লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৫ / ৩২ · ৪০১–৫০০ / ৩,২১১

৪০১.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.। ঐ দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ক) 4 সে.মি.
  2. খ
    খ) 3 সে.মি.
  3. গ
    গ) 5 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 2 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.। ঐ দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3)2 = 9π
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(4)2 = 16π
দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 9π + 16π = 25π

ধরি,
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

প্রশ্নমতে,
πr2 = 25π
বা, r2 = 25
∴ r = 5 সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
৪০২.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    400π ইঞ্চি
  2. খ
    500π ইঞ্চি
  3. গ
    570π ইঞ্চি
  4. ঘ
    670π ইঞ্চি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি
= (7 × 3 × 12) ইঞ্চি + (2 × 12) ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= 252 ইঞ্চি + 24 ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= (252 + 24 + 9) ইঞ্চি
= 285 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 285
= 570π ইঞ্চি

৪০৩.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 
  1. ক
    ১৬%
  2. খ
    ২৪%
  3. গ
    ৩৬%
  4. ঘ
    ৪০%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০ 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২
= π(১০০)২
= ১০০০০π

আবার, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২
= π(৮০)২
= ৬৪০০π
∴ ক্ষেত্রফল কমে = ১০০০০π - ৬৪০০π
= ৩৬০০π

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% । 

৪০৪.
একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র কে কি বলে?
  1. ক
    ক) বৃত্তচাপ
  2. খ
    খ) বৃত্তক্ষেত্র
  3. গ
    গ) বৃত্তকলা
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলে।
৪০৫.
২৬৯° কোণটি হলো- 
  1. ক
    সমকোণ
  2. খ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    সরল কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬৯° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। 
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে। 

∴ ২৬৯° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
৪০৬.
যদি কোনো একটি কোণের বহিঃস্থকোণ ৪৫° ডিগ্রী হিসেবে প্রকাশ করা হয়,তবে অন্তঃস্থকোণ কত ডিগ্রী হবে?
  1. ক
    ক) ৪৫°
  2. খ
    খ) ৯০°
  3. গ
    গ) ১২০°
  4. ঘ
    ঘ) ১৩৫°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ + ৪৫° = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

৪০৭.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের অর্ধেক, কোণটির সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 80
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের অর্ধেক, কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

সমাধানঃ
মনে করি, 
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = (180 - x) / 2
⇒ 2x = 180 - x
⇒ 3x = 180
⇒ x = 60

∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - 60 = 120
৪০৮.
একটি বিন্দুর চারপাশের কোণের পরিমাপ কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    ০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ১৮০°
  4. ঘ
    ৩৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিন্দুর চারপাশের কোণের পরিমাপ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
- একটি বিন্দুর চারপাশের কোণের পরিমাপ 360°।
৪০৯.
যদি দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হয় তখন একটিকে অপরটিকে কী বলে?
  1. ক
    ক) বিপ্রতীপ কোণ
  2. খ
    খ) পূরক কোণ
  3. গ
    গ) সম্পূরক কোণ
  4. ঘ
    ঘ) একান্তর কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হয় তখন একটিকে অপরটিকে কী বলে?

সমাধান:
সম্পূরক কোণের সংঙ্গানুসারে, দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৪১০.
ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB এবং AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?   
  1. ক
    ৩২০°
  2. খ
    ২৮০°
  3. গ
    ২৪০°
  4. ঘ
    ২৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB এবং AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান:

ΔABC এ 
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠CBE = 120°
∠BCD = 120°
∠CBE + ∠BCD = 120° + 120° = 240°
৪১১.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের _______ ।
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) দ্বিগুণ
  4. ঘ
    ঘ) তিনগুণ
ব্যাখ্যা

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

৪১২.
কোনটি বৃত্তের সমীকরণ -
  1. ক
    ক) x2 - y = 0
  2. খ
    খ) x2 - y2 = 1
  3. গ
    গ) x + y2 = 1
  4. ঘ
    ঘ) x2 + y2 = 1
ব্যাখ্যা

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে,
x2 + y2 = 1

৪১৩.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) এক সমকোণ
  2. খ
    খ) দুই সমকোণ
  3. গ
    গ) চার সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) তিন সমকোণ
ব্যাখ্যা
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ [ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য ]

[ সূত্র - গণিত, নবম - দশম শ্রেণি, বোর্ড বই ]
৪১৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 8° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 
  1. ক
    ক) 43°
  2. খ
    খ) 37°
  3. গ
    গ) 39°
  4. ঘ
    ঘ) 41°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 8° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 8°

এখন
x + x +8° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 98°
⇒ x = 82°/2
∴ x = 41°

ক্ষুদ্রতম কোণ 41°
৪১৫.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ 120 ডিগ্রী হলে, ঐ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ রেডিয়ানে কত হবে?
  1. ক
    ক) π/2
  2. খ
    খ) π/3
  3. গ
    গ) π/4
  4. ঘ
    ঘ) π/6
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
1° = π/180 রেডিয়ান
∴60° = π/3 রেডিয়ান
৪১৬.
রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসীম
  4. ঘ
    প্রান্তবিন্দু নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

অন্যদিকে,
- রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
- এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।
৪১৭.
একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ কয়টি কোণ স্থূলকোণ হতে পারে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ কয়টি কোণ স্থূলকোণ হতে পারে?

