পরিমিতি

PrepBank · পাতা ৯ / ২১ · ৮০১–৯০০ / ২,১১০

৮০১.

একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 12 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
ক) 1528 ঘন সে.মি.
খ
খ) 1848 ঘন সে.মি.
গ
গ) 1668 ঘন সে.মি.
ঘ
ঘ) 1768 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 12 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা h = 12 সে.মি.
ভূমির ব্যাস 14 সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 সে.মি.
সমবৃত্তক বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 7² × 12
= (22/7) × 49 × 12
= 1848 ঘন সে.মি.

৮০২.

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) 300%
খ
খ) 600%
গ
গ) 800%
ঘ
ঘ) 900%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
মনে করি,
১ম বর্গের বাহু = x একক
২য় বর্গের বাহু = 3x একক

১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = (3x)² = 9x² বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 9x² - x² = 8x²

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (8x²/x²) × 100 = 800%

৮০৩.

একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার?

ক
ক) ৪০ মিটার
খ
খ) ১৬ মিটার
গ
গ) ২০ মিটার
ঘ
ঘ) ১৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
∴ প্রস্থ = ক × (২/৫) = ২ক/৫ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(ক + ২ক/৫) = ২ (৭ক/৫) = ১৪ক/৫ মিটার

শর্তমতে,
১৪ক/৫ = ১১২
বা, ১৪ক = ১১২ × ৫
বা, ১৪ক = ৫৬০
বা, ক = ৫৬০/১৪
∴ ক = ৪০ মিটার

ঘরটির প্রস্থ = (২ × ৪০)/৫ মিটার = ১৬ মিটার

৮০৪.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত?

ক
21 সে.মি.
খ
27 সে.মি.
গ
33 সে.মি.
ঘ
36 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত

সমাধান:
ধরি,
উচ্চতা x সে.মি.
ভূমি 2x + 6 সে.মি.

(1/2) x (2x + 6) = 810
⇒ 2x² + 6x = 1620
⇒ 2x² + 6x - 1620 = 0
⇒ x²+ 3x - 810 = 0
⇒ x²+ 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x (x + 30) - 27 (x + 30) = 0
⇒ (x + 30) (x - 27) = 0
∴ x = -30 যা গ্রহণযোগ্য নয়।
উচ্চতা x = 27 সে.মি.

৮০৫.

আয়তাকার একটি ফার্মের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। ফার্মের পরিচর্যা জনিত কারণে ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
924 বর্গমিটার
খ
1024 বর্গমিটার
গ
1264 বর্গমিটার
ঘ
1432 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফার্মের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। ফার্মের পরিচর্যা জনিত কারণে ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর ফার্মের ক্ষেত্রফল = 200 × 4 = 800 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 4) × 4 = 464 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (800 + 464) বর্গমিটার
= 1264 বর্গমিটার

৮০৬.

একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে, উক্ত চৌবাচ্চায় কত লিটার পানি ধরবে?

ক
ক) ২৭০০ লিটার
খ
খ) ২৭০০০ লিটার
গ
গ) ৫৪০০০ লিটার
ঘ
ঘ) ২৭ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে, উক্ত চৌবাচ্চায় কত লিটার পানি ধরবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চার আয়তন = পানির আয়তন
চৌবাচ্চার আয়তন = (৩)^৩= ২৭ মিটার^৩
আমরা জানি,
১ মিটার^৩ = ১০০০ লিটার
∴ ২৭ মিটার^৩= ২৭০০০ লিটার

৮০৭.

দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3:2 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত কত?

ক
ক) 9:4
খ
খ) 27:8
গ
গ) 12:4
ঘ
ঘ) 27:4

ব্যাখ্যা

মনে করি,
গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3r, 2r
তাদের আয়তনের অনুপাত = {4/3 π (3r)³} / {4/3 π (2r)³}
= 27r³ / 8r³
= 27/8
= 27:8

৮০৮.

একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান। বস্তুর আয়তন ৫১২ ঘন সে.মি. হলে, তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮০ বর্গ সে.মি.
খ
৪৪ বর্গ সে.মি.
গ
৩৬ বর্গ সে.মি.
ঘ
৬৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান। বস্তুর আয়তন ৫১২ ঘন সে.মি. হলে, তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = ক হলে, ঘনবস্তুর বস্তুর আয়তন = ক^৩

প্রশ্নমতে,
ক^৩= ৫১২
⇒ ক^৩= ৮^৩
∴ ক = ৮

∴ ঘনবস্তুর একটি তলের ক্ষেত্রফল = ৮^২ = ৬৪ বর্গ সে.মি.

৮০৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
ক) ১২ মিটার
খ
খ) ৮ মিটার
গ
গ) ৬ মিটার
ঘ
ঘ) ৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে
3a = 12√3
⇒ a = 4√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (4√3)2
= (√3/4) × 16 × 3
= 12√3

সমবাহু ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h

এখন,
(1/2)ah = 12√3
⇒ (1/2) × 4√3 × h = 12√3
⇒ 2√3h = 12√3
⇒ h = 12√3/2√3
⇒ h = 6

সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা ৬ মিটার।

৮১০.

কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

ক
540 ঘন সে.মি.
খ
524 ঘন সে.মি.
গ
516 ঘন সে.মি.
ঘ
512 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
∴ a = 8

ঘনকটির আয়তন = a³
= 83
= 512 ঘন সে.মি.

৮১১.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১২ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
২০ মি.
খ
২৪ মি.
গ
২৮ মি.
ঘ
৩২ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১২ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ১২ মি.

আমরা জানি
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৪৪ = (১/২) × ১২ × ভূমি
⇒ ৬ × ভূমি = ১৪৪
⇒ ভূমি = ১৪৪/৬
⇒ ভূমি = ২৪ মি.

৮১২.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
১০০ বর্গমিটার
খ
১৪০ বর্গমিটার
গ
১৬০ বর্গমিটার
ঘ
১৯০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১২ মিটার, প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১২ + ৮) মিটার
= ২ × ২০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = পরিসীমা × উচ্চতা
= (৪০ × ৩.৫) বর্গমিটার
= ১৪০ বর্গমিটার

৮১৩.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি। ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
120 বর্গ সে.মি
খ
132 বর্গ সে.মি
গ
145 বর্গ সে.মি
ঘ
160 বর্গ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি। ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য = a সে.মি
আয়তাকার ঘনবস্তুটির প্রস্থ = b সে.মি ও
আয়তাকার ঘনবস্তুটির উচ্চতা = c সে.মি হলে
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ সে.মি = ?

∴ শর্তমতে,
a + b + c = 17 সে.মি এবং
√(a² + b² + c²) = 12
বা, a² + b² + c² = 144

এখন,
(a + b + c)² = (17)²
বা, (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 289
বা, 144 + 2(ab + bc + ca) = 289
বা, 2(ab + bc + ca) = 289 - 144
∴ 2(ab + bc + ca) = 145

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 145 বর্গ সে.মি।

৮১৪.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ২৫ সে.মি., ২০ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি.। এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) ৭০৫০
খ
খ) ৭৫০০
গ
গ) ২২০০
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ২৫ সে.মি., প্রস্থ, b = ২০ সে.মি. এবং উচ্চতা, c = ১৫ সে.মি.।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab+bc+ca)
= ২(২৫×২০+২০×১৫+১৫×২৫) বর্গ সে.মি.
= ২৩৫০ বর্গ সে.মি.
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

৮১৫.

একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 24 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

ক
20 সে.মি.
খ
36 সে.মি.
গ
30 সে.মি.
ঘ
25 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 24 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 24 সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
l² = r² + h²
বা, l² = (7)² + (24)²
বা, l = √625
∴ l = 25

∴ হেলানো উচ্চতা = 25 সে.মি.

৮১৬.

একটি ঘনকে কয়টি সমকোণ থাকে?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৮
গ
গ) ১৬
ঘ
ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা

একটি ঘনকে আছে ৬ টি বর্গক্ষেত্র। প্রতিটি বর্গক্ষেত্র ৪ সমকোণ। তাহলে ঘনকের ২৪ টি সমকোণ আছে।

৮১৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু x হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?

ক
2x
খ
4x
গ
x²
ঘ
2x²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু x হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু = x একক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × x একক
= x² বর্গ একক

৮১৮.

একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

ক
ক) 216 ঘন সে.মি.
খ
খ) 220 ঘন সে.মি.
গ
গ) 200 ঘন সে.মি.
ঘ
ঘ) 212 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6 (a²+ a² + a²) = 6a² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
6a² = 216
বা, a²= 216/6
বা, a² = 36
∴ a = 6 সে.মি.

∴ ঘনকটির আয়তন = a³
= 6³
= 216 ঘন সে.মি.

৮১৯.

যদি ১৬ ফুট দীর্ঘ এবং ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি হল রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যাবে তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গ ফুট?

ক
৩২০ বর্গফুট
খ
৪৮০ বর্গফুট
গ
৫২০ বর্গফুট
ঘ
৫৪০ বর্গফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ১৬ ফুট দীর্ঘ এবং ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি হল রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যাবে তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গ ফুট?

সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১২ বর্গফুট = ১৯২ বর্গফুট

৪০% মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯২ বর্গফুট
∴ ১% মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯২/৪০ বর্গফুট
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৯২ x ১০০)/৪০ বর্গফুট
= ৪৮০ বর্গফুট

৮২০.

১.২৫৬ কি.মি. রাস্তা অতিক্রম করতে একটি চাকা ২০০ বার ঘুরে। চাকার ব্যাসার্ধ কত?(π = ৩.১৪)

ক
১ মিটার
খ
১.৫ মিটার
গ
২ মিটার
ঘ
২.৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১.২৫৬ কি.মি. রাস্তা অতিক্রম করতে একটি চাকা ২০০ বার ঘুরে। চাকার ব্যাসার্ধ কত?(π = ৩.১৪)

সমাধান:
চাকার পরিধি = ১২৫৬/২০০ = ৬.২৮ মিটার
ধরি,
চাকার ব্যাসার্ধ = r

∴ ২πr = ৬.২৮
r = ৬.২৮/(২π)
= ১ মিটার

৮২১.

কোন কোণকের উচ্চতা 15 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত?

ক
21 সে.মি
খ
17 সে.মি
গ
7 সে.মি
ঘ
23 সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 15 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 15 সে.মি
এবং
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(15² + 8²) সে.মি
= √(225 + 64) সে.মি
= √(289) সে.মি
= 17 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 17 সে.মি।

৮২২.

যদি একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3r হয়, তবে তার আয়তন কত?

ক
36πr³
খ
72.75r³
গ
27πr³
ঘ
106.25r³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3r হয়, তবে তার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ = 3r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³
= (4/3) × π(3r)³
= (4/3) × π × 27 × r³
= 36πr³

৮২৩.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত নিচের কোনটি?

ক
ক) ২২ঃ৭
খ
খ) ৭ঃ২২
গ
গ) ৪৪ঃ৭
ঘ
ঘ) ৭ঃ৪৪

ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধঃ পরিধি = r : 2πr = 1 : 2×22/7 = 1 : 44/7 = 7 : 44.

৮২৪.

একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩মি. ও পিছনের চাকার পরিধি ৪মি.। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার থেকে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?

ক
ক) ১২৫০ মিটার
খ
খ) ১৩০০ মিটার
গ
গ) ১১০০ মিটার
ঘ
ঘ) ১২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

ধরি, x মি. গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
x মি. যেতে সামনের চাকা ঘোরে x/৩ বার এবং পিছনের চাকা ঘোরে x/৪ বার।
প্রশ্নমতে, x/৩ - x/৪ = ১০০
⇒ (৪x - ৩x)/১২ = ১০০
⇒ x = ১২০০
∴ নির্ণেয় দূরত্ব = ১২০০ মিটার।

৮২৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২০% ও ১০% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
২৬%
খ
৩২%
গ
৩৫%
ঘ
৪২%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২০% ও ১০% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক
প্রস্থ = খ

ক্ষেত্রফল = ক × খ = কখ

২০% বৃদ্ধি পেলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ( ক এর ২০%) = ১.২ক
১০% বৃদ্ধি পেলে নতুন প্রস্থ = খ + ( খ এর ১০%) = ১.১খ

নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২ক × ১.১খ) = ১.৩২কখ

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(১.৩২ - ১)/১}১০০% = ৩২%

৮২৬.

একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) ৪০০ মিটার
খ
খ) ৩০০ মিটার
গ
গ) ৫০০ মিটার
ঘ
ঘ) ২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √১০০০০ মিটার
= ১০০ মিটার

∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ১০০) মিটার
= ৪০০ মিটার

৮২৭.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
98 মিটার
খ
96 মিটার
গ
94 মিটার
ঘ
92 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
⇒ x² = 512/2
⇒ x² = 256
∴ x = 16

দৈর্ঘ্য = (16 × 2) মিটার
= 32 মিটার

আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার
= 2 × 48 মিটার
= 96 মিটার

৮২৮.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৪ হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
√২ মিটার
খ
১ মিটার
গ
২√২ মিটার
ঘ
৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৪ হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত = ১ : ৪

ধরি বাহু = a মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = a^২ বর্গমিটার
পরিসীমা = ৪a মিটার

∴ অনুপাত,
a^২/৪a = ১/৪
⇒ a/৪ = ১/৪
⇒ a = ৪ × (১/৪)
∴ a = ১ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২ একক
= (১ × √২) মিটার
= √২ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ মিটার।

৮২৯.

১৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা ৩২ সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

ক
২০৫০ ঘন সে.মি.
খ
১৮০০ ঘন সে.মি.
গ
২৫৬০ ঘন সে.মি.
ঘ
২৪০০ ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা ৩২ সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (১/৩) × ১৫ × ১৫ × ৩২ ঘন সে.মি.
= ২৪০০ ঘন সে.মি.

৮৩০.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ও প্রস্থ ৪৫ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৮ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৪ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

ক
২৫৪ টি
খ
৩৫৬ টি
গ
২৬২ টি
ঘ
৩৭৮ টি
ঙ
২৪৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ও প্রস্থ ৪৫ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৮ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৪ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৪৫) = ২৭০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ - (২ × ৮) = ৪৪ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪৫ - (২ × ৮) = ২৯ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৪৪ × ২৯) = ১২৭৬ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল = (২৭০০ - ১২৭৬) = ১৪২৪ বর্গমিটার

∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১৪২৪/৪ টি
= ৩৫৬ টি

৮৩১.

৩.৫ সে.মি ব্যাসার্ধ এবং ৮ সে.মি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত?

ক
১০৮π ঘন সে.মি
খ
৩০৮ ঘন সে.মি
গ
২৯৮.৫ ঘন সে.মি
ঘ
ক ও গ উভয়ই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩.৫ সে.মি ব্যাসার্ধ এবং ৮ সে.মি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩.৫ সে.মি
এবং
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = ৮ সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক
= (২২/৭) × (৩.৫)^২ × ৮ ঘন সে.মি
= (২২/৭) × ৩.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ২২ × ০.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ৩০৮ ঘন সে.মি

∴ সিলিন্ডারের আয়তন = ৩০৮ ঘন সে.মি।

৮৩২.

একটি গোলকের ব্যাস ১৮ সেঃমিঃ হলে এর আয়তন কত?

ক
ক) ৯৭২ ঘনসেঃমিঃ
খ
খ) ৯৭২π ঘনসেঃমিঃ
গ
গ) ৭৭৭৬ ঘনসেঃমিঃ
ঘ
ঘ) ৭৭৭৬π ঘনসেঃমিঃ

ব্যাখ্যা

গোলকের ব্যাস = ১৮ সেঃমিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = ৯ সেঃমিঃ
∴ আয়তন = ৪/৩π(৯)^৩
= (৪/৩) × π × ৯ × ৯ × ৯
= ৯৭২π ঘনসেঃমিঃ

৮৩৩.

একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

ক
২ টি
খ
৩ টি
গ
৪ টি
ঘ
৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
- ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে।
- সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

৮৩৪.

কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

ক
144 ঘন সে.মি.
খ
510 ঘন সে.মি.
গ
512 ঘন সে.মি.
ঘ
729 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
এর পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
⇒ a = 8

∴ ঘনকের আয়তন = a³ = (8)³ = 512 ঘন সে.মি.

৮৩৫.

কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির আয়তন কত?

ক
2πr(r + h)
খ
πr²h
গ
πrh
ঘ
2πrh

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বেলন বা সিলিন্ডার:
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h) ।

৮৩৬.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯১ সে. মি. ও ৫১ সে. মি. এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব বা উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, ঐ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪২৬ বর্গ সে.মি.
খ
৩২৪ বর্গ সে.মি.
গ
৭১০ বর্গ সে.মি.
ঘ
৮৫২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯১ সে. মি. ও ৫১ সে. মি. এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব বা উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, ঐ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহু দুইটি
a = ৯১ সে. মি.,
b = ৫১ সে. মি.
এবং উচ্চতা h = ১২ সে. মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (৯১ + ৫১) × ১২
= ৬ × ১৪২
= ৮৫২ বর্গ সে.মি.

৮৩৭.

শিহাব ১৬০০০ মিটার দৌড়াল সে কত কিলোমিটার দৌড়েছিল?

ক
১.৬০ কি.মি.
খ
১৬০ কি.মি.
গ
.১৬ কি.মি.
ঘ
১৬ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শিহাব ১৬০০০ মিটার দৌড়াল সে কত কিলোমিটার দৌড়েছিল?

সমাধান:
আমরা জানি
১০০০ মিটার = ১ কি.মি.
১ মিটার = ১/১০০০ কি.মি.
১৬০০০ মিটার = (১ × ১৬০০০/১০০০) কি.মি.
= ১৬ কি.মি.

৮৩৮.

একটি গ্লাসে ২৫০ মি.লি পানি আছে। ৩০ টি গ্লাসে পানির পরিমান কত লিটার?

ক
৭.৫ লিটার
খ
৭.০৫ লিটার
গ
৯.৫ লিটার
ঘ
১০.৫ লিটার

ব্যাখ্যা

১ টি গ্লাসে পানি আছে ২৫০ মিলি
৩০ টি গ্লাসে পানি আছে
= ২৫০ × ৩০ মিলি
= ৭৫০০ মিলি
= ৭৫০০/১০০০ লিটার
= ৭.৫ লিটার

৮৩৯.

একটি আয়তাকার ঘন বস্তুর দৈর্ঘ্য ৩ মিঃ, প্রস্থ ২ মিঃ এবং উচ্চতা ৩/২ মিঃ হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিঃ?

ক
ক) ৩.৯১ মিঃ
খ
খ) ২.৯১ মিঃ
গ
গ) ৪.৯১ মিঃ
ঘ
ঘ) ৩.১১ মিঃ

ব্যাখ্যা

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{৩² + ২² + (৩/২)²}
= √(৯ + ৪ + ৯/৪)
= √৬১/৪
= √১৫.২৫
= ৩.৯১ মিঃ

৮৪০.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৩,৮৪০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
২০ মিটার
খ
২৪ মিটার
গ
৩০ মিটার
ঘ
৩৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৩,৮৪০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ৩,৮৪০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১০ টাকা

সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ৩,৮৪০ ÷ ১০
= ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ১.৫ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
১.৫ক × ক = ৩৮৪
⇒ ১.৫ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২ = ৩৮৪/১.৫
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬

সুতরাং, প্রস্থ = ১৬ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ১৬ = ২৪ মিটার

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।

৮৪১.

24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

ক
20 সে.মি.
খ
25 সে.মি.
গ
30 সে.মি.
ঘ
35 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

উচ্চতা, h = 24 সে.মি.

এবং ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(24² + 7²) সে.মি.
= √625 সে.মি.
= 25 সে.মি.

৮৪২.

(4, 5) এবং (- 2,- 3) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
8
খ
10
গ
12
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4, 5) এবং (- 2,- 3) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনে করি,
P = (4, 5) এবং Q = (- 2, - 3)

∴ PQ = √{(4 + 2)² + (5 + 3)²}
⇒ PQ = √(6² + 8²)
⇒ PQ = √(36 + 64)
⇒ PQ = √100
∴ PQ = 10

সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যবর্তী দূরত্ব = 10

৮৪৩.

বর্গক্ষেত্র ABCD এ, AB এর মধ্যবিন্দু M, AD এর মধ্যবিন্দু N. CD = 2 মিটার হলে, চিত্রে নীল অংশটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
1.5 বর্গমিটার
খ
1.75 বর্গমিটার
গ
√2 বর্গমিটার
ঘ
2√2 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্র ABCD এ, AB এর মধ্যবিন্দু M, AD এর মধ্যবিন্দু N. CD = 2 মিটার হলে, চিত্রে নীল অংশটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
AB এর মধ্যবিন্দু M. AM =2/2 = 1
AD এর মধ্যবিন্দু N. AN = 2/2 = 1

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2² = 4 বর্গমিটার

ত্রিভুজ AMN এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল
= (1/2) × 1 × 1 + (1/2) × 2 × 2
= 0.5 + 2
= 2.5 বর্গমিটার

∴ চিত্রে নীল অংশটির ক্ষেত্রফল = 4 - 2.5
= 1.5 বর্গমিটার

৮৪৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 32 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 72 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 38 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 36 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ
= (1/2) × 12 × 12 × sin30°
= (1/2) × 144 × (1/2)
= 36

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

৮৪৫.

তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হল। নতুন ঘনকের কর্ণ নির্ণয় করুন।

ক
6√3 সে. মি.
খ
6 সে.মি.
গ
4√3 সে.মি.
ঘ
36 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হল। নতুন ঘনকের কর্ণ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনকের আয়তন = a³ ঘন একক
এবং ঘনকের কর্ণ = a√3 একক

এখানে,
নতুন ঘনকের আয়তন = (3³ + 4³ + 5³) ঘন সে. মি. = (27 + 64 + 125) ঘন সে.মি. = 216 ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের ধার = (216)^1/3 সে. মি. = 6 সে.মি.

∴ নতুন ঘনকের কর্ণ = a√3 = 6√3 সে. মি.

৮৪৬.

একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ এবং এর ক্ষেত্রফল ২/৩ হেক্টর হলে, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য কত?

ক
ক) ২০০/৩ মিটার
খ
খ) ১০০/৩ মিটার
গ
গ) ১০০ মিটার
ঘ
ঘ) ৫০০/৩ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ এবং এর ক্ষেত্রফল ২/৩ হেক্টর হলে, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং
দৈর্ঘ্য = ৩x/২ মিটার

প্রশ্নমতে,
x × (৩x/২) = (২/৩) × ১০০০০ [ ১হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার।]
৩x^২/২ = (২/৩) × ১০০০০
x^২ = (২/৩ )× (২/৩) × ১০০০০
x = ২০০/৩

দৈর্ঘ্য = ৩x/২ মিটার
= (৩/২) × (২০০/৩)
= ১০০ মিটার

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য = ১০০ - ২০০/৩
=(৩০০ - ২০০)/৩
=১০০/৩ মিটার

৮৪৭.

৩০ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০ ডিগ্রি কোণে স্পর্শ করলো।মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়েছিল?

ক
ক) ৬ ফুট
খ
খ) ৮ ফুট
গ
গ) ১০ ফুট
ঘ
ঘ) ১৮ ফুট

ব্যাখ্যা

ধরি,
মাটি থেকে ক ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।
আমরা জানি, sin৩০° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = ক/(৩০-ক)
বা, (৩০-ক) = ২ক
বা,৩ক = ৩০
∴ক = ১০
অর্থাৎ, মাটি থেকে ১০ ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।

৮৪৮.

একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে মি এবং উচ্চতা ৯ সে মি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

ক
৯৬π বর্গ সে.মি.
খ
১০৪π বর্গ সে.মি.
গ
৭৮π বর্গ সে.মি.
ঘ
২৬π বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে মি এবং উচ্চতা ৯ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ৯)
= ২π × ৫২
= ১০৪π বর্গ সে.মি.

