অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: A, B এবং C একটি ব্যবসার জন্য মোট ৫০,০০০ টাকা বিনিয়োগ করেন। A, B-এর চেয়ে ১০০০০ টাকা বেশি এবং B, C-এর চেয়ে ৫,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন। C এর বিনিয়োগের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
C এর বিনিয়োগের পরিমাণ x টাকা
B এর বিনিয়োগের পরিমাণ (x + ৫০০০) টাকা
A এর বিনিয়োগের পরিমাণ (x + ৫০০০ + ১০০০০) বা (x + ১৫০০০) টাকা

শর্তমতে,
x + (x + ৫০০০) + (x + ১৫০০০) = ৫০০০০
বা, ৩x + ২০০০০ = ৫০০০০
বা, ৩x = ৫০০০০ - ২০০০০
বা, ৩x = ৩০০০০
বা, x = ৩০০০০/৩
∴ x = ১০০০০

∴ C এর বিনিয়োগের পরিমাণ ১০০০০ টাকা।

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭ + ৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২ + ৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০ + ৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫ + ৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ : ১০
= ৭ : ২ বছর।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার ০.৬ অংশ হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা ক
এবং অপর সংখ্যাটি খ।

প্রশ্নমতে,
ক = খ এর ০.৬ অংশ
বা, ক = খ × ০.৬
বা, ক/খ = ০.৬
বা, ক/খ = ৬/১০
বা, ক/খ = ৩/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

৬৪ কেজি মিশ্রণে বালির পরিমাণ (৬৪ × ২৫/১০০) = ১৬ কেজি
∴ পাথরের পরিমাণ = (৬৪-১৬) = ৪৮ কেজি।
এখন, ৪০% = ৪৮ কেজি
∴ ১০০% = (৪৮×১০০)/৪০ কেজি
= ১২০ কেজি
১২০ কেজিতে বালির পরিমাণ (১২০-৪৮) = ৭২ কেজি
∴ বালি মিশাতে হবে (৭২-১৬) = ৫৬ কেজি

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ । ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ২ : ৩ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [৬০ × (২/৫)] = ২৪ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৬০ × (৩/৫)] = ৩৬ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ১ : ২ 

প্রশ্নমতে, 
২৪ : (৩৬ + x) = ১ : ২
বা, ২৪/(৩৬ + x) = ১/২
বা, ৪৮ = ৩৬ + x 
বা, x = ৪৮ - ৩৬ 
বা, x = ১২
∴ x = ১২ 

∴ ১২ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩ এই অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩

অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশির গুণফল = ৫ × ৩ × ৪ = ৬০
অনুপাতগুলোর উত্তর রাশির গুণফল = ৬ × ২ × ৩ = ৩৬

∴ মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ৩৬
= ৫ : ৩

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং a : c = 5 : 7 হলে b : C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a : b = 3 : 5
a : c = 5 : 7

এখানে উভয় অনুপাতে a পদটি সাধারণ। b : c এর মান বের করার জন্য a এর মানকে সমান করতে হবে।

3 এবং 5 এর ল.সা.গু = 15

প্রথম অনুপাত: a : b = 3 : 5
উভয় পদকে ৫ দ্বারা গুণ করলে: a : b = 15 : 25

দ্বিতীয় অনুপাত: a : c = 5 : 7
উভয় পদকে ৩ দ্বারা গুণ করলে: a : c = 15 : 21

∴ a : b : c = 15 : 25 : 21
∴ b : c = 25 : 21

A/D = A/B × B/C × C/D
= 4/3 × 5/4 × 9/10
= 3/2
∴ D:A = 2:3

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা,
২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ও ক্রয় মূল্য এর অনুপাত = ১২৫ : ১০০ = ৫ : ৪

সংখ্যা তিনটির অনুপাত = ১/২ : ২/৩ : ৩/৪
= ৬ : ৮ : ৯ [১২ দ্বারা গুণ করে]
ধরি,
সংখ্যা তিনটি ৬a, ৮a, ৯a
∴ ৯a - ৬a
= ৩a

প্রশ্নমতে,
৩a = ৩৬৩
∴ a = ১২১
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬a
= ৬ × ১২১
= ৭২৬

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৪/(৪+৩) X ৩৫ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৪+৩) X ৩৫ = ১৫ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৫
= (৪ X ৫) ∶ (৫ X ৫)
= ২০ ∶ ২৫
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ২৫ - ১৫ = ১০ লিটার।

A, B, C, D এর লাভের টাকার পরিমান যথাক্রমে ৫x, ২x, ৪x, ৩x টাকা
∴ ৫x - ৩x = ২০০০
বা, ২x = ২০০০
∴ x = ১০০০
∴ মোট লাভ = ৫x + ২x + ৪x + ৩x
= ১৪x
= ১৪ × ১০০০
= ১৪০০০ টাকা।