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। 
-  ত্রিভুজে কমপক্ষে ২টি সূক্ষ্মকোণ থাকতে পারে এবং সর্বোচ্চ ৩টি কোণই সূক্ষ্মকোণ হতে পারে।  
- একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ ১টি কোণ স্থূলকোণ হতে পারে। 
৪১৮.
নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না? 
  1. ক
    y - 5x + 2 = 0
  2. খ
    y = 4x - 1
  3. গ
    3y + 2x - 6 = 0
  4. ঘ
    y(2 - x) = 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না? 

সমাধান: 
y = 4x - 1,
3y + 2x - 6 = 0 এবং,
y - 5x + 2 = 0
অপশনে উল্লিখিত উপরের সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।

কিন্তু, 
y(2 - x) = 3
বা 2x - xy = 3, এই সমীকরণে xy সংবলিত পদ আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।
৪১৯.
দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী বলা হয়?
  1. ক
    সম্পূরক কোণ
  2. খ
    বিপ্রতীপ কোণ
  3. গ
    স্থূল কোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী বলা হয়? 

সমাধান:
৯০° কোণ = সমকোণ
১৮০° কোণ = সরলকোণ 
< ৯০° = সূক্ষ্ম কোণ
> ৯০° = স্থূল কোণ
১৮০° ও ৩৬০° এর মধ্যবর্তী কোণ = প্রবৃদ্ধ কোণ
৪২০.
২πa এবং ২πb সে. মি. পরিধি বিশিষ্ট দু'টি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয় এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) a - b
  2. খ
    খ) b - a
  3. গ
    গ) a + b
  4. ঘ
    ঘ) ab
ব্যাখ্যা

১ম বৃত্তের পরিধি = ২πa
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = ২πb
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = a + b



চিত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C1C2 = a + b.

৪২১.
বিষুবরেখার দৈর্ঘ্য যদি ৪০ মিলিয়ন মিটার হয়, তবে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ কত কিলোমিটার?
  1. ক
    ক) ৬৩৬
  2. খ
    খ) ৬৩৬০
  3. গ
    গ) ৬৩৬৩.৬৩
  4. ঘ
    ঘ) ৬৩৬.৬৩
ব্যাখ্যা

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R
∴ বিষুব রেখার দৈর্ঘ্য ২πR
তাহলে, ২πR = ৪,০০,০০,০০০ মিটার
∴ R = ৪,০০,০০,০০০/২π = ৪,০০,০০,০০০/(২ × ৩.১৪১৬) মিটার
= ৬৩৬৯৪২৬.৭৫ মিটার
= ৬৩৬৯.৪২৬ কিলোমিটার
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ মোটামুটিভাবে ৬৪০০ কিলোমিটার। প্রায় সবক্ষেত্রে এ মানই ব্যবহৃত হয়।
এখানে, কাছাকাছি উত্তর হয় ৬৩৬৩.৬৩ কিলোমিটার।

৪২২.
বৃত্তের যে কোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তের একটি -
  1. ক
    ক) জ্যা
  2. খ
    খ) চাপ
  3. গ
    গ) ব্যাসার্ধ
  4. ঘ
    ঘ) ব্যাস
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
৪২৩.
 
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ΙΙ MR, PQ = PR হলে ∠PRN এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 55°
  3. গ
    গ) 35°
  4. ঘ
    ঘ) 45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ΙΙ MR, PQ = PR হলে ∠PRN এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
যেহেতু,  PQ = PR
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমদ্বিবাহু  ত্রিভুজের সমান  বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি পরস্পর সমান। অর্থাৎ ∠PQR = 55° ও ∠QRP = 55°
∴ ∠LRN = 90°

এখানে,
∠LRQ = 180°

∴ ∠QRP + ∠PRN + ∠NRL = 180°
⇒ 55° + ∠PRN + 90° = 180°
⇒ ∠PRN + 145° = 180°
⇒ ∠PRN = 180° - 145° 
∴ ∠PRN = 35°
৪২৪.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০% কমলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কম হবে?
  1. ক
    ক) ২২%
  2. খ
    খ) ১৮%
  3. গ
    গ) ২০%
  4. ঘ
    ঘ) ১৯%
ব্যাখ্যা

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = র একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πর২ বর্গ একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (র - র এর ১০/১০০) =(৯র/১০) একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (৮১πর২)/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের পরিমাণ = ১৯πর২/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার = ((১৯πর২/১০০)/πর২) ×১০০ = ১৯%

