পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৬ ফুট দীর্ঘ এবং ৩ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৬ ফুট এবং প্রস্থ ৩ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৬ × ৩) বর্গফুট
= ১৮ বর্গফুট

ঘরের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট

∴ প্রয়োজনীয় কার্পেট সংখ্যা = ১৮০/১৮ টি 
= ১০টি

প্রশ্ন: ব্যাস 14 সে.মি. হলে, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাস 14 সে.মি.
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
গোলকের পৃষ্ঠের  ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
= 4π × 7² বর্গ সে.মি.
= 196π বর্গ সে.মি.

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³) ও (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3^3) + (4/3 π 4^3) + (4/3 π 5^3)
= 4/3 π (3³ + 4³ + 5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
সুতরাং নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

মনেকরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ আয়তন = 4/3 π r³ = 288π
বা,  r³ = (288π × 3)/4π = 216
∴ r = ³√216 = 6
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4π × 6²
= 144π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ২৪ সে.মি. এবং আয়তন ১২৩২ ঘন সে.মি. হলে কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​কোণকের উচ্চতা, h = ২৪ সে.মি. 
​আয়তন = ১২৩২ ঘন সে.মি. 
​বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = ?
​
​আমরা জানি,
​কোণকের আয়তন = (১/৩)πr^২h
​
​প্রশ্নমতে,
​(১/৩)πr^২h = ১২৩২
​⇒ (১/৩) × (২২/৭) × r^২ × ২৪ = ১২৩২
​⇒ (১৭৬​ × r^২)/৭ = ১২৩২
⇒ ​r^২ = (১২৩২ × ৭)/১৭৬
​⇒ ​r^২ = ৪৯ 
⇒ ​r = ৭
​
∴ ​বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর ৬ টি তল থাকে।
যেমনঃ ইট, বই।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

​সমাধান:
​রাস্তাসহ বাগানের মোট ক্ষেত্রফল = (২০ × ১৫) = ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ ১ মিটার হওয়ায়, ভিতরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিক থেকে (১ + ১) = ২ মিটার করে কমবে।

∴ রাস্তা বাদে বাগানের  ভিতরের দৈর্ঘ্য = ২০ - ২ = ১৮ মিটার
​রাস্তা বাদে বাগানের  ভিতরের প্রস্থ = ১৫ - ২ = ১৩ মিটার

​ রাস্তাবাদে ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল = (১৮ × ১৩) বর্গমিটার
​= ২৩৪ বর্গমিটার

​রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (৩০০ - ২৩৪) বর্গমিটার
= ৬৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তাটির ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১.২৫ মিটার। ২ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ চলতে চাকার মোট ঘূর্ণনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
চাকার পরিধি = ১.২৫ মিটার
দূরত্ব = ২ কিমি ৫০০ মিটার
= ২০০০ + ৫০০= ২৫০০ মিটার

১.২৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = ১ বার
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = (১/১.২৫) বার
∴ ২৫০০ মিটার যেতে চাকা ঘুরবে = (২৫০০ ÷ ১.২৫) বার
= (২৫০০ × ১০০)/১২৫
= ২০০০ বার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৫০ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৬০ = ৪৮০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৫ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৮০ + ৫ + ৫ = ৯০ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৬০ + ৫ + ৫ = ৭০ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৯০ × ৭০ = ৬৩০০ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) - (মাঠের ক্ষেত্রফল)
= ৬৩০০ - ৪৮০০ = ১৫০০ বর্গমিটার

এখন, প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫০০ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ১৫০০ × ১৫০ টাকা
= ২২৫০০০ টাকা
∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ২২৫০০০ টাকা লাগবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি. এবং একটি বাহু ২০ সে.মি.। যদি বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হয়, তবে অপর বাহুটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গ সে.মি.
একটি বাহু, a = ২০ সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × a × b × sin θ  ; [দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ থাকলে] 
⇒ ৫০ = (১/২) × ২০ × b × sin৩০°
⇒ ৫০ = ১০ × b × sin৩০°
⇒ ৫০ = ১০ × b × (১/২)  ; [sin৩০° = ১/২] 
⇒ ৫০ = ৫ × b
⇒ b = ৫০/৫
∴ b = ১০ সে.মি.

সুতরাং, অপর বাহুটি ১০ সে.মি.

বাক্সের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৩×৪ + ৪×৫ + ৩×৫)
= ৯৪ বর্গ মি.
∴ রং করতে খরচ = ৯৪ × ১১
= ১০৩৪ টাকা

অর্ধগোলকের আয়তন = 2/3πr³
যেখানে r ব্যাসার্ধ

আমরা জানি,
গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

চিত্রে, উচ্চতা OA = 8cm, ব্যাসার্ধ = OB = 6
∴ হেলানো উচ্চতা AB = √OA² + OB² = √8² + 6² = 10

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে,
ঘনকের কর্ণ = √3p
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6p²
ঘনকের আয়তন = p³

কোনকের আয়তন = 1/3πr²h

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3/2 গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে, কর্ণ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ৩/২ গুণ
ক্ষেত্রফল = ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক  মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ (৩/২)ক × ক = ৩৮৪
⇒ (৩/২)ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২  = ৩৮৪ × (২/৩)
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬ মিটার
অতএব, প্রস্থ = ১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক = (৩/২) × ১৬ = ২৪ মিটার

আমরা জানি, 
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২) = √(২৪^২ + ১৬^২)
= √(৫৭৬ + ২৫৬)
= √৮৩২
= ৮√১৩ মিটার

সুতরাং, আয়তাকার ঘরটির কর্ণ ৮√১৩ মিটার।

4 gal = (4×4)qt = 16 qt = (16×12)pt = 32 pt
∴ Number of botteles = 32/(1/2) = 64

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের ক্ষেত্রে বাহু সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ
বা, 12 = 360/বহিঃস্থ কোণ
∴ বহিঃস্থ কোণ = 360/12 = 30°

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৬ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৬০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (৪ক × ক)
= ৪ক^২ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৬ টাকা
সুতরাং, মোট খরচ = ৪ক^২ × ৬ = ২৪ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ৬০০/২৪
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
⇒ ক = ৫

সুতরাং, প্রস্থ = ৫ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০ মিটার

এখন, ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২০ + ৫)
= ২ × ২৫
= ৫০ মিটার
∴ ঘরটির পরিসীমা ৫০ মিটার।

ধরি, রডের ব্যাসার্ধ = r
∴ উচ্চতা = r
∴ আয়তন = πr².r = πr³
এখন, বলের ব্যাসার্ধ = r/2
∴ আয়তন = 4/3π(r/2)³
= 4/3.π.r³/8
= πr³/6
∴ বলের সংখ্যা = πr³/(πr³/6)
= 6

ধরি, গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ক, খ
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৪Πক^২/৪Πখ^২ = ৪/৯
বা, ক^২/খ^২ = ৪/৯
বা, ক/খ = ২/৩
বা, ক^৩/খ^৩ = ৮/২৭
বা, (৪/৩ Πক^৩)/(৪/৩ Πখ^৩) = ৮/২৭
∴ আয়তনের অনুপাত = ৮ঃ২৭

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, কোণকটির তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা, L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √(144 + 25) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান: 
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬০ বর্গ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 72
⇒ a² = 72/6
⇒ a² = 12
⇒ a = √12 = 2√3 
∴ a = 2√3 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√3) × √3  ; [a = 2√3]
= 2√(3 × 3)
= 6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 মিটার।

আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 cm
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 1
∴ ক্ষেত্রফল = π.1² = π
বর্গের ক্ষেত্রফল = 2² = 4
∴ অনধিকৃত এলাকার ক্ষেত্রফল = 4 - π বর্গ সে.মি.