অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল, তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x, y

শর্তমতে,
x + y = 2(x - y)
⇒ x + y = 2x - 2y
⇒ y + 2y = 2x - x
⇒ 3y = x
⇒ x/y = 3/1
∴ x : y = 3 : 1

অর্থাৎ, সংখ্যা দুটির অনুপাত = 3 : 1

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

প্রশ্ন: ১৮০ টি আপেল তিন বোনের মধ্যে (১/৩) : (১/৪) : (১/৬) অনুপাতে ভাগ করে দেয়া হলো। দ্বিতীয় বোন কতটি আপেল পাবে?

সমাধান:
আপেল পাওয়ার অনুপাত = (১/৩) : (১/৪) : (১/৬) 
= (১/৩) × ১২ : (১/৪) × ১২ : (১/৬) × ১২
= ৪ : ৩ : ২

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (৪ + ৩ + ২) = ৯

∴ দ্বিতীয় বোন পাবে = (১৮০ × ৩/৯) = ৬০ টি

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৬ : ১৩। পূর্ব রাশি ৫৪ হলে উত্তর রাশি কত? 

সমাধান:
পূর্ব রাশি : উত্তর রাশি = ৬ : ১৩
⇒ পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১৩
⇒ ৫৪/উত্তর রাশি = ৬/১৩
⇒ ৬ × উত্তর রাশি = ৫৪ × ১৩
⇒ ৬ × উত্তর রাশি = ৭০২
⇒ উত্তর রাশি = ৭০২/৬
∴ উত্তর রাশি = ১১৭

প্রশ্ন : যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৬ হয়, তবে নিচের কোনটি সমতুল অনুপাত?

সমাধান:
⇒ ৪ : ৬ = ২ : ৩
⇒ ৮ : ১২ = ২ : ৩
⇒ ৬ : ৯ = ২ : ৩
সুতরাং সবগুলো সমতুল অনুপাত।

সমতুল অনুপাত:
- দুটি বা ততোধিক অনুপাতকে যদি একই সংখ্যক দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অন্য অনুপাত পাওয়া যায়, সেই সব অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

প্রশ্ন: ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর অনুপাত 

∴ মিশ্র অনুপাত হবে = (৫ × ৭ × ৩) : (১৮ × ২ × ৬) 
= ১০৫ : ২১৬ 
= ৩৫ : ৭২ 

প্রশ্ন: কামাল ও রাজন তাদের মূলধন ৫ : ৬ অনুপাতে বিনিয়োগ করে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করেন। ৬ মাস পর কামাল তার মূলধন তুলে নেন এবং তারা মুনাফা ৫ : ৯ অনুপাতে পায়। রাজনের মূলধন কত মাস ব্যবহৃত হয়েছিল? 

সমাধান:
ধরি,
কামাল ৫ক টাকা মূলধন ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেন
এবং
রাজন ৬ক টাকা মূলধন খ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেন

তাহলে, 
(৫ক × ৬)/(৬ক × খ) = ৫/৯ 
⇒ ৩০/৬খ = ৫/৯ 
⇒ খ = (৩০ × ৯)/৩০ 
∴ খ = ৯ 

সুতরাং, রাজনের মূলধন ৯ মাস ব্যবহৃত হয়েছিল।

অনুপাত রাশি দুইটির যোগফল ২+১ = ৩
১ম রাশিটি ২৭০ এর ২/৩ =১৮০
২য় রাশিটি ২৭০ এর ১/৩ = ৯০

প্রশ্ন: x এর ১০% যদি y এর ২০% এর সমান হয় তবে x : y = কত?