৪২৫.
দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ এবং একটি কোণ অপর কোণের ১.৫ গুণ। তবে বড় কোণটি কত?
  1. ক
    54°
  2. খ
    55°
  3. গ
    62°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ এবং একটি কোণ অপর কোণের 1.5 গুণ। তবে বড় কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট কোণটি = x ডিগ্রি
তাহলে বড় কোণটি হবে = 1.5x ডিগ্রি

প্রশ্নমতে,
x + 1.5x = 90°
⇒ 2.5x = 90°
⇒ x = 90°/2.5
∴ x = 36°

অতএব, বড় কোনটি = 1.5 × 36°
= 54°
৪২৬.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা এক অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) কখনই নয়।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা এক অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান:
দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনই মিলিত হয় না।
৪২৭.
১ টা ৩০ মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ১৩৫°
  3. গ
    ২৩৫°
  4. ঘ
    ১১৫°
ব্যাখ্যা
মধ্যবর্তী কোণ
= ।(১১ × ৩০ - ৬০ × ১)/২ ।°
= ।(৩৩০ - ৬০)/২।°
= ।২৭০/২।°
= ১৩৫°
৪২৮.
4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    8 - 4π
  2. খ
    16 - 2π
  3. গ
    16 - 4π
  4. ঘ
    16 - 8π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 42 = 16 বর্গ সে.মি. 

তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4/2 = 2 সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π22
= 4π

∴ অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = 16 - 4π
৪২৯.
ΔABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠A এর মান কত?
  1. ক
    30° 
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = 2x



∴ sinC = x/2x 
⇒ sinC = 1/2 
⇒ sinC = sin30° 
⇒ C = 30°  

আমরা জানি, 
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + 30° = 180° 
⇒ ∠A = 180° - (90° + 30°)
∴ ∠A = 60°

৪৩০.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৫। এর বৃহত্তম কোণটি কত?
  1. ক
    ১৮ ডিগ্রি
  2. খ
    ৩৬ ডিগ্রি
  3. গ
    ৫৪ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৯০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৫। এর বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান: 
ধরি 
কোণগুলো = 2x , 3x, 5x

প্রশ্নমতে,
 2x + 3x + 5x = 180°
বা, 10x  = 180°
∴ x = 18°

∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ =  5 × 18° = 90°
৪৩১.
৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
  1. ক
    ক) ২০°
  2. খ
    খ) ১১০°
  3. গ
    গ) ২২০°
  4. ঘ
    ঘ) ২৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান :
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
সুতরাং,  ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০° = ১১০°
৪৩২.
৫৯° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ১২১°
  2. খ
    ১৩১°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৩১°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৯° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা (১৮০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৯° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৯°
= ১২১°
৪৩৩.
একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরলে ৪ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?
  1. ক
    ১০৮০°
  2. খ
    ২১৬০°
  3. গ
    ২৮০০°
  4. ঘ
    ৩২০০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরলে ৪ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০ বার
১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০/৬০ = ৩/২ বার
৪ সেকেন্ডে ঘুরে = (৩/২) × ৪ = ৬ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
৬ বার ঘুরলে ঘুরে = (৩৬০° × ৬) = ২১৬০°
৪৩৪.
যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বোচ্চ কতটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
  1. ক
    ক) ২টি
  2. খ
    খ) ৩টি
  3. গ
    গ) ৪টি
  4. ঘ
    ঘ) অসংখ্য
ব্যাখ্যা
১: বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
২: যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
৪৩৫.
24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    16π বর্গ মিটার
  2. খ
    18π বর্গ মিটার
  3. গ
    15π বর্গ মিটার
  4. ঘ
    12π বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

৪৩৬.
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত? 
  1. ক
    126°
  2. খ
    90°
  3. গ
    26°
  4. ঘ
    54°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে 54°।

৪৩৭.
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ কত?
  1. ক
    ১৬৪°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ৪১°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ কত?

সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়ে থাকে। 

∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ = ৮২° × ২
= ১৬৪°
৪৩৮.
রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা

রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই কিন্তু রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
আবার, রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

৪৩৯.
OC ⊥ AB হলে OA = 5 সে.মি.  OC = 3 সে.মি. AB= কত সে. মি. ? 

  1. ক
    ক) 6 সে.মি.
  2. খ
    খ) 4 সে.মি.
  3. গ
    গ) 8 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 12 সে.মি.
ব্যাখ্যা
 

 ΔOAC 
OA2 = AC2 + OC2
52  = AC2 + 32
25 - 9 = AC2 
16 = AC2 
AC2 = 42
AC = 4

আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AB = 2AC 
      = 2 × 4 
      = 8 সে.মি.
৪৪০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 45°, 55°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?
  1. ক
    সমকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সমবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 45°, 55°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
যেহেতু প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

বৈশিষ্ট্য:
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।
৪৪১.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে একটি ত্রিভুজের ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থকোণ হলে ঐ ত্রিভুজের অপর দুই কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ৯৫°
  4. ঘ
    ১৫০°
ব্যাখ্যা
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ।
∠ACB = ৯০°
তাহলে, অপর দুই কোণের সমষ্টি = (১৮০ -৯০) বা ৯০°
৪৪২.
দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) সরলকোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ -

সমাধান:


কারণ, দুটি কেন্দ্রের সংযোগ সরলরেখা সব সময় একটি সরলরেখা হবে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ হবে 180°।
180 ডিগ্রী কোণকে সরল কোণ বলে।
৪৪৩.
আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে-
  1. ক
    ক) ৪৫°
  2. খ
    খ) ৬০°
  3. গ
    গ) ৮০°
  4. ঘ
    ঘ) ১০০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ সমান।

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৮ = ৪৫°
৪৪৪.
একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ৪০°
  2. খ
    ৩০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

∴ ৬০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৬০°)
= ৩০°
৪৪৫.
একটি বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    রেখা টানা যায় না
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাধারণ বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়? 

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই। 
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়। 

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ: 
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে। 
যথা- ১। সমরেখ বিন্দু, ২।  অসমরেখ বিন্দু এবং ৩।  সমবিন্দু। 

সাধারণ বিন্দু: 
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে। 
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না। 
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়। 
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
৪৪৬.
∠AOC + ∠COB=90° হলে, নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) ∠AOC , ∠COB এর পূরক কোণ
  2. খ
    খ) ∠AOC , ∠COB এর সম্পূরক কোণ
  3. গ
    গ) ∠AOC , ∠COB এর বিপ্রতীপ কোণ
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হয়, তাদের প্রতিটি কোণকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
৪৪৭.
একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    2π একক
  2. খ
    3π একক
  3. গ
    4π একক
  4. ঘ
    5π একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
2πr = πr2
⇒ 2r = r2
∴  r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)2 = 4π
 
৪৪৮.
যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 
  1. ক
    27 সে.মি.
  2. খ
    22 সে.মি.
  3. গ
    21 সে.মি.
  4. ঘ
    19 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ 2r(22/7 - 1) = 90
⇒ 2r((22 - 7)/7) = 90
⇒ 2r(15/7) = 90
⇒ 30r/7 = 90
⇒ 30r = 90 × 7
⇒ r = (90 × 7)/30
⇒ r = 3 × 7
∴ r = 21

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 21 সে.মি.।

৪৪৯.
y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
সমাধান: y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

∴ y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ 5.
৪৫০.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ৩ গুণ
  2. খ
    ৬ গুণ
  3. গ
    ৯ গুণ
  4. ঘ
    ১২ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ  পাবে।
 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।
৪৫১.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত? 
  1. ক
    14 মিটার 
  2. খ
    21 মিটার
  3. গ
    24 মিটার
  4. ঘ
    32 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিধি = 44 মিটার
∴ 2πr = 44
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44)
⇒ r = 7 মিটার

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × 7 = 14 মিটার

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 14 মিটার।

৪৫২.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। A = 40°, B = 60° হলে, ∠ACD = কত?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 160°
  3. গ
    গ) 100°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC = 40° + 60° =100°

৪৫৩.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট ACB বৃত্তে AB জ্যা - এর মধ্যবিন্দু D, ∠ADC = 90° OD = 3 সে.মি. এবং বৃত্তটির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, AB = কত?
  1. ক
    4 সে.মি.
  2. খ
    10 সে.মি.
  3. গ
    12 সে.মি.
  4. ঘ
    8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট ACB বৃত্তে AB জ্যা - এর মধ্যবিন্দু D, ∠ADC = 90° OD = 3 সে.মি. এবং বৃত্তটির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, AB = কত?

সমাধান:
OA = OC = 5 
OD = 3

এখন
AD2 = OA2 - OD2
AD2 = 52 - 32
AD2 = 25 - 9 
AD2 = 16
AD2 = 42 
AD = 4

AB = 2 × AD = 2 × 4 = 8
৪৫৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি.। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয়, তবে নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?
  1. ক
    45%
  2. খ
    50%
  3. গ
    75%
  4. ঘ
    25%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয়, তবে নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

এখন, 
মূল ব্যাসার্ধ, r1 = 7 সে.মি.
∴ মূল ক্ষেত্রফল, A1 = πr12 = π × 72 = 49π বর্গ সে.মি.

