ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: rsinθ = 5/2 এবং rcosθ = 5√3/2 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 5/2 .......... (1)
rcosθ = 5√3/2 .......... (2)
এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (5/2)² + (5√3/2)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 25/4 + (25 × 3)/4
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = (25 + 75)/4
⇒ r²(1) = 100/4 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 25
⇒ r = √25
⇒ r = 5
∴ r এর মান 5

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 51 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 51 মিটার
এখন, 
∆AOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/51
বা, AB√3 = 51
বা, AB = 51/√3
বা, AB = 51√3/(√3.√3)
বা, AB = 51√3/3
∴ AB = 17√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 17√3 মিটার।

দেওয়া আছে,
SinA + Sin²A = 1
বা, SinA = 1 - Sin²A
বা, SinA = cos²A
এখন, Cos²A + Cos⁴A
= Cos²A + (Cos²A)²
= Cos²A + Sin²A
= 1

sinθ+cosθ / sinθ−cosθ = 7
⇒ sinθ+cosθ+sinθ−cosθ / sinθ+cosθ-sinθ+cosθ = 7+1 / 7-1 [যোজন বিয়োজন]
⇒ 2sinθ / 2cosθ = 8/6
⇒ tanθ = 4/3
tan²θ + 1 = sec²θ
16/9 + 1 = sec²θ
25/9 = sec²θ
∴ secθ = ± 5/3

প্রশ্ন: tanθ = 5/12 হলে cosecθ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 5/12
⇒ cotθ = 12/5

আমরা জানি,
cosec²θ − cot²θ = 1
⇒ cosec²θ = 1 + cot²θ
⇒ cosec²θ = 1 + (12/5)²
⇒ cosec²θ = 1 + (144/25)
⇒ cosec²θ = (25 + 144)/25
⇒ cosec²θ = 169/25
⇒ cosecθ = √(169/25)
∴ cosecθ = 13/5

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sinθ + cosθ = √2
⇒ (sinθ + cosθ)² = (√2)²
⇒ sin⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ + cos⁡²θ = 2
⇒ sin⁡²θ +  cos⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ
⇒ 1 + 2sin⁡θcos⁡θ = 2  ; [sin⁡²θ +  cos⁡²θ = 1]
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 2 - 1
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 1
⇒ sin⁡2θ = 1   ; [2sin⁡θcos⁡θ = sin⁡2θ ]
⇒ sin⁡2θ = sin⁡90°
⇒ 2θ = 90°
⇒ θ = 90°/2
∴ θ = 45°

sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: sin⁡θ = 12/13 হলে, cos⁡θ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (12/13)² + cos²θ = 1
⇒ (144/169) ​+ cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 − (144/169)
⇒ cos²θ = 25/169
⇒ cosθ = √(25/169)
⇒ cosθ = 5/13 [ বর্গমূল করে]

প্রশ্ন: A = 30° হলে, sin(3A/2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 30°

এখন, 
sin(3A/2) 
= sin(3 × 30°)/2
= sin45°
= 1/√2

প্রশ্ন: sin45° . cos0° . tan60° . cosec60°  মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, 
sin45° . cos0° . tan60° . cosec60°
= (1/√2) × 1 × √3 × (2/√3)
= (1/√2) × 2
= √2

প্রশ্ন: A = 45° হলে, (tanA + cotA)/(tan²A + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 45°

প্রদত্ত রাশিটি = (tanA + cotA)/(tan²A + 1)
​= (tan45° + cot45°)/(tan²45° + 1)
​= (1 + 1)/(1² + 1)
​= 2/(1 + 1)
​= 2/2
​= 1

এখানে ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 40² +9²
⇒ AC² = 1681
∴ AC = 41

{(π/2) - θ)} কোণ বা পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < θ < π/2 ):sin {(π/2) - θ)} = cosθ
cos{(π/2) - θ)} = sinθ
tan{(π/2) - θ)} = cot θ
cot{(π/2) - θ)} = tanθ
cosec{(π/2) - θ)} = secθ
sec{(π/2) - θ)} = cosecθ

sin 120° = sin(90° + 30°)
= cos 30°
= √3/2 

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান: 
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²  ; [বর্গ করে]
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 75 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 75 মিটার

এখন,
ΔAOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/75
বা, AB√3 = 75
বা, AB = 75/√3
বা, AB = 75√3/(√3.√3)
বা, AB = 75√3/3
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 25√3 মিটার।

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 9 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করেছে। মইটির অন্য প্রান্ত ভূমি থেকে কত উচ্চতায় দেয়াল স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AB = 15 মিটার
দেয়াল থেকে ভূমি পর্যন্ত দূরত্ব, BC = 9 মিটার

ধরি, দেয়ালের উচ্চতা = h মিটার

পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
h² + 9² = 15²
⇒ h² + 81 = 225
⇒ h² = 225 − 81 = 144
⇒ h = √144 = 12

∴ দেয়ালের উচ্চতা = 12 মিটার

প্রশ্ন: cosec60° + sec30° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
cosec60° + sec30°
= (2/√3) + (2/√3)
= 2 × (2/√3)
= 4/√3

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin0° = 0
cos0° = 1
cos90° = 0

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

প্রশ্ন: ∆ABC এর ∠B = 90° AB = 3 সে.মি. এবং BC = 4 সে.মি. হলে, sinC এর মান কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, 
AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি.
এবং ∠B = 90°
সুতরাং, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
= 32 + 4²
= 9 + 16 = 25
 ⇒ AC = √25 
∴ AC = 5 সে.মি.

এখন ∠C-এর সাইন মান,
sin C = বিপরীত বাহু/অতিভুজ
∠C-এর বিপরীত বাহু = AB = 3 সে.মি.
এবং অতিভুজ = AC = 5 সে.মি.
সুতরাং, sin C = 3/5

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ? 

সমাধান:
1 + tan²θ = 4 
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3
⇒ tanθ =√3
⇒ tanθ = tan60°
θ = 60°

প্রশ্ন: যদি sin(θ - 30°) = √3/2 হয়, তাহলে sin²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ - 30°) = √3/2
⇒ sin(θ - 30°) = √3/2
⇒ sin(θ - 30°) = sin 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

এখন,
sin²θ
= (sin 90°)²
= (1)²
= 1

= (tan²A - (sec²A -1))/(tanA(secA + 1))
= (tan²A - tan²A)/(tanA(secA + 1)) [sec²A - 1 = tan²A]
= 0

m² - n²
= (tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²
= 4tanA.sinA {(a + b)² - (a - b)² = 4ab}
= 4√(tan²A.sin²A)
= 4√ {tan²A(1- cos²A)}
= 4√ (tan²A- tan²A .cos²A)
= 4√(tan²A - sin²A)
= 4√mn

প্রশ্ন: যদি, sec²θ + tan²θ = 2/5 হয়, তবে, sec⁴θ - tan⁴θ =?

সমাধান: 
sec⁴θ − tan⁴θ 
= (sec²θ − tan²θ)(sec²θ + tan²θ)
= 1 × (sec²θ + tan²θ)                 [আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1]
= 2/5

প্রশ্ন: একটি মই 20 মিটার দীর্ঘ একটি দেয়ালে 45° কোণে স্পর্শ করে আছে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
 
ধরি 
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = ?
দেয়ালের  দৈর্ঘ্য AB = 20

আমরা জানি,
Sin∠ACB = AB/AC 
⇒ 1/√2 = 20/AC
⇒ AC = 20√2

সুতরাং, মইয়ের দৈর্ঘ্য 20√2 মিটার

A = 15° হলে  sin3A = cos3A হবে
sin45° = 1/√2 
cos45°= 1/√2

প্রশ্ন: 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0
আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ y = mx + c (যেখানে m = ঢাল)

এখন, প্রথম রেখার ঢাল:
3x + y - 5 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 3x + 5
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল m₁ = - 3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
x - 3y + 7 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 3y = x + 7
⇒ y = (1/3)x + 7/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = 1/3

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂ = (- 3) × (1/3) = - 1

উল্লেখ্য: রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin30° = 1/2
cos60° = 1/2

প্রদত্ত রাশি, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2) 
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

প্রশ্ন: সরল করুন: cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°
= 0 × 0 × (2/√3) + 2/√3  ; [cot90° = 0, tan0° = 0, sec30° = 2/√3 এবং cosec60° = 2/√3] 
= 0 + 2/√3
= 2/√3

xsin45º=ycosec30º
⇒x.(1/√2) = y.2
⇒ x/y = 2√2
⇒(x/y)⁴ = (2√2)⁴
∴(x/y)⁴ = 64 = 4³

প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 12/13 হয়, তবে cot A এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 12/13

আমরা জানি
cos²A = 1 - sin2A
cos²A = 1 - (12/13)²
cos²A = 1 - 144/169
cos²A = (169 - 144)/169
cos²A = 25/169
cos²A = (5/13)²
cosA = 5/13

cotA = cosA/sinA
= (5/13)/(12/13)
= (5/13) × (13/12)
= 5/12

প্রশ্ন:

সমাধান:
{(1 - tan²60°)/(1 + tan²60°)} + sin²60°
= {(1 - (√3)²)/(1 + (√3)²)} + (√3/2)² [∵ tan60° = √3, sin60° = √3/2]
= {(1 - 3)/(1 + 3)} + 3/4
= (- 2/4) + (3/4)
= (- 2 + 3)/4
= 1/4

(cosA – sinA)/(cosA + sinA) = (1 - √3)/ (1 + √3)
(cosA – sinA +cosA + sinA)/ (cosA – sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/ (1 - √3 - 1 - √3)
2cosA/-2sinA = 2/-2√3
cosA/sinA = 1/√3
cotA = 1/√3
cotA = cot60°
A = 60°

প্রশ্ন: tan(θ + 30°) = √3 হলে, cosθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan(θ + 30°) = √3 
⇒ tan(θ + 30°) = tan60°
⇒ (θ + 30°) = 60°
⇒ θ = 60° - 30°
⇒ θ = 30°

∴ cosθ = cos30° = √3/2

cos2θ = 1 - (tan²)θ/1 + (tan²)θ
= (1 - m²)/(1 + m²)