অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২

ধরি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক
৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৩) : (২ক + ৩) = ৭ : ৩
বা, (৫ক + ৩)/(২ক + ৩) = ৭/৩
বা, ৩(৫ক + ৩) = ৭(২ক + ৩)
বা, ১৫ক + ৯ = ১৪ক + ২১
বা, ১৫ক − ১৪ক = ২১ − ৯
∴ ক = ১২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৫ × ১২ = ৬০ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২ × ১২ = ২৪ বছর

প্রশ্ন: 400 গ্রাম চিনির একটি মিশ্রণে 25% চিনি রয়েছে। ঐ দ্রবণে চিনির পরিমাণ 40% করতে অতিরিক্ত কতটুকু চিনি যোগ করতে হবে?

সমাধান:
দ্রবণে চিনি আছে = 400 এর 25%
= 400 × (25/100)
= 100 গ্রাম
এবং, ঐ দ্রবণে অন্য পদার্থ আছে = 400 - 100 = 300 গ্রাম (যা অপরিবর্তিত থাকবে)।

ধরি, অতিরিক্ত x গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।
∴ নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = (400 + x) গ্রাম
∴ নতুন চিনির পরিমাণ = (100 + x) গ্রাম

প্রশ্নানুযায়ী, নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 40% হবে।
প্রশ্নমতে,
(100 + x)/(400 + x) = 40%
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 40/100
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 2/5
⇒ 5(100 + x) = 2(400 + x)
⇒ 500 + 5x = 800 + 2x
⇒ 5x - 2x = 800 - 500
⇒ 3x = 300
∴ x = 100 

∴ আরো 100 গ্রাম লবণ যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত ২ : ৩। তাদের দুজনের বয়সের সমষ্টি ৩০ বছর হলে, কার বয়স কত?

সমাধান:
লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত = ২ : ৩
ধরি, তাদের বয়স যথাক্রমে ২ক বছর ও ৩ক বছর।

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৩০
বা, ৫ক = ৩০
∴ ক = ৬

তাহলে, লিজার বয়স = (২ × ৬) বছর = ১২ বছর
এবং, শিখার বয়স = (৩ × ৬) বছর = ১৮ বছর

উত্তর: ১২ বছর এবং ১৮ বছর।

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১ । এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১৬ × ১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি,
ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১
(ক + ১২)/৪ = ৪/১
ক + ১২ = ১৬
ক = ১৬ - ১২
ক = ৪

∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম

প্রশ্ন: A, B ও C এর মধ্যে ১২৪ টাকা (১/২) : (১/৩) : (১/৫) অনুপাতে ভাগ করলে, A কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A : B : C = ১/২ : ১/৩ : ১/৫
= (৩০/২) : (৩০/৩) : (৩০/৫)  ; [২, ৩, ৫ এর ল.সা.গু = ৩০] 
= ১৫ : ১০ : ৬ 
∴ A : B : C = ১৫ : ১০ : ৬ 

অনুপাতের সমষ্টি = ১৫ + ১০ + ৬ = ৩১ অংশ
এবং মোট = ১২৪ টাকা

∴ A পাবে = (১২৪ এর ১৫/৩১) টাকা 
= ৬০ টাকা 

অতএব, A পাবে ৬০ টাকা। 

এখানে প্রথম রাশি = ৫
দ্বিতীয় রাশি = ৭
তৃতীয় রাশি = ১০
আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = (৭ × ১০) / ৫ = ১৪
∴ নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতি = ১৪

ধরি, একটি সংখ্যা = x
∴ অপর সংখ্যাটি = x এর ৩৫০% = ৩৫০x/১০০ = ৭x/২
সংখ্যা দুটির অনুপাত = x/(৭x/২) = ২/৭ = ২ঃ৭

