লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৯ / ৩২ · ৮০১–৯০০ / ৩,২১১

৮০১.
একটি বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ১০%
  2. খ
    খ) ২৪%
  3. গ
    গ) ২০%
  4. ঘ
    ঘ) ৪৪%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে,
ব্যাস = 2r
ক্ষেত্রফল=πr2

ব্যাস 20% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 20%
= 2r + 2r এর 20/100
= 2r + 2r/5
= (10r + 2r)/5
= 12r/5

বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/5
বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(6r/5)2
= 36πr2/25

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (36πr2/25) - πr2
= (36πr2 - 25πr2)/25
= 11πr2/25

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [{(11πr2/25)/πr2} × 100]% = 44%

৮০২.
একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    তিনটি
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়?

সমাধান:
• বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
৮০৩.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
  1. ক
    ৩ গুণ
  2. খ
    ৬ গুণ
  3. গ
    ২৭ গুণ
  4. ঘ
    ৯ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাস = d
ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ করা হলে ব্যাসার্ধ তিনগুণ হবে।

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)2
= 9πr2
= 9 × পূর্বের ক্ষেত্রফল

∴ ক্ষেত্রফল পূর্বের ৯ গুণ হবে।
৮০৪.
দুইটি বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 49। যদি দ্বিতীয় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 14 মিটার হয়, তবে প্রথম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত? 
  1. ক
    ক) 6 মিটার
  2. খ
    খ) 8 মিটার
  3. গ
    গ) 10 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 12 মিটার
ব্যাখ্যা
মনেকরি , 
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ =r1
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ =r2

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr12
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr22 

প্রশ্নমতে, 
πr12 : πr22  = 16 : 49 
πr12/ πr22  = 16/49
r12/r22 = 16/49
(r1/r2)2 = (4/7)2 
r1/r2 = 4/7
r1/14 = 4/7
r1 = (4/7) × 14
r1 = 8
৮০৫.

চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র ও OB = 5 সেমি হলে, ABCD বৃত্তের পরিধি কত?
  1. ক
    30.43 সে.মি.
  2. খ
    31.42 সে.মি.
  3. গ
    33.45 সে.মি.
  4. ঘ
    45.42 সে.মি.
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে, পরিধি = 2πr
চিত্রে, OB হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. হলে, পরিধি = 2π × 5 সে.মি. 
                                                                = 10π সে.মি.
                                                                = 10 × 3.1416 সে.মি.
                                                                = 31.42 সে.মি.
৮০৬.
32 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    16π বর্গ মিটার
  2. খ
    24π বর্গ মিটার
  3. গ
    32π বর্গ মিটার
  4. ঘ
    12π বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 32 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 32 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (32/4) = 8 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 8√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (8√2)/2 = 4√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (4√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 16 × 2) বর্গ মিটার
= 32π বর্গ মিটার
৮০৭.
সুষম বহুভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ ১২০ ডিগ্রি হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) ৪টি
  2. খ
    খ) ৫টি
  3. গ
    গ) ৭টি
  4. ঘ
    ঘ) ৬টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ ১২০ ডিগ্রি হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধানঃ
সুষমভুজের একটি অন্ত: কোণের পরিমাণ ১২০°
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের পরিমাণ = (১৮০ - ১২০)° = ৬০°

বাহুর সংখ্যা = ৩৬০/৬০ = ৬টি।
৮০৮.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের তিন গুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে? 
  1. ক
    3 গুণ
  2. খ
    6 গুণ
  3. গ
    9 গুণ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের তিন গুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 

ব্যাসার্ধ তিন গুণ হলে, ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ক্ষেত্রফল = π(3r)2 = 9πr2 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr2/πr2 = 9 গুণ
৮০৯.
৭ সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৯৮ ব. সে. মি.
  2. খ
    খ) ৪৯ ব. সে. মি.
  3. গ
    গ) ১৯৬ ব. সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১৪৬ ব. সে. মি.
ব্যাখ্যা

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২a এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a²
শর্তমতে, √২a= ৭X২
বা, ২a²= ১৯৬
বা, a²= ৯৮

৮১০.
6c° এর মান কত?
  1. ক
    94°
  2. খ
    72°
  3. গ
    68°
  4. ঘ
    84°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6c° এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [একান্তর কোণ বলে]
এবং, a° = 2b° [একান্তর কোণ বলে]
⇒ a° = 2 × 3c° = 6c°

∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
⇒ a° + a° (a°/2) = 180°
⇒ (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
⇒ 5a°/2 = 180°
⇒ 5a° = 360°
∴ a° = 72°

∴ 6c° = 72° [ যেহেতু a° = 6c°]
৮১১.
5 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 3 সেন্টিমিটার দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

চিত্র থেকে,
52 = x2 + 32
⇒ x = √16
∴ x = 4
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য AC = 2×4 = 8

৮১২.
যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 সে.মি. বাড়ানো হয়, তবে এটির ক্ষেত্রফল 22 বর্গ সেমি. বাড়ে। বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    3 cm
  2. খ
    3.6 cm
  3. গ
    4 cm
  4. ঘ
    4.8 cm
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 সে.মি. বাড়ানো হয়, তবে এটির ক্ষেত্রফল 22 বর্গ সেমি. বাড়ে। বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 
ধরি, বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

শর্তমতে,
π[(r + 1)2 - r2] = 22
⇒ r2 + 2r + 1 - r2 = 22/ π
⇒ (2r + 1) = 22 × (7/22)
⇒ 2r + 1 = 7
⇒ 2r = 6
∴ r = 3 cm.