আবার, 
নতুন ব্যাসার্ধ, r2 = 7/2 = 3.5 সে.মি.
∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A2 =  πr22 = π × (3.5)2 = 12.25π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের হ্রাস =  A1 - A2 = 49π - 12.25π = 36.75π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস = (36.75π/49π) × 100% = 75%

৪৫৫.
একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেষে 4 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    1258.28 বর্গমিটার (প্রায়)
  2. খ
    1058.28 বর্গমিটার (প্রায়)
  3. গ
    1358.28 বর্গমিটার (প্রায়)
  4. ঘ
    1458.28 বর্গমিটার (প্রায়)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেষে 4 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) = 60 মিটার
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (22/7) × 56 × 56 বর্গমিটার 
= 9856 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2
= 22/7 × 60 × 60 বর্গমিটার 
= 11314.28 বর্গমিটার (প্রায়) 

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = (11314.28 - 9856) বর্গমিটার
= 1458.28 বর্গমিটার (প্রায়)।
৪৫৬.
সরলরেখার প্রান্ত বিন্দু কয়টি? 
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    প্রান্তবিন্দু নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সরলরেখার প্রান্ত বিন্দু কয়টি? 

সমাধান: 
৪৫৭.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O। A, P, B তিনটি পরিধিস্থ বিন্দু এবং ∠APB = 80° হলে ∠AOB সমান কত?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 160°
  3. গ
    গ) 120°
  4. ঘ
    ঘ) 150°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, 
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।  
∠AOB = 2∠APB = 2 ×80°= 160°
৪৫৮.
14 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 154 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) 128 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 76 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 77 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাস = 14 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 14/2 = 7 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 72 
= 49π
= 49 × (22/7)
= 154 বর্গ সে.মি.

অর্ধ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 154/2 = 77 বর্গ সে.মি.
৪৫৯.
একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য ১৮ সেমি। রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস হলে ঐ বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    ১৮πসেমি
  2. খ
    ৯πসেমি
  3. গ
    ১২πসেমি
  4. ঘ
    ৬πসেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য ১৮ সেমি। রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস হলে ঐ বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ১৮ সেমি।

আবার,
রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r = ( ১৮ ÷ ২ ) সেমি
= ৯ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
= ( ২ × π × ৯ ) সেমি
= ১৮πসেমি
৪৬০.
ΔABC এ  AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত? 
  1. ক
    ক) 40°
  2. খ
    খ) 70°
  3. গ
    গ) 50°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এ  AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত? 
 

সমাধান: 
ΔABC এ  AB = AC
 ∠C =  ∠B 

আবার,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40 + ∠C + ∠C= 180°
2∠C = 180° - 40°
2∠C = 140°
∠C = 140°/2
∠C = 70°
৪৬১.
একটি চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৪ হলে চতুর্ভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৪৮°
  2. খ
    ১২০°
  3. গ
    ১৬০°
  4. ঘ
    ২০০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৪ হলে চতুর্ভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x°, ২x°, ২x°, ৪x°
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

প্রশ্নমতে,
x° + ২x° + ২x° + ৪x° = ৩৬০°
⇒ ৯x° = ৩৬০°
⇒ x° = ৩৬০°/৯
⇒ x° = ৪০°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৪ × ৪০)° = ১৬০°
৪৬২.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সেন্টিমিটার ও ৬১৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২৮ সেন্টিমিটার
  2. খ
    ২৪ সেন্টিমিটার
  3. গ
    ৩০ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ২৫ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সেন্টিমিটার ও ৬১৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (ক্ষেত্রফল ÷ পরিধি) × ২

অতএব,
ব্যাসার্ধ
= (৬১৬ ÷ ৮৮) × ২
= ৭ × ২
= ১৪ সেন্টিমিটার

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (অর্থাৎ ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য
= ১৪ × ২
= ২৮ সেন্টিমিটার

৪৬৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের তিন গুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে? 
  1. ক
    ক) 3 গুণ 
  2. খ
    খ) 6 গুণ 
  3. গ
    গ) 9 গুণ 
  4. ঘ
    ঘ) 12 গুণ 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের তিন গুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 

ব্যাসার্ধ তিন গুণ হলে, ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ক্ষেত্রফল = π(3r)2 = 9πr2 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr2/πr2 = 9 গুণ
৪৬৪.
দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে কয়টি কোণ উৎপন্ন হয়?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে ।
চিত্রে, OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার, OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি।
∠AOC ও ∠BOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার, ∠BOC ও ∠AOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ । O উভয় বিপ্রতীপ কোণ যুগলের শীর্ষবিন্দু।
দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।
৪৬৫.
অর্ধবৃত্তাকার চাকতির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, এর পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) 52.09 সেমি.
  2. খ
    খ) 55.98 সেমি.
  3. গ
    গ) 53.99 সেমি.
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়।
ব্যাখ্যা
ধরি
বৃত্তাকার চাকতির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক
অর্ধবৃত্তের পরিধি =(1/2) × 2πr একক = πr একক
 
বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r একক 
সুতরাং, অর্ধবৃত্তাকার চাকতির পরিসীমা = ( πr + 2r ) একক