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭/৫ বছর ও ৩ বছর ছিল।
তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৫+৩) বছর = ২৮ বছর এবং মেয়ের বয়স = (৩+৩) বছর = ৬ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (২৮+৫) বছর = ৩৩ বছর এবং (৬+৫) বছর = ১১ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৩ঃ১১
= ৩ঃ১

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ২৫ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। কী পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৫ : ১ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৩ + ২) = ৫ 
∴ অনুপাতে সোনার পরিমাণ = ২৫ × (৩/৫) গ্রাম = ১৫ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ২৫ × (২/৫) গ্রাম = ১০ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মিশাতে হবে = ক গ্রাম 

শর্তমতে, 
(১৫ + ক)/১০ = ৫/১
বা, ১৫ + ক = ৫০
বা, ক = ৫০ - ১৫
∴ ক = ৩৫

∴ সোনা মিশাতে হবে = ৩৫ গ্রাম।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৯২ বছর হয়। ৬ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
বর্তমানে,
পিতার বয়স = x বছর  
পুত্রের বয়স = y বছর  

দেওয়া আছে,  
x + y = ৯২ বছর.........(i)

৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩  
তাহলে,  
(x - ৬)/(y - ৬) = ৫/৩  
বা, ৩(x - ৬) = ৫(y - ৬)  
বা, ৩x - ১৮ = ৫y - ৩০  
বা, ৩x = ৫y - ১২  
∴ x = (৫y - ১২)/৩.........(ii)

(ii) সমীকরণটি (i)-এ বসাই:  
(৫y - ১২)/৩ + y = ৯২  
বা, ৫y - ১২ + ৩y = ২৭৬  
বা, ৮y = ২৮৮  
∴ y = ৩৬

y এর মান (i) নং এ বসাই,  
∴ x = ৯২ - ৩৬ = ৫৬

৮ বছর পর,  
পিতার বয়স = ৫৬ + ৮ = ৬৪  
পুত্রের বয়স = ৩৬ + ৮ = ৪৪  

∴ ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৬৪ : ৪৪ = ১৬ : ১১

কঃখ = ৪ঃ৭ = (৪ × ১০) ঃ (৭ × ১০) = ৪০ঃ৭০
খঃগ = ১০ঃ৭ = (১০ × ৭) ঃ (৭ × ৭) = ৭০ঃ৪৯
∴গঃখঃক = ৪৯ঃ৭০ঃ৪০ 

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৪ : ৭ 
= (৪ × ৫) : (৭ × ৫) 
= ২০ : ৩৫ 

আবার, 
খ : গ = ৫ : ৭ 
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭) 
= ৩৫ : ৪৯ 

∴ ক : খ : গ = ২০ : ৩৫ : ৪৯ ।

সঞ্চয় = ২০ - ১৫
= ৫
আয় ২০ টাকা হলে সঞ্চয় ৫ টাকা।
আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৫/২০ টাকা।
∴ আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় = (৫ X ১০০) / ২০ টাকা।
= ২৫ টাকা।

প্রশ্ন: ক ও খ এর মূলধন সমান, কিন্তু গ এর মূলধন তাদের থেকে ২০% বেশি। মোট ৩৬০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লাভ = ৩৬০ টাকা

ধরি,
(ক ও খ) প্রত্যেকের মূলধন  = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = x + x এর ২০% = x + (২০/১০০)x
= ৬x/৫ টাকা

∴ মোট মূলধন = x + x + (৬x/৫) = ১৬x/৫ টাকা

 ∴ গ এর লাভ = (৬x/৫)/(১৬x/৫) × ৩৬০
= (৬x/৫) × (৫/১৬x)  × ৩৬০ 
= (৩/৮) × ৩৬০ 
= ১৩৫ টাকা

∴ গ এর লাভ = ১৩৫ টাকা

প্রশ্ন: তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো। তারা যদি যথাক্রমে ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হয়, তবে ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী কত টাকা পাবে? 

সমাধান: 
তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো।

তিনজনের শ্রেণির অনুপাত = ৬ : ৭ : ৮ 

∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৬ + ৭ + ৮ = ২১ 

∴ ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী পাবে = ১০৫০ এর ৬/২১ = ৩০০ টাকা 

প্রশ্ন: ক, খ ও গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ ও ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

ধরি, বাবু ও জামালের মাসিক বেতন যথাক্রমে 7x ও 5x
প্রশ্নমতে,
7x + 5x = 24000
বা, 12x = 24000
বা, x = 2000
সুতরাং একবছর পর বাবুর বেতনঃজামালের বেতন = (7x + 500) : (5x + 350) = (7 × 2000 + 500) : (5 × 2000 + 350) = 14500 : 10350 = 290:207.

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়াতে মোট ৮০০০ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সমিতিতে সদস্য সংখ্যা = ক জন

প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (২০ × ক) টাকা
∴ ক জনে মোট চাঁদা দেয় = (২০ × ক × ক) টাকা
= ২০ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
২০ক^২ = ৮০০০
⇒ ক^২ = ৮০০০ ÷ ২০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = √৪০০
∴ ক = ২০

∴ সমিতির সদস্য সংখ্যা = ২০ জন

মনে করি, সোনাঃতামা = 1:x
তাই, 1gm সোনা x gm তামার সাথে মিশালে (1 + x) gm মিশ্রণ পাওয়া যাবে।
1gm সোনা + xgm তামা = (1 + x)gm মিশ্রণ
19w + 9w × x = (1 + x) × 15w
বা, 9x + 19 = 15+15x
∴ x = 2/3
নির্ণেয় সোনাঃতামা = ৩ঃ২

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ২a, a
∴ (২a + a)/(২a - a)
= ৩a/a
= ৩/১
= ৩ঃ১

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৪২ লিটার রস আছে। আম ও কমলার অনুপাত ৪ : ৩। কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৪২ লিটার।
আম ও কমলার রসের অনুপাত = ৪ : ৩
অনুপাতের যোগফল = (৪ + ৩) = ৭

সুতরাং, আমের রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৪/৭ অংশ)
= (৪২ × ৪)/৭
= ৬ × ৪
= ২৪ লিটার

এবং, কমলার রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৩/৭ অংশ)
= (৪২ × ৩)/৭
= ৬ × ৩
= ১৮ লিটার

এখন, কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (১৮ - ৯) = ৯ লিটার।

আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ২৪ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে,
= ২৪ : ৯
= ৮ : ৩

অতএব, নতুন অনুপাত হবে ৮ : ৩

আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে ১ম রাশি ✕ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২,
যেখানে, ১ম রাশি = ৮, ৩য় রাশি = ৫১২

(২য় রাশি)^২ = ৮ × ৫১২
২য় রাশি = ৬৪

ধরি,
R এর আয় = a টাকা
∴ Q এর আয় = ১২০a/১০০ টাকা
এবং p এর আয় = (১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)

∴ আয়ের অনুপাত = {(১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)} : (১২০a/১০০) : a
= (১২০×১২৫) : (১২০×১০০) : (১০০×১০০)
= ১৫০ঃ১২০ঃ১০০
=১৫ঃ১২ঃ১০

দেওয়া আছে,
ক : খ = ২ : ৩
= ৮ : ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খ : গ = ৪ : ৫
= ১২ : ১৫
= (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫
এবং ক : গ = ৮ : ১৫।

এখানে পূর্ব রাশিঃউত্তর রাশি = ৬ঃ১১
বা, পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১১
বা, পূর্ব রাশি/৯৯ = ৬/১১
সুতরাং পূর্ব রাশি = ৫৪

প্রশ্ন: A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে। যদি A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হয়, তাহলে A এর লভ্যাংশ কত?

