পরিমিতি

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(12 + 8) সে.মি.
= 40 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 40 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 10
বা, a² = 100 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 30 মিটার দীর্ঘ এবং 20 মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে 3 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = 20 মিটার
সুতরাং, রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (30 × 20) বর্গমিটার = 600 বর্গমিটার

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30 + 3 + 3) মিটার = 36 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 3 + 3) মিটার = 26 মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (36 × 26) বর্গমিটার
= 936 বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (936 - 600) বর্গমিটার
= 336 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8√3 মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 8√3 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (√3/4) × a² বর্গমিটার
= (√3/4) × (8√3)² বর্গমিটার
= (√3/4) × 64 × 3 বর্গমিটার
= 48√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: 3 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × (3)³ cm³
= 36π cm³

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR³}/{(4/3)πr³}
= R³/r³
= 4³/1³
= 64

∴ 64টি গোলক বানানো যাবে।

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার, প্রস্থ ১৮ মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ১৮ মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= ২৫ × ১৮ = ৪৫০ বর্গমিটার

যেহেতু বাগানের বাইরে চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৫ + (৩ + ৩) = ৩১ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ১৮ + (৩ + ৩) = ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩১ × ২৪ = ৭৪৪ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭৪৪ - ৪৫০ = ২৯৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, S = ১৫০ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, S = ৬a^২ 
⇒ ৬a^২ = ১৫০
⇒ a^২ = ১৫০/৬
⇒ a^২ = ২৫
⇒ a^২ = ৫^২ 
∴ a = ৫ সে.মি.

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন, V = a^৩
= ৫^৩
= ১২৫

সুতরাং ঘনকটির আয়তন ১২৫ ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. ও পরিসীমা 2 মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 60 সে.মি.
 আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ‍X সে.মি.
পরিসীমা = 2 মি. = 200 সে.মি.
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(60 + X) সে.মি.
প্রশ্নমতে,
  2(60 + X) = 200
বা, 120+ 2X = 200
বা, 2X  = 80
∴ X = 40

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ‍40 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (60 × 40) বর্গ সে.মি
= 2400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. এবং উচ্চতা 14 সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h = 14 সে.মি. 
 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 6(6 + 14)
= 2π × 120
= 240π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১৫ সে. মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা ২৫ সে. মি. । ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল)^২ × উচ্চতা 
= (১/৩) × ১৫^২ ×২৫ ঘন সে. মি.
= (১/৩) × ২২৫ × ২৫ ঘন সে. মি.
= ১৮৭৫ ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: ১৮ ইঞ্চি উচু একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৩ ফুট এবং প্রস্থ ২ ফুট। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ৩ ফুট, প্রস্থ ২ ফুট
এবং উচ্চতা, ১৮ ইঞ্চি = ১৮/১২ ফুট = ১.৫ ফুট

∴ বাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৩ × ২ × ১.৫) ঘনফুট
= ৯ ঘনফুট

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার। চারদিকে ২ মিটার চওড়া পথ থাকলে পথের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাগানের বাহু = ৮০ মিটার
চারদিকে ২ মিটার চওড়া পথ আছে।

এখন, 
পথসহ বর্গের বাহু = ৮০ + ২ + ২ = ৮৪ মিটার
পথসহ পুরো এলাকার ক্ষেত্রফল = ৮৪ × ৮৪ = ৭০৫৬ বর্গমিটার
এবং শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৮০ = ৬৪০০ বর্গমিটার

∴ পথের ক্ষেত্রফল = পুরো এলাকা - বাগানের এলাকা
= ৭০৫৬ - ৬৪০০
= ৬৫৬ বর্গ মি.

সুতরাং, পথের ক্ষেত্রফল ৬৫৬ বর্গ মি.।

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈ‍‍র্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ব‍‍র্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে.মি. হলে,
এর অর্ধপরিসীমা s = (a + b + c)/2 সে.মি.
= (6 + 8 + 10)/2 সে.মি.
= 24/2 সে.মি.
= 12 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s - a)(s - b)(s - c) 
= √{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}
= √(12 × 6 × 4 × 2)
= √576 বর্গ সে.মি.
= 24 বর্গ সে.মি.