সমাধান: 
প্রশ্নমতে, 
x এর ১০% = y এর ২০%
⇒ ১০x/১০০ = ২০y/১০০
⇒ x/১০ = y/৫
⇒ x/y = ১০/৫
⇒ x/y = ২/১
∴ x : y = ২ : ১

Let the numbers be x and y respectively.
Then, y−30% of x = (4/5)y
⇒ y-(4/5)y = (30/100)x
⇒ y/5 = 3x/10
⇒ x/y = (1/5)×(10/3) = 2/3
⇒ x:y= 2:3

A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ মিটার ও v₂ মিটার হলে, 
t₁ মিনিটে অতিক্তম করে v₁t₁ মিটার ও t₂ মিনিটে অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার।
সুতরাং, v₁t₁ : v₂t₂
v₁ : v₂ = t₂ : t₁

চতুর্থ সমানুপাতিক ক হলে
৮ × ক = ১২ × ১৬
⇒ x = (১২ × ১৬) / ৮
∴ ক = ২৪

প্রশ্নমতে, ১ম সংখ্যাঃ ২য় সংখ্যা = ২.৫ঃ৩.৫
বা, ১ম সংখ্যা/২য় সংখ্যা = ২.৫/৩.৫
বা, ৩০/২য় সংখ্যা = ২৫/৩৫
বা, ২য় সংখ্যা = (৩০ × ৩৫)/২৫ = ৪২

ধরি,
বিড়াল ৬ লাফে যায় x মি.
∴ বিড়াল ১০ লাফে যায় = (x × ১০)/৬ মি.
= ৫x/৩

কুকুর ৪ লাফে যায় = x মি.
∴ কুকুর ৮ লাফে যায় = (x × ৮)/৪
= ২x

কুকুর : বিড়াল = ২x : (৫x/৩)
= ৬ : ৫

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৪। যদি উত্তর রাশি হয় ১২, তবে পূর্বরাশি কত?

সমাধান: 
দুইটি রাশির অনুপাত = ৭ : ৪
ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ৪ক

প্রশ্নমতে, ৪ক = ১২
 ∴ ক = ১২/৪ = ৩

∴ পূর্বরাশি = ৭ × ৩ = ২১

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৮ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ 
মোট অংশ = (৭ + ১) = ৮ 

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৪৮ × (৭/৮) গ্রাম = ৪২ গ্রাম
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (১/৮) গ্রাম = ৬ গ্রাম

ধরি,
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(৪২ + ক)/৬ = ৮/১
⇒ ৪২ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৪২ 
⇒ ক = ৬

∴ সোনা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৫ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৫/(৫+৩) X ৩২ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৫+৩) X ৩২ = ১২ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৫
= (৪ X ৫) ∶ (৫ X ৫)
= ২০ ∶ ২৫
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ২৫ - ১২ = ১৩ লিটার।

প্রশ্ন: A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 10 : 14 হলে, A : D = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A/B = 2/3
B/C = 4/5
C/D = 10/14

এখন সবগুলোকে গুণ করে পাই,
(A/B) × (B/C) × (C/D) = (2/3) × (4/5) × (10/14)
⇒ A/D = (2 × 4 × 10) / (3 × 5 × 14)
⇒ A/D = 80/210
⇒ A/D = 8/21
∴ A : D = 8 : 21

ধরি সংখ্যা দুইটি 2x এবং 3x
2x এবং 3x এর গসাগু = x
তাহলে, x = 6
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 3×6 = 18

ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
খ পায় = [১০০০এর (৪/৫)] = ৮০০ টাকা
খ : মা : মেয়ে = ২ :১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪
মেয়ে পায় = ৮০০এর (১/৪) = ২০০টাকা

A:B = 4:5 = (4 × 5 ) : ( 5 × 5 ) = 20:25
A:C = 5:7 = (5 × 4 ) : ( 7 × 4 ) = 20:28
∴ A:B:C = 20:25:28

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। যদি মিশ্রণে আরও ৮ লিটার পানি যোগ করা হয়, তবে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত হয় ৭ : ৫। মিশ্রণে পানির পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩

মনে করি,
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ ৭ক লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ ৩ক লিটার

যদি মিশ্রণে আরও ৮ লিটার পানি যোগ করা হয়,
তাহলে, মিশ্রণে পানির পরিমাণ (৩ক + ৮) লিটার

মিশ্রণে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত = ৭ : ৫

প্রশ্নমতে,
৭ক : (৩ক + ৮) = ৭ : ৫
⇒ ৭ক/(৩ক + ৮) = ৭/৫
⇒ ৩৫ক = ২১ক + ৫৬
⇒ ৩৫ক - ২১ক = ৫৬
⇒ ১৪ক = ৫৬
⇒ ক = ৫৬/১৪
∴ ক = ৪

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = (৩ × ৪) = ১২ লিটার।