৮১৩.
একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, P) বিন্দু দিয়ে যায় তবে P এর মান কত? 
  1. ক
    9/2
  2. খ
    11/2
  3. গ
    9/11
  4. ঘ
    11/13
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, P) বিন্দু দিয়ে যায় তবে P এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, P) বিন্দুগামী, তাই- 
3 - 2P + 8 = 0
বা, - 2P + 11 = 0 
বা, -2P = - 11
বা, P = -11/-2
∴ P = 11/2

৮১৪.
৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ কোনটি?
  1. ক
    ক) ৩২০ ডিগ্রী
  2. খ
    খ) ৫০ ডিগ্রী
  3. গ
    গ) ১২০ ডিগ্রী
  4. ঘ
    ঘ) ১৪০ ডিগ্রী
ব্যাখ্যা
৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৪০° = ৫০°
৮১৫.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10% হ্রাস পেলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে? 
  1. ক
    ক) 20%
  2. খ
    খ) 17%
  3. গ
    গ) 19%
  4. ঘ
    ঘ) 36%
ব্যাখ্যা
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক,
ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক।

ব্যাসার্ধ 10% কমে = r - r এর 10%
                            = r - r/10
                            = (10r - r)/10
                             = 9r/10
                            = 0.9r একক

তাহলে ক্ষেত্রফল = π (0.9r)2 = 0.81πr2 বর্গ একক

ক্ষেত্রফল কমবে = πr2 – 0.81πr2 = 0.19πr2 বর্গ একক

ক্ষেত্রফল কমার হার = (0.19πr2/πr2) x 100
                                 =19%
৮১৬.
বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কতগুলো স্পর্শক আঁকা সম্ভব হবে?
  1. ক
    ২ টি
  2. খ
    ৪ টি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কতগুলো স্পর্শক আঁকা সম্ভব হবে?

সমাধান:
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P।

∴ ২টি স্পর্শক PA ও PB।
৮১৭.
দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২২ : ১৪ হলে, কোণ দুটির পার্থক্য কত?
  1. ক
    ৩৫°
  2. খ
    ৪০°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২২ : ১৪ হলে, কোণ দুটির পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সম্পূরক কোণ দুটির অনুপাত = ২২ : ১৪ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (২২ + ১৪) = ৩৬ 

আমরা জানি, 
দুইটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাপ = {১৮০ × (১৪/৩৬)}°
= ৭০° 

আবার,
বৃহত্তম কোণের পরিমাপ = {১৮০ × (২২/৩৬)}°
= ১১০°

∴ কোণ দুটির পার্থক্য = (১১০ - ৭০)°
= ৪০°  ।
৮১৮.
একটি চাকার ব্যাস ১৪ মিটার। চাকাটি ৬১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে? 
  1. ক
    ১৫ বার
  2. খ
    ১৪ বার
  3. গ
    ১২ বার
  4. ঘ
    ৭ বার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ১৪ মিটার। চাকাটি ৬১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ১৪ মিটার
∴ চাকার ব্যাসার্ধ ৭ মিটার

চাকার পরিধি  ২π৭ মিটার
= ২ × (২২/৭) × ৭ মিটার
= ৪৪ মিটার

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে ১ বার
৬১৬ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে ৬১৬/৪৪ বার = ১৪ বার
৮১৯.
13 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা- এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হবে- 
  1. ক
    5 সে.মি.
  2. খ
    6 সে.মি.
  3. গ
    7 সে.মি.
  4. ঘ
    8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা- এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হবে-

সমাধান: 

চিত্রে, AD = 24/2 = 12
ΔOAD এ OD
= √{(OA)2 - (AD)2}
= √{(13)2 - (12)2}
= √(169 - 144)
= √25
= 5 

∴ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 সে.মি।
৮২০.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    ৪টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান:


দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪টি।

৮২১.
৬০° এর পূরক কোণ কোনটি?
  1. ক
    ক) ১২০°
  2. খ
    খ) ৩০০°
  3. গ
    গ) ৩০°
  4. ঘ
    ঘ) ২১০°
ব্যাখ্যা
৬০° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৬০°
৮২২.
নিচের তথ্যগুলো লক্ষ্য করুন - 
i. বৃত্তে স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব
ii. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
iii. বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) i ও ii
  2. খ
    খ) i ও iii
  3. গ
    গ) ii ও iii
  4. ঘ
    ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত তথ্যগুলো তিনটিই সঠিক: 
i. বৃত্তে স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব
ii. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
iii. বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী
৮২৩.
বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    25 মি.
  2. খ
    20 মি.
  3. গ
    10 মি.
  4. ঘ
    5 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ মি.
সুতরাং  প্রস্থ = 48/8 = 6মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(82 + 62) = √100 = 10

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মি.
৮২৪.
একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাটি ব্যাসার্ধের-
  1. ক
    ক) সমান
  2. খ
    খ) অর্ধেক
  3. গ
    গ) দ্বিগুণ
  4. ঘ
    ঘ) তিনগুণ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাকে বলে ব্যাস। আবার ব্যাস, ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। সুতরাং বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাটি ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হবে।
৮২৫.
ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDB = ?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 70°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDB = ?

সমাধান: 

ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°।
∠C = 180° - 40° - 80°
= 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। 
∴ ∠ACD = ∠BCD = 30°

∴ ∠CDB = 180° - 30° - 80°
= 70°
৮২৬.
বৃত্তের অন্ত:লিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 10 সে.মি.
  2. খ
    খ) 5 সে.মি.
  3. গ
    গ) 8 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 4 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের অন্ত:লিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি. 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 48/8 = 6 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাস = আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 
= √(82 + 62)
= √(64 + 36)
= √100
= 10
৮২৭.
নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?
  1. ক
    ক) y = mx
  2. খ
    খ) x/a + y/b = 1
  3. গ
    গ) ক ও খ উভয়
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটি নয়
ব্যাখ্যা

সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) = y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1

৮২৮.
একটি বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
  1. ক
    ২ গুণ
  2. খ
    ৩ গুণ
  3. গ
    ৪ গুণ
  4. ঘ
    ৬ গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২

ব্যাস দ্বিগুণ করলে ব্যাসার্ধও দ্বিগুণ হয়।
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = ২r
∴ নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)২
= π × ৪r২ = ৪πr২

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = নতুন ক্ষেত্রফল/পুরাতন ক্ষেত্রফল
= ৪πr২/πr২
= ৪

সুতরাং, ব্যাস দ্বিগুণ করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ হবে।

৮২৯.
  1. ক
    (i)
  2. খ
    (ii)
  3. গ
    (i) ও (ii) উভয়ই
  4. ঘ
    (ii) ও (iii) উভয়ই
ব্যাখ্যা
যে কোণের পরিমাপ ৯০° অপেক্ষা কম তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে। চিত্রে, ∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ।
যে কোণের পরিমাপ ৯০° তাকে সমকোণ বলে। চিত্রে, ∠AOB একটি সমকোণ।
যে কোণের পরিমাপ ৯০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা কম তাকে স্থূলকোণ বলে। চিত্রে, ∠AOD একটি স্থূলকোণ।
যে কোণের পরিমাপ ১৮০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা কম তাকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে। চিত্রে, কোন প্রবৃদ্ধকোণ নাই।
৮৩০.
একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    4π
  2. খ
    3π
  3. গ
    2π
  4. ঘ
    π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 6 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 60° 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?

আমরা জানি,
s = πrθ/180°
⇒ s =  (π × 6 × 60°)/180°
∴ s = 2π সে.মি.
৮৩১.
ABC ত্রিভুজের AB = AC = 5 সে.মি.। যদি ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে এবং AE = 3 সে.মি. হয় তবে BC = কত?
  1. ক
    4 সে.মি.
  2. খ
    6 সে.মি.
  3. গ
    8 সে.মি.
  4. ঘ
    12 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC = 5 সে.মি.। যদি ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে এবং AE = 3 সে.মি. হয় তবে BC = কত?

সমাধান:

ABC ত্রিভুজের AB = AC = 5 সে.মি.
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক ভূমিকেও সমদ্বিখন্ডিত করে এবং ভূমির উপর লম্ব হয়।
∴ BE = CE এবং AE ⊥ BC

ΔAEB হতে পাই,
AB2 = AE2 + BE2
বা, BE2 = AB2 - AE2
বা, BE2 = 52 - 32
বা, BE = √16
∴ BE = 4

অতএব, BC = 2BE = 2 × 4 = 8 সে.মি.
৮৩২.
ত্রিভুজ ABC তে, ∠A = y, ∠B = 2y, ∠A = 3y হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের?
  1. ক
    ক) সমকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    খ) স্থুলকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    গ) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC তে, ∠A = y, ∠B = 2y, ∠A = 3y হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

y + 2y + 3y = 180°
⇒ 6y = 180°
∴ y = 30°

∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠A = 90°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
৮৩৩.
চিত্রে ΔABC সমবাহু ত্রিভূজের পরিলিখিত বৃত্তের কেন্দ্র O হলে ∠BOC = ?
  1. ক
    60°
  2. খ
    90°
  3. গ
    100°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা

ΔABC সমবাহু 
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ কোন ∠BOC = 2 × পরিধিস্থ কোন ∠A = 2 × 60° = 120°

৮৩৪.
একটি 14 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি বরাবর একবার ঘুরে আসলে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করা হবে?
  1. ক
    88 সেমি
  2. খ
    84 সেমি
  3. গ
    70 সেমি
  4. ঘ
    68 সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 14 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি বরাবর একবার ঘুরে আসলে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14 সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক
= {2 × (22/7) × 14} সেমি
= 88 সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি 88 সেমি।

অর্থাৎ, একবার পুরো পরিধি ঘুরে আসলে 88 সেমি দূরত্ব অতিক্রম করা হবে।
৮৩৫.
AB ও CD রেখা O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠BOD = 62° হলে, (1/2)∠BOC সমান কত?
  1. ক
    ক) 58°
  2. খ
    খ) 62°
  3. গ
    গ) 118°
  4. ঘ
    ঘ) 59°
ব্যাখ্যা
 

 ∠BOD  + ∠BOC = 180° 
62°  + ∠BOC = 180° 
∠BOC  = 180° - 62°
∠BOC  =118
(1/2) ∠BOC   = (1/2) × 118°  = 59°
৮৩৬.
বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৭৫° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?
  1. ক
    ১৫°
  2. খ
    ৬৫°
  3. গ
    ১০৫°
  4. ঘ
    ১২৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৭৫° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৭৫° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭৫) = ১০৫°
৮৩৭.
এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়? 
  1. ক
    পূরক কোণ 
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণ 
  3. গ
    স্থূলকোণ 
  4. ঘ
    সম্পূরক কোণ 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়? 

সমাধান: 
কোণ (Angle): 
- সমতলে দুইটি রশ্মির একই প্রান্তবিন্দু হলে মিলন স্থলে কোণ (Angle) তৈরি হয়। 
- রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ প্রান্ত বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। 

সরল কোণ (Straight Angle): 
- দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে। 
- সরল কোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা 180°। 

সমকোণ (Right Angle): 
- একটি সরল কোণের সমদ্বিখন্ডককে লম্ব এবং সংশ্লিষ্ট সন্নিহিত কোণের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। 

সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): 
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয়। 
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ। 

সূক্ষ্মকোণ ও স্থূলকোণ (Acute and Obtuse Angle): 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 

প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle): 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ (Complementary Angle): 
- দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়। 

সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle): 
- দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়। 

বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles): 
- যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে। 
- দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়। 
৮৩৮.
দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২৫ : ১১ হলে, কোণ দুটির পার্থক্য কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৫৫°
  2. খ
    ৭০°
  3. গ
    ৯৫°
  4. ঘ
    ১২৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২৫ : ১১ হলে, কোণ দুটির পার্থক্য কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি = ১৮০°

অনুপাতের যোগফল = ২৫ + ১১
= ৩৬

∴ একটি কোণ = ১৮০° × (২৫/৩৬) 
= ১২৫°

∴ অপর কোনটি = ১৮০° × (১১/৩৬) 
= ৫৫°

∴ কোণ দুটির পার্থক্য = ১২৫° - ৫৫°
=  ৭০°
 
৮৩৯.
৫ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৩ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২৫ সে. মি.
  2. খ
    ৬ সে. মি.
  3. গ
    ৮ সে. মি.
  4. ঘ
    ১০ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৩ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৩ সে. মি.

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য=২√(r২ − d২)
= ২√(৫২ − ৩২)
= ২√(২৫ - ৯)
= ২√১৬
= ২ × ৪
= ৮

∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি.।

৮৪০.
যদি একটি তারকা চারটি বৃত্তের সমান এবং তিনটি বৃত্ত চারটি হীরার সমান হয়, তাহলে তারকা : হীরার অনুপাত কত?
  1. ক
    16 : 3
  2. খ
    5 : 12
  3. গ
    12 : 5
  4. ঘ
    3 : 16
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
১টি তারকা (S) = ৪টি বৃত্ত (C), ৩টি বৃত্ত (C) = ৪টি ডায়মন্ড (D)
  অতএব, S = 4C, 3C = 4D

তাহলে, C = (4/3) × D
       S = 4 × (4/3) × D
       S = 16/3  × D
      S : D = 16 : 3

বিকল্প পদ্ধতি:
S = 4C
S : C = 4 : 1 [যেহেতু ১ টি তারকা ৪টি বৃত্তের সমান]
আবার, 3C = 4D
∴ C = (4/3)D [অর্থ্যাৎ, বৃত্ত হীরার ৪/৩ গুণ বড়]

S : C = 4 : 1 = 16 : 4
C : D = 4 : 3
∴ S : C : D = 16 : 4 : 3
∴ S : D = 16 : 3

৮৪১.
চিত্রে DE।। BC, BD।।CF , ∠DAE = 60° এবং ∠CEF = 50° হলে, ∠BDE= কত? 
  1. ক
    ক) 100° 
  2. খ
    খ) 110° 
  3. গ
    গ) 120° 
  4. ঘ
    ঘ) 80° 
ব্যাখ্যা
 
এখানে, 
∠CEF = ∠AED = 50° [বিপ্রতীপ কোণ] 

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ অন্তঃস্থ বিপরীত দুই কোণের সমষ্টির সমান।

ΔADE এর বহিঃস্থ কোণ 
∠BDE = ∠AED +  ∠DAE 
         = 50° + 60°
          = 110°
৮৪২.
৩৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ x হলে x এর সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) ৩৫°
  2. খ
    খ) ৫৫°
  3. গ
    গ) ৯৫°
  4. ঘ
    ঘ) ১২৫°
ব্যাখ্যা

x = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
∴ x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৫° = ১২৫°

৮৪৩.
৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ৩৫°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ১২৫°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি ৯০˚ বা এক সমকোণ হয়, তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়।

অতএব, একটি কোণ ৫৫° হলে, পূরক কোণ = ৯০˚ - ৫৫° = ৩৫°
৮৪৪.
কোন সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) সমকোণ
ব্যাখ্যা

সুষম দশভুজের অন্তঃকোনের পরিমান = (n - ২)/n × ১৮০°
= (১০ - ২)/১০ × ১৮০°
= ১৪৪° যা একটি স্থূলকোণ।

৮৪৫.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত ডিগ্রী? 
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ১৫০°
  4. ঘ
    ৩৬০°
ব্যাখ্যা
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য: 
- বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অর্থাৎ, ১৮০°। 

উপরোক্ত চিত্রে, 
O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে 
∠ABC এর বিপরীত কোণ ∠ADC
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180° এবং 
∠DAB এর বিপরীত কোণ ∠DCB
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°
৮৪৬.
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭০ ডিগ্রি হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?
  1. ক
    ২০ ডিগ্রি
  2. খ
    ৭০ ডিগ্রি
  3. গ
    ১১০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ২৯০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭০ ডিগ্রি হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি

দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ৭০ ডিগ্রি

∴ অপর কোণটি = ১৮০ - ৭০ = ১১০ ডিগ্রি
৮৪৭.
২৬৩° কোণকে কী কোণ বলে?  
  1. ক
    স্থূলকোণ 
  2. খ
    প্রবৃদ্ধ কোণ 
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ 
  4. ঘ
    পূরক কোণ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৬৩° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৬৩° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

৮৪৮.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।
  1. ক
    অসংখ্য
  2. খ
    ৪টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    ২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।
৮৪৯.
সুষম ষড়ভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) 100°
  2. খ
    খ) 90°
  3. গ
    গ) 120°
  4. ঘ
    ঘ) 130°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ = {180° × (n - 2)}/n
= {180° × (6 - 2)}/6
= 720°/6
= 120°
৮৫০.
যে দুটি মাত্রা দ্বারা তল সৃষ্টি হয় সেগুলো কী কী?
  1. ক
    দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ
  2. খ
    দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল
  3. গ
    উচ্চতা এবং ঘনত্ব
  4. ঘ
    সঠিক উত্তর নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে দুটি মাত্রা দ্বারা তল সৃষ্টি হয় সেগুলো কী কী?

সমাধান:
এ দুটি মাত্রা দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ একত্রে একটি তল সৃষ্টি করে, যা দুটি মাত্রার সমন্বয়ে একটি সমতল বা 2D ক্ষেত্র তৈরি হয়। এতে উচ্চতা বা তৃতীয় মাত্রা থাকে না, তাই এটি একটি সমতল পৃষ্ঠ হিসেবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বইয়ের পাতা বা একটি টেবিলের উপরিভাগ এই দুটি মাত্রা দিয়েই তৈরি।
৮৫১.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?
  1. ক
    180°
  2. খ
    95°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    47.5°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
 পরিধিস্থ কোণ = 47.5°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
= 2 × 47.5°
= 95°
 
সুতরাং কেন্দ্রঃস্থ কোণ 95°। 

৮৫২.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?
  1. ক
    ৫১%
  2. খ
    ৩৬%
  3. গ
    ৪৪%
  4. ঘ
    ২৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ১০% কমালে
নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ৩০%
= ১০ - ৩
= ৭

তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(৭)২ = ৪৯π

∴ ক্ষেত্রফল কমে=  ১০০π - ৪৯π
= ৫১π

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = {(৫১π/১০০π) × ১০০}%
= ৫১%
৮৫৩.
নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 31° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
 
  1. ক
    62°
  2. খ
    59°
  3. গ
    15.5°
  4. ঘ
    139°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 31° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC, বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC = 31°

∴ ∠BOC = (2 × 31°) = 62°
৮৫৪.
(x - 10)° কোণের সম্পূরক কোণ (x - 30)° হলে, x = ?
  1. ক
    110°
  2. খ
    115°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    130°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 10)° কোণের সম্পূরক কোণ (x - 30)° হলে, x = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে।

এখন,
(x - 10)° + (x - 30)° = 180°
⇒ 2x - 40° = 180°
⇒ 2x = 180° + 40°
⇒ 2x = 220°
⇒ x = 220°/2
∴ x = 110°
৮৫৫.
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠DAB + ∠DCB = ?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 150°
  3. গ
    গ) 180°
  4. ঘ
    ঘ) 80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের  ∠DAB + ∠DCB = ?

সমাধান : 
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ = ১৮০°
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় একে অপরের সম্পূরক কোন 
 
উপরোক্ত চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে 
∠ABC এর বিপরীত কোণ ∠ADC
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∠DAB এর বিপরীত কোণ ∠DCB
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°

৮৫৬.
একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে? 
  1. ক
    ৩৬০°
  2. খ
    ২১০°
  3. গ
    ৫৪০°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০/৬০ বার
= ১/২ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ১/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (১/২)}°
= ১৮০°

৮৫৭.
তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    একটিও না
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?

সমাধান:
তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে একটিমাত্র বৃত্ত আঁকা যাবে।
৮৫৮.
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 4 সে.মি.। ক্ষুদ্রতম বৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) 8π সে.মি.
  2. খ
    খ) 10π সে.মি.
  3. গ
    গ) 12π সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 14π সে.মি.
ব্যাখ্যা
আমরা জানি 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 10 সে. মি.  
অন্তঃস্থ  বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?   