ঘনকে ৬ টি তল থালে।প্রতিটি তলে ৪ টি সমকোণ থাকে
∴মোট সমকোণ = ৬×৪ = ২৪ টি

প্রশ্ন: একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১০ মিটার বেশি হলে একটি ১০০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
মাঠটির প্রস্থ = x মিটার (যেখানে, দৈর্ঘ্য = প্রস্থ) 
∴ ১০ মিটার বেশিতে বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = (x + ১০) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(x + ১০)^২ = ১০০০০ 
বা, (x + ১০)^২ = (১০০)২ 
বা, x + ১০ = ১০০ 
বা, x = ১০০ - ১০ 
∴ x = ৯০ 

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৪ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৭০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৭০ × ৬০ = ৪২০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৫ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৭০ + ৫ + ৫ = ৮০ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৬০ + ৫ + ৫ = ৭০ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৭০ = ৫৬০০ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল
= ৫৬০০ - ৪২০০ = ১৪০০ বর্গমিটার

এখন,
প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় ১৪ টাকা
∴ ১৪০০ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ১৪০০ × ১৪ টাকা
= ১৯৬০০ টাকা

∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ১৯৬০০ টাকা লাগবে।

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = n

দেওয়া আছে,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24°

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 360°

এখন,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/n
⇒ 24° = 360°/n
⇒ n = 360°/24°
⇒ n = 15

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 343 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ঘনকের আয়তন = 343 ঘন সে.মি.
প্রশ্নমতে,
a³ = 343
⇒ a³ = 7³ 
∴ a = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 7√2 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার। ঘরের চারপাশে ৩ মিটার চওড়া একটি বারান্দা আছে। বারান্দা সহ ঘরের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘরের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৪ × ১০) = ১৪০ বর্গমিটার

এখন, 
বারান্দা সহ ঘরের দৈর্ঘ্য {১৪ + (২ × ৩)} মিটার
= ২০ মিটার
বারান্দা সহ ঘরের প্রস্থ {১০ + (২ × ৩)} মিটার 
= ১৬ মিটার

∴ বারান্দা সহ ঘরের ক্ষেত্রফল = (২০ × ১৬ ) বর্গমিটার
= ৩২০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 4 : 5 হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, কর্ণদ্বয় = 4a এবং 5a

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (প্রথম কর্ণ) × (দ্বিতীয় কর্ণ)
⇒ (1/2) × 4a × 5a = 250
⇒ 10a² = 250
⇒ a² = 250/10
⇒ a² = 25 = 5²
∴ a = 5

∴ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 এবং 5 × 5 = 25
∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 20 + 25 = 45 সে.মি.

সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 45 সে.মি.

আমরা জানি, ঘনকের আয়তন = বাহু³
বা, ৫১২ = বাহু³
বা, বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং একপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =বাহু² = ৮² = ৬৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি পাম্প প্রতি মিনিটে ৫০ লিটার পানি তুলতে পারে। যদি পাম্পটি একটি সুইমিং পুল পূর্ণ করতে ১০ ঘন্টা সময় নেয়, তবে পুলটির আয়তন কত ঘনমিটার?

সমাধান:
​আমরা জানি,
১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট
সুতরাং, ১০ ঘন্টা = (১০ × ৬০) মিনিট = ৬০০ মিনিট।

পাম্পটি ১ মিনিটে পানি তোলে = ৫০ লিটার
অতএব, ৬০০ মিনিটে পাম্পটি পানি তোলে = (৬০০ × ৫০) লিটার = ৩০০০০ লিটার।

এখন, আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
সুতরাং, ৩০০০০ লিটার = (৩০০০০/১০০০) ঘনমিটার = ৩০ ঘনমিটার।

অতএব, সুইমিং পুলটির আয়তন হলো ৩০ ঘনমিটার।

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (২ + ২) মিটার} = ৩৪ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {২০ মিটার + (২ + ২) মিটার} = ২৪ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩৪ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৮১৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৮১৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ২১৬ বর্গমিটার। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাস d = r
ব্যাসার্ধ্য r = r/2

ক্ষেত্রফল = π(r/2)² = (πr²)/4

∴ক্ষেত্রফল = (πr²)/4

ব্যাসার্ধ = a/2
∴ আয়তন = (4/3)π(a/2)³
= 4π/3 × a³/8
= (1/6)πa³

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
1° = π/180
∴60° = π/3