অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

দেওয়া আছে, ক : খ = ২ : ৩ = ৮ : ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খ : গ = ৪ : ৫ = ১২ : ১৫ = (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫।

Question: 20 workers can complete a job in 180 days. After 20 days, 5 workers leave. The remaining workers continue for 40 more days, and then 11 new workers join. How many days will it take to finish the work after the new workers join?

Solution:
20 workers can finish the job in 180 days
Total work = 180 × 20 = 3600 worker-days

At 20 days, work completed = 20 × 20 = 400 worker-days
Remaining worker = 20 - 5 = 15

Work remaining = 3600 - 400 = 3200 worker-days
Remaining worker completed = 15 × 40 = 600 worker-days

Remaining work = 3200 - 600 = 2600 worker-days
Worker joined = 15 + 11 = 26

So,
Remaining days = 2600/26 = 100 days 

∴ 100 days needed to complete the remaining work after new workers join.

প্রশ্ন: কোন স্কুলের একটি শেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ১৩ : ১৯। যদি শ্রেণিকক্ষে ১ জন শিক্ষক এবং ৩১ জন মূল্যায়নকারীসহ মোট ২২৪ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ১৩ + ১৯ = ৩২

শেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ২২৪ - (১ + ৩১) জন
= ১৯২ জন 

∴ শেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ × (১৯/৩২) জন
= ১১৪ জন

হরিণের ৪ লাফ = বাঘের ৩ লাফ
হরিণের ৫ লাফ = বাঘের ( ৩× ৫ )/৪ = ১৫/৪ লাফ
∴ বাঘ ও হরিণের গতিবেগের অনুপাত = ৪ ঃ ১৫/৪ = ১৬ঃ১৫

শর্তমতে, ক + ২ক + ৩ক + ৪ক + ৫ক = ৭৫০০
বা, ১৫ক = ৭৫০০
বা, ক = ৭৫০০/১৫ = ৫০০
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = ৫ × ৫০০ - ৫০০ = ২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭। ঐ বিদ্যালয়ে ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন হলে, ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৭
এবং ছাত্রীসংখ্যা = ৩৫০ জন।

মনে করি, 
ছাত্রসংখ্যা = ৫ক
ছাত্রীসংখ্যা = ৭ক

প্রশ্নমতে,
৭ক = ৩৫০ 
বা, ক = ৩৫০/৭ 
বা, ক = ৫০ 

∴ ছাত্রসংখ্যা = (৫ × ৫০) = ২৫০ জন

প্রশ্ন: সামির যে সময়ে ৭ বার পদক্ষেপ দেয়, মাহিম ততক্ষণে ৮ বার পদক্ষেপ দেয়। কিন্তু মাহিম ৫ পদক্ষেপে যতদূর যায়; সামির ৪ পদক্ষেপে ততদূর যায়। সামির ও মাহিমের গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মাহিমের ৫ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ১ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ৮ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের (৪ × ৮)/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
= ৩২/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব

∴ সামিরের বেগ : মাহিমের বেগ = ৭ : (৩২/৫)
= ৩৫ : ৩২

প্রশ্ন: ১৬ : ২৫ অনুপাতের উভয় পদ থেকে কত বিয়োগ করলে অনুপাতের মান ১/২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
উভয় পদ থেকে বিয়োগ করতে হবে = ক

অনুপাত অনুযায়ী,
(১৬ - ক)/(২৫ - ক)  = ১/২
⇒ ২(১৬ - ক) = ২৫ - ক
⇒ ৩২ - ২ক = ২৫ - ক
⇒ ৩২ - ২৫ = ২ক - ক
∴ ক = ৭

∴ উভয় পদ থেকে বিয়োগ করতে হবে = ৭

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩ এবং B : C = ৪ : ৫ হয়, তবে A : B : C এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A : B = ২ : ৩ = (২ × ৪) : (৩ × ৪) = ৮ : ১২
∴ A : B = ৮ : ১২

এবং, 
B : C = ৪ : ৫ = (৪ × ৩) : (৫ × ৩) = ১২ : ১৫ 
∴ B : C = ১২ : ১৫

∴ A : B : C = ৮ : ১২ : ১৫

প্রশ্ন: ৭২ লিটার মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৫: ৪। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ তেল মেশালে তেল ও পানির অনুপাত ৩: ২ হবে?

সমাধান:
তেল : পানি = ৫ : ৪
∴ অনুপাত রাশির যোগফল = ৫ + ৪ = ৯

তেলের পরিমাণ = ৭২ × (৫/৯) = ৪০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৭২ × (৪/৯) = ৩২ লিটার

মনে করি, ক লিটার তেল মিশাতে হবে।
প্রশ্নমতে,
(৪০ + ক)/৩২ = ৩/২
⇒ ২ × (৪০ + ক) = ৩ × ৩২
⇒ ৮০ + ২ক = ৯৬
⇒ ২ক = ৯৬ - ৮০
⇒ ২ক = ১৬
⇒ ক = ৮

∴ ৮ লিটার তেল মিশাতে হবে।

প্রশ্ন: ৯৪৫ টাকাকে (২/৩) : (৩/৪) : (৫/৬) অনুপাতে তিন ভাগে ভাগ করা হলো। শেষ ভাগে কত টাকা পড়বে?

সমাধান:
দেওয়া অনুপাত = ২/৩ : ৩/৪ : ৫/৬
অনুপাতকে সহজ করার জন্য হরগুলোর ল.সা.গু (LCM) নেওয়া হলো। 
৩, ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২

এখন প্রতিটি ভগ্নাংশকে ১২ দিয়ে গুণ করলে পাই, 
(২/৩) × ১২ : (৩/৪) × ১২ : (৫/৬) × ১২
= ৮ : ৯ : ১০
সুতরাং নতুন অনুপাত = ৮ : ৯ : ১০

∴ মোট অংশের যোগফল = ৮ + ৯ + ১০ = ২৭ অংশ
শেষ ভাগ = মোট টাকা × (শেষ অংশ/মোট অংশ)
= ৯৪৫ × (১০/২৭)
= ৩৫০ টাকা

এখানে, ১ম রাশি = ১০
২য় রাশি = ৪০
৩য় রাশি = ৬০
আমরা জানি, ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = ( ৪০ × ৬০ )/১০ = ২৪০
∴চতুর্থ সমানুপাতিক = ২৪০ 

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ২। যদি ঐ মিশ্রণে ২০ লিটার পানি যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় ৩: ৪। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ক 
এবং পানির পরিমাণ = ২ক

২০ লিটার পানি যোগ করার পর পানির পরিমাণ = ২ক + ২০

প্রশ্নমতে,
৩ক : (২ক + ২০) = ৩ : ৪
বা, ৩ক/(২ক + ২০) = ৩/৪
বা, ৩ক × ৪ = ৩ × (২ক + ২০)
বা, ১২ক = ৬ক + ৬০
বা, ১২ক − ৬ক = ৬০
বা, ৬ক = ৬০
∴ ক = ১০

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ × ১০ = ৩০ লিটার

ধরি, সাইয়ানের বয়স ৫ক বছর এবং আদির ২ক বছর।
শর্তমতে, ৫ক = ২০
বা, ক = ৪
সুতরাং ২ক = ৮ বছর।

প্রশ্ন: ৪০ লিটার এসিড ও পানির মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত ২ : ৫ হবে?

সমাধান:
এসিড ও পানির অনুপাত = ৭ : ৩
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০  

∴ এসিডের পরিমাণ= ৪০ এর (৭/১০) = ২৮ লিটার 
 ∴ পানির পরিমাণ = ৪০ এর (৩/১০) = ১২ লিটার

ধরি,
পানি মেশাতে হবে = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
২৮ : (১২ + ক) = ২ : ৫
⇒ ২৮/(১২ + ক) = ২/৫
⇒ ২৪ + ২ক = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ২৪
⇒ ২ক = ১১৬
⇒ ক = ১১৬/২
⇒  ক = ৫৮ লিটার 

প্রশ্ন: ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩ অনুপাতে যদি ক এর ১৬০০ টাকা থাকে তাহলে 'খ' এর টাকার পরিমান কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫

∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫

ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৮ক = ১৬০০
বা, ক = ১৬০০/৮
∴ ক = ২০০

∴ খ এর টাকার পরিমাণ = (১০ × ২০০) টাকা = ২০০০ টাকা।

অনুপাত ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ৪ × ৫ × ৩
= ৬০

মনে করি,
শিপনের বেতন = ১০০ টাকা
∴ তপনের বেতন = ৩০০ টাকা
রিপনের বেতন = ২০০ টাকা
স্বপনের বেতন = ২০০ × ৭৫/১০০
= ১৫০ টাকা
∴ তপনের ও স্বপনের বেতনের অনুপাত = ৩০০ঃ১৫০
= ২ঃ১

প্রশ্ন: আনাস এবং রাকিব একটি ব্যবসায় ৩ : ২ অনুপাতে বিনিয়োগ করে। যদি মোট লাভের ১০% দান করা হয় এবং আনাসের লভ্যাংশ ৮৬৪ টাকা হলে, তবে মোট লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ব্যবসায় আনাস এবং রাকিবের বিনিয়োগের অনুপাত ৩ : ২
মোট লাভের ১০% দান করা হয়
আনাসের লাভের অংশ ৮৬৪ টাকা

∴  বিনিয়োগের অনুপাতের যোগফল = (৩ + ২) = ৫

মনে করি,
মোট লাভের পরিমাণ ১০০ টাকা
∴ মোট লাভের ১০% দান করার পর অবশিষ্ট লাভের পরিমাণ = (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা

∴ মোট লাভের ১০% দান করার পর আনাসের লভ্যাংশ = ৯০ এর (৩/৫) = ৫৪ টাকা

যদি আনাসের লভ্যাংশ ৫৪ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ ১০০ টাকা
যদি আনাসের লভ্যাংশ ১ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ = (১০০/৫৪) টাকা
∴ যদি আনাসের লভ্যাংশ ৮৬৪ টাকা হয় তাহলে মোট লাভ = (১০০/৫৪) × ৮৬৪ টাকা
= (১০০ × ১৬) = ১৬০০ টাকা

∴ মোট লাভের পরিমাণ ১৬০০ টাকা।

অনুপাত = ২ঃ৩ঃ৫
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ২ + ৩ + ৫ = ১০

প্রশ্ন: ১১,৭০০ টাকা একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে P, Q ও R এর মধ্যে ভাগ করতে হবে, যেখানে অনুপাতটি হলো ১/২ : ১/৩ : ১/৪ তবে, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য কত টাকা?

Solution:
দেওয়া আছে,
P : Q : R = (১/২) : (১/৩) : (১/৪)

এই ভগ্নাংশগুলিকে সরল করার জন্য ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২ দ্বারা গুণ করে পাই
∴ P : Q : R = {(১/২) × ১২} : {(১/৩) × ১২} : {(১/৪) × ১২}
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

∴ ১ অংশের মূল্য = ১১,৭০০/১৩ = ৯০০ টাকা

∴ P এর অংশ = ৬ × ৯০০ = ৫৪০০ টাকা 
∴ Q এর অংশ = ৪ × ৯০০ = ৩৬০০ টাকা 
∴ R এর অংশ = ৩ × ৯০০ = ২৭০০ টাকা

সবচেয়ে বড় অংশ = P = ৫৪০০ টাকা
সবচেয়ে ছোট অংশ = R = ২৭০০ টাকা

∴ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য = (৫৪০০ - ২৭০০) = ২৭০০ টাকা

ধরি, তাদের বর্তমান বয়স (৫ক + ৫) এবং (২ক + ৫)
প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৫) + (২ক + ৫) = ৫২
বা, ৭ক + ১০ = ৫২
বা, ৭ক = ৫২ - ১০
বা, ৭ক = ৪২
বা, ক = ৪২/৭ = ৬
সুতরাং পিতার বর্তমান বয়স = ৫ × ৬ + ৫ = ৩৫ বছর।

প্রশ্ন: ৭২৯ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ২। নতুন মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে হলে, কত লিটার পানি যোগ করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল মিশ্রণে দুধ ও পানির পরিমাণের 
অনুপাত = দুধ : পানি = ৭ : ২
∴ মোট অংশ = ৭ + ২ = ৯
∴ মোট মিশ্রণ = ৭২৯ লিটার 

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৭২৯ × ৭/৯ = ৫৬৭ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৭২৯ × ২/৯ = ১৬২ লিটার

আবার,
নতুন অনুপাত = দুধ : পানি = ৭ : ৩
ধরি, যোগ করা পানি = ক লিটার

নতুন মিশ্রণ,
দুধ = ৫৬৭ লিটার (অপরিবর্তিত)
পানি = ১৬২ + ক লিটার

প্রশ্নমতে, 
৫৬৭/(১৬২ + ক) = 7/৩ 
⇒ ৭(১৬২ + ক) = ১৭০১
⇒ ১১৩৪ + ৭ক = ১৭০১ 
⇒ ৭ক = ১৭০১ - ১১৩৪
⇒ ক = ৫৬৭/৭ 
∴ ক = ৮১ 

সুতরাং, ৮১ লিটার পানি যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: একজন পুরুষ ও একজন মহিলা পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করলেন। মহিলা তার অংশের টাকা নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করলে মহিলার মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
পুরুষ ও মহিলা পুরস্কারের টাকার অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি = ( ১ + ৪) = ৫
∴ মহিলার অংশ = ১০০০ × (৪/৫) টাকা
= ৮০০ টাকা 

আবার, 
নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ভাগকৃত অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ( ২ + ১ + ১) = ৪
∴ মহিলার মায়ের অংশ = ৮০০ × (১/৪) টাকা
= ২০০ টাকা

∴ মহিলার মা পাবে = ২০০ টাকা।

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৭ + ১০ = ২০ 
১ম টুকরার সাইজ = ৮০ এর ৩/২০ = ১২ মিটার
২য় টুকরার সাইজ = ৮০ এর ৭/২০ = ২৮ মিটার
৩য় টুকরার সাইজ = ৮০ এর ১০/২০ =৪০ মিটার

Let Nishi's age be 6x years. Then, Tanvir's age = 5x years.
∴ (6x+9)/(5x+9) = 9/8 ⇒ 8(6x+9) = 9(5x+9)
⇒ 48x−45x = 81−72
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3
Difference in their ages = (6x−5x) = x years = 3 years.