যে অর্ধবৃত্তাকার চাকতির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. 
অর্ধবৃত্তাকার চাকতির পরিসীমা = (π x 10.5 + 2 x 10.5) সেমি. = 53.99সেমি.
৪৬৬.
∠A = ৫০ ডিগ্রি। এর পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) ৬০°
  2. খ
    খ) ৫০°
  3. গ
    গ) ৪০°
  4. ঘ
    ঘ) ৩০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A = ৫০ ডিগ্রি। এর পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∠A = ৫০ ডিগ্রি। এর পূরক কোণ = (৯০ - ৫০)° = ৪০°
৪৬৭.
বৃত্তের স্পর্শক কী?
  1. ক
    একটি রেখা যা বৃত্তের এক বিন্দুকে স্পর্শ করে
  2. খ
    একটি রেখা যা বৃত্তের দুটি বিন্দুকে স্পর্শ করে
  3. গ
    একটি রেখা যা বৃত্তের কেন্দ্রে স্পর্শ করে
  4. ঘ
    সবগুলো
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শক কী?

সমাধান:
বৃত্তের স্পর্শক হল এমন একটি রেখা যা বৃত্তটিকে যে কোনো একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কখনও বৃত্তের অভ্যন্তরে প্রবেশ করে না।
৪৬৮.
সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
  1. ক
    ১৮ টি
  2. খ
    ২০ টি
  3. গ
    ২৪ টি
  4. ঘ
    ২৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি চাকা = ৩৬০° 
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে, 
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫° 
= ২৪ টি।
৪৬৯.
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি ________?
  1. ক
    ক) সামান্তরিক
  2. খ
    খ) বর্গক্ষেত্র
  3. গ
    গ) আয়তক্ষেত্র
  4. ঘ
    ঘ) রম্বস
ব্যাখ্যা
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র(অনুসিদ্ধান্ত-৭)
৪৭০.
কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 36° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটির মান কত?
  1. ক
    52°
  2. খ
    64°
  3. গ
    72°
  4. ঘ
    57°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 36° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 36°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 36° = 180°
বা, 9a = 180° - 36°
বা, 9a = 144°
বা, a = 144°/9 = 16°

∴ ১ম কোণ = 4 × 16° = 64°

৪৭১.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের কত গুণ?
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) এক
  3. গ
    গ) দুই
  4. ঘ
    ঘ) চার
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
৪৭২.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ক) ৫৪
  2. খ
    খ) ৬৫
  3. গ
    গ) ৭৫
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণ ৬ক, ৮ক ,১০ক 

∴ ৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০° 
বা, ২৪ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/২৪
∴ ক = ৭.৫° 

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ১০ × ৭.৫° = ৭৫° 
৪৭৩.
ABCD সামান্তরিকে ∠B = 80° হলে, ∠A + ∠C = ?
​
  1. ক
    200°
  2. খ
    220°
  3. গ
    250°
  4. ঘ
    260°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকে ∠B = 80° হলে, ∠A + ∠C = ?
​

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং এর যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°।
এখানে, ∠B = 80°।
যেহেতু ∠A এবং ∠B সন্নিহিত কোণ,
অতএব, ∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + 80° = 180°
বা, ∠A = 180° - 80°
∴ ∠A = 100°
আবার, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান হওয়ায়,
∠A = ∠C = 100°
সুতরাং, ∠A + ∠C = 100° + 100° = 200°

৪৭৪.
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি-
  1. ক
    জ্যা
  2. খ
    চাপ
  3. গ
    ব্যাসার্ধ
  4. ঘ
    উপচাপ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি........

সমাধান: 
জ্যা: একটি বৃত্তের উপর অবস্থান করা দুটি বিন্দুকে সরলরেখা দ্বারা যুক্ত করলে যে রেখাংশ তৈরি হয়, তাকে জ্যা বলে।
উদাহরণ: যদি A ও B বৃত্তের দুটি বিন্দু হয়, তাহলে রেখাংশ AB হলো বৃত্তের একটি জ্যা।

চাপ: জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যকেটি অংশকে চাপ বলে।
প্রকারভেদ:
অধিচাপ : যদি চাপটি বৃত্তের অর্ধেকের বেশি হয়।
উপচাপ : যদি চাপটি বৃত্তের অর্ধেকের কম হয়।

ব্যাসার্ধ : বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে কোনো একটি বিন্দুর সঙ্গে সংযুক্ত রেখাংশকে ব্যাসার্ধ বলে।
যদি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং বৃত্তের কোনো বিন্দু A হয়, তাহলে OA হলো ব্যাসার্ধ।

উপচাপ: বৃত্তের দুটি বিন্দুর সংযোগে যে ছোট চাপটি গঠিত হয়, তাকে উপচাপ বলে। এটি বৃত্তের অর্ধেকের কম অংশ।

∴ বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা।
৪৭৫.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ক) ৮ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৪ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে
ধরি,
ভূমি = ৪ সে.মি.
লম্ব = ৩ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √{(ভূমি)২ + (লম্ব)২}
                                             = √(৩২ + ৪২)
                                             = √২৫
                                            = ৫ সেন্টিমিটার
৪৭৬.
দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?
  1. ক
    সম্পূরক কোণ
  2. খ
    পূরক কোণ
  3. গ
    সন্নিহিত কোণ
  4. ঘ
    একান্তর কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?

সমাধান:
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ বলে।

- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণ দ্বয় সমান হয়, একে একান্তর কোণ বলে।
৪৭৭.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত 3 : 5 হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) 27 : 125
  2. খ
    খ) 6 : 10
  3. গ
    গ) 3 : 5
  4. ঘ
    ঘ) 9 : 25
ব্যাখ্যা
ধরি,
দুইটি বৃত্তের ব্যাস 3x এবং 5x
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ 3x/2 এবং 5x/2
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x/2)2 : π(5x/2)2
                                                     = 9πx2/4 : 25πx2/4
                                                      = 9 : 25
৪৭৮.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
  1. ক
    15°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তস্থ কোণ = 30°/2 = 15°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°

∴ 15 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 15° = 75°
৪৭৯.
যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 
  1. ক
    সম্ভব
  2. খ
    অসম্ভব
  3. গ
    সমবাহু
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

• যদি দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং এটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

উদাহরণ:
- বাহুসমূহ a, b, c এবং a + b = c।
- ত্রিভুজ গঠনের জন্য a + b > c হতে হবে।
- a + b = c হলে এটি এক সরলরেখা তৈরি করে, ত্রিভুজ নয়।

∴ ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

৪৮০.
রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে? 
  1. ক
    ১ টি
  2. খ
    ২ টি
  3. গ
    ৩ টি
  4. ঘ
    ৪ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে? 

সমাধান: 
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
৪৮১.
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) 225π
  2. খ
    খ) 169π
  3. গ
    গ) 121π
  4. ঘ
    ঘ) 144π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান: 
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 26/2 মিটার
                                                  =13মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (13 + 2)মিটার
                                   = 15 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের খেত্রফল = πr2 মিটার
                                                = π × 152 মিটার
                                                = 225π মিটার
৪৮২.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 । ত্রিভুজটি হবে -
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    স্থূলকোণী
  3. গ
    সমকোণী
  4. ঘ
    সূক্ষ্মকোণী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 । ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি x, 2x, 3x

শর্তমতে, x + 2x + 3x = 180°
⇒ 6x = 180°
⇒ x = (180/6)°
∴ x = 30°

∴ 3x = 90°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
৪৮৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৬৪°
  2. খ
    ৯৬°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ১০৮°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০°
বা, ১৫ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/১৫
বা, ক = ১২°

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২°) = ৯৬°

৪৮৪.
৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?
  1. ক
    ৪৪ সেমি
  2. খ
    ৪৯ সেমি
  3. গ
    ৭২ সেমি
  4. ঘ
    ৮৮ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সেমি

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৭
= ২ × ২২
= ৪৪ সেমি

∴ বৃত্তের পরিধি  ৪৪ সেমি।
৪৮৫.
৩৫৯° কোণ -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) সমকোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) প্রবৃদ্ধকোণ
ব্যাখ্যা
যে কোণের পরিমাপ ১৮০ ডিগ্রী অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রী অপেক্ষা ছোট তা প্রবৃদ্ধ কোণ। 
৩৫৯° কোণ ১৮০ ডিগ্রী অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রী অপেক্ষা ছোট। তাই ৩৫৯° কোণ একটি প্রবৃদ্ধকোণ। 
৪৮৬.
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) এক সমকোণ
  2. খ
    খ) দুই সমকোণ
  3. গ
    গ) তিন সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) চার সমকোণ
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 
৪৮৭.
একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ১২° বেশি হলে, কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৩৯°
  2. খ
    ৪১°
  3. গ
    ৫১°
  4. ঘ
    ৪৯°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ১২° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৯০° - ক + ১২°
বা, ২ক = ১০২°
বা, ক = ১০২°/২
= ৫১°
৪৮৮.
একটি রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
রেখাংশের ২টি প্রান্ত বিন্দু থাকে। 

রেখাংশ: 
- রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। 
-  ২টি প্রান্ত বিন্দু আছে।
৪৮৯.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 17 হলে, বড় কোণের মান কত?
  1. ক
    78°
  2. খ
    112°
  3. গ
    102°
  4. ঘ
    118°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 17 হলে, বড় কোণের মান কত? 
 
