ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 5 হলে, tanA =?

সমাধান: 
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 5 
বা, (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA ) = (5 + 1)/(5 - 1)
বা, 2sinA/2cosA = 6/4
বা, tanA = 3/2 

প্রশ্ন: secθ + tanθ = x তাহলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = x ........(1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ x(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/x ........(2)

এখন, (1) হতে (2) বিয়োগ করলে পাই,
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = x - (1/x)
⇒ 2 tanθ = (x² - 1)/x
∴ tanθ = (x² - 1)/2x

প্রশ্ন: ১৫ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 

ধরি, মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১৫ ফুট।
তাহলে, দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা (লম্ব) = h ফুট।
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = (১৫ - h) ফুট।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৫ - h)
বা, (১৫ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৫
বা, h = ১৫/৩ 
∴ h = ৫

সুতরাং, মাটি থেকে ৫ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

আমরা জানি, sin^-1x + sec^-11/x = π/2

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, sinθ = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
বা, cot(θ - 30°) = cot60°
বা, θ - 30°= 60°
বা, θ = 60° + 30°
∴ θ = 90°

then, sin90° = 1

প্রশ্ন: A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan²A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 30°
আমরা জানি, tan30° = 1/√3

∴ 2tanA/(1 + tan²A)
 = 2 × (1/√3)/{1 + (1/√3)²}
= (2/√3)/(1 + 1/3)
= (2/√3)/(4/3)
= (2/√3) × (3/4)
= 6/(4√3)
= 3/(2√3)
= 3√3/(2 × 3) [হর ও লবকে √3 দ্বারা গুণ করে] 
= (√3)/2

বিকল্প সমাধান:
আমরা জানি, 2tanA/(1 + tan²A) = sin2A
∴ A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan²A)
= sin(2 × 30°) = sin60° = (√3)/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
সাইন ফাংশনের ক্ষেত্রে,
sin(180° - θ) = sin θ

এখন θ = 1° হলে, 
⇒ sin(180° - 1°) = sin 179°
⇒ sin 179° = sin 1°
অর্থাৎ sin 1° = sin 179° এর সমান।

অন্য অপশনগুলো ভুল। 

সঠিক উত্তর: খ) sin 1° = sin 179°

সম্পূরক কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৫৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৫৫)° = ১২৫°

প্রশ্ন: sin1260° = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= sin1260°
= sin(14 × 90° + 0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: 1230° কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান:

1230° = (3 × 360°) + 150°
এখানে, (3 × 360°) তিনটি পূর্ণ ঘূর্ণন যা কোণটিকে আবার শুরুর অবস্থানে (ধনাত্মক X-অক্ষের ওপর) ফিরিয়ে নিয়ে আসে।
অবশিষ্ট কোণটি হলো 150°, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 150°।
যেহেতু 90° থেকে 180° পর্যন্ত কোণ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকে, তাই 150° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

∴ 1230° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে।

প্রশ্ন: sec²θ + cosec²θ = ?
​
​সমাধান:
​sec²θ + cosec²θ
​= (1/cos²θ) + (1/sin²θ)
​= (sin²θ + cos²θ)/(cos²θ. sin²θ)
​= 1/(cos²θ. sin²θ)
​= (1/cos²θ). (1/sin²θ)
​= sec²θ. cosec²θ

প্রশ্ন: (- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান: 
​
​
(- 520°) = (- 450° - 70°) = (- 5 × 90° - 70°) 
​
(- 520°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 520°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
​ 
সুতরাং, (- 540°) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

প্রশ্ন: 55° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন

সমাধান:
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
1° = π/180° রেডিয়ান
∴ 55° = (π × 55°)/180° রেডিয়ান
= 11π/36  রেডিয়ান

প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5 হয়, তাহলে cosA =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
sin A = 3/5
∴ sin²A = (3/5)² = 9/25

আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1
⇒ cos²A = 1 - sin²A 
⇒ cos²A = 1 - (9/25)
⇒ cos²A = (25 - 9)/25
⇒ cos²A = 16/25
⇒ cos A = √(16/25)
∴ cos A = 4/5

প্রশ্ন: যদি 5cot²θ - cosec²θ = 3 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
5cot²θ - cosec²θ = 3  
⇒ ​5cot²θ - (1 + cot²θ) = 3 [cosec²θ = 1 + cot²θ]
⇒ ​5cot²θ - 1 - cot²θ = 3
⇒ ​4cot²θ - 1 = 3
⇒ ​4cot²θ = 3 + 1
⇒ ​4cot²θ = 4
⇒ ​cot²θ = 4/4
⇒ ​cot²θ = 1
⇒ ​cotθ = √1
⇒ ​cotθ = 1
⇒ ​​cotθ = cot 45° 
​∴ θ = 45°

