অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: ৪৮ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে কত লিটার পানি মেশালে এসিড ও পানির অনুপাত ৫ : ৭ হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
মিশ্রণের পরিমাণ = ৪৮ লিটার
এসিড : পানি = ৫ : ৩ 
∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৫ + ৩ = ৮

এসিডের পরিমাণ = ৪৮ × (৫/৮) = ৩০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৪৮ × (৩/৮) = ১৮ লিটার

মনে করি,
ক লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
৩০ : (১৮ + ক) = ৫ : ৭
বা, ৩০/(১৮ + ক) = ৫/৭
বা, ৭ × ৩০ = ৫ × (১৮ + ক)
বা, ২১০ = ৯০ + ৫ক
বা, ৫ক = ১২০
∴ ক = ২৪

∴ ২৪ লিটার পানি মেশাতে হবে।

X এর ১০% = Y এর ২০%
বা, X/Y = ২০% / ১০%
বা, X : Y = ২ : ১

৫:১৮, ৭:২, ৩:৬ = ৫:১৮, ৭:২, ১:২
সুতরাং, মিশ্র অনুপাত = (৫×৭×১) : (১৮×২×২) = ৩৫:৭২

কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০  

কেরোসিনের পরিমাণ=৬০এর ৭/১০
                                =৪২ লিটার 
পেট্রলের পরিমাণ =৬০এর ৩/১০
                           =১৮ লিটার 


ধরি, ক লিটার পেট্রোল মিশাতে হবে।
প্রশ্নমতে,
৪২ : (১৮ + ক) = ৩ : ৭
বা, ৪২/(১৮ + ক) = ৩/৭
বা, ৫৪ + ৩ক = ২৯৪
বা, ৩ক = ২৪০ 
   ক = ৮০ লিটার 

প্রশ্নমতে,
১ম ব্যক্তির উচ্চতাঃ২য় ব্যক্তির উচ্চতা = ১ম ব্যক্তির ছায়াঃ২য় ব্যক্তির ছায়া
বা, ২ঃ৩ = ১.৫ঃ২য় ব্যক্তির ছায়া
বা, ২/৩ = ১.৫/২য় ব্যক্তির ছায়া
বা, ২য় ব্যক্তির ছায়া = ২.২৫ মিটার

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = 9 × 4 / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ -এর মূলধন সমান কিন্তু গ -এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান: 
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

a:b = 4:7 = (4×5):(7×5) = 20:35
and b:c = 5:6 = (5×7):(6×7) = 35:42
So a:b:c = 20:35:42

প্রশ্ন: ৭৫ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত ২ : ১ । কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আম : কমলা = ২ : ১
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের সমষ্টি = ২ + ১ = ৩
আমের রসের পরিমাণ = ৭৫ × (২/৩) = ৫০ লিটার
কমলার রসের পরিমাণ = ৭৫ × (১/৩) = ২৫ লিটার

প্রশ্ন: রিফাত ৬০০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৮ মাস পর নাহিয়ান কিছু টাকা নিয়ে ওই ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ৩ : ২ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। নাহিয়ানের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ২

ধরি, নাহিয়ানের বিনিয়োগ = ক টাকা

রিফাতের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং নাহিয়ানের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৬০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/২
⇒ ৭২০০০/(৪ক) = ৩/২
⇒ ১৮০০০/ক = ৩/২
⇒ ৩ক = ১৮০০০ × ২
⇒ ৩ক = ৩৬০০০
⇒ ক = ৩৬০০০/৩
⇒ ক = ১২০০০

∴ নাহিয়ানের বিনিয়োগ = ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৫ : ৩। যদি ছাত্রীর চেয়ে ছাত্র ১৬০ জন বেশি হয়, তবে ক্লাসে মোট ছাত্র-ছাত্রী কতজন?

