পরিমিতি

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4x
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = x√2
প্রশ্নমতে,
পরিসীমা/ কর্ণ = 4x/x√2
বা, পরিসীমা = 2√2 কর্ণ
∴ কোনো বর্গের পরিসীমা কর্ণের 2√2 গুণ।

প্রশ্ন: ৫০ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোন একদিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাস = ৫০ ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = (৫০/২) ফুট
= ২৫ ফুট

বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr² বর্গফুট
= (২২/৭) × (২৫)^২ বর্গফুট
= ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৯৬৪.২৯ ফুট
= ৪৪.৩২ ফুট

1 nautical mile = 6080 feet
6080 feet = 1.15 mile

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসিমা 18x হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি P = 18x

সমবাহু ত্রিভুজের একপাশের দৈর্ঘ্য P/3 = 18x/3 = 6x

তাহলে, ক্ষেত্রফল A = √3/4 a²
= √3/4 × (6x)²
= √3/4 × 36x²
= 9√3x²

∴ ক্ষেত্রফল = 9√3x²

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ২০০ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ৩ মিটার
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৩ + ৩ = ৪৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬৬ × ৪৬ = ৩০৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৩০৩৬ − ২৪০০ = ৬৩৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ২০০ টাকা
∴  ৬৩৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৬৩৬ × ২০০ = ১,২৭,২০০ টাকা

∴ রাস্তা তৈরি করতে মোট ব্যয় = ১,২৭,২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হয়, তবে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৩০০
⇒ ৩ক^২ = ৩০০
⇒ ক^২ = ৩০০/৩
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ১০ = ৩০ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩০ + ১০) মিটার
= ২ × ৪০ মিটার
= ৮০ মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হলো ৮০ মিটার।

প্রশ্ন: কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ সে:মি: এবং প্রস্থ ৫ সে:মি:। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২ সে.মি. (বৃহত্তর বাহু),
প্রস্থ = ৫ সেমি।

এই আয়তক্ষেত্রকে বৃহত্তর বাহু (১২ সেমি)-কে অক্ষ হিসেবে ৩৬০° ঘোরালে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তা হলো সিলিন্ডার।
এখন,
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.

মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = বক্রপৃষ্ঠ + ২টি বৃত্তাকার সমতল পৃষ্ঠ
= 2πr(h + r)
= ২ × π × ৫ × (১২ + ৫)
= ১০π × ১৭
= ১৭০π বর্গ সে.মি.
= ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, উৎপন্ন ঘনবস্তুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হলো ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে.মি ও ২ সে.মি এবং এদের লম্ব দূরত্ব ২ সে.মি। পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
পাতটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির তাই- 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব 
= ১/২ × (৫ + ২) × ২ 
= ৭ বর্গ সে.মি.

∴ পাতটির ক্ষেত্রফল = ৭ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ১০ সে.মি. হলে,  সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৩(৩ + ১০)
= ২π × ৩৯
= ৭৮π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
সুতরাং, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × বিস্তার
⇒ 3x × x = 108
⇒3x² = 108
⇒ x² = 108/3
⇒ x² = 36
⇒ x = √36
∴ x = 6

∴ বিস্তার = 6 মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 3 × 6 = 18 মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= 2 × (18 + 6) মিটার
= 2 × 24 মিটার
= 48 মিটার

∴ ঘরের পরিসীমা = 48 মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x²

শর্তমতে,
x² = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন কত ঘন সে. মি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৬ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন, V = (১/৩)πr²h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৬২ × ৭ 
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩৬ × ৭
= ২২ × ১২ 
= ২৬৪ 

অতএব, কোণকটির আয়তন ২৬৪ ঘন সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 12 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 12
= 22 × 12
= 264 বর্গসে.মি.

সুতরাং, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 264 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১৬০০ বর্গফুট মাঠের চারপাশের ২ ফুট রাস্তায় ১.৫ বর্গফুটের কয়টি ট্যালি বসবে?

দেওয়া আছে:
মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গফুট
চারপাশের রাস্তার প্রস্থ = ২ ফুট
একটি টাইলের ক্ষেত্রফল = ১.৫ বর্গফুট

ধরি মাঠ বর্গক্ষেত্র:
বাহু = √১৬০০ = ৪০ ফুট
চারপাশে রাস্তা যোগ করলে নতুন বাহু = ৪০ + ২ + ২ = ৪৪ ফুট

নতুন ক্ষেত্রফল = ৪৪ × ৪৪ = ১৯৩৬ বর্গফুট
রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৯৩৬ - ১৬০০ = ৩৩৬ বর্গফুট
তাহলে,
ট্যালি বসবে = ৩৩৬ / ১.৫ = ২২৪ 

∴ট্যালি বসবে = ২২৪ টি 

নোটঃ প্রশ্নে শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল বলা আছে তাই বাহুর সাথে ৪০ + ৪ যোগ করা হয়েছে, যদি রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল বলা হত তাহলে ৪০ - ৪ হত। 

ধরি,
মইয়ের ভূমি সংলগ্ন প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব x মি.