সমাধান:
A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে

A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭
মোট অনুপাতের যোগফল = ১৫

∴ A এর লভ্যাংশ = ২৭০০ এর ৩/১৫
= ১৮০ × ৩
= ৫৪০ টাকা 

∴ A এর লভ্যাংশ ৫৪০ টাকা।

সাকিবঃমুশফিক = ৩ঃ২ = (৩×৩):(২×৩) =৯ঃ৬
মুশফিকঃ তামিম = ৩ঃ২ =(৩×২):(২×২) =৬ঃ৪
সাকিবঃমুশফিকঃতামিম = ৯ঃ৬ঃ৪
ধরি, সাকিব, মুশফিক ও তামিমের রান যথাক্রমে ৯ক, ৬ক ও ৪ক।
প্রশ্নমতে, ৯ক+৬ক+৪ক = ২০৯
বা, ১৯ক = ২০৯
∴ ক = ২০৯/১৯ = ১১
সুতরাং, মুশফিকের রান = ৬ক = ৬×১১ = ৬৬

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩ + ১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ২০ গ্রাম
= ১৫ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ২০ গ্রাম
= ৫ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১৫ + ক)/৫ = ৪/১
বা, ১৫ + ক = ২০
বা, ক = ২০ - ১৫
বা, ক = ৫ গ্রাম।

প্রশ্ন: রুবেল ও সালমানের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭ এবং সালমান ও জুয়েলের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। রুবেলের আয় ১৮০০ টাকা হলে জুয়েলের
আয় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রুবেল : সালমান = ৫ : ৭
সালমান : জুয়েল = ৪ : ৫

∴ রুবেল : সালমান : জুয়েল = (৫ × ৪) : (৭ × ৪) : (৫ × ৭) 
⇒ রুবেল : সালমান : জুয়েল = ২০ : ২৮ : ৩৫

আবার, 
দেওয়া আছে, 
রুবেলের আয় = ১৮০০ টাকা
এবং রুবেলের অংশ = ২০

∴ জুয়েলের আয় = {(১৮০০/২০) × ৩৫} টাকা 
= ৩৫ × ৯০
= ৩১৫০ টাকা

 সুতরাং, জুয়েলের আয় = ৩১৫০ টাকা

ধরি,
নতুন সংখ্যা = a
∴ ৫৬ঃa = ৮ঃ৭
বা, ৫৬/a = ৮/৭
বা, ৮a = ৭ × ৫৬
∴ a = ৪৯

প্রশ্ন: রাহিম ও করিম আয়ের অনুপাত ৫ : ৪ এবং করিম : জাহিদ আয়ের অনুপাত ৬ : ৭। রাহিমের আয় ১৫০০ টাকা হলে, জাহিদের আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রাহিম : করিম = ৫ : ৪
করিম : জাহিদ = ৬ : ৭
রাহিমের আয় = ১৫০০ টাকা

∴ রাহিম : করিম = ৫ : ৪ = (৫ × ৬) : (৪ × ৬) = ৩০ : ২৪ = ১৫ : ১২
∴ করিম : জাহিদ = ৬ : ৭ = (৬ × ৪) : (৭ × ৪) = ২৪ : ২৮ = ১২ : ১৪

∴ রাহিম : করিম : জাহিদ = ১৫ : ১২ : ১৪

∴ জাহিদের আয় = (১৪/১৫) × ১৫০০ = ১৪০০ টাকা

সুতরাং, জাহিদের আয় ১৪০০ টাকা। 

মনেকরি, রানা, রনি এবং রিনির মার্বেল সংখ্যা যথাক্রমে ১৯a, ৫a, ৭a
∴ ১৯a - ৫a = ৫৬
বা, ১৪a = ৫৬
∴ a = ৪
∴ রিনির মার্বেল সংখ্যা = ৭ × ৪ = ২৮টি

৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার

প্রশ্ন: একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন এবং 300 টাকা ব্যয় করেন। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
 একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন 
300 টাকা ব্যয় করেন

সঞ্চয় করেন = (450 - 300) টাকা
= 150 টাকা

∴ আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত = 450 : 150
= 3 : 1

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।