ধরি, ১ টি টিভির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৪৫% লাভে টিভি বিক্রির সংখ্যা 'ক' টি
১ টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ টাকা
'ক' টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ক টাকা
১০% বেশি বিক্রিতে টেলিভিশনের সংখ্যা (ক + ক এর ১০%)
= ১১ক/১০ টি
৪০% লাভে মোট লাভের পরিমাণ (৪০ X ১১ক/১০) টাকা
= ৪৪ক টাকা
নতুন লাভ : আগের লাভ = ৪৪ক : ৪৫ক = ৪৪ : ৪৫

প্রশ্ন: A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ এবং C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ। A ও B-এর আয়ের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ
∴ A : C = ৬ : ৫ ...... (১) 
এবং 
C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ 
∴ C : B = ৩ : ৪ ......(২)

এখন, (১) নং কে ৩ দ্বারা গুণ করে পাই, 
  A : C = (৬ × ৩) : (৫ × ৩) = ১৮ : ১৫ 

এবং (২) নং কে ৫ দ্বারা গুণ করে পাই,
C : B = (৩ × ৫) : (৪ × ৫) = ১৫ : ২০ 

∴A : C : B = ১৮ : ১৫ : ২০

∴ A : B = ১৮ : ২০ = ৯ : ১০ 

সুতরাং, A ও B এর আয়ের অনুপাত ৯ : ১০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৮৪ এবং অনুপাত ৩ : ৪। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করা হয় তাহলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি সংখ্যার যোগফল = ৮৪
অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩x এবং ৪x
তাহলে,
⇒ ৩x + ৪x = ৮৪
⇒ ৭x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/৭
∴ x = ১২
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৩x = ৩ × ১২ = ৩৬
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪x = ৪ × ১২ = ৪৮

এখন, প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করলে নতুন সংখ্যা দুটি হবে,
∴ নতুন প্রথম সংখ্যা = ৩৬ - ৬ = ৩০
∴ নতুন দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮ - ৬ = ৪২

∴ নতুন অনুপাত = ৩০ : ৪২ = ৫ : ৭

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স ৩x, x
∴ (৩x + ৫)/(x + ৫) = ৫/২
বা, ৬x + ১০ = ৫x + ২৫
∴ x = ১৫
∴ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ৩x + x = ৪x
= ৪ × ১৫
= ৬০

প্রশ্ন: ২৪০ লিটার পানিকে ৫ : ৯ : ৬ অনুপাতে তিনটি পাত্রে ভাগ করলে দ্বিতীয় পাত্রে কত লিটার পানি থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুপাত ৫ : ৯ : ৬
অনুপাতের সমষ্টি = ৫ + ৯ + ৬ = ২০

এখন, দ্বিতীয় পাত্র পানি থাকবে = ২৪০× (৯/২০) লিটার
= ১২ × ৯
= ১০৮ লিটার

সুতরাং, দ্বিতীয় পাত্রে ১০৮ লিটার পানি থাকবে।

প্রশ্ন: ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণে ক এর ১৭ ভাগ, খ এর ৩ ভাগ এবং গ এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে গ কতটুকু আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৭২ কেজি
ক : খ : গ = ১৭ : ৩ : ৪

∴ মোট ভাগ = ১৭ + ৩ + ৪ = ২৪ ভাগ

∴ গ-এর পরিমাণ = ৭২ × (৪/২৪)
= ১২ কেজি

ছাত্রীর শতকরা হার = (৪×১০০)/১১ = ৩৬.৩৬

প্রশ্ন: ৭০০ টাকা A, B ও C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করো যেন A পায় B এর অর্ধেক এবং B পায় C এর অর্ধেক। তাহলে, C কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ধরি, C পায় = ক টাকা
তাহলে, B পায় = C-এর অর্ধেক = ক/২
এবং A পায় = B-এর অর্ধেক = (ক/২)/২ = ক/৪

দেওয়া আছে, 
এখন তিনজনের মোট টাকা = ৭০০ টাকা
⇒ A + B + C = ৭০০
⇒ (ক/৪) + (ক/২) + ক = ৭০০
⇒ (ক + ২ক + ৪ক)/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক = ৭০০ × ৪
⇒ ক = ২৮০০/৭
∴ ক = ৪০০

সুতরাং, C পায় ৪০০ টাকা।

মধ্য সমানুপাতটি a হলে, ৪ × ৪৯ = a²
বা, a = √(৪ × ৪৯)
= ২ × ৭
= ১৪

অনুপাতের যোগফল = ৫+১ = ৬
৩৬ জনের ঐ ক্লাসে বালকের সংখ্যা (৩৬ এর ৫/৬) জন = ৩০ জন।
এবং বালিকার সংখ্যা (৩৬ এর ১/৬) = ৬ জন।
বালকদের গড় বয়স বালিকাদের সংখ্যার দ্বিগুণ অর্থাৎ (৬ X ২) বা ১২ বছর।
বালকদের মোট বয়স (৩০ X ১২) = ৩৬০ বছর।

প্রশ্ন: ক : খ = ৭ : ৫, খ : গ = ৩ : ৪; যদি ক-এর ৬৯৩ টাকা থাকে, তবে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৭ : ৫
খ : গ = ৩ : ৪

∴ ক : খ : গ = (৭ × ৩) : (৫ × ৩) : (৪ × ৫)
= ২১ : ১৫ : ২০
অতএব, ক : খ : গ = ২১ : ১৫ : ২০

∴ ক-এর ২১ অংশ = ৬৯৩ টাকা
∴ ক-এর ১ অংশ = ৬৯৩/২১ = ৩৩ টাকা

∴ গ-এর ২০ অংশ = ২০ × ৩৩ = ৬৬০ টাকা

সুতরাং, গ-এর টাকার পরিমাণ ৬৬০ টাকা।

প্রশ্ন: X এবং Y, ৫ : ৮ অনুপাতে কিছু টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করে। যদি বছরের শেষে ৫ : ৪ অনুপাতে লাভ ভাগ করা হয় এবং X, ১২ মাসের জন্য বিনিয়োগ করে, তবে Y কত মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
X এবং Y-এর বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৮
লাভ ভাগের অনুপাত = ৫ : ৪
X বিনিয়োগ করেছে ১২ মাস
এবং Y বিনিয়োগ করেছে = m মাস 

আমরা জানি, 
ব্যবসায় লাভের ভাগাভাগি হয় = বিনিয়োগ × সময় ; অর্থাৎ মূলধন × সময় অনুপাতে।

লাভের অনুপাত = (X-এর বিনিয়োগ × X-এর সময়) : (Y-এর বিনিয়োগ × Y-এর সময়)
⇒ ৫ : ৪ = (৫ × ১২) : (৮ × m)
⇒ ৫/৪ = ৬০/৮m
⇒ ৫ × ৮m = ৪ × ৬০
⇒ ৪০m = ২৪০
⇒ m = ২৪০/৪০
∴ m = ৬

উত্রাং, Y, ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল।

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর বেতনের অনুপাত ৫ : ৭ : ৯। ক ও গ-এর বেতনের যোগফল খ-এর বেতনের চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি। খ-এর বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ : গ = ৫ : ৭ : ৯

ধরি, ক-এর বেতন = ৫x
খ-এর বেতন = ৭x
গ-এর বেতন = ৯x

তাহলে,
ক ও গ-এর মোট বেতন = ৫x + ৯x = ১৪x

প্রশ্ন অনুযায়ী,
ক ও গ মিলে খ-এর চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি পায়
অর্থাৎ,
⇒ ১৪x - ৭x = ২১০০ 
⇒ ৭x = ২১০০ 
⇒ x = ২১০০/৭ 
∴ x = ৩০০ টাকা 

∴ খ-এর বেতন = ৭ × ৩০০ = ২১০০ টাকা।

সুতরাং, খ-এর বেতন ২১০০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ১৪০% হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা P
∴ অপর একটি সংখ্যা = P × ১৪০%
= P × ১৪০/১০০
= ৭P/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = P : ৭P/৫
= ৫P : ৭P
= ৫ : ৭

প্রশ্ন: একটি সোনার গয়নার ওজন ১৪০ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৭ : ৪ হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
গয়নার ওজন = ১৪০ গ্রাম

 সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ২ = ৫
 
∴ সোনার পরিমাণ = (১৪০ × ৩)/৫ = ৮৪ গ্রাম 
∴ তামার পরিমাণ = (১৪০ × ২)/৫ = ৫৬ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
(৮৪ + ক) : ৫৬ = ৭ : ৪ 
বা, (৮৪ + ক)/৫৬ = ৭/৪
বা, ৩৩৬ + ৪ক = ৩৯২
বা, ৪ক = ৩৯২ - ৩৩৬
বা, ৪ক = ৫৬
বা, ক = ৫৬/৪
∴ ক = ১৪

∴ সোনা মেশাতে হবে = ১৪ গ্রাম।

সংখ্যা ২টি ৩x, ৮x
∴ (৩x + ২)/(৮x + ২) = ২/৫
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ১০
বা, ১৬x - ১৫x = ১০ - ৪
∴ x = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = ৮x
= ৮ × ৬
= ৪৮