ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: tanθ = x/y হলে, cosecθ এর মান কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
tanθ = sinθ/cosθ = x/y 

ধরি, ত্রিভুজের বিপরীত বাহু = x, সংলগ্ন বাহু = y
তাহলে, পিথাগোরাস অনুযায়ী অতিভুজ হবে,
⇒ অতিভুজ = √(x² + y²)

∴ cosecθ = 1/sinθ
= অতিভুজ/বিপরীত বাহু
= √(x² + y²)/x 

∴ cosecθ = √(x² + y²)/x

প্রশ্ন: x = siny হলে x এর সর্বনিম্ন মান কত?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
​ sin ফাংশনের পরিসর হল - 1 ≤ siny ≤ 1
​এর অর্থ হল siny এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান - 1। 

​সুতরাং siny সর্বনিম্ন মান - 1

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tan²θ - 1 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 

∴ tan²θ - 1 = 3 - 1 = 2

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান: 
cot0° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

অন্যদিকে, 
sin0° এর মান = 0
cos0° এর মান = 1
এবং tan0° এর মান = 0

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 20°) = 1/2
⇒ sin(θ + 20°) = sin30°
⇒ θ + 20° = 30°
⇒ θ = 30° - 20°
∴ θ = 10°

∴ θ এর মান 10° হবে।

প্রশ্ন: tanB = 4/3 হলে, cosB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanB = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, cosB = ভূমি/অতিভুজ = 3/5

প্রশ্ন: tanA.cosA এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tanA.cosA
= (sinA/cosA)cosA
= sinA

প্রশ্ন: যদি 0° < θ < 90° হয়, এবং cos2θ = 1/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
cos2θ = 1/2
⇒ cos2θ = cos 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

সুতরাং, θ এর মান হলো 30°

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, cosθ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
sinθ = 4/5

∴ cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (4/5)²}
= √{1 - (16/25)}
= √(25 - 16)/25
=√(9/25)
= 3/5

প্রশ্ন: cosecθ+ cotθ = 5/6 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 5/6 
⇒ [(cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)]/(cosecθ - cotθ) = 5/6         
⇒ (cosec²θ - cot²θ)/(cosecθ - cotθ) = 5/6 
⇒ 1/ (cosecθ - cotθ) = 5/6                                      [∵ cosec²θ - sec²θ = 1]
⇒ cosecθ - cotθ = 6/5 

প্রশ্ন: যদি tan²A = 1/3 হয়, তবে cos⁴A + sin⁴A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tan²A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3
⇒ tan30° = 1/√3
∴ A = 30°

প্রদত্ত রাশি = cos⁴A + sin⁴A
= cos⁴(30°) + sin⁴(30°)
= (√3/2)⁴ + (1/2)⁴
= 9/16 + 1/16
= (9 + 1) / 16
= 10/16
= 5/8

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির মোট উচ্চতা কত? 

সমাধান:

মনেকরি, খুঁটির মোট উচ্চতা = x মিটার
দেওয়া আছে, খুঁটিটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে গেছে।
∴ খুঁটির দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা = 9 মিটার
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 9) মিটার
খুঁটির গোড়া থেকে ভূমিতে স্পর্শ বিন্দুর দূরত্ব = 12 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য)² = (দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা)² + (ভূমির দূরত্ব)²
⇒ (x - 9)² = 9² + 12²
⇒ x² - 18x + 81 = 81 + 144
⇒ x² - 18x + 81 = 225
⇒ x² - 18x + 81 - 225 = 0
⇒ x² - 18x - 144 = 0
⇒ x² - 24x + 6x - 144 = 0
⇒ x(x - 24) + 6(x - 24) = 0
⇒ (x - 24)(x + 6) = 0

হয়, x - 24 = 0 ⇒ x = 24
অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = - 6 (উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না)
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 24 মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin90° = 1
cos0° = 1
cosec90° = 1

দেওয়া আছে,
θ+ϕ = π/2
⇒ θ = π/2 - ϕ
⇒ sinθ = sin(π/2 - ϕ)
⇒ 1/2 = cosϕ
⇒ cos²ϕ = 1/4
⇒ 1 - sin²ϕ = 1/4
⇒ 1 - 1/4 = sin²ϕ
⇒ sin²ϕ = 3/4
∴ sinϕ = √3/2

প্রশ্ন: যদি A = π/2 ও B = π/6 হয়, তাহলে sin(A + B) = কত?

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6)
= sin (2π/3)
= sin 120°
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: যদি cosec²θ + cot²θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ = 1 + cot²θ

দেওয়া আছে,,
cosec²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 1 + cot²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 2 cot²θ = (5/3) -1
⇒ 2cot²θ = 2/3
⇒ cot²θ = 2/6
⇒ cot²θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, 
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত 
∴ tan 45° = AB/AC 
বা, 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত ।

প্রশ্ন: P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: secθ + tanθ = m, হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = m ................. (1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m ................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
secθ + tanθ = m
secθ - tanθ = 1/m
2tanθ = m - (1/m)
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
∴ tanθ = (m² - 1)/2m

প্রশ্ন: cot²45° sin60° tan30° tan²60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cot²45° sin60° tan30° tan²60°
= 1² × (√3/2) × (1/√3) × (√3)² ; [cot45° = 1, sin60° = √3/2, tan30° = 1/√3, tan60° = √3]
= (√3/2) × (1/√3) × 3
= 3/2

প্রশ্ন: যদি sec(θ) = 2 হয়, তবে cot(θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ) = 2
⇒ cos(θ) = 1/2

আমরা জানি,
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
⇒ sin²(θ) = 1 - (1/2)²
⇒ sin²(θ) = 1 - 1/4
⇒ sin²(θ) = 3/4
⇒ sin(θ) = √(3/4)
∴ sin(θ) = √3/2

এখন,
cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)
= (1/2)/(√3/2)
= 1/√3 

∴ cot(θ) = 1/√3

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6) [এখানে n = 5]

এখন,
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (2 × 90° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান ।

প্রশ্ন: যদি sin θ = √3/2 হয়, তবে cos θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sin θ = √3/2
⇒ sin θ = sin 60°
∴ θ = 60°

এখন, cos θ
= cos 60°
= 1/2

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 4/3 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec⁡²θ - cot⁡²θ = 1
⇒ (cosec⁡θ + cot⁡θ)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (4/3)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1/(4/3)
∴ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 3/4

সুতরাং, cosecθ - cotθ এর মান 3/4। 

প্রশ্ন: cos(180° + θ) = ?

সমাধান:

cos(180° + θ) এর মানে হল cos তৃতীয় ভাগে।
তাই cos এর মান ঋণাত্নক হবে।
∴ cos(180° + θ) = - cosθ

প্রশ্ন: (5, 4) এবং (2, 0) বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি tan θ = 1 হয়, তাহলে sin θ + cos(- θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan θ = 1
⇒ tan θ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রদত্ত রাশি, 
 sinθ + cos(- θ)
= sinθ + cosθ  ; [cos(- θ) = cosθ] 
= sin45° + cos45°
= (1/√2) + (1/√2)
= (1 + 1)/√2
= 2/√2
= √2

∴ sinθ + cos(- θ) = √2

cosec20°
= 1/sin20°
= 1/sin2×10°
= 1/{(2 tan10°)/(1 + tan²10°)}
= (1 + tan²10°)/2tan10°
= (1 + p²)/2p

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল -1।

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [-1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ = 1/cosecθ
cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ
secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