অতএব, θ এর মান হলো 45°।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান: 
ক) sin181° = sin(180 + 1)° = - sin1°
খ) sin179° = sin(180 - 1)° = sin1°
গ) sin180° = 0; ∴ sin1° > sin180°
ঘ) sin1° > sin0° > sin180°

প্রশ্ন: tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ = 1/3 

আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 1 এবং ভূমি = 3 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 1² + 3² 
⇒ (অতিভুজ)² = 1 + 9
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 3/√10

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার 1/√3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা = h
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য = h × (1/√3)
আমরা জানি, সূর্যের উন্নতি কোণ θ হলে,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tanθ = AB/BC 
⇒ tanθ = h/(h/√3)
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
সুতরাং, সূর্যের উন্নতি কোণ 60°।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

2sin²θ – 3cos θ = 0
2(1-cos²θ) – 3cosθ= 0
বা, 2 - 2cos²θ - 3cosθ= 0
বা, -2cos²θ – 3cosθ + 2= 0
বা, -2cos²θ - 4cosθ + cosθ + 2= 0
বা, -2cosθ(cosθ +2) + 1(cosθ + 2) = 0
বা, (cosθ +2) (-2cosθ +1) = 0
বা, (cosθ +2) = 0 ; (-2cosθ +1) = 0
বা, Cosθ ≠ -2 cosθ = 1/2
বা, θ = cos^-1(1/2)
বা, θ = 60°

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, ‍secθ এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
sinθ = 4/5 
⇒ (sinθ)² = (4/5)²
⇒ sin²θ = 16/25
⇒ 1 - cos²θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos²θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos²θ
⇒ 9/25 = cos²θ
⇒ (3/5)² = cos²θ
⇒ cosθ = 3/5
⇒ 1/secθ = 3/5
∴ secθ = 5/3

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}
যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।
আবার,
যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

প্রশ্ন: sin60° cos30° + sin30° cos60° = ?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sin 60° = √3/2, sin 30° = 1/2,
cos 60° = 1/2 and cos 30° = √3/2

এখন,
sin60° cos30° + sin30° cos60°
(√3/2) × (√3/2) + (1/2) × (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: cotθ = 3/4 হলে, tan²θ + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 cotθ = 3/4

আমরা জানি,
tanθ = 1/cotθ 
= 1/(3/4)
= 4/3
∴ tan θ = 4/3

এখন, 
tan²θ + 1
= (4/3)2 + 1
= (16/9) + 1
= (16 + 9)/9
= 25/9

সুতরাং, tan²θ + 1 = 25/9

প্রশ্ন: 42 ফুট লম্বা একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেলো যে তা সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

চিত্রে AB = 42 ফুট  
এবং AD = DC = 42 - BD

প্রশ্নমতে,
sin 30° = BD/DC
⇒ 1/2 = BD/(42 - BD)
⇒ 2BD = 42 - BD
⇒ 3BD = 42
⇒ BD = 42/3 = 14 ফুট  

প্রশ্ন: sin{(5π/2) + θ} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin{(5π/2) + θ}
= sin{5 × (π/2) + θ}
= sin{5 × 90° + θ}
এখানে, 90° করে 5 বার ঘুরে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। আমরা জানি, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে sine এর মান ধনাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ধনাত্মক (+)।
আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর সাথে '5' যা একটি বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই sine অনুপাতটি পরিবর্তিত হয়ে cosine হবে।

অর্থাৎ, sin{5 × 90° + θ} = cosθ
∴ sin{(5π/2) + θ} = cosθ

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 16°) = 1/2 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে θ = কত?

সমাধান:
sin(θ + 16°) = 1/2
⇒ sin(θ + 16°) = sin30°
⇒ θ + 16° = 30°
⇒ θ = 30° - 16°
∴ θ = 14°

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ হয় এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 তাহলে tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রদত্ত রাশি, 
tanθ = tan30° = 1/√3

প্রশ্ন: 18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটি মাটি হতে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

সমাধান: 

মনে করি, 
খুঁটিটি মাটি হতে h ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল। 
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - h) ফুট 

এখন, 
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ 
বা, Sin30° = h/(18 - h) 
বা, 1/2 = h/(18 - h) 
বা, 18 - h = 2h 
বা, 2h + h = 18 
বা, 3h = 18 
বা, h = 18/3 
∴ h = 6 

∴ খুঁটিটি মাটি হতে 6 ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল।