অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

একটি রাশি ৬৪% হলে, অপর রাশিটি ১০০%।
এদের অনুপাত হবে, ৬৪% : ১০০%
= ১৬ : ২৫

প্রশ্ন: ৪০ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ১। কী পরিমাণ দুধ মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান: 
দুধ : পানি = ৩ : ১ 
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪ 
∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = [৪০ × (৩/৪)] = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৪০ × (১/৪)] = ১০ লিটার

ধরি, 
ক লিটার দুধ মিশ্রিত করলে দুধ এবং পানির অনুপাত হবে = ৫ : ১ 

প্রশ্নমতে, 
(৩০ + ক) : ১০ = ৫ : ১
⇒ (৩০ + ক)/১০ = ৫/১  
⇒ ৩০ + ক = ৫০ 
⇒ ক = ৫০ - ৩০ 
∴ ক = ২০ 

∴ ২০ লিটার দুধ মিশ্রিত করতে হবে।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×7²
= 9 : 49

ধরি, সোনা ও তামার পরিমাণ ৫ক ও ২ক
প্রশ্নমতে,
৫ক + ২ক = ৪২
বা, ৭ক = ৪২
বা, ক = ৬
সুতরাং সোনা = ৫ × ৬ = ৩০ গ্রাম এবং তামা = ৪২ - ৩০ = ১২ গ্রাম।
আবার ধরি, খ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।
প্রশ্নমতে,
(৩০ + খ) : ১২ = ৭ঃ২
বা, (৩০ + খ)/১২ = ৭/২
বা, ৬০ + ২খ = ৮৪
বা, ২খ = ২৪
বা, খ = ১২ গ্রাম

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর। ০৭ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৬ : ১। ০৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর।
৭ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিলো = ৭০ - (৭ + ৭) বছর 
= (৭০ - ১৪) বছর
= ৫৬ বছর 

ধরি,
৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = ৬ক বছর 
৭ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো = ক বছর 

প্রশ্নমতে,
৬ক + ক = ৫৬
বা, ৭ক = ৫৬
বা, ক = ৫৬/৭
বা, ক = ৮

৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = (৬ × ৮) বছর = ৪৮ বছর 
৭ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো = ৮ বছর 


∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৭ + ৪৮) বছর = ৫৫ বছর 
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭ + ৮) বছর = ১৫ বছর 

০৫ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = (৫৫ + ৫) : (১৫ + ৫) 
= ৬০ : ২০
= ৩ : ১ 

ধরি,
উভয় অনুপাতের মধ্যসমানুপাত্তি b
∴ a × ৫ = b² = ৪ × ২৫
বা, ৫a = ১০০
∴ a = ২০

প্রশ্ন: একটি বালতিতে রাখা চাল-ডালের মিশ্রণে চাল ও ডালের অনুপাত ৩ : ২ । বালতি থেকে ১৫ কেজি মিশ্রণ সরিয়ে তাতে একই পরিমাণ ডাল রাখা হলে চাল ও ডালের অনুপাত হয় ৩ : ৫ । শুরুতে বালতির মিশ্রণে কত কেজি চাল ছিলো? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মিশ্রণে চাল ও ডালের অনুপাত ছিলো = ৩ : ২
মোট অংশ = ৩ + ২ = ৫ 
ধরি,
বালতিতে মোট মিশ্রণের পরিমাণ ছিলো = ক কেজি
∴ চালের পরিমাণ ছিলো = ক এর (৩/৫) = ৩ক/৫ কেজি
∴ ডাল ছিলো = ক এর (২/৫) = ২ক/৫ কেজি

সরিয়ে ফেলা ১৫ কেজি মিশ্রণে,
চালের পরিমাণ = ১৫ এর (৩/৫) = ৯ কেজি
ডালের পরিমাণ = ১৫ এর (২/৫) = ৬ কেজি 

অবশিষ্ট চাল = (৩ক/৫) - ৯ = (৩ক - ৪৫)/৫ কেজি 
অবশিষ্ট ডাল = (২ক/৫) - ৬ = (২ক - ৩০)/৫ কেজি 

আবার,
বালতিতে ১৫ কেজি ডাল যোগ করায়,
ডালের নতুন পরিমাণ = {(২ক - ৩০)/৫} + ১৫
= (২ক - ৩০ + ৭৫)/৫
= (২ক + ৪৫)/৫ কেজি 

প্রশ্নমতে,
{(৩ক - ৪৫)/৫}/{(২ক + ৪৫)/৫} = ৩/৫
⇒ ৫{(৩ক - ৪৫)/৫} = ৩{(২ক + ৪৫)/৫}
⇒ ৩ক - ৪৫ = (৬ক + ১৩৫)/৫
⇒ ১৫ক - ২২৫ = ৬ক + ১৩৫
⇒ ১৫ক - ৬ক = ১৩৫ + ২২৫
⇒ ৯ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/৯
⇒ ক = ৪০

∴ শুরুতে মিশ্রণে চাল ছিলো = ৩ক/৫ = (৩ × ৪০)/৫ = ২৪ কেজি 

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×3²
= 16 : 9

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১২/৩৫, যদি তাদের মধ্যে একটি ভগ্নাংশ = ৪/৭, তবে অন্যটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
 দুটি ভগ্নাংশ x এবং y
x × y = ১২/৩৫
x = ৪/৭
তাহলে y
৪/৭ × y = ১২/৩৫
y = (১২/৩৫) ÷ (৪/৭)
y = (১২ × ৭) / (৩৫× ৪)
y = ৮৪/১৪০
y = ৩/৫

∴অন্য ভগ্নাংশটি = ৩/৫

প্রশ্ন: রিফাত ৪৮০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৭ মাস পর জামিল কিছু টাকা নিয়ে ঐ ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ২ : ৩ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। জামিলের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো?

সমাধান:
ধরি,
জামিলের বিনিয়োগ = ক টাকা

রিফাতের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং জামিলের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৭) মাস = ৫ মাস

প্রশ্নমতে,
(৪৮০০ × ১২) : (ক × ৫) = ২ : ৩
⇒ (৪৮০০ × ১২)/(ক × ৫) = ২/৩
⇒  (৯৬০ × ১২)/ক = ২/৩
⇒ ২ক = (৯৬০ × ১২ × ৩)
⇒ ক = (৯৬০ × ১২ × ৩)/২
⇒ ক = ৯৬০ × ৬ × ৩
⇒ ক = ১৭২৮০ টাকা 

শর্তানুসারে,
3x + 7x + 10x = 60
∴ x = 3
সুতরাং দীর্ঘতম অংশটির দৈর্ঘ্য = 10 X 3
= 30 মি.

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৭ : ১১। যদি পূর্বরাশি হয় ২১, তবে উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
দুটি রাশির অনুপাত = ৭ : ১১

ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ১১ক

প্রশ্নানুসারে:
৭ক  = ২১
⇒ ক = ৩

∴ উত্তর রাশি = ১১ ক = ১১ × ৩ = ৩৩

প্রশ্নঃ একটি বাক্সে এক ডজন আয়না আছে। কিছু আয়না ভেঙ্গে গেল। ভালো আয়না ও ভাঙ্গা আয়নার অনুপাত নিচের কোনটি হতে পারে না?

সমাধাণঃ
এক ডজন = 12 টি

∴ 12 অবশ্যই অনুপাতের যোগফল দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, 12 অপশন (খ) এর 3+2=5 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 

∴ উত্তরঃ 3:2

প্রশ্ন: সমানুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশিকে বলে-

সমাধান:
সমানুপাত হলো, a : b : : c : d
অথবা a/b = c/d

এখানে, 
প্রথম ও চতুর্থ রাশি → প্রান্ত রাশি (Extremes)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি → মধ্য রাশি (Means)
অর্থাৎ,
a এবং d → প্রান্ত রাশি
b এবং c → মধ্য রাশি

প্রশ্ন: 2a + 1, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 1
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 1) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 1)
⇒ 10 = 4a + 2
⇒ 4a = 10 - 2
⇒ 4a = 8
⇒ a = 8/4
⇒ a = 2

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×3² = 25 : 9

অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ১ + ৩ + ২ + ৪ = ১০
∴ বৃহত্তম কোণ = (৪ × ৩৬০) / ১০ = ১৪৪°

ধরি,
সংখ্যা দুইটি ৩ক এবং ক।
প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ৮
বা, ৪ক = ৮
বা, ক = ৮/৪
∴ ক = ২
এখন,
৩ক = ৩ X ২ = ৬
∴ সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৬ X ২
= ১২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার ০.৮ অংশ হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা ক
এবং অপর সংখ্যাটি খ।