সমাধান:
স্কুলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৫ : ৩
মনেকরি
ছাত্র সংখ্যা = ৫ক
ছাত্রীসংখ্যা = ৩ক 

প্রশ্নমতে
৫ক - ৩ক = ১৬০
⇒ ২ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/২ 
∴ ক = ৮০ 

∴ স্কুলে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = (৫ক + ৩ক) জন 
= ৮ক জন
= (৮ × ৮০) জন
= ৬৪০ জন

সুতরাং, স্কুলে মোট ছাত্র-ছাত্রী ৬৪০ জন।

রুবেল, রবিন, রায়হানের মূলধনের অনুপাত = ৩২০০০০ : ৪০০০০০ : ৪৮০০০০
= ৩২ : ৪০ : ৪৮
= ৪ : ৫ : ৬
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ৫ + ৬
= ১৫
রুবেলের লভ্যাংশ = ৩০০০০০ × ৪/১৫
= ৮০,০০০ টাকা
রায়হানের লভ্যাংশ = ৩০০০০০ × ৬/১৫
= ১,২০,০০০ টাকা
∴ রায়হান, রুবেল অপেক্ষা = ১,২০,০০০ - ৮০,০০০
= ৪০,০০০ টাকা বেশি পায়

প্রশ্ন: ৮০ লিটার অকটেন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩। পেট্রোল আরও কত লিটার মেশালে অনুপাত হবে ৪ : ৫?

সমাধান:
৮০ লিটার অকটেন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৩ = ৮
∴ অকটেন আছে = (৮০ × ৫/৮) = ৫০ লিটার
∴ পেট্রোল আছে = (৮০ - ৫০) = ৩০ লিটার

ধরি, পেট্রোল 'ক' লিটার যুক্ত করলে অনুপাত ৪ : ৫ হবে।

নতুন মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ হবে (৩০ + ক) লিটার।

প্রশ্নমতে,
৫০/(৩০ + ক) = ৪ / ৫
⇒ ৪(৩০ + ক) = ২৫০
⇒ ১২০ + ৪ক = ২৫০
⇒ ৪ক = ২৫০ - ১২০
⇒ ৪ক = ১৩০
∴ ক = ৩২.৫ লিটার

∴ ৩২.৫ লিটার পেট্রোল আরও মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮ 
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

প্রশ্ন: কোন ব্যবসায় 'ক', 'খ', 'গ' এর মূলধন যথাক্রমে ৩০০, ৪০০ এবং ৫০০ টাকা। ব্যবসায় ১২০০ টাকা লাভ হলে 'ক' অপেক্ষা 'গ' কত টাকা বেশি পাবে?

সমাধান:
ক, খ, গ এর মূলধনের অনুপাত = ৩০০ : ৪০০ : ৫০০
= ৩ : ৪ : ৫

অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২

ক পায় = ১২০০ এর ৩/১২ = ৩০০ টাকা
গ পায় = ১২০০ এর ৫/১২ = ৫০০ টাকা

∴  'ক' অপেক্ষা 'গ' বেশি পাবে = (৫০০ - ৩০০) টাকা = ২০০ টাকা

ধরি, মোটর গাড়ির দাম ৩ক টাকা এবং টেলিভিশনের দাম ২ক টাকা
প্রশ্নমতে, দামের পার্থক্য (৩ক - ২ক) = ক = ৬০০০ টাকা
∴ টেলিভিশনের দাম - ২×ক = ২ × ৬০০০ = ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। যদি মিশ্রণে ১৫ লিটার পানি বেশি যোগ করা হয়, তবে অনুপাত হয় ৭ : ৮। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম অনুপাতে, দুধের পরিমাণ ৭ক এবং পানি পরিমাণ ৩ক

আবার, ১৫ লিটার পানি যোগ করার পর পানি পরিমাণ= ৩ক + ১৫

প্রশ্নমতে,
৭ক : (৩ক + ১৫) = ৭ : ৮
⇒ ৭ক × ৮ = ৭ × (৩ক + ১৫)
⇒ ৫৬ক = ২১ক + ১০৫
⇒ ৫৬ক - ২১ক = ১০৫
⇒ ৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = (৭ × ৩) = ২১ লিটার

প্রশ্ন: জাকির সাহেব তার সম্পত্তির ১/৫ অংশ তার স্ত্রীকে, ১/৩ অংশ তার ছেলেকে এবং বাকি অংশ তার মেয়েকে দেন। মেয়ে, স্ত্রী এবং ছেলের অংশের অনুপাত কত?

সমাধান:
স্ত্রী ও ছেলে পেল = ১/৫ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৫)/১৫ অংশ
= ৮/১৫ অংশ

∴ মেয়ে পেল = ১ - ৮/১৫ অংশ
= (১৫ - ৮)/১৫ অংশ
= ৭/১৫ অংশ

মেয়ে : স্ত্রী : ছেলে = ৭/১৫ : ১/৫ : ১/৩
= ৭ : ৩ : ৫

প্রশ্ন: যদি A : B = ৩ : ৪ এবং B : C = ৮ : ৯ হয়, তাহলে A : B : C = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A : B = ৩ : ৪ এবং B : C = ৮ : ৯

এখন,
A : B = (৩ × ৮) : (৪ × ৮) = ২৪ : ৩২
এবং
B : C = (৮ × ৪) : (৯ × ৪) = ৩২ : ৩৬

∴ A : B : C = ২৪ : ৩২ : ৩৬
= ৬ : ৮ : ৯

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫০ পয়সা, ২৫ পয়সা এবং ১০ পয়সার মুদ্রা ২ : ৫ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। সবগুলো মুদ্রা মিলে একসাথে যদি ৫১০ টাকা হয়, তবে ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
ধরি,
৫০ পয়সার মুদ্রা = ২ক টি
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি

প্রশ্নমতে,
(২ক × ০.৫) + (৫ক × ০.২৫) + (৩ক × ০.১০) = ৫১০
⇒ ক + ১.২৫ক + .৩ক = ৫১০
⇒ ২.৫৫ক = ৫১০
⇒ ক = ৫১০/২.৫৫
∴ ক = ২০০

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০০ = ১০০০ টি।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে লোহা ও তামার অনুপাত ৭ : ৩। যদি মোট মিশ্রণের ওজন ৮০ কেজি হয়, তবে তামার পরিমাণ কত কেজি?

সমাধান:
মোট অনুপাত = ৭ + ৩ = ১০
তামার অনুপাত = (৩/১০) × ৮০ = ২৪

x : y = ৪ঃ৫ = ২০ঃ২৫
x : z = ১০ঃ৯ = ২০ঃ১৮
∴ y : z = ২৫ঃ১৮

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ৩৬০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ৩০ টাকা কম। মোট ৭২ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ৩০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ৩০) = ৩৬০
বা, ৩x - ৩০ = ৩৬০
বা, ৩x = ৩৬০ + ৩০
বা, ৩x = ৩৯০
বা, x = ৩৯০/৩
∴ x = ১৩০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত:
= x : x : (x - ৩০)
= ১৩০ : ১৩০ : (১৩০ - ৩০)
= ১৩০ : ১৩০ : ১০০
= ১৩ : ১৩ : ১০

∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = ১৩ + ১৩ + ১০ = ৩৬

মোট লাভ = ৭২ টাকা
∴ গ এর লাভ = (১০/৩৬) × ৭২ টাকা
= ২০ টাকা

সুতরাং, গ ২০ টাকা লাভ পাবে।

অনুপাতগুলোর যোগফল ৩ + ৭ + ১০ = ২০
∴ টুকরোগুলোর সাইজ:
= (৩ × ৬০)/২০ = ৯
= (৭ × ৬০)/২০ = ২১
= (১০ × ৬০)/২০ = ৩০

শর্তমতে, ক + ২ক + ৩ক + ৪ক + ৫ক = ৭৫০০
বা, ১৫ক = ৭৫০০
বা, ক = ৭৫০০/১৫ = ৫০০
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (৫ × ৫০০) - ৫০০ = ২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: রহিম, রফিক ও শাহরুখের টাকার অনুপাত ২ : ৪ : ৫ এবং তাদের তিনজনের মোট ২৮৬ টাকা হলে শাহরুখের টাকার পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
ধরি,
রহিমের টাকার পরিমাণ ২ক টাকা 
রফিকের টাকার পরিমাণ ৪ক টাকা 
শাহরুখের টাকার পরিমাণ ৫ক টাকা 

শর্তমতে,
২ক + ৪ক + ৫ক = ২৮৬ 
বা, ১১ক = ২৮৬
বা, ক = ২৮৬/১১ 
∴ ক = ২৬ 

∴ শাহরুখের টাকার পরিমাণ  ৫ × ২৬ টাকা 
= ১৩০ টাকা 

প্রশ্নঃ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৮৭ বছর হয়। ৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৪। ৯ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধানঃ
বর্তমানে,
পিতার বয়স = x বছর
পুত্রের বয়স = y বছর
দেওয়া আছে,
x + y = ৮৭ বছর.........(i)

৫ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৪
তাহলে,
(x - ৫)/(y - ৫) = ৭/৪
বা, ৪(x - ৫) = ৭(y - ৫)
বা, ৪x - ২০ = ৭y - ৩৫
বা, ৪x = ৭y - ১৫
∴ x = (৭y - ১৫)/৪.........(ii)

(ii) সমীকরণটি (i)-এ বসাই:
(৭y - ১৫)/৪ + y = ৮৭
বা, ৭y - ১৫ + ৪y = ৩৪৮
বা, ১১y = ৩৬৩
∴ y = ৩৩

y এর মান (i) নং এ বসাই,
∴ x = ৮৭ - ৩৩ = ৫৪

৯ বছর পর,
পিতার বয়স = ৫৪ + ৯ = ৬৩
পুত্রের বয়স = ৩৩ + ৯ = ৪২

∴ ৯ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৬৩ : ৪২ = ৩ : ২

প্রশ্ন: যদি p/q = q/r = 3/4 হয়, তবে p : r এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p/q = q/r = 3/4

তাহলে, p/q = 3/4 
p = (3/4) × q ... ... ... ...(i)

 এবং, q/r = 3/4
q = (3/4) × r ... ... ... ...(ii)

এখন, (ii) নং হতে q এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
p = (3/4) × (3/4) × r
⇒ p = 9r/16
⇒ p/r = 9/16
∴  p : r = 9 : 16

প্রশ্ন: একটি রশির দৈর্ঘ্য ৯০ মিটার। রশিটিকে ২ : ৩ : ৫ অনুপাতে কাটা হলো। সবচেয়ে বড় এবং ছোট অংশের পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রশির দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার
অনুপাতের যোগফল = ২ + ৩ + ৫ = ১০

এখন,
ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ৯০ এর (২/১০) মিটার  = ১৮ মিটার
বড় অংশের দৈর্ঘ্য = ৯০ এর (৫/১০) মিটার = ৪৫ মিটার

∴ পার্থক্য = ৪৫ - ১৮ = ২৭ মিটার

একটি রাশি ৬৪% হলে, অপর রাশিটি ১০০%।
এদের অনুপাত হবে, ৬৪% : ১০০%
= ১৬ : ২৫

ধরি,
সংখ্যা দুইটি ক এবং ক+১
প্রশ্নমতে,
কঃ(ক+১) = ১ঃ২
বা, ক/(ক+১) = ১/২
বা, ২ক = ক+১
বা, ক = ১
∴ সংখ্যা দুইটি = ১ এবং ২।

৯ঃ৪ এর দ্বিগুনানুপাত = ৯^২ : ৪^২
= ৮১ : ১৬

২৫% বৃদ্ধিতে বাসের নতুন ভাড়া ১২৫ টাকা।
∴ পুরানো ও নতুন বাস ভাড়ার অনুপাত = ১০০ : ১২৫
= ৪ : ৫

প্রশ্ন: যদি u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭ হয় এবং u = ৭২ হয়, তাহলে w-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭

এখন, ১ম অনুপাতকে ৯ দ্বারা এবং ২য় অনুপাতকে ৭ দ্বারা গুণ করে পাই,
u : v = ৯ × ৪ : ৯ x ৭ = ৩৬ : ৬৩ ...........(i)
v : w = ৯ × ৭ : ৭ × ৭ = ৬৩ : ৪৯ ...........(ii)

সুতরাং, u ∶ v ∶ w = ৩৬ : ৬৩ : ৪৯
⇒ u ∶ w = ৩৬ ∶ ৪৯ এবং u = ৭২,
∴ w = ৪৯ × (৭২/৩৬) = ৯৮

∴ w এর মান ৯৮

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭:৪। যদি দুধ পানি অপেক্ষা ১৫ লিটার বেশি হয়, তাহলে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৭ক
পানির পরিমাণ = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৭ক - ৪ক = ১৫
⇒ ৩ক = ১৫
⇒ ক = ১৫/৩
∴ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ৪ × ৫ = ২০ লিটার