ + cos2θ =?

সমাধান: 
sin2θ + cos2θ
= (লম্ব/অতিভুজ)২ + (ভূমি/অতিভুজ)২
= (লম্ব২ + ভূমি২)/অতিভুজ২
= অতিভুজ২/অতিভুজ২ 
= ১ 
৬৮৬.
cos 80°cos20° + sin80°sin20° =?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos 80°cos20° + sin80°sin20° =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

∴ cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°
= cos(80° - 20°)
= cos60°
= 1/2
৬৮৭.
যদি sinA + sin2A = 1 হয়, তাহলে, cos2A + cos4A এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinA + sin2A = 1 হয়, তাহলে, cos2A + cos4A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin2A = 1
⇒ sinA + sin2A = sin2A + cos2A
⇒ sinA + sin2A - sin2A = cos2A
⇒ cos2A = sinA
⇒ cos4A = sin2A
⇒ cos4A = 1 - cos2A
∴ cos2A + cos4A = 1
৬৮৮.
2tanθ/(1 + tan2θ = ?
  1. ক
    ক) tanz2θ
  2. খ
    খ) 2cos2θ/2
  3. গ
    গ) 2sinθcosθ
  4. ঘ
    ঘ) cos2θ
ব্যাখ্যা

2tanθ/(1 + tan2θ) = sin2θ = 2sinθcosθ

৬৮৯.
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
সমাধান:
৬৯০.
(1/sin2A) - (1/tan2A) = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/sin2A) - (1/tan2A) = ?

সমাধান:
(1/sin2A) - (1/tan2A)
= (1/sin2A) - {1/(sin2A/cos2A)​}
= (1/sin2A) - (cos2A/sin2A)
= (1 - cos2A)/sin2A
= sin2A/sin2A
= 1

৬৯১.
যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3/2
  2. খ
    খ) 1/√3
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) 2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি θ সূক্ষকোণ হয় এবং 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হয়, তাহলে tanθ এর মান কত?
সমাধান : 
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⇒ 7sin2θ + 3(1 - sin2θ) = 4
⇒ 7sin2θ + 3 - 3sin2θ = 4
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30º
⇒ θ = 30º

∴ tanθ = tan30º = 1/√3
৬৯২.
cosA secA + 1 এর মান কত? 
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosA secA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
cosA secA + 1
= cosA (1/cosA) + 1
= 1 + 1
= 2

৬৯৩.
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এদের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গমিটার হলে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?
  1. ক
    ক) ৪৫°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এদের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহু দুটি যথাক্রমে a = ১০ মিটার এবং b = ১০ মিটার,
সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ 

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ বর্গমিটার

(১/২)absinθ = ২৫
⇒ absinθ = ৫০
⇒ ১০ × ১০ × sinθ = ৫০
⇒ sinθ = ১/২
⇒ sinθ = sin৩০°
⇒ θ = ৩০°

সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ৩০°
৬৯৪.
cosθ = 4/5 হলে, cotθ = কত?
  1. ক
    4/3
  2. খ
    5/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosθ = 4/5 হলে, cotθ = কত?

সমাধান:
৬৯৫.
sin(nπ/6) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
sin(nπ/6) এর তৃতীয় পদ = {sin(4 × π)/6}
= {sin(4 × 180°)/6}
= sin120°
= sin(90° + 30°) 
= cos30°
= √3/2
৬৯৬.
একটি খুটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হবে?
  1. ক
    21 মিটার
  2. খ
    18√3 মিটার
  3. গ
    36 মিটার
  4. ঘ
    27√3 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হবে?
​
​সমাধান:
​
​খুটির দৈর্ঘ্য, AB = 18 মিটার
​ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = ?
​সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 30°

​ত্রিভুজ ABC-তে,
​tanθ = AB/BC
​⇒ tan30° = 18/BC
​​⇒ 1/√3 = 18/BC
​​⇒ BC = 18√3
​সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে 18√3 মিটার।

৬৯৭.
(- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?
  1. ক
    প্রথম
  2. খ
    দ্বিতীয়
  3. গ
    তৃতীয়
  4. ঘ
    চতুর্থ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?

সমাধান:

এখানে, (- 3, - 5) বিন্দুটি তৃতীয় চর্তুভাগে অবস্থিত ।
৬৯৮.
যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে sinx = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    √3
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে sinx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan (x - 30°) = 1/√3
⇒ tan (x - 30°) = tan 30°
⇒ x - 30° = 30°
⇒ x = 60°
∴ sin 60° = √3/2

৬৯৯.
যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    5/4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tanθ = 3/4

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজে, tanθ = লম্ব/ভূমি।

অতএব, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।

এখন,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
বা, অতিভুজ = √(লম্ব2 + ভূমি2)
বা, ​অতিভুজ = √(32 + 42)
বা, অতিভুজ = √(9 + 16)
বা, অতিভুজ = √25
∴ অতিভুজ = 5

আমরা জানি, 
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
​∴ sinθ = 3/5

৭০০.
যদি, sec4θ - tan4θ = 5/4 হয়, তবে, sec2θ + tan2θ =?
  1. ক
    1
  2. খ
    2/5
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি, sec4θ - tan4θ = 5/4 হয়, তবে, sec2θ + tan2θ =?

সমাধান: 
sec4θ − tan4θ = 5/4
⇒ (sec2θ − tan2θ) (sec2θ + tan2θ) = 5/4
⇒ 1 × (sec2θ + tan2θ) = 5/4                    [আমরা জানি, sec2θ - tan2θ = 1]
∴ sec2θ + tan2θ = 5/4