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 -  r2) 
                                     4 = 10 - r2
                                    4 - 10 = -  r2
                                         r2 = 6 সে.মি.
অপর বৃত্তের পরিধি = 2πr2 
                              = 2π × 6 =12π সে.মি.
৮৫৯.
৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৮০ বর্গ সেমি
  2. খ
    ৯০ বর্গ সেমি
  3. গ
    ৯৮ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ১০০ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সেমি
বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৭ = ১৪ সেমি

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১৪ সেমি
⇒ a√২ = ১৪
⇒ a = ১৪/√২
∴ a = ৭√২

∴ ক্ষেত্রফল = a২ = (৭√২)২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গ সেমি

৮৬০.
কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°.

৮৬১.
একটি বৃত্ত (x - 3)2 + (y + 5)2 - 81 = 0 হলে, বৃত্তটির কেন্দ্র কোনটি?
  1. ক
    (3, 5)
  2. খ
    (3, - 5)
  3. গ
    (- 3, - 5)
  4. ঘ
    (- 3, 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্ত (x - 3)2 + (y + 5)2 - 81 = 0 হলে, বৃত্তটির কেন্দ্র কোনটি?

সমাধান: 
(x - 3)2 + (y + 5)2 - 81 = 0
⇒ (x - 3)2 + (y + 5)2 = 92

আমরা জানি,
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) এবং r তার ব্যাসার্ধ।

∴ প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র হবে (3, - 5)
৮৬২.
৫ সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ৪ সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?
  1. ক
    ১৮ সে. মি.
  2. খ
    ৬ সে. মি.
  3. গ
    ৮ সে. মি.
  4. ঘ
    ১৪ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ৪ সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান:

কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অংকিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, জ্যা এর অর্ধাংশ ''ক''
∴ কেন্দ্র থেকে জ্যা এর ওপর অংকিত লম্ব, জ্যা এর অর্ধাংশ ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করবে।
অর্থাৎ,
⇒ ক২ + ৪২ = ৫২
⇒ ক২ = ২৫ - ১৬ = ৯
∴ ক = ৩
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ক x ২ = ৩ x ২ = ৬ সে. মি.
৮৬৩.
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে- 
  1. ক
    ৬৫°
  2. খ
    ৩২.৫°
  3. গ
    ১৩০°
  4. ঘ
    ১১৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে- 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴  বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।
৮৬৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোনো দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?
  1. ক
    ৬০ ডিগ্রি
  2. খ
    ১২০ ডিগ্রি
  3. গ
    ১৮০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৩০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোনো দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ = ৬০ ডিগ্রি 
যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ =  ৬০ ডিগ্রি 
৮৬৫.
ACB বৃত্তে AB জ্যা - এর মধ্যবিন্দু D, ∠ADC = 90° DC = ২ সে.মি. এবং বৃত্তটির ব্যাস ১০ সে.মি. হলে, AB = কত?
  1. ক
    ক) ৯ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৮ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ACB বৃত্তে AB জ্যা - এর মধ্যবিন্দু D, ∠ADC = 90° DC = ২ সে.মি. এবং বৃত্তটির ব্যাস ১০ সে.মি. হলে, AB = কত?

সমাধান:
OA = OC = 5 
DC = 2
OD = 5 - 2 = 3

AD2 = OA2 - OD2
AD2 = 52 - 32
AD2 = 25 - 9 
AD2 = 16
AD2 = 42 
AD = 4

AB = 2 × AD = 2 × 4 = 8
৮৬৬.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 
  1. ক
    ২৪ মিটার
  2. খ
    ১৬ মিটার
  3. গ
    ১২ মিটার
  4. ঘ
    ১১ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬৪π বর্গমিটার, পরিধি ১৬π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২ 

শর্তমতে,
২πr = ১৬π মিটার 
πr২ = ৬৪π বর্গমিটার‌।

এখন,
πr2/২πr = ৬৪π/১৬π
বা, r/২ = ৪ 
∴ r = ৮

∴ বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

৮৬৭.
দুইটি বিন্দু দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যায়?
  1. ক
    একটিও না
  2. খ
    একটি
  3. গ
    দুইটি
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা

উৎস: গণিত, এসএসসি প্রোগ্রাম, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
৮৬৮.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
  1. ক
    চারটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    একটি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান:

চিত্র থেকে দেখা যায়,
বৃত্তের বহিঃস্থ কো্নো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
৮৬৯.
চিত্রে, ∠x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 120°
  2. খ
    খ) 130°
  3. গ
    গ) 140°
  4. ঘ
    ঘ) 150°
ব্যাখ্যা
∠x = 60° + 90° (সমকোণ) [যেহেতু বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি]
= 150°
৮৭০.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
  1. ক
    x2 + y2 = 25
  2. খ
    3x2 + 3y2 = 15
  3. গ
    x2 + y2 = 1
  4. ঘ
    সবগুলোই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান: 
বৃত্তের সমীকরণে বৈশিষ্ট্য:
i) সমীকরণটি x এবং y এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
ii) সমীকরণে x2 এবং y2 এর সহগ সমান।
iii) xy সম্বলিত পদ নেই।
৮৭১.
a এর কোন মানের জন্য 2x + 4y - 5 = 0 এবং 3x + ay - 9 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?
  1. ক
    9
  2. খ
    2/3
  3. গ
    6
  4. ঘ
    5/8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 2x + 4y - 5 = 0 এবং 3x + ay - 9 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

প্রথম সরলরেখা, 2x + 4y - 5 = 0
⇒ 4y = - 2x + 5
⇒ y = (- 2/4)x + (5/4)
⇒ y = (- 1/2)x + (5/4)
∴ ঢাল m1 = - 1/2  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

দ্বিতীয় সরলরেখা, 3x + ay - 9 = 0
⇒ ay = - 3x + 9
⇒ y = (- 3/a)x + 9/a ; (যদি a ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m2 = - 3/a  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m1 = m2
⇒ - 1/2 = - 3/a
⇒ 1/2 = 3/a
⇒ a = 2 × 3
∴ a = 6

সুতরাং, a-এর মান 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।

৮৭২.
AB | | CD হলে θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 110°
  2. খ
    খ) 90°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AB | | CD হলে θ এর মান কত? 

সমাধান:


AB | | CD এবং EF এদের ছেদক 
∠EPB = ∠PQD = 110 [ একান্তর কোণ]
এখানে,
∠PQD এবং ∠PQC রৈখিক যূগল কোণ 
তাহলে,
∠PQD  + ∠PQC = 180
⇒ 110 + θ = 180
⇒ θ = 180 - 110
⇒ θ = 70°
৮৭৩.
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4 হলে A ও B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 
  1. ক
    ক) 3 : 4
  2. খ
    খ) 8 : 9
  3. গ
    গ) 16 : 9 
  4. ঘ
    ঘ) 9 : 8 
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
A বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

B বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3r/4 
B বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r/4 )2
                           = π9r2/16
A ও B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πr2 : π9r2/16
                                                     = 1 : 9/16
                                                     = 16 : 9
৮৭৪.
2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের--- ⅰ) পরিধি 4πr একক, ⅱ) ব্যাস 4r একক, ⅲ) ক্ষেত্রফল 2πr বর্গ একক। নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) ⅰ ও ⅱ
  2. খ
    খ) ⅰ ও ⅲ
  3. গ
    গ) ⅱ ও ⅲ
  4. ঘ
    ঘ) ⅰ, ⅱ ও ⅲ
ব্যাখ্যা

R= 2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের---
পরিধি = 2πR = 2π×2r = 4πr
ব্যাস = 2R= 2 × 2r = 4r
এবং ক্ষেত্রফল = πR² = π×(2r)² = 4πr²

৮৭৫.
6y - 9x + 12 = 0, রেখার ঢাল কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/3
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6y - 9x + 12 = 0, রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c

এখন,
6y - 9x + 12 = 0
⇒ 6y = 9x - 12
⇒ y = (9x - 12)/6
∴ y = (3/2)x - 2

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 3/2
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = 3/2
৮৭৬.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৭ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
  1. ক
    ১১ সে. মি.
  2. খ
    ২ সে. মি.
  3. গ
     ৫ সে. মি.
  4. ঘ
     ৩ সে. মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৭ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৭ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৪ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৭ - ৪) সে. মি.
= ৩ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৩ সে. মি.

৮৭৭.
এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়? 
  1. ক
    স্থূলকোণ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  4. ঘ
    সম্পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলা হয়? 

সমাধান: 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 

অন্যদিকে, 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৮৭৮.
একটি কোণের দ্বিগুণ ৬০° হলে তার পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ১৫°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ২০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ ৬০° হলে তার পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, কোণটি = ক

প্রশ্নমতে,
২ক = ৬০°
বা, ক = ৩০°

আমরা জানি, দুটি কোণ পরস্পর পূরক হলে তাদের সমষ্টি = ৯০°

অতএব, ৩০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩০° = ৬০°

৮৭৯.
৬৫° পূরক কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) ১৩৫°
  2. খ
    খ) ১২৫°
  3. গ
    গ) ২৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৩৫°
ব্যাখ্যা
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৬৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৬৫° = ২৫°
৮৮০.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ৩টির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ৩৬০°
  3. গ
    ২৭০°
  4. ঘ
    ৩৩০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ৩টির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2(a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী।

৮৮১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৭ : ১২ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৭৫°
  2. খ
    ৫২.৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৭ : ১২ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৭ : ১২
কোণগুলি হল ৫ক, ৭ক, ১২ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৭ক + ১২ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

∴ বৃহত্তম কোণ = ১২ক = ১২ × ৭.৫ = ৯০°
৮৮২.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪: ৫। বড় বৃত্তের ও ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৯ : ১৬
  2. খ
    খ) ১৬ : ৯
  3. গ
    গ) ১৬ : ২৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৫ : ১৬
ব্যাখ্যা

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×4²
= 25 : 16

৮৮৩.
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ এবং কোণ দুটির অনুপাত 7 : 5 হলে ∠A এর মান কত?
  1. ক
    52.5°
  2. খ
    85°
  3. গ
    115°
  4. ঘ
    105°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ এবং কোণ দুটির অনুপাত 7 : 5 হলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক
∠A = 7x
∠B = 5x

প্রশ্নমতে 
7x + 5x = 180°
বা, 12x = 180°
∴ x = 15° 

∴ ∠A = 7x = 7 × 15° = 105°
৮৮৪.
একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে?
  1. ক
    ক) ১২০ মিটার
  2. খ
    খ) ৮০ মিটার
  3. গ
    গ) ৬০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৪০ মিটার
ব্যাখ্যা

৩ এবং ৪ এর লসাগু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ ✕ ১০ = ১২০ মিটার

৮৮৫.
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক-
  1. ক
    ক) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক
  2. খ
    খ) একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে
  3. গ
    গ) অনুরূপ কোণ জোড়া সমান
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলো
ব্যাখ্যা
সমাধান:
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক। I
৮৮৬.
৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৮ বর্গসেমি
  2. খ
    ৪৯ বর্গসেমি
  3. গ
    ৯৮ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ১৪৬ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য = x√২  সে.মি.

∴ x√২ = ১৪
⇒ x = ১৪/√২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৪/√২)২
= ১৯৬/২
= ৯৮ বর্গসে.মি.
৮৮৭.
2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/3
  3. গ
    2/3 
  4. ঘ
    - 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3 

৮৮৮.
দুইটি কোণের একটি সাধারণ বাহু থাকলে, কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে কোণ দুটিকে বলে-
  1. ক
    ক) পূরক কোণ
  2. খ
    খ) বিপ্রতীপ কোণ
  3. গ
    গ) সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) সন্নিহিত কোণ
ব্যাখ্যা
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): 
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয়   সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি   কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।
৮৮৯.
দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ 70°। এক সরলকোণ হতে উক্ত কোণ বিয়োগ করলে কী কোণ উৎপন্ন হবে?
  1. ক
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  2. খ
    স্থূলকোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ 70°। এক সরলকোণ হতে উক্ত কোণ বিয়োগ করলে কী কোণ উৎপন্ন হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সরলকোণ = 180°
দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ = 70°

∴ উৎপন্ন কোণ = 180° - 70° = 110°
90° থেকে বড় এবং 180° থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
∴ 110° একটি স্থূলকোণ।

• ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি এবং ৩৬০ ডিগ্রি অপেক্ষা কম কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
• ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
• ৯০ ডিগ্রি  কোণকে সমকোণ বলে।
৮৯০.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান কত ?
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ৮০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান কত ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

সমকোণী ত্রিভুজের ১ টি কোণ সমকোণ = ৯০°
বাকি ২টি কোণ সূক্ষ্মকোণ < ৯০°।
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ২টি পরস্পর সমান।

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান = ৯০°
৮৯১.
60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে- 
  1. ক
    (π/2) রেডিয়ান
  2. খ
    (π/6) রেডিয়ান
  3. গ
    (π/3) রেডিয়ান
  4. ঘ
    (π/4) রেডিয়ান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি 
90° = π/2 রেডিয়ান 
1° = (π/2) × 90 রেডিয়ান 

∴ 60° = 60π/(2 × 90) রেডিয়ান  = π/3 রেডিয়ান
৮৯২.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের-
  1. ক
    ক) দ্বিগুণ
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) অর্ধেক
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
৮৯৩.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?
  1. ক
    120°, 60°
  2. খ
    110°, 70°
  3. গ
    130°, 50°
  4. ঘ
    125°, 75° 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।

শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

৮৯৪.
কোনো বৃত্তের ব্যাস 10 cm হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 5π cm2
  2. খ
    খ) 10π cm2
  3. গ
    গ) 25π cm2
  4. ঘ
    ঘ) 100π cm2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস 10 cm হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোনো বৃত্তের ব্যাস 10 cm 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10/2 cm = 5cm

∴বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π×52 cm2 = 25π cm2
৮৯৫.
একটি বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ৯ গুণ
  2. খ
    ২৭ গুণ
  3. গ
    ৮ গুণ
  4. ঘ
    ১৬ গুণ
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)2 বর্গ একক
= π × 9r2 বর্গ একক
= 9 × πr2 বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

৮৯৬.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 8 : 9। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  1. ক
    56 : 81
  2. খ
    24 : 81
  3. গ
    36 : 8
  4. ঘ
    64 : 81
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 8 : 9। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8
∴ ক্ষেত্রফল = π(8)2 = 64π

অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 9
∴ ক্ষেত্রফল = π(9)2 = 81π

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 64π : 81π
= 64 : 81
৮৯৭.
y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
y - 2x + 3 = 0
বা, y = 2x - 3 কে y = mx + c সাথে তুলনা করে পাই, m = 2
∴ ঢাল = 2
৮৯৮.
বৃত্তের দৈর্ঘ্য -
  1. ক
    ক) ব্যাস
  2. খ
    খ) ব্যাসার্ধ
  3. গ
    গ) পরিধি
  4. ঘ
    ঘ) ক্ষেত্রফল
ব্যাখ্যা
বৃত্তের দৈর্ঘ্য কে পরিধি বলে।
৮৯৯.
কোনটি সরল কোণ?
  1. ক
    120°
  2. খ
    180°
  3. গ
    0°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি সরল কোণ?

সমাধান:
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রি।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রি কোণকে এক সরল কোণ বলে।
৯০০.
১১ সে.মি ব্যাসার্ধ ও ১৮ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে অবস্থান করলে, তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ২৯ সে.মি.
  2. খ
    ২৪ সে.মি.
  3. গ
    ২২ সে.মি.
  4. ঘ
    ২০ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১১ সে.মি ব্যাসার্ধ ও ১৮ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে অবস্থান করলে, তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
বহিঃস্পর্শ করা দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফলই তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান।

এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১১ সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৮/২ = ৯ সে.মি.

∴ তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১১ + ৯) সে.মি.
= ২০ সে.মি.