মইটি দেয়ালের সাথে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে,
৪² + x² = ৫²
বা, ১৬ + x² = ২৫
বা, x² = 9
বা, x = 3

মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ৩ মি.

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি. ও ৯ সে.মি., এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি. = ১৫/১০০ = ০.১৫ মি.
এবং ৯ সে.মি. = ৯/১০০ = ০.০৯ মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি. = ৮/১০০ = ০.০৮ মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (০.১৫ + ০.০৯) × ০.০৮
= (১/২) × ০.২৪ × ০.০৮
= ০.১২ × ০.০৮
= ০.০০৯৬ বর্গ মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ০.০০৯৬ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
বড় থেকে ছোট ক্রমটি হলো:
কিলোমিটার > হেক্টোমিটার > ডেকামিটার > মিটার > ডেসিমিটার > সেন্টিমিটার > মিলিমিটার

অপশন বিবেচনায় 
সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম হলো মিলিমিটার

১ সেন্টিমিটার= ১০ মিলিমিটার
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ১০০০ মিলিমিটার
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘোড়া ৭ মিটার লম্বা দড়ি দিয়ে বাঁধা আছে। দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঘোড়াটি যতটুকু স্থানের ঘাস খেতে পারবে তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঐ স্থানটি একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র তৈরি হবে।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r = ৭ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= (২২/৭) × ৭^২  বর্গ মিটার
= (২২/৭) × ৭ × ৭  বর্গ মিটার
= ১৫৪ বর্গ মিটার

ধরি, তৃতীয় ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = x cm
প্রশ্নমতে,
(4/3)π×3³ + (4/3)π×4³ + (4/3)π×x³ = (4/3)π×6³
⇒ 3³ + 4³ + x³ = 6³
∴ x = 5 cm.

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি ২πr = ১৩২
বা, r = ১৩২/২π = ৬৬/π
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
= π × ৬৬/π × ৬৬/π
= ৪৩৫৬/π বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ৩, ৪ ও ৫ সে.মি. ধার বিশিষ্ট তিনটি ছোট ঘনক গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হলো। ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় ঘনকের ধার = ক

∴ বড় ঘনকের  আয়তন = ছোট ঘনকগুলোর আয়তনের সমষ্টি
⇒ ক^৩ = ৩^৩ + ৪^৩ + ৫^৩
⇒ ক^৩ = ২৭ + ৬৪ + ১২৫
⇒ ক^৩ = ২১৬
⇒ ক^৩ = ৬^৩ 
⇒ ক = ৬

∴ বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২
= (৬ × ৬^২) বর্গ সে.মি. 
= (৬ × ৩৬) বর্গ সে.মি.
= ২১৬ বর্গ সে.মি.

এবং, ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = {(৬ × ৩^২ ) + (৬ × ৪^২) + (৬ × ৫^২)} বর্গ সে.মি.
= {(৬ × ৯ ) + (৬ × ১৬) + (৬ × ২৫)} বর্গ সে.মি.
= (৫৪ + ৯৬ + ১৫০) বর্গ সে.মি.
= ৩০০ বর্গ সে.মি.

∴ নির্ণেয় অনুপাত = ৩০০ : ২১৬
= ২৫ : ১৮

বর্গের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৪/৪ = ১১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১১×১১ = ১২১ বর্গমিটার

গভীরতা h = 14 মিঃ
ব্যাস 2r = 18 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধr = 9 মিঃ
∴ কুয়ার আয়তন = πr²h
= 22/7 × 9² × 14
= 22 × 81 × 2
= 3564 ঘনমিঃ

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 20² = 400
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 10² [r = 20/2 = 10 cm]
= 314

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = (400 - 314)
= 86 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সেমি এবং আয়তন 48π ঘন সেমি হলে, কোণকটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সেমি
আয়তন = 48π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × (6)² × h = 48π
⇒ (1/3) × 36 × h = 48
⇒ 12 × h = 48
⇒ h = 48/12
⇒ h = 4 সেমি

∴ কোণকটির উচ্চতা 4 সেমি। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= 490π ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 490π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৬৬ = (১/২) × ক × ১২
বা, ৬ক = ৬৬
∴ ক = ১১

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সেমি
বৃত্তের পরিধি =2πr সেমি
প্রশ্নমতে,
বা, 2πr - 2r = 90
বা, 2r =90/(3.1416 - 1)
বা, r = 45/(3.1416 - 1) = 21.01 সেমি

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 96
⇒ a² = 96/6
⇒ a² = 16
⇒ a = √16 = 4
∴ a = 4 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= 4 × √3  ; [a = 4]
= 4√3

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার।

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর প্রস্থ ১২.৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২.৫ মিটার 

আমরা জানি, 
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার 
∴ ২ এয়র = (১০০ × ২) বর্গমিটার = ২০০ বর্গমিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ২০০/১২.৫ 
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার ।