রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?


সমাধান:


এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°

আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°

[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

- অন্যদিকে,
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
-  এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 55° + 55°
= 110°
∴ অপর কোণ = 180° - 110°
= 70°

প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 72° হলে, ∠B = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, তাদের সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ∠A + ∠B = 180° 
বা, 72° + ∠B = 180°  [∴ ∠A = 72°] 
বা, ∠B = 180° - 72°
∴ ∠B = 108° 

রেখার ঢাল = -{(x এর সহগ)/(y এর সহগ)}
= -(1/1)
= - 1

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
= ৪৮/৬ = ৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= √১০০
= ১০ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২
= ১০/২
= ৫ মিটার

ধরি, অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং b সে.মি.
আমরা জানি,
পরিসীমা= a+b+c
⇒ 30 = a+b 13
∴ a+b = 17 ........... (1)
আবার,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 13² = a² + b²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2 = 60
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×b = (1/2)×60 = 30 বর্গ সে.মি.

1/2 ∠C = 55°
∴ ∠C = 110°
∴ ∠A = 180° - 110°
= 70°

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের ক্ষেত্রে বাহু সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ
বা, 12 = 360/বহিঃস্থ কোণ
∴ বহিঃস্থ কোণ = 360/12 = 30°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = 9πr²

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr² - πr²
= 8πr²
= 8 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 একক হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 24 একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা হলো এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 24/4
= 6 একক

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক
= 6 × √2
= 6√2 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2 একক

অনুরূপ কোণগুলাের বৈশিষ্ট্য:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের একই পাশে অবস্থিত।

একান্তর কোণগুলাের বৈশিষ্ট:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থিত
গ. সরলরেখা দুইটির মধ্যে অবস্থিত।

প্রশ্ন: (3, 4) এবং  (5,8) বিন্দু দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
 (x₁, y₁) = (3, 4)
এবং (x₂, y₂) = (5, 8)

আমরা জানি, 
(x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) বিন্দুগামী সরল রেখার ঢাল,
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (8 - 4)/(5 - 3)
= 4/2
= 2

সুতরাং,  সরলরেখাটির ঢাল 2। 

প্রশ্ন: বিন্দু P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2) -এর মধ্যবিন্দু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂)-এর জন্য মধ্যবিন্দু,
M = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y_1​ + y₂​​)/2}

যেখানে, x_1​ = - 1, y_1​ = 4, x₂ ​= 3, y₂ ​= - 2

এখন, 
M_x​ = (3 - 1)/2​ = 2​/2 = 1
এবং,
M_y ​= (- 2 + 4​)/2 = 2​/2 = 1 

∴ মধ্যবিন্দু = (1, 1) 

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?

সমাধান:
দুইটি সমীকরণ:
x + y = 10.........(i)
x - y = 4..........(ii)  

(i) ও (ii) যোগ করে:
x + y + x - y = 10 + 4
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7

x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
7 + y = 10
⇒ y = 10 - 7
⇒ y = 3

অনুপাত:
x : y = 7 : 3

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (60° + 70°) = 130°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 130° = 50°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাস 8π হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস d = 8π
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 8π/2 = 4π
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 4π
= 8π²

অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত = 4π : 8π²
= 4π/8π²
= 1 : 2π

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কোনটি? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

ΔABC এর BC বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করা হলো এবং বহিঃস্থ কোণ ∠ABD  ও ∠ACE উৎপন্ন হলো। 
বহিঃস্থ কোণ ∠ABD = ∠A + ∠C
বহিঃস্থ কোণ ∠ACE = ∠A + ∠B

এখন 
∠ABD  + ∠ACE = ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= (∠A + ∠C + ∠B) + ∠A
= 180° + ∠A

∴ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

4x + 3y - 12 = 0
বা, 4x + 3y = 12
বা, 4x/12 + 3y/12 = 1
বা, x/3 + y/4 = 1
∴ রেখাটি y-অক্ষকে (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ১ বর্গএকক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল ১ x ৯ বা ৯ বর্গএকক
প্রাথমিক ও পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r ও R হলে
১/৯ = πr²/ πR²
r/R = ১/৩
r:R = ১:৩
ব্যাসার্ধ ৩ গুণ বাড়বে।

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 13 সে.মি.

∴ জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ)² - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)²}
= √{(13)² - (5)²} 
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 2 x 12 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = ১৩৮৬/১৩২
বা, r/2 = ১৩৮৬/১৩২
বা, r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
∴ r = ২১

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= ২ × ২১ = ৪২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের অনুপাত 2 : 3 হলে, মূল কোণটি কত?

সমাধান:
মনে করি, 
মূল কোণ = 2x
পূরক কোণ = 3x

আমরা জানি,
একটি কোণ ও তার পূরক কোণের যোগফল = 90°
⇒ 2x + 3x = 90° 
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 90°/5
∴ x = 18°

∴ মূল কোণ = 2x = 2 × 18° = 36°

সূত্রঃ ।(11M - 60H)/2| = |(11×30 - 60×4)/2| = |(330-240)/2| = 90/2 = 45°