সমাধান: 
ধরি,
কোণ দুইটি যথাক্রমে 13x ও 17x
 
প্রশ্নমতে,
13x + 17x = 180°
বা, 30x = 180°
বা, x = 6°
 
বড় কোণের মান =  17 × 6° = 102°
৪৯০.
y2 - 4ax = 0 সমীকরণটি নিচের কোনটি নির্দেশ করে?
  1. ক
    বৃত্ত
  2. খ
    উপবৃত্ত
  3. গ
    প্যারাবোলা
  4. ঘ
    গোলক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y2 - 4ax = 0 সমীকরণটি নিচের কোনটি নির্দেশ করে?

সমাধান: 
⇒ উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2) + (y2/b2) = 1
⇒ প্যারাবোলা বা পরাবৃত্তের সমীকরণ, y2 - 4ax = 0
⇒ বৃত্তের সমীকরণ, x2 + y2 = r2
⇒ গোলকের সমীকরণ, x2 + y2 + z2 = r2
৪৯১.
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?
  1. ক
    36°
  2. খ
    72°
  3. গ
    62°
  4. ঘ
    108°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x

প্রশ্নমতে
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
∴ x = 36° 

∴ ∠B = 2x = 2 × 36° = 72°

৪৯২.
দুইটি পূরক কোণের একটি আরেকটির 4/5 অংশ হলে , বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 60
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

ধরি, ২য় কোণটি = x
∴ ১ম কোণটি = x এর 4/5 = 4x/5
প্রশ্নমতে,
x + 4x/5 = 90
⟹ 9x/5 = 90
⟹ x = (90 × 5)/9
⟹ x = 50
∴ কোণ দুইটি 50 ডিগ্রী এবং 40 ডিগ্রী।

৪৯৩.
3x2 - 14xy - 5y2 = 0 এর লেখচিত্র নির্দেশ করে-
  1. ক
    দুই জোড়া সরলরেখা
  2. খ
    মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা
  3. গ
    একটি অধিবৃত্ত
  4. ঘ
    একটি বৃত্ত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - 14xy - 5y2 = 0 এর লেখচিত্র নির্দেশ করে-

সমাধান:
3x2 - 14xy - 5y2 = 0
⇒ 3x2 + xy - 15xy - 5y2 = 0
⇒ x(3x + y) - 5y(3x + y) = 0
⇒ (3x + y)(x - 5y) = 0

হয়
3x + y = 0
⇒ y = -3x .... (1)

অথবা,
x - 5y = 0
⇒ x = 5y ..... (2)

এখানে দুইটি সমীকরণের ক্ষেত্রেই, x = 0 দিলে y = 0 হবে। অর্থাৎ, সরলরেখা মূলবিন্দু (0, 0)-এর মাধ্যমে চলে।
∴ উল্লিখিত দুইটি সমীকরণই মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
৪৯৪.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে _____।
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ২৭০°
  3. গ
    ৩৬০°
  4. ঘ
    ৪৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে _____।

সমাধান:


আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + Z = 180° = এক সরলকোণ
প্রাপ্ত বহিঃস্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° x), (180° - y), (180° - z)
বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180°- x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
৪৯৫.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 13 সে.মি.
  3. গ
    গ) 16 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 14 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো ব্যাস।

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= (2 × 7) সে.মি.
= 14 সে.মি.
৪৯৬.
14 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 15 সে.মি.
  2. খ
    খ) 22 সে.মি.
  3. গ
    গ) 18 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 11 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14/2 = 7 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8সে. মি. 
 কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (7 + 8) সে.মি.
= 15 সে.মি.
৪৯৭.
বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ২২/৭
  2. খ
    খ) ২৫/৯
  3. গ
    গ) ৭/২২
  4. ঘ
    ঘ) ৯/২৫
ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ r হলে, ব্যাস = ২r এবং পরিধি = ২πr
∴ ব্যাস ও পরিধির অনুপাত = ২r:২πr
= ১/π
= ১/২২/৭
= ৭/২২

৪৯৮.
(x - h)2 + y2 = r2 বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) πhr
  2. খ
    খ) πh2
  3. গ
    গ) πr2
  4. ঘ
    ঘ) 2πr
ব্যাখ্যা

এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr2

৪৯৯.
একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ৯০০ 
  2. খ
    ১০০০ 
  3. গ
    ১২০০
  4. ঘ
    ১৬০০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ির চাকার পরিধি = ৪ মিটার
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার
= (৩ × ১০০০) মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩০০০ মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩৬০০ মিটার

আমরা জানি, চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং, মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব)/(চাকার পরিধি)
= ৩৬০০ মিটার/৪ মিটার
= ৯০০

∴ চাকাটি ৯০০ বার ঘুরবে।

৫০০.
নিচের কোন মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে?
  1. ক
    ১৩৫°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৫৫°
  5. ঙ
    ০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 

সূক্ষ্মকোণ : যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে থাকে, তাকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।

অর্থাৎ ৫৫° মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে।