অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: ৩০ গ্রাম ওজনের একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ । গহনাটিতে কী পরিমাণ তামা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত সমান হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
মোট অংশ = (৩ + ২) = ৫ 

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৩০ × (৩/৫) গ্রাম = ১৮ গ্রাম 
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৩০ × (২/৫) গ্রাম = ১২ গ্রাম 

ধরি, 
তামা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
১৮ : (১২ + ক) = ১ : ১ 
⇒ ১৮/(১২ + ক) = ১/১ 
⇒ ১২ + ক = ১৮
⇒ ক = ১৮ - ১২ 
⇒ ক = ৬

∴ তামা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।

প্রশ্ন: ৪৮ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ হবে?

সমাধান:
দুধ : পানি = ৫ : ৩
∴ অনুপাত রাশির যোগফল = ৫ + ৩ = ৮

দুধের পরিমাণ = ৪৮ × (৫/৮) = ৩০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৪৮ × (৩/৮) = ১৮ লিটার

মনে করি,
ক লিটার দুধ মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(৩০ + ক)/১৮ = ৭/৩
⇒ ৩ × (৩০ + ক) = ৭ × ১৮
⇒ ৯০ + ৩ক = ১২৬
⇒ ৩ক = ১২৬ - ৯০
⇒ ৩ক = ৩৬
⇒ ক = ১২

∴ ১২ লিটার দুধ মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
১ম সংখ্যাঃ ২য় সংখ্যা = ২.৫ঃ৩.৫
বা, ১ম সংখ্যা/২য় সংখ্যা = ২.৫/৩.৫
বা, ১৫/২য় সংখ্যা = ২৫/৩৫
বা, ২য় সংখ্যা = (১৫ × ৩৫)/২৫ = ২১

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ২ : ৭ এবং খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৪ : ৭
= (২ × ৫) : (৭ × ৫)
= ১০ : ৩৫

আবার,
খ : গ = ৫ : ৭
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭)
= ৩৫ : ৪৯

∴ ক : খ : গ = ১০ : ৩৫ : ৪৯ । 

সংখ্যা দু'টি ৩a, ৪a
∴ ৩a, ৪a = ৪৩২
বা, ১২a^২ = ৪৩২
বা, a^২ = ৩৬
∴ a = ৬
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ × ৬
= ১৮

ধরি, অথৈ, মুন্নি এবং মরিয়ম পাবে ৩ক, ৭ক এবং ১৪ক।
প্রশ্নমতে,
৩ক + ৭ক + ১৪ক = ২১৬০
বা, ২৪ক = ২১৬০
বা, ক = ৯০
সুতরাং অথৈ পাবে = ৩ × ক = ৩ × ৯০ = ২৭০ টাকা

প্রশ্ন: করিম ৮০০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৬ মাস পর রহিম কিছু টাকা নিয়ে ঐ ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ৪ : ৩ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। রহিমের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, লভ্যাংশের অনুপাত = ৪ : ৩
ধরি, রহিমের বিনিয়োগ = ক টাকা
করিমের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং রহিমের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৬) মাস = ৬ মাস

প্রশ্নমতে,
(৮০০০ × ১২)/(ক × ৬) = ৪/৩
⇒ ৯৬০০০/৬ক = ৪/৩
⇒ ১৬০০০/ক = ৪/৩
⇒ ৪ক = ১৬০০০ × ৩
⇒ ৪ক = ৪৮০০০
⇒ ক = ৪৮০০০/৪
⇒ ক = ১২০০০

∴ রহিমের বিনিয়োগ = ১২০০০ টাকা

Let 1 man's 1 day's work = x and 1 woman's 1 day's work = y
Then, 4x + 6y = 1/8 and 3x + 7y = 1/10
Solving the two equations, we get
x = 11/400, y = 1/400
∴ 1 woman's 1 day's work = 1/400
⇒ 10 women's 1 day's work = ((1/400)×10) = 1/40
Hence, 10 women will complete the work in 40 days

প্রশ্ন: দুই বন্ধুর মাসিক খরচের অনুপাত ৯ : ৭। প্রথম বন্ধু দ্বিতীয় বন্ধুর চেয়ে মাসে ৪০০০ টাকা বেশি খরচ করে। দ্বিতীয় বন্ধুর মাসিক খরচ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু = ৯ : ৭
প্রথম বন্ধু দ্বিতীয় বন্ধুর চেয়ে ৪০০০ টাকা বেশি খরচ করে

ধরি,
প্রথম বন্ধুর খরচ = ৯ক টাকা
দ্বিতীয় বন্ধুর খরচ = ৭ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৯ক - ৭ক = ৪০০০
⇒ ২ক = ৪০০০
∴ ক = ২০০০

∴ দ্বিতীয় বন্ধুর মাসিক খরচ
= ৭ক = ৭ × ২০০০ = ১৪০০০ টাকা

সুতরাং, দ্বিতীয় বন্ধুর মাসিক খরচ ১৪০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স ২০ বছর। দুই বছর পূর্বে দুই পুত্রের গড় বয়স ছিল ১২ বছর। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান: 
 পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স ২০ বছর। 
 পিতা ও দুই পুত্রের মোট বয়স ২০ × ৩ বছর = ৬০ বছর 

দুই বছর পূর্বে দুই পুত্রের গড় বয়স ছিল ১২ বছর
দুই বছর পূর্বে দুই পুত্রের মোট বয়স ছিল ১২ × ২ বছর = ২৪  বছর

বর্তমানে  দুই পুত্রের মোট বয়স = (২৪ + ২ + ২) বছর = ২৮ বছর 
পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ২৮ = ৩২ বছর 

প্রশ্ন: একটি জারে জুস ও পানির অনুপাত ৪ : ১। জুসের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১২ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
জারে জুস ও পানির অনুপাত ৪ : ১
জারে জুসের পরিমাণ = ৪ক লিটার
জারে পানির পরিমাণ = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক - ক = ১২
৩ক = ১২
ক = ৪

∴ পানির পরিমাণ ৪ লিটার।

প্রশ্ন: একটি পাত্রে ৭২ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ৪। পাত্রে কত লিটার পানি মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণের পরিমাণ = ৭২ লিটার
মোট অংশ = ৫ + ৪ = ৯ অংশ
∴ দুধের পরিমাণ = ৭২ × (৫/৯) = ৪০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৭২ × (৪/৯) = ৩২ লিটার

মনে করি,
পানি যোগ করতে হবে = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
৪০/(৩২ + ক) = ১/২
⇒ ২ × ৪০ = ১ × (৩২ + ক)
⇒ ৮০ = ৩২ + ক
⇒ ক = ৮০ - ৩২
⇒ ক = ৪৮

সুতরাং ৪৮ লিটার পানি মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে।

প্রশ্ন: আকাশ ও রাসেলের বেতনের অনুপাত ১৮ : ১৫। রাসেলের বেতন অপেক্ষা আকাশের বেতন ৩০০০ টাকা বেশি হলে, আকাশের বেতন কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
আকাশের বেতন = ১৮ক টাকা
রাসেলের বেতন = ১৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
১৮ক - ১৫ক = ৩০০০
বা, ৩ক = ৩০০০
∴ ক = ৩০০০/৩ = ১০০০

আকাশের বেতন = ১৮ × ১০০০ = ১৮০০০ টাকা

ধরি,
X : Y : Z = ১৭ : ৩ : ৪
অনুপাত গুলোর সমষ্টি (১৭+৩+৪) = ২৪
এখন, ৯৬/২৪ = ৪
সুতরাং, মিশ্রণে Z এর পরিমাণ (৪×৪) = ১৬ কেজি।

দেওয়া আছে,
d₁ : d₂ = 3 : 2
বা, 2r₁ : 2r₂ = 3 : 2
বা, r₁ : r₂ = 1.5 : 1
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π×r₁² : π×r₂² = r₁² : r₂² = r₁²/r₂² = (r₁/r₂)² = (1.5)² = (3/2)² = 9/4 = 9 : 4

প্রশ্ন: ৯০ গ্যালন অকটেন মিশ্রিত পেট্রোলে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৭ : ২। এতে আরও কত অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫ : ৩ হবে?

সমাধান:
প্রাথমিক অনুপাত: পেট্রোল ∶ অকটেন = ৭ ∶ ২
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ২ = ৯

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৯০ × (৭/৯) = ৭০ গ্যালন
∴ অকটেনের পরিমাণ = ৯০ × (২/৯) = ২০ গ্যালন

ধরা যাক আরও x গ্যালন অকটেন মেশানো হবে।

নতুন অনুপাত হবে,
৭০ : (২০ + x) = ৫ : ৩
⇒ ৭০/(২০ + x) = ৫/৩
⇒ ৩ × ৭০ = ৫ × (২০ + x)
⇒ ২১০ = ১০০ + ৫x
⇒ ৫x = ১১০
⇒ x = ২২ 

 ∴ ২২ গ্যালন অকটেন আরও মিশালে অনুপাত ৫ : ৩ হবে।

ধরি,
চতুর্থ সমানুপাতী = ক
প্রশ্নমতে,
৩/৬ = ৭/ক
বা, ক = ১৪

প্রশ্ন: ৩ এবং ২৭ এর মধ্য সমানুপাতটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৩
৩য় রাশি = ২৭
মধ্য সমানুপাত = ?

আমরা জানি,
(মধ্য সমানুপাত)^২ =১ম রাশি ⨯ ৩য় রাশি
বা,(মধ্য সমানুপাত )^২ = ৩ ⨯ ২৭
বা,(মধ্য সমানুপাত ^)২ = ৮১
বা, মধ্য সমানুপাত = √৮১
∴  মধ্য সমানুপাত = ৯

প্রশ্ন: দুধ এবং পানির মিশ্রণ ৯ : ১ অনুপাতে মিশ্রিত করা হয়েছে এবং এর খরচ ৭২০ টাকা। ৬ লিটার পানি যোগ করলে লাভ হয়। লাভের শতকরা পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুধ = ৯ লিটার
পানি = ১ লিটার
মূল মিশ্রণের পরিমাণ = ১০ লিটার
মূল মিশ্রণের খরচ = ৭২০ টাকা
লিটার প্রতি খরচ = ৭২০/১০ = ৭২ টাকা

আবার, 
যোগ করা পানি = ৬ লিটার
∴ নতুন পানির পরিমাণ = ৬ + ১ = ৭ লিটার
দুধের পরিমাণ অপরিবর্তিত = ৯ লিটার
∴ নতুন মোট মিশ্রণ = ৯ + ৭ = ১৬ লিটার

∴ মোট বিক্রয়মূল্য = ১৬ × ৭২ = ১১৫২ টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - খরচ
= ১১৫২ - ৭২০ = ৪৩২ টাকা

∴ লাভের শতকরা = (লাভ ÷ খরচ) × ১০০
= (৪৩২ ÷ ৭২০) × ১০০
= ৬০%

সুতরাং, লাভের শতকরা পরিমাণ ৬০%।

প্রশ্ন: ৮০ গ্যালন অকটেন মিশ্রিত পেট্রোলে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৭ : ১। এতে আরও কত অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫ : ২ হবে?

সমাধান:
প্রাথমিক অনুপাত: পেট্রোল ∶ অকটেন = ৭ ∶ ১
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ১ = ৮

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৮০ × (৭/৮) = ৭০ গ্যালন
∴ অকটেনের পরিমাণ = ৮০ × (১/৮) = ১০ গ্যালন

ধরা যাক আরও x গ্যালন অকটেন মেশানো হবে।

নতুন অনুপাত হবে:
৭০ : (১০ + x) = ৫ : ২
⇒ ৭০ / (১০ + x) = ৫ / ২
⇒ ২ × ৭০ = ৫ × (১০ + x)
⇒ ১৪০ = ৫০ + ৫x
⇒ ৫x = ৯০
⇒ x = ১৮ গ্যালন

সুতরাং, ১৮ গ্যালন অকটেন আরও মিশালে অনুপাত ৫ : ২ হবে।

প্রশ্ন: এক জন রস বিক্রেতার কাছে দুটি রসের ক্যান আছে। প্রথমটি ৩০% পানি এবং বাকি অংশ রস। দ্বিতীয়টি ৬০% পানি রয়েছে। তাকে কতটুকু রস প্রতিটি ক্যান থেকে মিশাতে হবে, যাতে মোট ১৮ লিটার রস পাওয়া যায় এবং পানির সাথে রসের অনুপাত ১:২ হয়?

সমাধান:
ধরি,
এক লিটার বিশুদ্ধ রসের মূল্য ১ টাকা

প্রথম ক্যান থেকে ১ লিটার মিশ্রণে রস = ৭/১০ লিটার; প্রথম ক্যানের ১ লিটার মিশ্রণের খরচ ৭/১০ টাকা

দ্বিতীয় ক্যান থেকে ১ লিটার মিশ্রণে রস = ৪/১০ লিটার; দ্বিতীয় ক্যানের ১ লিটার মিশ্রণের খরচ ৪/১০ টাকা

মিশ্রণের ১ লিটার রসে রস = ২/৩ লিটার; চূড়ান্ত মিশ্রণের ১ লিটারের খরচ = ২/৩ টাকা

অ্যালিগেশন নিয়মে, আমরা পাই,
সস্তা/ মহার মূল্য সম্পর্কিত পরিমাণ = (মহারের খরচ - গড় মূল্য) / (গড় মূল্য - সস্তার খরচ)
⇒ দ্বিতীয় ক্যানের পরিমাণ : প্রথম ক্যানের পরিমাণ = {(৭/১০) - (২/৩)} : {(২/৩) - (৪/১০)}
= (২১ - ২০)/৩০ : (২০ - ১২)/৩০
= (১/৩০) : (৮/৩০)
= ১ : ৮

অতএব, প্রথম ক্যান থেকে পরিমাণ = (১/৯) × ১৮ = ২
দ্বিতীয় ক্যান থেকে পরিমাণ = (৮/৯) × ১৮= ১৬

১৮ লিটার রস পানির সাথে রসের অনুপাত ১:২ রাখতে, বিক্রেতাকে প্রথম ক্যান থেকে ২ লিটার এবং দ্বিতীয় ক্যান থেকে ১৬ লিটার মিশাতে হবে।

দেওয়া আছে,
এসিড : পানি = ৭ : ৩
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ : ক = ৩ : ৭
⇒ ক = (২১ × ৭)/৩ = ৪৯
∴ পানি মিশ্রিত করতে হবে (৪৯ - ৯) = ৪০ লিটার।

ধরি, কোণ দুটি যথাক্রমে 4x এবং 5x
প্রশ্নমতে, 4x + 5x + 90° = 180°
বা, 9x = 90°
∴ x = 10°
অর্থাৎ, দুইটি কোণের পরিমাপ 40° ও 50° এবং অপর কোণের মান 90°।
সুতরাং সবচেয়ে ছোটো কোণের পরিমাপ 40° ।

Let Nila's age be 5x years and
Shila's age be 6x years

((1/3)×5x):((1/2)×6x) = 5:9
⇒ 5x/(3×3x) = 5/9

Thus, Shila's age cannot be determined

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণের ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে রূপা ও তামার অনুপাত ৫ : ৩। কত গ্রাম রূপা যোগ করলে অনুপাত ৭ : ৩ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রূপা ও তামার অনুপাত ৫ : ৩ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৫ + ৩) = ৮  
∴ অনুপাতে রূপার পরিমাণ = ৪৮ × (৫/৮) গ্রাম = ৩০ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (৩/৮) গ্রাম = ১৮ গ্রাম 

ধরি, 
রূপা মিশাতে হবে = ক গ্রাম 

শর্তমতে, 
(৩০ + ক)/১৮ = ৭/৩  
⇒ ৯০ + ৩ক = ৭ × ১৮
⇒ ৩ক  = ১২৬ - ৯০ 
⇒ ৩ক = ৩৬ 
⇒ ক = ৩৬/৩ 
∴ ক = ১২ 

∴ রূপা মিশাতে হবে ১২ গ্রাম। 

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৫ ও ৪৫ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৫
৩য় রাশি = ৪৫

আমরা জানি,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৫ × ৪৫
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২২৫
⇒ মধ্য রাশি = √২২৫
∴ মধ্য রাশি = ১৫

ধরি, সংখ্যা দুইটি 9x ও 5x
প্রশ্নমতে,
9x - 5x = 44
⇒ 4x = 44
∴ x = 11
∴ সংখ্যা দুইটি (9×11) = 99 এবং, (5×11) = 55
∴ বড় সংখ্যাটি 99

প্রশ্ন: একটি মোটর গাড়ি এবং একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত 7 : 4 । যদি টেলিভিশনের চাইতে মোটর গাড়ির দাম 6000 টাকা বেশি হয় তাহলে টেলিভিশনের দাম কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি মোটর গাড়ি এবং একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত 7 : 4
টেলিভিশনের চাইতে মোটর গাড়ির দাম 6000 টাকা বেশি

ধরি,
মোটর গাড়ির দাম = 7x টাকা
টেলিভিশনের দাম = 4x টাকা

প্রশ্নানুযায়ী,
 7x − 4x = 6000
বা, 3x = 6000
বা, x = 6000/3 = 2000 টাকা

এখন, টেলিভিশনের দাম = 4x = (4 × 2000) = 8000 টাকা

এখানে,
৫১ঃ৬৮ = ৫১/৬৮
= (৫১ × ১০০/৬৮)%
= ৭৫%

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৮ ও ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৮ 
৩য় রাশি = ৩২ 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৮ × ৩২
⇒ মধ্য রাশি = √২৫৬
∴ মধ্য রাশি = ১৬