পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ৫ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি = ৫ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ২৫/৫ 
∴ উচ্চতা = ৫ সে.মি ।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= (22/7) × 49 × 10
= 22 × 7 × 10
= 1540 ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 1540 ঘন সে.মি.

এখানে,
ব্যাসার্ধ (r) = 9
∴ ক্ষেত্রফল = Πr² = 81Π

একটি ঘনকের 6টি তল। 2 মিটার ধার বিশিষ্ট ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = 2² = 4 বর্গমিটার।
সুতরাং ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × 4 = 24 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
আমরা জানি,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২}
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(৪০)^২ + (৯)^২}
= √(১৬০০ + ৮১)
= √১৬৮১
= ৪১ মিটার
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ৪১ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কাঠের বক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 2 সে.মি., ও √38 সে.মি. হলে কাঠের বক্সটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার কাঠের বক্সের
দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.
প্রস্থ, b = 2 সে.মি.
কর্ণ = √38 সে.মি.
উচ্চতা, c = ?

প্রশ্নমতে,
√(a² + b² + c²) = √38
বা, (a² + b² + c²) = 38 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, (3)² + (2)² + c² = 38
বা, 9 + 4 + c² = 38
বা, 13 + c² = 38
বা, c² = 38 - 13
বা, c² = 25
বা, c = 5 [বর্গমূল করে] 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। ক্ষেত্রটির মেঝে মেরামত করতে প্রতি বর্গমিটারে ২টাকা করে মোট ১৪৪ টাকা খরচ হয়। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
প্রতি বর্গমিটারে ২টাকা করে মোট ১৪৪ টাকা খরচ হলে,
মোট ক্ষেত্রফল = ১৪৪/২ বর্গমিটার
= ৭২ বর্গমিটার

ধরি,
প্রস্থ x মিটার 
তাহলে, দৈর্ঘ্য 2x মিটার 
সুতরাং,
2x × x = 72
2x² = 72
x² = 36
x = 6
অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য 2 × 6 মিটার
= 12 মিটার 

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি. হলে,
a + b + 13 = 30
⇒ a + b = 17 ......... (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a + b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 ......... (ii)
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা (লম্ব) 
সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১৬ সে. মি. এবং উচ্চতা ৭ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১৬ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১৬/২ = ৮ সেমি
উচ্চতা, h = ৭ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৮)^২ × ৭
= π × ৬৪ × ৭
= ৪৪৮π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৪৪৮π ঘন সেমি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, ১৫ মিটার ও ১৭ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৮ মিটার, b = ১৫ মিটার ও c = ১৭ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা, ২S = (৮ + ১৫ + ১৭) মিটার
⇒ S = ৪০/২ মিটার
∴ S = ২০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{S(S - a)(S - b)(S - c)} বর্গমিটার
= √{২০(২০ - ৮)(২০ - ১৫)(২০ - ১৭)} বর্গমিটার
= √(২০ × ১২ × ৫ × ৩) বর্গমিটার
= √৩৬০০ বর্গমিটার
= ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 20 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 20 সে.মি
এবং কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(20² + 21²) সে.মি
= √(400 + 441) সে.মি
= √841 সে.মি
= 29 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 29 সে.মি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস ৩০ মি. এবং বাগানের মাঝখানে ১২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি লম্বা দড়ির সাহায্যে একটি গরু বাঁধা আছে। গরুটি কতটুকু বাগানের ঘাস খেতে পারবে না?

সমাধান:
বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ = ৩০/২ = ১৫ মি.
বৃত্তের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল = πr^২ = π(১৫)^২ = ২২৫π বর্গ মি.
​
গরুর দড়ির দৈর্ঘ্য = ১২ মি.
গরুটি যে ক্ষেত্রফল ঘাস খেতে পারবে = π(১২)^২ = ১৪৪π বর্গ মি.
​
ঘাস খেতে পারবে না এমন ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ বাগানের ক্ষেত্রফল - গরুর ঘাস খাওয়ার ক্ষেত্রফল
= ২২৫π - ১৪৪π
= ৮১π বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং আয়তন 100π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r

দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12  সে.মি.
কোণকের আয়তন, v = 100π ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = 4πr²
বা, 4πr² = 100π
বা, r² = 100π/4π
⇒ r² = 25
⇒ r² = 5²
∴ r = 5

আমরা জানি,
হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (5)²}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (25 × 20 × 15) ঘন সে. মি.
= 7500 ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ১০০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.২ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. ও প্রস্থ ৯ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা
বইয়ের ১০০০ পৃষ্ঠা = ৫০০ পাতা

৫০০ পাতার পুরুত্ব = (৫০০ × ০.২) মি.মি. = ১০০ মি.মি. = ১০ সে.মি.

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২০ × ৯ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১৮০০ ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৩০ × ৪) মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

বর্গক্ষেত্রের একবাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= (2 × √2 × √2) / √2
= 2√2

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৮৪ সে.মি., উচ্চতা ১৪৭ সে.মি. হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮৪ সে.মি.
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৮৪ ÷ ২ = ৪২ সে.মি.

বেলনের উচ্চতা h = ১৪৭ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪২ × ১৪৭
= (২ × ২২ × ৪২ × ১৪৭) ÷ ৭
= ২৭১৬৫৬ ÷ ৭
= ৩৮৮০৮ সে.মি^২

∴ বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৩৮৮০৮ সে.মি^২

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ২০/(৭+৩)
= ৪ সেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার ও উচ্চতা 4 মিটার। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
এখানে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 10 মিটার এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক 
= 2(12 × 10 + 10 × 4 + 4 × 12) বর্গমিটার
= 2(120 + 40 + 48) বর্গমিটার 
= 2 × 208 বর্গমিটার 
= 416 বর্গমিটার  ।

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং  উচ্চতা 30 সে.মি. হলে বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 30 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 14 × 30
= 2 × (22/7) × 14 × 30
= 44 × 60
= 2640 বর্গ সে.মি.

১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার।
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার।

ধরি উচ্চতা = h
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব / ভূমি
⇒ tan45 = h / 5
⇒ tan45 X 5 = h 

∴h = 5

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে, অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
মনে করি,
ভূমি = লম্ব = ক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২= লম্ব^২+ ভূমি^২
= ক^২+ ক^২
= ২ক^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২ক^২
∴ অতিভুজ = √২ক = √২ × লম্ব

তাহলে, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ।

আমরা জানি, গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² = 4π×3² = 36π বর্গসেন্টিমিটার।