পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বেলনের ব্যাসার্ধ = r ও উচ্চতা = h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
এবং আয়তন = πr²h = 150 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং হতে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
বা, r/2 = 150/100
বা, 100r = 300
বা, r = 300/100
∴ r = 3

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।

ঘনকের আয়তন = (বাহু)^৩
∴ ১ম ঘনকের আয়তন = ৩^৩ = ২৭ ঘন সে.মি.
২য় ঘনকের আয়তন = ৪^৩ = ৬৪ ঘন সে.মি.
৩য় ঘনকের আয়তন = ৫^৩ = ১২৫ ঘন সে.মি.
∴ তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = (২৭ + ৬৪ + ১২৫) = ২১৬ ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x হলে, x^৩ = ২১৬
বা, x = ^৩√২১৬ = ৬ 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার এবং ২০ মিটার। পুকুরের চারপাশে ২ মিটার চওড়া পাড় আছে। পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (২ × ২) = ৩৪ মিটার 
পাড়সহ পুকুরের = ২০ + (২ × ২) = ২৪ মিটার 
∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (৩৪ + ২৪) মিটার 
= ১১৬ মিটার। 

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার, উচ্চতা ১৪ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৩ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ১৪ মিটার

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৩ × ১৪ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মিটার, প্রস্থ 20 মিটার এবং পুকুরের সীমানার বাহিরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটি পাকা করতে প্রতি বর্গ মিটারে খরচ হয় 330 টাকা। রাস্তাটি পাকা করতে কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে, 
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার 
আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = 20 মিটার 
∴ আয়তাকার পুকুরের ক্ষেত্রফল = (30 × 20) বর্গমিটার
= 600 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য= (30 + 2 + 2) মিটার = 34 মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ (20 + 2 + 2) মিটার = 24 মিটার
∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল= (34 × 24) বর্গমিটার
= 816 বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল - পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (816 - 600) বর্গমিটার
= 216 বর্গমিটার 

এখন, 
প্রতি বর্গমিটার রাস্তা পাকা করতে খরচ হয় = 330 টাকা
∴ রাস্তাটি পাকা করতে খরচ হবে = (216 × 330) টাকা
= 71280 টাকা ।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পরিসীমা অপেক্ষা ১০ গুণ হলে বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক মিটার 
ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 
পরিধি = 4ক মিটার 

প্রশ্নমতে:
ক^২ = ১০ × ৪ক
ক^২ = ৪০ক
ক(ক - ৪০) = ০ 
ক = ৪০ (ক = ০ সম্ভব নয়)

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার 

ধরি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গসে.মি.

সুতরাং,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 4 × 16
বা, a² = 64
বা, a = 8

পরিসীমা = 3a সে.মি. = 3 × 8 = 24 সে.মি.

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.৫ হেক্টর = ৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a² বর্গমিটার

এখানে,
a² = ৫০০০ বর্গমিটার

কর্ণ =√(a² + a²)
=√(৫০০০ + ৫০০০)
=√১০০০০
=১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহু 3 গুণ হলে, তার আয়তন কতগুণ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন, V = a³

ঘনকের এক বাহু 3 গুণ হলে, নতুন বাহু = 3a
ঘনকের নতুন আয়তন, V' = (3a)³= 27a³

∴ V'/V = 27a³/a³ = 27

∴  আয়তন 27 গুণ হবে।

ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
আয়তন = πr²h = 150 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
বা, r = 300/100
= 3

প্রশ্ন: একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি., প্রস্থ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 3 সে.মি. হলে, 60 সে.মি. দৈর্ঘ্য, 48 সে.মি. প্রস্থ এবং 36 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কার্টনের মধ্যে কতটি কাঠের ব্লক রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য = 5 সে.মি., প্রস্থ = 4 সে.মি., উচ্চতা = 3 সে.মি.

∴ একটি কাঠের ব্লকের আয়তন = 5 × 4 × 3 = 60 ঘন সে.মি.

কার্টনের আয়তন = 60 × 48 × 36 = 103680 ঘন সে.মি.