৮৪৯.

একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 10 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
240 বর্গসেমি
খ
160 বর্গসেমি
গ
210 বর্গসেমি
ঘ
220 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 10 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 10
= 220 বর্গসেমি

৮৫০.

কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
৬০°
খ
৮০°
গ
১২০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৬০° × ২
= ১২০°

৮৫১.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের ৩/২ গুণ। ঘরটির ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) ৮
খ
খ) ১২
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৯৬

ব্যাখ্যা

ধরি,
প্রস্থ = ২x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২x) × (৩/২) মিটার
শর্তমতে,
(২x) × (৩/২) × 2x = ৯৬
বা, x^২ = ১৬
বা, x = ৪
∴ x = ৪
∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১২ + ৮) = ৪০ মিটার

৮৫২.

একটি চাকার পরিধি ৫ মিটার। ২০ মাইল পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে? (১ মাইল = ১.৬ কিলোমিটার)

ক
ক) ৬৪০০
খ
খ) ৫৪০০
গ
গ) ৬০০০
ঘ
ঘ) ৬২০০

ব্যাখ্যা

চাকাটি ঘুরবে = (২০×১.৬×১০০০)/৫ = ৬৪০০ বার।

৮৫৩.

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

ক
8π
খ
12π
গ
18π
ঘ
24π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

৮৫৪.

একখন্ড জমির দৈর্ঘ্য ১৫০ ফুট এবং প্রস্থ ৭২ ফুট। ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত কাঠা?

ক
ক) ৩ কাঠা
খ
খ) ১৫ কাঠা
গ
গ) ১৮ কাঠা
ঘ
ঘ) ১২ কাঠা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একখন্ড জমির দৈর্ঘ্য ১৫০ ফুট এবং প্রস্থ ৭২ ফুট। ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত কাঠা?

সমাধান:
জমির দৈর্ঘ্য = ১৫০ ফুট
জমির প্রস্থ = ৭২ ফুট

জমির ক্ষেত্রফল = (১৫০ × ৭২) বর্গফুট
= ১০৮০০ বর্গফুট

৭২০ বর্গফুট = ১ কাঠা
১ বর্গফুট = ১/৭২০ কাঠা
১০৮০০ বর্গফুট = ১০৮০০/৭২০ কাঠা
= ১৫ কাঠা

৮৫৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) 8
খ
খ) 12
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 24

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

৮৫৬.

একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬৫ মিটার এবং প্রস্থ ৪৫ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?

ক
২০০ মিটার
খ
২২০ মিটার
গ
২৫০ মিটার
ঘ
২১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬৫ মিটার এবং প্রস্থ ৪৫ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৬৫ + ৪৫) মিটার
= ২২০ মিটার

∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২২০ মিটার

৮৫৭.

একটি বৈদ্যুতিক পাখা প্রতি মিনিটে ২৪০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

ক
১০৮০°
খ
১৪৪০°
গ
১৬০০°
ঘ
১৯২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখা প্রতি মিনিটে ২৪০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
সুতরাং, ৬০ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে ২৪০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = ২৪০/৬০ = ৪ বার

আবার,
পাখাটি ১ বার ঘুরলে ৩৬০° কোণ অতিক্রম করে।
∴ ৪ বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (৪ × ৩৬০)°
= ১৪৪০°

∴ এক সেকেন্ডে পাখাটি ১৪৪০° ঘুরে।

৮৫৮.

যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি. হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

ক
১১৮ ঘন সে.মি.
খ
১২৩ ঘন সে.মি.
গ
১৩২ ঘন সে.মি.
ঘ
১৩০ ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:

শঙ্কু মানে হচ্ছে সমবৃত্তভূমিক কোণক।

ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r² × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩² × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

৮৫৯.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ক
৭৬ মিটার
খ
৭২ মিটার
গ
৭৮ মিটার
ঘ
৭৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২ক + ক) মিটার
এবং আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
⇒ ক = ১৩

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২{(১৩ × ২) + ১৩} মিটার
=২ × ৩৯ মিটার
= ৭৮ মিটার

৮৬০.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন একটি ঘনকের আয়তনের দ্বিগুণ। যদি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 9 সে.মি. 8 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়। তবে ঘনকটির পৃষ্ঠতলের মোট ক্ষেত্রফল কত?

ক
418 বর্গ সে.মি.
খ
108 বর্গ সে.মি.
গ
432 বর্গ সে.মি.
ঘ
216 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 9 সে.মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ= 8 সে.মি
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = 6 সে.মি

আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 9 × 8 × 6 ঘন সে.মি.
= 432 ঘন সে.মি.

ঘনকের আয়তন = (432 × 1/2) ঘন সে.মি.
= 216 ঘন সে.মি.
ঘনকের এক বাহু a

প্রশ্নমতে,
a³= 216
a³ = 6³
a = 6

ঘনকটির পৃষ্ঠতলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ সে.মি.
= 6 × 6²বর্গ সে.মি.
= 6 × 36 বর্গ সে.মি.
= 216 বর্গ সে.মি.

৮৬১.

একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√৩ মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

ক
১০০০ ঘন মি.
খ
৩০০০ ঘন মি.
গ
৬০০০ ঘন মি.
ঘ
৯০০০ ঘন মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√৩ মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০√৩ মি.
তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে = ১০ মি.

আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন = ক^৩ ঘন মি.।

তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মি. হলে এর আয়তন হবে = ১০^৩ ঘন মি. = ১০০০ ঘন মি.।

৮৬২.

একটি চতুর্ভূজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 মি., 5 মি., 6মি.। নিচের কোনটি চতুর্ভূজের পরিসীমা হতে পারে?

ক
ক) 30 মি.
খ
খ) 28 মি.
গ
গ) 32 মি.
ঘ
ঘ) 34 মি.

ব্যাখ্যা

চতুর্ভূজের যেকোন তিনবাহুর সমষ্টি চতুর্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
যদি পরিসীমা 28 হয় তবে চতুর্থ বাহু = 28 - (4 + 5 + 6)
= 13m < 4 + 5 + 6
∴ পরিসীমা 28m হতে পারে।

৮৬৩.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ মিটার
খ
৫ মিটার
গ
৩ মিটার
ঘ
৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল = (২ × ক্ষেত্রফল)/উচ্চতা
⇒ একটি বাহু + অপর বাহু = (২ × ৪০)/৮
⇒ ৬ + অপর বাহু = ১০
⇒ অপর বাহু = ১০ - ৬
∴ অপর বাহু = ৪ মিটার

৮৬৪.

একটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সেমি। ভূমি উচ্চতা অপেক্ষায় ৩ সেমি বেশি হলে, সামন্তরিকের ভূমি কত?

ক
৬ সেমি
খ
৯ সেমি
গ
৩ সেমি
ঘ
১৮ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সেমি। ভূমি উচ্চতা অপেক্ষায় ৩ সেমি বেশি হলে, সামন্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৫৪ বর্গ সেমি

ধরি,
সামন্তরিকটির উচ্চতা = ক সেমি
∴ সামন্তরিকটির ভূমি = (ক + ৩) সেমি

প্রশ্নমতে,
ক × (ক + ৩) = ৫৪
⇒ ক^২ + ৩ক - ৫৪ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৬ক - ৫৪ = ০
⇒ ক(ক + ৯) - ৬(ক + ৯) = ০
⇒ (ক + ৯)(ক - ৬) = ০
∴ ক = - ৯ অথবা ৬ [ভূমি ঋণাত্মক হতে পারে না]

সামন্তরিকটির উচ্চতা = ৬ সেমি
∴ সামন্তরিকটির ভূমি = (৬ + ৩) = ৯ সেমি

৮৬৫.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 6 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 16 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ সে.মি. হয় তবে ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
13 সে.মি., 7 সে.মি.
খ
15 সে.মি., 9 সে.মি.
গ
10 সে.মি., 3 সে.মি.
ঘ
18 সে.মি., 8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 6 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 16 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ সে.মি. হয় তবে ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = a সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = (a + 6) সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = 16 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 192 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2) × (a + a + 6) × 16 = 192
⇒ 8 × (2a + 6) = 192
⇒ 16a + 48 = 192
⇒ 16a = 144
∴ a = 9

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = 9 সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = (9 + 6) = 15 সে.মি.

৮৬৬.

42 ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
ক) 2√28 ফুট
খ
খ) 4√110 ফুট
গ
গ) 2√155 ফুট
ঘ
ঘ) 3√154 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 42 ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 42/2 ফুট = 21 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
= π × 21 × 21
= 22/7 × (21 × 21)
= 1386 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1386 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √1386 = 3√154 ফুট

৮৬৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে এর পরিসীমা কত?

ক
ক) 16√2
খ
খ) 20√2
গ
গ) 20
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে,
বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2 / √2 = 5 একক
∴ পরিসীমা = 4×5 = 20 একক

৮৬৮.

একটি লোহার তারের দৈ‍‍র্ঘ্য 628 সে.মি.। ঐ তারটিকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

ক
200 সে.মি. (প্রায়)
খ
250 সে.মি. (প্রায়)
গ
180 সে.মি. (প্রায়)
ঘ
100 সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লোহার তারের দৈ‍‍র্ঘ্য 628 সে.মি.। ঐ তারটিকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
চাকার ব্যাস = 2r

এখানে, চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 628
⇒ 2r = 628/π
⇒ 2r = 628/3.14
⇒ 2r = (628 × 100)/314
∴ 2r = 200 সে.মি. (প্রায়)

৮৬৯.

একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গইঞ্চি হলে ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৭ ইঞ্চি
খ
১১ ইঞ্চি
গ
১৩ ইঞ্চি
ঘ
১৭ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গইঞ্চি হলে ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²

প্রশ্নমতে,
6a² = 726
⇒ a² = 726/6
⇒ a² = 121
⇒ a = 11 [বর্গমূল করে]

৮৭০.

একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধের চারগুণ। সিলিন্ডারের আয়তন 256π সেমি³ হলে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ কত?

ক
10 সেমি
খ
12 সেমি
গ
8 সেমি
ঘ
4 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধের চারগুণ। সিলিন্ডারের আয়তন 256π সেমি³ হলে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা 4r সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন= πr²h ঘন সেমি

প্রশ্নমতে,
πr²× 4r = 256π
⇒ 4r³ = 256
⇒ r³= 64
⇒ r³ = 4³
⇒ r = 4

৮৭১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
ক) ৩ মিটার
খ
খ) ৪ মিটার
গ
গ) ৫ মিটার
ঘ
ঘ) ৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে
3a = 12√3
⇒ a = 4√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (4√3)²
= (√3/4) × 16 × 3
= 12√3

সমবাহু ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h

এখন,
(1/2)ah = 12√3
⇒ (1/2) × 4√3 × h = 12√3
⇒ 2√3h = 12√3
⇒ h = 12√3/2√3
⇒ h = 6

সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা ৬ মিটার।

৮৭২.

একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাস ৬ সে মি এবং উচ্চতা ১০ সে মি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

ক
৫৪π বর্গ সে.মি.
খ
৭৮π বর্গ সে.মি.
গ
৪২π বর্গ সে.মি.
ঘ
৩৬π বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাস ৬ সে মি এবং উচ্চতা ১০ সে মি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাস d = ৬ সে.মি.
∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = d/২ সে.মি.
= ৬/২ সেমি
= ৩ সেমি
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৩(৩ + ১০)
= ২π × ৩৯
= ৭৮π বর্গ সে.মি.

৮৭৩.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. ও উচ্চতা 28 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
1166π বর্গ সে.মি.
খ
1276π বর্গ সে.মি.
গ
1076π বর্গ সে.মি.
ঘ
1176π বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. ও উচ্চতা 28 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr (r + h)
= 2π × 14(14 + 28)
= 1176π বর্গ সে.মি. ।

৮৭৪.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৯ মিটার ও ৬ মিটার। উচ্চতা ৫ মিটার হলে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৩৫ বর্গমিটার
খ
১৪০ বর্গমিটার
গ
১৫০ বর্গমিটার
ঘ
১৬০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৯ মিটার ও ৬ মিটার। উচ্চতা ৫ মিটার হলে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ × (৯ + ৬) × ৫ বর্গ মিটার
= ২ × ১৫ × ৫ বর্গ মিটার
= ১৫০ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গ মিটার।

৮৭৫.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 4/3 গুণ এবং ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

ক
ক) 48
খ
খ) 50
গ
গ) 54
ঘ
ঘ) 56

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 4/3 গুণ এবং ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার।
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 4x/3 মিটার।

ক্ষেত্রফল = 4x²/3 বর্গমি.

প্রশ্নানুসারে,
4x²/3 = 192
বা, 4x²= 576
বা, x²= 576/4
বা, x² = 144
∴ x = 12 মিটার।

আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (4 × 12)/3 মিটার = 16 মিটার এবং প্রস্থ =12 মিটার।

আয়তাকার ঘরটির পরিসীমা = 2(16 + 12) মিটার = 56 মিটার

৮৭৬.

একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং উচ্চতা 22 মি. হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গমি.?

ক
ক) 363 বর্গমি.
খ
খ) 181.5 বর্গমি.
গ
গ) 726 বর্গমি.
ঘ
ঘ) 336 বর্গমি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং উচ্চতা 22 মি. হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গমি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 22 এর 3/4 = 33/2 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (33/2) × 22
= 363 বর্গমি.

৮৭৭.

একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
ক) ২০০
খ
খ) ২৫০
গ
গ) ৩০০
ঘ
ঘ) ৩৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

১.৫ কি.মি. = (১০০০ ×১.৫) মিটার = ১৫০০ মিটার

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার

৮৭৮.

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম হত তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হত। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

ক
ক) 40 মি.
খ
খ) 35 মি.
গ
গ) 30 মি.
ঘ
ঘ) 25 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম হত তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হত। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x মিটার।
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ y মিটার।

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে,
xy = 1400..........(1)
এবং y = (x - 5).................(2)
(1) নং সমীকরণে y = x – 5 বসিয়ে পাই,
x(x – 5) = 1400
বা, x² - 5x = 1400
বা, x² - 5x - 1400 = 0
বা, x² – 40x + 35x – 1400 = 0
বা, x (x - 40) + 35(x - 40) = 0
বা, (x - 40) (x + 35) = 0
হয়,
x - 40 = 0 অথবা, x + 35 = 0
বা, x = 40 অথবা, x = - 35
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই, x = - 35 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 40

এখন, সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
y = (40– 5) মিটার = 35 মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 35 মিটার।

৮৭৯.

একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. এবং 7 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 24
খ
খ) 64
গ
গ) 96
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. এবং 7 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
মনেকরি
ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা h = 8 সে.মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. এবং 7 সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল )× সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
= (1/2) × (7 + 9) × 8
= 16 × 8/2
= 64

৮৮০.

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

ক
24π
খ
48π
গ
56π
ঘ
64π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 8 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 4 × 8
= 64π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 64π বর্গ সে.মি।

৮৮১.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
200 বর্গ সে.মি.
খ
300 বর্গ সে.মি.
গ
400 বর্গ সে.মি.
ঘ
500 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 1200/4 = 300 বর্গ সে.মি.
∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ সে.মি.

৮৮২.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি.। ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
120 বর্গ সে.মি.
খ
130 বর্গ সে.মি.
গ
145 বর্গ সে.মি.
ঘ
160 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি.। ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি. হলে
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ সে.মি.= ?

∴ শর্তমতে,
a + b + c = 17 সে.মি. এবং
√(a² + b² + c²) = 12
বা, a² + b² + c² = 144

এখন,
(a + b + c)² = (17)²
বা, (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 289
বা, 144 + 2(ab + bc + ca) = 289
বা, 2(ab + bc + ca) = 289 - 144
∴ 2(ab + bc + ca) = 145

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 145 বর্গ সে.মি.।

৮৮৩.

চিত্রে OAB বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 1/2 r²θ
খ
খ) r²θ
গ
গ) 1/2 rθ²
ঘ
ঘ) rθ²

ব্যাখ্যা

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 1/2 r²θ

৮৮৪.

একটি চাকার ব্যাস 98 সেমি। চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করে?

ক
ক) 196 সেমি
খ
খ) 296 সেমি
গ
গ) 308 সেমি
ঘ
ঘ) 344 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি চাকার ব্যাস 98 সেমি। চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করে?

সমাধান-
চাকার ব্যাস, 2r = 98 সেমি

চাকাটি একবার ঘুরলে পরিধির সমান পথ অতিক্রম করে।

∴ পরিধি = 2πr
= 2r × π
= 98 × (22/7)
= 308 সেমি

৮৮৫.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
1664 ঘন সে.মি.
খ
1245 ঘন সে.মি.
গ
2020 ঘন সে.মি.
ঘ
1584 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h
= (22/7) × 6² × 14
= 22 × 36 × 2
= 1584 ঘন সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের আয়তন 1584 ঘন সে.মি.

৮৮৬.

একটি সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য ১৪ ফুট এবং ব্যাসার্ধ ২ ফুট হলে এর আয়তন কত?

ক
ক) ১৫০ ঘন ফুট
খ
খ) ১৬০ ঘন ফুট
গ
গ) ১৭০ ঘনফুট
ঘ
ঘ) ১৭৬ ঘন ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য ১৪ ফুট এবং ব্যাসার্ধ ২ ফুট হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য h = 14 ফুট
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r = 2 ফুট

সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 2² × 14
= (22/7) × 4 × 14
= 176 ঘন ফুট

৮৮৭.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ৭৫ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
৪৭৭০০ টাকা
খ
৫৬৪৪০ টাকা
গ
৩৬৫০০ টাকা
ঘ
৪২৪৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ৭৫ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ৩ মিটার
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৩ + ৩ = ৪৬ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬৬ × ৪৬ = ৩০৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৩০৩৬ - ২৪০০ = ৬৩৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৭৫ টাকা
∴ ৬৩৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৬৩৬ × ৭৫ = ৪৭৭০০ টাকা

∴ রাস্তা তৈরি করতে মোট ব্যয় = ৪৭৭০০ টাকা

৮৮৮.

একটি গোলকের ব্যাস ৪ সে. মি., যদি ব্যাস ৫০% বৃদ্ধি করা হয় তবে আয়তন কত?

ক
ক) ৩৬ ঘন সে. মি.
খ
খ) ৩৬π ঘন সে. মি.
গ
গ) ৩৬ বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) ৩৬π বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ব্যাস = ৪ সে. মি.,
৫০% বৃদ্ধিতে ব্যাস = (১৫০/১০০) × ৪ সে. মি. = ৬ সে. মি.
এক্ষেত্রে, ব্যাসার্ধ = ৩ সে. মি.
আয়তন = ৪/৩ × π × ৩^৩
= ৩৬π

৮৮৯.

একটি আয়তাকার জমির চারিদিকে প্রতি মিটার ২০০ টাকা হিসেবে প্রাচীর নির্মাণ করতে ৪৬০০০ টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত ১০ : ১৩ হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩০০০ বর্গ মিটার
খ
খ) ৩২৫০ বর্গ মিটার
গ
গ) ৩৬০০ বর্গ মিটার
ঘ
ঘ) ৪০০০ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি আয়তাকার জমির চারিদিকে প্রতি মিটার ২০০ টাকা হিসেবে প্রাচীর নির্মাণ করতে ৪৬০০০ টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত ১০ : ১৩ হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৪৬০০০/২০০ = ২৩০ মি.

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ক এবং ১৩ক

শর্তমতে,
২(১০ক + ১৩ক) = ২৩০
⇒ ৪৬ক = ২৩০
⇒ ক = ৫

দৈর্ঘ্য = ১৩ × ৫ = ৬৫ মি
প্রস্থ = ১০ × ৫ = ৫০ মি

∴ ক্ষেত্রফল = ৬৫ × ৫০ = ৩২৫০ বর্গ মিটার

৮৯০.

একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৩৬ বর্গমিটার
খ
খ) ১৪৬ বর্গমিটার
গ
গ) ১৫৬ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১৬৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৬)^২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।

৮৯১.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
৭.২ সে.মি.
খ
৭.৩ সে.মি.
গ
৭ সে.মি.
ঘ
৭.১ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
প্রথম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১০ বর্গসে.মি.
= ১৮০ বর্গসে.মি.

নতুন ক্ষেত্রফলও ১৮০ হতে হবে ।
∴ নতুন প্রস্থ = ১৮০/২৫ সে.মি.
= ৭.২ সে.মি.

৮৯২.

একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

ক
ক) 256 সেমি
খ
খ) 216 সেমি
গ
গ) 288 সেমি
ঘ
ঘ) 286 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ব্যাসার্ধ, r = 56 মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 56 + 2 × 56
= 176 + 112
= 288 সেমি

৮৯৩.

১ হেক্টোমিটার কত মিটার?

ক
৫ মি.
খ
১০ মি.
গ
১৫০ মি.
ঘ
১০০ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হেক্টোমিটার কত মিটার?

সমাধান:
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার;
১ ডেকামিটার = ১০ মিটার
১ হেক্টোমিটার = ১০০ মিটার
১ ডেসিমিটার = ০.১ মিটার

৮৯৪.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

ক
2 : π
খ
2π : √π
গ
π : 2
ঘ
√π : 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = a

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr² = a²
বা, a = r√π

সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 2πr : 4a
= 2πr : 4 × r√π
= π : 2√π
= √π : 2

৮৯৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

ক
ক) 16 বর্গ একক
খ
খ) 25 বর্গ একক
গ
গ) 28বর্গ একক
ঘ
ঘ) 32 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য √2x এবং ক্ষেত্রফল x²
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2
∴ √2x = 5√2
⇒ x = 5

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 25 বর্গএকক

৮৯৬.

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ যদি অর্ধেক করা হয় তাহলে পুরাতন ও নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত কত হবে?

ক
২ : ১
খ
৮ : ১
গ
৪ : ১
ঘ
৯ : ১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ যদি অর্ধেক করা হয় তাহলে পুরাতন ও নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, পুরাতন গোলকের ব্যাসার্ধ ২R
তাহলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R

∴ পুরাতন গোলকের আয়তন : নতুন গোলকের আয়তন = (৪/৩) × π × (২R)^৩ : (৪/৩) × π × R^৩
= ৮R^৩ : R^৩
= ৮ : ১

৮৯৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

ক
ক) 1200 বর্গসে.মি.
খ
খ) 1000 বর্গসে.মি.
গ
গ) 600 বর্গসে.মি.
ঘ
ঘ) 500 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 1200/2 = 600 বর্গসে.মি.

৮৯৮.

একটি বর্গের কর্ণদ্বয়ের গুণফল 50 বর্গমি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 10√2 বর্গমি.
খ
খ) 20√2 বর্গমি.
গ
গ) 25 বর্গমি.
ঘ
ঘ) 40 বর্গমি.

ব্যাখ্যা

ধরি,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল = a²
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
বর্গের কর্ণের গুনফল = a√2 × a√2 = 2a²প্রশ্নমতে, 2a² = 50
∴ ক্ষেত্রফল, a² = 25

৮৯৯.

একটি সামান্তরিকের ভূমি-উচ্চতার দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২ঃ১ এবং ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার হলে এর ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৬ মিঃ
খ
খ) ৮ মিঃ
গ
গ) ১০ মিঃ
ঘ
ঘ) ১২ মিঃ

ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি ২a,
উচ্চতা = a
∴ ক্ষেত্রফল ২a × a
= ৭২
বা, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = ২ × a
= ২ × ৬
= ১২ মিঃ

৯০০.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার । বৃত্তটির ব্যাস কত?

ক
৬
খ
১২
গ
১৮
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার । বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬π = π৬^২
আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × ব্যাসার্ধ^২
ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
∴ ব্যাস = ১২ মিটার