পরিমিতি

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = র একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πর^২ বর্গ একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (র - র এর ১০/১০০) =(৯র/১০) একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (৮১πর^২)/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের পরিমাণ = ১৯πর^২/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার = ((১৯πর^২/১০০)/πর^২) ×১০০ = ১৯%

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.
উচ্চতা, h = 9 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4(4 + 9)
= 2π × 4 × 13
= 104π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার
এবং বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে

∴ রাস্তা সহ মোট দৈর্ঘ্য = {২৫ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৯ মিটার
এবং, রাস্তা সহ মোট প্রস্থ = {২০ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৯ × ২৪)} বর্গ মিটার
= ৬৯৬ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে. মি. এবং উচ্চতা ১০ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি. 
 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ১০)
= ২π × ৫৬
= ১১২π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 256π বর্গ মি.মি. হলে গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 256π বর্গ মি.মি.
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি, 
গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²

প্রশ্নমতে,
4πr² = 256π
⇒ r² = 256π/4π
⇒ r² = 64
⇒ r = √64
∴ r = 8 মি.মি.

সুতরাং, গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 মি.মি.

প্রশ্ন: ব্যাস 16 সে.মি. এবং উচ্চতা 2 সে.মি. বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার গলিয়ে 12টি সমব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তৈরি করলে প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাস = 16 সেমি
⇒ ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা = 2 সেমি

∴ সিলিন্ডারের আয়তন (V) = π × r² × h
= π × 8² × 2
= π × 64 × 2
= 128π ঘন সেমি

আবার,
ধরি,
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি
⇒ প্রতিটি গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
⇒ 12 টি গোলকের আয়তন = 12 × (4/3)πr³
= 16πr³

প্রশ্ন অনুযায়ী,
সিলিন্ডারের আয়তন = ১২টি গোলকের মোট আয়তন
⇒ 128π = 16πr³
⇒ r³ = 128π ÷ 16π = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ হবে 2 সেমি

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহু = √400 = 20 ফুট
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 গজ কমালে নতুন দৈর্ঘ্য হবে = 20 - 6 = 14 ফুট; [যেহেতু 2 গজ = 6 ফুট]
সুতরাং পরিবর্তিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (14)² = 196 বর্গফুট।

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (০.১×০.১×০.১) ঘনমিটার
                         = ০.০০১ ঘনমিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে ০.০০১ ঘনমিটার পানি ধরে।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

বৃত্রের ক্ষেত্রফল = π × 2² = 4π বর্গ cm
আবার, বর্গের কর্ণ = বৃত্রের ব্যাস = 2.2 = 4 cm
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4/√2 cm
∴             ক্ষেত্রফল = (4/√2)² = 8 বর্গ cm
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ cm

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2 (6 + 4) × 2
= 4 × 10
= 40 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস 8 সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাস, 2r = 8 সে.মি. 
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. 
∴ গোলকের ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি. 

আমরা জানি, 
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
= 4π(4)² বর্গ সে.মি.
= 64π বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ির চাকার পরিধি = ৪ মিটার
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার
= (৩ × ১০০০) মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩০০০ মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩৬০০ মিটার

আমরা জানি, চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং, মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব)/(চাকার পরিধি)
= ৩৬০০ মিটার/৪ মিটার
= ৯০০

∴ চাকাটি ৯০০ বার ঘুরবে।

মনে করি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a
ঘরের প্রস্থ = ৩a
∴ কর্ণ = √{(৪a)² + (৩a)²}
= √২৫a²
= ৫a
∴ ৫a = ২০
বা, a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৪
= ১৬
প্রস্থ = ৩ × ৪
= ১২
ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১২
= ১৯২

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার।
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(20² - 16²) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

প্রশ্ন: একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরি সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির এক-তৃতীয়াংশ। 

সমাধান:
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = R
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = R/3

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন V = (4/3)πr³

এখন,
বড় গোলকের আয়তন = (4/3)πR³
ছোট গোলকের আয়তন = (4/3)π(R/3)³ = (1/27) × (4/3)πR³

∴ ছোট গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তন ÷ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR³} ÷ {(1/27) × (4/3)πR³}
= 1/(1/27)
= 27

সুতরাং, বড় গোলকটি গলিয়ে 27টি সমান ছোট গোলক তৈরি করা সম্ভব।

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩a মি.
∴ প্রস্থ = ২a মি.
∴ ক্ষেত্রফল ৩a × ২a = ৯৬
বা, ৬a^২ = ৯৬
বা, a^২ = ১৬
∴ a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৩a = ১২ মি.
∴ প্রস্থ = ২a = ৮ মি.
∴ কর্নের দৈর্ঘ্য = √(১২^২ + ৮^২)মি.
= √২০৮
= ১৪.৪২ মি.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারটির উচ্চতা, h = 10 সে.মি.
এবং ভূমির ব্যাস = 14 সে.মি.

∴ ভূমির ব্যসার্ধ, r = (1/2) × ব্যাস
= (1/2) × 14 সে.মি.
= 7 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7)² × 10 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 49 × 10 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 10 ঘন সে.মি.
= 1540 ঘন সে.মি.

সুতরাং, সিলিন্ডারটির আয়তন 1540 ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহিঃব্যাস ৪.৮ সেমি এবং অন্তর্ব্যাস ৩.২ সেমি। পাইপটির পুরুত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহিঃব্যাস = ৪.৮ সেমি
∴ পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ = ৪.৮/২ = ২.৪ সেমি

পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৩.২ সেমি
∴ পাইপের অন্তঃব্যাসার্ধ = ৩.২/২ = ১.৬ সেমি

∴ পাইপটির পুরুত্ব = (বহিঃব্যাসার্ধ - অন্তঃব্যাসার্ধ)
= (২.৪ - ১.৬) সেমি
= ০.৮ সেমি

∴ পাইপটির পুরুত্ব ০.৮ সেমি।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত? 
 
সমাধান: 
ধরি, 
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r 
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h₂

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h₂

প্রশ্নমতে, 
πr²h₁ = (1/3)πr²h₂
বা, h₁ = h₂/3
বা, h₁/h₂ = 1/3
∴ h₁ : h₂ = 1 : 3 

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত = 1 : 3  ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার 
∴ ২৪০০০ লিটার = ২৪ ঘনমিটার 

আবার, 
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা 
∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) 
= ২৪/(৪ × ৩) 
= ২৪/১২ 
= ২ মিটার 

∴ ট্যাংকের গভীরতা = ২ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর ৮ মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ১০ মিটার। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ১৭০ বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = ক মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (ক + ৮) মিটার

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × (ক + ক + ৮)
= ৫(২ক + ৮)

প্রশ্নমতে,
৫(২ক + ৮) = ১৭০
⇒ ২ক + ৮ = ১৭০/৫
⇒ ২ক + ৮ = ৩৪
⇒ ২ক = ৩৪ - ৮
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ১৩

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ + ৮ = ২১ মিটার

ত্রিভূজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান।
ফলে প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60° যা সুক্ষকোণ।
সুতরাং ত্রিভূজটি সুক্ষকোণী।

ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল দুই বাহুর সমষ্টি) × h
বা, ১৫০ = ১/২ × (১২ + ১৮) × h
বা, ১৫h = ১৫০
∴ h = ১০ সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩০ = ১৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে
2(x +  y) =18
x + y = 9 
x = 9 - y.................(1)

আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y² = 20
বা, - y² + 9y - 20 = 0
বা, -1(y² - 9y + 20) = 0
বা, y² - 9y + 20 = 0
বা, y² - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0

হয় 
y - 5 = 0
y = 5

অথবা
y - 4 = 0
y = 4

যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4 
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5

অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = 4 মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণকের ব্যাস, 2r = 6 সে.মি.
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 সে.মি.
এবং কোণকের উচ্চতা, h = 14 সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h.
= (1/3) × (22/7) × 3² × 14 
= (1/3) × 22 × 9 × 2
= 22 × 3 × 2
= 132 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 10 মি. এবং পরিসীমা 100 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 10 মিটার ......(1)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 100 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 100 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 100/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 50 মিটার ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 10 + 50
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 60
⇒ দৈর্ঘ্য = 60/2 = 30 মিটার

এখন, (2) নং সমীকরণ থেকে পাই,
30 + প্রস্থ = 50
⇒ প্রস্থ = 50 - 30 = 20 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 30 × 20
= 600 বর্গ মিটার।

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 600 বর্গ মিটার।