পরিমিতি

1 UK gal =  4.55 L
1 USA gal = 3.78541 L

ধরি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a,
প্রস্থ = a
∴ পরিসীমা ২(৪a + a) = ৩০
বা, ১০a = ৩০
∴ a = ৩
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৩ = ১২ মিঃ,
প্রস্থ = ৩ মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(১২² + ৩²)
= √(১৪৪ + ৯)
= √১৫৩
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৫৩ মিঃ
এবং বাহুর ক্ষেত্রফল = (√১৫৩)²
= ১৫৩ বর্গমিঃ

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব

সুতরাং
ক্ষেত্রফল = (½) × 20 × 21 বর্গমিটার
= (½)× 420 বর্গমিটার
= 210 বর্গমিটার

প্রশ্ন: ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২
মনে করি,
ঘনকের ধার ক মিটার
∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ক√২ মিটার

শর্তমতে,
ক√২ = ৭√২
∴ ক = ৭

∴ ঘনকের আয়তন = ক^৩=৭^৩=৩৪৩ ঘনমিটার

মনে করি, বিস্তার ক মিটার ও দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
প্রশ্নমতে, ২ক^২ = ৫১২
ক^২ = ২৫৬
ক = ১৬ 
∴ বিস্তার ১৬ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২×১৬ = ৩২মিটার
∴ পরিসীমা = ২(৩২+১৬) = ৯৬ মিটার

রং করতে হবে এমন এলাকার ক্ষেত্রফল = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল - মেঝের ক্ষেত্রফল
= ২(৬×৪ + ৪×৫ + ৫×৬) - ৬×৪
= ১২৪
∴ খরচ = ১২৪ × ৯
= ১১১৬ টাকা

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√3
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 5
∴ আয়তন = 5³
= 125

প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = a + 1
∴ পরিসীমা = 2(a + a + 1) = 14
বা, 2a + 1 = 7
বা, 2a = 6
∴ a = 3
∴ দৈর্ঘ্য = 4, প্রস্থ = 3
∴ কর্ণ = √(16 + 9) = 5

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.১ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. ও প্রস্থ ১৮ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইটির প্রস্থ = ১৮ সে.মি. 

এখন,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা 
∴ বইয়ের ২০০ পৃষ্ঠা = ১০০ পাতা
১০০ পাতার পুরুত্ব = (১০০ × ০.১) মি.মি. = ১০ মি.মি. = ১ সে.মি. 

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২৫ × ১৮ × ১) ঘন সে.মি. 
= ৪৫০ ঘন সে.মি. । 

এখানে, r = 12 এবং s = 14
আমরা জানি, s = (πθr)/180
বা, θ =(180s)/rπ
= (180 × 14)/(3.1416 × 12)
= 66.84°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
একবাহু = √৬২৫
 = √(২৫)^২
= ২৫ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২৫ × ৪ মিটার
= ১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 cm বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ cm হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয় 
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা 
x - 27 = 0
∴ x = 27 

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সসমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে,
তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি. হলে,
এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫²  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫ বর্গসে.মি.
= ১৫০ বর্গসে.মি.

ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২ বর্গসে.মি.
= ৭৫ বর্গসে.মি.

Let the required number of rounds be x
More radius, Less rounds (Indirect proportion)
∴ 20:14::70:x
⇔ (20×x) = (14×70)
⇔ x = (14×70)/20
⇔ x = 49

ধরি,
বৃত্ত দু'টির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r এবং ৪r
∴ ক্ষেত্রফল দ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ : π(৪r)^২
= ৯πr^২ : ১৬πr^২
= ৯ঃ১৬

আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π× ব্যাসার্ধ^২

∴ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
অতএব, ব্যাস =৬ × ২ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 294 বর্গ সে.মি.

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ সে.মি.
⇒ 6a² = 294
⇒ a² = 294/6
⇒ a² = 49
⇒ a = √49 = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 4²× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির গড়)×(উচ্চতা)
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (½)(a + b)h

প্রশ্ন: 5 মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লোহার গোলক গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 5 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= 5³ / 1³
= 125 / 1
= 125 

∴ গোলক তৈরি করা যাবে = 125 টি।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার
এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১০ + ক) মিটার

শর্তমতে,
২ × (১০ + ক) = ৩০
বা, (১০ + ক) = ৩০/২
বা, ১০ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫ মিটার

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৭০ = ৮৪০০ বর্গফুট
৮৪০০ কে ১৫^২ এবং ১১^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না
৮৪০০ কে ১০^২ এবং ৫^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় 
সুতরাং, সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।

দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 5 মি.
∴ গোলকটির ক্ষেত্রফল = 4Πr²
                            = 4Π (5)²
                            = 100Π বর্গমি.

ABCD রম্বসে BC = ১৩,
কর্ণ BD = ২৪ সে.মি
∴ OB = ১২ সে.মি
∴ OC = √(BC² - OB²)
= √(১৩² - ১২²)
= √২৫
= ৫

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = ২ × ৫
= ১০ সেঃমিঃ

∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BD
= ১/২ × ১০ × ২৪
= ১২০ বর্গ সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৮ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার

৮ মিটার গেলে চাকাটি ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরবে = ১/৮ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরবে = (১৬০০০ × ১)/৮ বার
= ২০০০ বার

∴ চাকাটি ২০০০ বার ঘুরবে।

দুটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 4π বর্গমিটার।
বর্গের ক্ষেত্রফল = 4² = 16 বর্গমিটার।
∴ চিত্রের সাদা রং এর জায়গার ক্ষেত্রফল = 16 - 4πবর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার। বাগানের চারপাশে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ৫০ টাকা হয়?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২৫ মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪০ × ২৫ বর্গমিটার
= ১০০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ২.৫ মিটার। যেহেতু রাস্তাটি বাগানের চারপাশে অবস্থিত, তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ + (২.৫ + ২.৫) = ৪০ + ৫ = ৪৫ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২৫ + (২.৫ + ২.৫) = ২৫ + ৫ = ৩০ মিটার

রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল) - (বাগানের ক্ষেত্রফল)
= ১৩৫০ - ১০০০ বর্গমিটার
= ৩৫০ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় ৫০ টাকা।
∴ ৩৫০ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে মোট ব্যয় = ৩৫০ × ৫০ টাকা
= ১৭৫০০ টাকা

সুতরাং, রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ হবে ১৭৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। যদি দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হয়, তবে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ২ গুণ
⇒ প্রস্থ = ২৪ ÷ ২ = ১২ মিটার

পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২৪ + ১২)
= ২ × ৩৬ = ৭২ মিটার

একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে আড়াআড়িভাবে হেঁটে আয়াতাকার জমির কর্ণের সমান দূরত্ব 5√5 মিটার অতিক্রম করলেন।
ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹5√5 = √{(2x)² + x²}
⇒5√5 = √(4x² + x²)
⇒5√5 = √(5x²)
⇒5√5 = x√5
⇒ x = 5
∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2×5² = 50 বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 512 ঘন সে.মি.   হলে ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
​ঘনকের আয়তন = a³
এবং 
​এর পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 

​প্রশ্নমতে,
​a³ = 512
​⇒ a = 8

∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 8√2 সে.মি.

আমরা জানি, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে, 6a² = 216
বা, a² = 36
বা, a = 6
সুতরাং আয়তন = 6³
= 216 ঘন সে.মি.

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]