∴ কার্টনে কাঠের ব্লক রাখা যাবে = 103680/60
= 1728 টি

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³/(4/3)πr³
= R³/r³
= 4³/1³
= 64/1
= 64

∴ গোলক বানানো যাবে = 64 টি।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাস এবং 4 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 4 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 12 সেমি
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 12/2 = 6 সেমি
উচ্চতা, h = 4 সেমি

∴ বেলনের আয়তন = πR²h
= π × (6)² × 4
= π × 36 × 4
= 144π ঘন সেমি

মনে করি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
 গোলকের আয়তন = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
4 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 4 × (4/3)πr³ = 144π
⇒ 16/3πr³ = 144π
⇒ r³ = (144 × 3)/16
⇒ r³ = 9 × 3
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3 সেমি

সুতরাং, প্রতিটি গোলকের ব্যাস = 2r = 2 × 3 = 6 সেমি।

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ৬a² = ২৯৪
বা, a² = ৪৯
∴ a = ৭
∴ ঘনকের আয়তন = ৭^৩
= ৩৪৩ ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে,
তার কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার
সুতরাং,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
= 4√2 মি.

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 6a² = 294
বা, a² = 49
∴ a = 7
∴ আয়তন = a³ = 7³
= 343 ঘন মিঃ

প্রশ্ন: একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
6a² = 384
⇒ a² = 384/6
⇒ a² = 64
⇒ a = √64
∴ a = 8 সে.মি.

এখন, ঘনকটির আয়তন = a³ ঘন সে.মি.
= 8³
= 512 ঘন সে.মি.

∴ ঘনকটির আয়তন 512 ঘন সে.মি.।

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১০ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ৬ মিটার। এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৮ মিটার এর অর্ধেক অর্থাৎ ৪ মিটার।

ঘনকে ৬ টি তল থাকে। প্রতিটি তলে ৪ টি সমকোণ থাকে।
∴ মোট সমকোণ = ৬×৪ = ২৪ টি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৬ সে. মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ২ টি বাহু সমান = ক
ক^২ + ক^২ = ৬^২
বা, ২ক^২ = ৩৬
বা, ক^২ = ৩৬/২
বা, ক^২ = ১৮
বা, ক = ৩√২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৩√২ × ৩√২
= ৯ বর্গ সে. মি

রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × 8 × 6
= 24 বর্গসেঃমিঃ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

আবার,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 6 cm
∴ প্রস্থ = 24/6
= 4 cm

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(6² + 4²)
= √52
= 2√13 cm

ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় r₁, r₂
∴ আয়তনদ্বয়ের অনুপাত,
{(4/3)π(r₁)³}/{(4/3)π(r₂)³} = 27/8
বা, (r₁)³/(r₂)³ = 3³/2³
বা, r₁/r₂ = 3/2
∴ r₁ : r₂ = 3 : 2

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১৫ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু এর সমান

∴ ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২

এখন, ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১২ মিটার
∴ ১৫ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১২ × ১৫) মিটার
= ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি হলে, এর অর্ধ পরিসীমা কত সেমি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি।
অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য = ৬ সেমি, প্রস্থ = ৫ সেমি

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৬ + ৫) সেমি
= ২ × ১১ সেমি
= ২২ সেমি

∴ অর্ধ পরিসীমা = ২২/২ সেমি
= ১১ সেমি

প্রশ্ন: একটি গোলকের আয়তনকে তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 12 মি. হয়। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?
 
সমাধান:
ধরি,
গোলকটির ব্যাসার্ধ = r 

আমরা জানি, 
গোলকটির আয়তন = (4/3)πr³
এবং গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² 

প্রশ্নানুসারে, 
{(4/3)πr³}/(4πr²) = 12
⇒ r/3 = 12
⇒ r = 12 × 3
∴ r = 36

অতএব, গোলকটির ব্যাসার্ধ 36 মি.

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πa²
∴ ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = 2πb
∴ ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + b

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)^৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ১০৮π/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 150 বার ঘোরে। 2 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

∴ 60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150/60 বার
= 5/2 বার

∴ 2 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = (5/2) × 2
= 5 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 5 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 5
= 1800°

অতএব, 2 সেকেন্ডে চাকাটি 1800° ঘুরবে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু ২ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গমিটার
= (√3/4) × 2² বর্গমিটার
= (√3/4) × 4 বর্গমিটার
= √3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার। দুইটি কোণাকুণি মোটা দড়ি দ্বারা একে চারটি সমান ত্রিভুজাকার ভাগে ভাগ করা হল। প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (১২)^২ বর্গমিটার
= ১৪৪ বর্গমিটার



∴ প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১৪৪/৪) বর্গমিটার
= ৩৬ বর্গমিটার 
= ৬^২ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য 600 সে.মি., প্রস্থ 420 সে.মি. এবং উচ্চতা 300 সে.মি। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = 600 সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = 420 সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = 300 সে.মি.

∴ বাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= 600 × 420 × 300 সে.মি³
= 75,600,000 সে.মি³

∴ বাক্সটির আয়তন = 75,600,000 ঘনসেন্টিমিটার