ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 40°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 40°)/2}
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 7, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 7
⇒ tanθ + cotθ = 7
⇒ (tanθ + cotθ)²= 7²    [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ (tanθ + cotθ)² = 49
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 49
⇒ tan²θ + cot²θ = 49 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 47

প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি? 

সমাধান: 
অনুক্রমটি হলো, cos(nπ/2) ; যেখানে n = 1, 2, 3, 4, …

এখন, 
n = 1 হলে cos(1 × π/2) = cos(π/2) = 0
n = 2 হলে cos(2 × π/2) = cos(π) = - 1
n = 3 হলে cos(3 × π/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4 হলে cos(4 × π/2) = cos(2π) = 1
n = 5 হলে cos(5 × π/2) = cos(5π/2) = 0
..............................................................

সুতরাং, তৃতীয় পদ (n = 3) এর মান = cos(3π/2) = 0

প্রশ্ন: sin{(nπ)/3} অনুক্রমটির ষষ্ঠ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/3}, n = 6 হলে,
= sin{(6π)/3}
= sin 2π = sin 360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin 0°
= 0

আমরা জানি, 
1 + tan²θ = sec²θ
1 − sec²θ = -tan²θ
sec²θ − 1 = tan²θ
sec²θ − tan²θ = 1

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
cot(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
cot(π + x) = cot(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= cotx

cosec(180° + θ) = 2
বা, - cosecθ = 2
বা, cosecθ = -2
বা, sinθ = - 1/2
বা, sin²θ = 1/4
∴ cosθ = ±√(1-(1/4))
= -√(3/4)
= -((√3)/2)

এখানে,
sin30° = AB/BC
বা,1/2 = h/(12-h)
বা,2h = 12 - h
বা, h = 4
∴ গাছটি 4 মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে, 2sinAcosA = ? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
tan A = 1
অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a
∴ অতিভুজ = √(a² + a²) = √(2a²) = √2a

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA
= 2(a/√2a) × (a/√2a)  ; [sinA = লম্ব/অতি, cosA = ভূমি/অতি]
= 2(1/√2) × (1/√2)
= 2/2 
= 1

tanθ√(1 - sin²θ)
= tanθ√(cos²θ)
= (sinθ x cosθ)/cosθ
= sinθ

প্রশ্ন: tanA = 1 হলে, cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
⇒ A = 45°

∴ cosA
= cos45°
= 1/√2

tan330°
= tan(360° - 30°)
= tan(-30)
= -(1/√3)

প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA= ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanA = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5

প্রশ্ন: cos 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,

ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
cos 0° = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = 1/√2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0 

অতএব, cos 60° এর মান = 1/2 ।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: sec{(9π / 2) + θ} = ?

সমাধান:
sec{(9π / 2) + θ}
= sec{9 × (π/2) + θ}
= sec{9 × 90° + θ}

• 9 বার 90° ঘোরার পর কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং ঐ চতুর্ভাগে secant (sec) এর মান ঋণাত্মক।
• যেহেতু π/2 এর গুণিতক একটি বিজোড় সংখ্যা (9), তাই secant অনুপাতটি cosecant (cosec) অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

∴ sec{(9π / 2) + θ} = - cosecθ।

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান: 
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ ৪৫° হবে?

সমাধান: 
 

খুটির দৈর্ঘ্য AB = ২০ মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য AC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ =৪৫°

ΔABC এ 
tanθ = AB/AC
⇒ tan45° = ২০/AC
⇒ ১ = ২০/AC
∴ AC = ২০

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

2 + tan²θ = 5
বা, tan²θ = 3
বা, tanθ = √3
= tan60°
∴ θ = 60°

cosec²θ - cot²θ = (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)
বা, 1 = (cosecθ + cotθ) 1/2
∴ cosecθ + cotθ = 2

প্রশ্ন: rsinθ = 2 এবং rcosθ = 2√3 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 2 .......... (1)
rcosθ = 2√3 .......... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (2)² + (2√3)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 4 + (4 × 3)
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = 4 + 12
⇒ r²(1) = 16 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 16
⇒ r = √16
⇒ r = 4

∴ r এর মান 4

প্রশ্ন: যদি tan A = 5/12 হয়, তাহলে cos A এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tan A = লম্ব/ভূমি = 5/12
অর্থাৎ, লম্ব = 5, ভূমি = 12

পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
​∴ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
​= (5² + 12²) 
​= (25 + 144) 
∴ অতিভুজ ​= √169 = 13

এখন,
cos A = ভূমি/অতিভুজ 
​= 12/13

প্রশ্ন: secA + tanA = 13/5 হলে (secA - tanA) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secA + tanA = 13/5

আমরা জানি,
sec²A − tan²A = 1
⇒ (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1
⇒ sec A - tan A = 1/(sec A + tan A)
⇒ sec A - tan A = 1/(13/5)
∴ sec A - tan A = 5/13

অতএব, sec A - tan A = 5/13

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১০০)° 
= ৮০° ।

প্রশ্ন: (secθ + tanθ) = 1/2 হলে (secθ - tanθ) এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
secθ + tanθ = 1/2

আমরা জানি, 
⇒ sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (1/2)(secθ - tanθ) = 1
∴ secθ - tanθ = 2

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4 ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

A = 90°
∴ B + C = 90°
বা, C = 90° - B
বা, sinC = sin(90° - B)
= cosB
∴ sin²B + sin²C
= sin²B + cos²B
= 1

প্রশ্ন: A = π/2 এবং B = π/6 হলে, sin(A + B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B) 
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120°     [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2