প্রশ্নমতে,
ক = খ এর ০.৮ অংশ
বা, ক = খ × ০.৮
বা, ক/খ = ০.৮
বা, ক/খ = ৮/১০
বা, ক/খ = ৪/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৪ : ৫।

প্রশ্ন: একজন লোক প্রতি দিন সমান আয় করে, কিন্তু রবিবারে সে অন্য দিনের তুলনায় তিনগুণ আয় করে। তাহলে এক সপ্তাহের মোট আয়ের তুলনায় কত অংশ রবিবারে আয় করে?

সমাধান:
মনেকরি,
রবিবার বাদে অন্য দিনে আয় = ক টাকা
∴ রবিবার বাদে অন্য ৬ দিনে আয় = ৬ক টাকা

আবার, 
রবিবারে আয় = ৩ক টাকা

∴ মোট আয় = ৬ক + ৩ক = ৯ক টাকা
তাহলে,
রবিবারের আয় সমগ্র সপ্তাহের আয় এর = ৩ক/৯ক = ১/৩ অংশ

ধরি,
দুধ = ৫ক লিটার, পানি = ২ক লিটার
∴ ৫ক-২ক = ৬ লিটার
বা, ৩ক = ৬ লিটার
∴ ক = ২ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = ২×২ = ৪ লিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত 7 : 4 : 3 এবং পরিসীমা 14 মিটার হলে, ছোট বাহু কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 7 : 4 : 3
ধরি,
বাহুগুলো = 7x, 4x, 3x
পরিসীমা = 14 মিটার

প্রশ্নমতে,
7x + 4x + 3x = 14
⇒ 14x = 14
⇒ x = 14/14
⇒ x = 1

তাহলে:
ছোট বাহু = 3x × 1 = 3 × 1 = 3 মিটার 

অমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
তিনটি কোণের অনুপাত = ১ঃ৩ঃ২
অনুপাতের সমষ্টি = ১ + ৩ + ২ = ৬
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাপ = ( ১৮০ × ১/৬ ) = ৩০°

প্রশ্ন: একটি রূপার গয়নার ওজন ৪০ গ্রাম। এতে রূপা ও খাদের অনুপাত ৩ : ১। এতে কত গ্রাম রূপা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
একটি রূপার গয়নার ওজন ৪০ গ্রাম।
এতে রূপা ও খাদের অনুপাত ৩ : ১
∴ মোট অনুপাত = ৪ 

∴ রূপা এর পরিমাণ = ৪০ এর ৩/৪
= ৩০ গ্রাম

∴ খাদের পরিমাপ = ৪০ এর ১/৪
= ১০ গ্রাম

ধরি,
অনুপাতকে ৪ : ১ করতে হলে ক গ্রাম রুপা মেশাতে হবে,
(৩০ + ক) : ১০ = ৪:১
বা, ৩০ + ক = ৪০ 
বা, ক = ১০

∴ ১০ গ্রাম রূপা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে

প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৩৬৪ টি চকলেট তিন বন্ধু মধ্যে ভাগ করা হলো ১/৪ : ১/২ : ১/৩ অনুপাতে। তৃতীয় বন্ধুটি কতটি চকলেট পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১/৪ : ১/২ : ১/৩
= (১/৪) × ১২ : (১/২) × ১২ : (১/৩) × ১২   ;[৪, ২, ৩ এর ল.সা.গু = ১২]
=  ৩ : ৬ : ৪

ধরি,
তিন বন্ধু পাবে যথাক্রমে ৩ক, ৬ক, ৪ক টি চকলেট

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৬ক + ৪ক = ৩৬৪
⇒ ১৩ক  = ৩৬৪
⇒ ক  = ৩৬৪/১৩
⇒ ক  = ২৮ 

∴ ৩য় বন্ধু চকলেট পাবে = ৪ × ২৮  = ১১২ টি

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের 1/3 অংশ। সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x ও y

প্রশ্নমতে,
x - y = 1/3 (x + y)
বা, 3x - 3y = x + y
বা, 3x - x = y + 3y
বা, 2x = 4y
বা, x = 2y
∴ x : y = 2 : 1