ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয়, তাহলে cot²θ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 − sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 − 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ cot²30° = (√3)² = 3

প্রশ্ন: cosθ - sin2θ= 0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
 θ = 30° হলে 
cos30° - sin(2 ×30°)
=cos30° - sin60°
= (√3/2) - (√3/2)
=(√3 - √3)/2
= 0/2
= 0

চিত্রানুসারে tanx = 4/3 হলে,
cosx = 3/5
কিন্তু x, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায়  cosx এর মান ঋণাত্মক হবে।
∴ cosx = -(3/5)

(1-tan²60°)/(1+tan²60°) + sin²60°
= (1-(√3)²)/(1+(√3)²) + (√3/2)²
= (1-3)/(1+3) + 3/4
= -2/4 + 3/4
= 1/4

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B কোণটি সমকোণ।
এবং, tanA = লম্ব/ভূমি  = 1 
অর্থাৎ, ভূমি = 1, লম্ব = 1
ধরি, অতিভুজ = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
a² = 1² + 1²
⇒ a² = 1 + 1
⇒ a² = 2
⇒ a = √2

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ  = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2sinAcosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) 
= 2 × (1/2)
= 1

আবার,
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - ∠B
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - 1 সমকোণ
∴ ∠A + ∠C = 1 সমকোণ

প্রশ্ন: cosθ = √3/2 হলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = √3/2
বা, cosθ = cos30°
∴ θ = 30°

এখন,
cotθ
= cot30°
= √3

প্রশ্ন: 2 + tan²θ = 5 হলে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
2 + tan²θ = 5 
বা, tan²θ = 5 - 2 
বা, tan²θ = 3 
বা, tanθ = √3 
বা, tan θ = tan 60°
∴ θ = 60°

AB খুটির পাদবিন্দু B হতে মইয়ের পাদবিন্দু C এর দূরত্ব BC = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 41 ফুট।
∴ খুটির দৈর্ঘ্য AB = √(AC² - BC²) [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
∴ AB = √(41² - 9²) = 40
∴ বৈদ্যুতিক খুটির দৈর্ঘ্য = 40 ফুট

প্রশ্ন: 
​
​
​​​​সমাধান:

​

1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/15 রেডিয়ান = 180/π × π/15
= 12 ডিগ্রি

প্রশ্ন: tan 30° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
tan 30° = 1/√3
tan 60° = √3
sin 30° = 1/2 
sin 60° = √3/2

সুতরাং,  tan 30° এর মান 1/√3.

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 
⇒ tanθ = √3

যেহেতু কোণটি নেগেটিভ, তাই তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরবে।
-300 = - (3x90 + 30)
অর্থাৎ, ১ম সমকোণ চতুর্থ ভাগ,
২য় সমকোণ তৃতীয় ভাগ,
৩য় সমকোণ দ্বিতীয় ভাগ,
এবং +30 মানে প্রথম ভাগ।

প্রশ্ন: sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30° এর মান কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
sin 60° = cos 30° = √3/2
cos 60° = sin 30° = 1/2

এখন, 
sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°
= (√3/2) . (√3/2) + (1/2) . (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: sin²30° + cos²θ = 1 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²30° + cos²θ = 1
⇒ ​(1/2)² + cos²θ = 1
⇒ ​1/4 + cos²θ = 1
⇒ ​cos²θ = 1 - (1/4)
⇒ ​cos²θ = (4 - 1)/4
⇒ ​cos²θ = 3/4
⇒ ​cosθ = √3/2
⇒ ​​cosθ = ​cos30°
​∴ θ = ​30°

প্রশ্ন: 3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)² - (2/3)(sin60°)² 
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 5 × (1)² - (2/3) × (√3/2)² 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + (1/2) + 5 - (1/2)
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6

প্রশ্ন: tanθ = 3/4 হলে cosecθ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 3/4
⇒ cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ cosec²θ = 1 + cot²θ
⇒ cosec²θ = 1 + (4²/3²) 
⇒ cosec²θ = 25/9
⇒ cosecθ = 5/3

প্রশ্ন: cosecθ . secθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ . secθ
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= 1/(sinθ . cosθ)          
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)              [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= [sin²θ/(sinθ . cosθ)] + [cos²θ/(sinθ . cosθ)]
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= tanθ + cotθ 

প্রশ্ন: যদি sin θ = 1 হয়, তবে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আমরা জানি —
sin θ এর সর্বোচ্চ মান হলো 1  । 

এখন,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 1 হয় কেবল যখন θ এর মান = 90° হয়।

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 50 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন। 
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 50 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার।

এখন,
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = h/50              [∵ tan60° = √3, AB = h এবং BC = 50 মিটার]
⇒ h = 50√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 50√3 মিটার

প্রশ্ন: যদি A = π/2 এবং B = π/6 হয়, তবে sin(A + B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B)
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{(3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120° [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: যদি 2cos² θ - 1 = 0 এবং 0° < θ < 90° হয়, তাহলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2cos²θ - 1 = 0
⇒ 2cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1/2
⇒ cosθ = √(1/2)
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos 45°
⇒ θ = 45° 

প্রশ্ন: tanθ = 5/12 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 5/12
∴ লম্ব/ভূমি = 5/12
∴ অতিভুজ = √{(12)² + (5)²} = 13

প্রদত্ত রাশি = secθ - cosθ
= (13/12) - (12/13)
= (169 - 144)/156
= 25/156

প্রশ্ন: cos(θ - 30°) = 1/2 হলে, sinθ = কত?

সমাধান:
cos(θ - 30°) = 1/2 
বা, cos(θ - 30°) = cos60°
বা, (θ - 30°) = 60°
বা, θ =  60° + 30°
∴ θ = 90°

∴ sin90° = 1

প্রশ্ন: sec(2π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sec(2π + x)

আমরা জানি, 2π = 360° একটি সম্পূর্ণ চক্র

এখানে,
sec(2π + x)
= sec(360° + x) [যার অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে]
= secx

বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ² = লম্ব² + ভূমি²
= ৪০²+৯²
= ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১ = ৪১ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

প্রশ্ন: sin(- 360°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 360°)
= - sin360° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(4 × 90° + 0°)
= - (sin0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (3, 10)
এবং (x₂, y₂) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

প্রশ্ন: যদি C = 60° হয়, তাহলে (1 + tan²C)/(1 - tan²C) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
(1 + tan²C)/(1 - tan²C)
= (1 + tan²60°)/(1 - tan²60°)
= [(1 + (√3)²]/[(1 - (√3)²]
= (1 + 3)/(1 - 3)
= 4/(- 2)
= - 2 

আমরা জানি,
Sin2θ = 2tanθ/1 +tan²θ
এখানে, 2sinθ/cosθ(1+tan²θ) = 2tanθ/(1 +tan²θ) = Sin2θ

প্রশ্ন: যদি sinA = tanA হয়, তাহলে A = কত?

সমাধান:
sinA = tanA
⇒ sinA= sinA/cosA
⇒ 1 = 1/cosA
⇒ cosA = 1
⇒ cosA = cos0°
∴ A = 0°

cosec0° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে cosθ = ? 

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​a = লম্ব 
​b = ভূমি 
​
∴ ​অতিভুজ = √( লম্ব^২ + ভুমি^২)
​= √(a² + b²)
​
∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
​= b/√(a² + b²)

প্রশ্ন: যদি sinθ = √2 - cosθ হয়, তবে θ এর মান কত? যেখানে, 0 < θ < π/2.

সমাধান:
sinθ = √2 - cosθ
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

প্রশ্ন: sin45° = √2A হলে, A = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin45° = √2A
⇒ ​​1/√2 = √2A
∴ ​A = 1/2

প্রশ্ন: যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan 53° = 4/3

আমরা জানি,
8° = 53° - 45°
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)  ; [tan(x - y) = (tanx - tany)/(1 + tanx . tany)]
⇒ tan8° = {(4/3) - 1){/{(1 + (4/3)}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
⇒ tan8° = (1/3) × (3/7)
∴ tan8° = 1/7

প্রশ্ন: 2cosθ = 2 হলে, sin²θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 2
⇒ cosθ = 2/2
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°

এখন
sin²θ
=(sin0°)²
=(0)²
= 0