রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

চাকার ব্যাস ২r = ৭০ সেমি, তাহলে, ব্যসার্ধ r = ৩৫
চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr(π এর মান ২২/৭ ধরে)
= ২২০ সেমিঃ = ২.২ মিঃ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের দ্বিগুণ। তৃতীয় কোণ প্রথম ও দ্বিতীয় কোণের যোগফলের অর্ধেক। দ্বিতীয় কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
ধরি,
দ্বিতীয় কোণ = ক
তাহলে প্রথম কোণ = ২ক  ; (দ্বিতীয় কোণের দ্বিগুণ)
এবং তৃতীয় কোণ = (প্রথম + দ্বিতীয়) এর অর্ধেক
= (প্রথম + দ্বিতীয়)/২ 
= (২ক + ক)/২ 
= ৩ক/২

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ২ক + ক + (৩ক/২) = ১৮০°
⇒ (৪ক + ২ক + ৩ক)/২ = ১৮০°
⇒ ৯ক/২ = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০° × ২ 
⇒ ৯ক = ৩৬০°
⇒ ক = ৩৬০/৯
∴ ক = ৪০°

সুতরাং, দ্বিতীয় কোণ ৪০°। 

ধরি, কোনটি x,
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
শর্তমতে,
২(১৮০° - x) = x
বা, ৩৬০° - ২x = x
বা, ৩x = 360°
∴ x = 120°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 20 মিটার, AC = b = 24 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 120 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 120 = (1/2) × 20 × 24 × sinθ
⇒ 10 × 24 × sinθ = 120
⇒ sinθ = 120/240
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 30°।

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π একক হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 64π

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 64π
⇒ r² = 64 = 8²
⇒ r = 8

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 8
= 16π

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
১০% বৃদ্ধিতে ব্যাসার্ধ = ১১০r/১০০,
এবং ক্ষেত্রফল = π.(১১০r/১০০)²
= π(১২১r²/১০০)
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১২১πr²/১০০ - πr²
(১২১/১০০ - ১)πr²
= (২১/১০০)πr²
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (২১πr² × ১০০)/(১০০ × πr²)
= ২১% 

বৃত্তের কেন্দ্র হতে দু'টি সমান জ্যা এর দূরত্ব সমান
∴ দূরত্বের অনুপাত = 1:1

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2 × (22/7) × (7)
= 44 একক বা, 14π একক

আমরা জানি,
(a,b) কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে,
(x -a)²+(y-b)² = r²
কেন্দ্র (0, 0) হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে -
x² + y² = r²
সুতরাং, অপশন ক হবে বৃত্তের সমীকরণ।

প্রদত্ত কোণটি দুই সমকোণ বা ১৮০° অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ বা ৩৬০° অপেক্ষা ছোট।
অর্থাৎ ১৮০° < ২৭৯° < ৩৬০°
সুতরাং ২৭৯° কোণটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: 14 মিটার ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 2r = 14 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 14/2 মিটার 
= 7 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= 3.1416 × (7)² বর্গমিটার
= 3.1416 × 49 বর্গমিটার
= 153.9384 বর্গমিটার
= 154 বর্গমিটার (প্রায়) ।

a,b কেন্দ্রবিশিষ্ট r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ = (x-a)²+(y-b)² = r²

প্রশ্ন: যদি দুটি বৃত্তের ব্যাস 16 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হয়, তবে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের পরিধি 2πr একক

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি = 2π(16/2)
= 2π × 8
= 16π সে.মি.

∴ ২য় বৃত্তের পরিধি = 2π(24/2)
= 2π × 12
= 24π সে.মি.

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি/২য় বৃত্তের পরিধি = 16π/24π
= 16/24
= 2/3

⇒ ১ম বৃত্তের পরিধি : ২য় বৃত্তের পরিধি = 2 : 3

চিত্রে a = ২b, b = ৩c
∴ a = ৬c
এখন, a +৩c + ৬c = ১৮০°
বা, ৬c +৩c + ৬c = ১৮০°
বা, ১৫c = ১৮০°
∴ c = ১২°
∴ a = ৬c = ৬ × ১২° = ৭২°

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= (x² × 4)/x²
= 4

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৪৫° × ২)
= ৯০°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৯০° ।

প্রশ্ন: ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 16π
বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 81π
কালো রঙ করা জায়গার ক্ষেত্রফল = 81π - 16π = 65π বর্গমিটার

এখানে, ৪৪ = ৪৪ ×১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

প্রশ্ন: একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে ৭২ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭২ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = (৭২ ÷ ৬০) = ৬/৫ বার

আমরা জানি,
ফ্যান ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ৬/৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০ × (৬/৫) = ৪৩২°

মনে করি, অন্তঃস্থ ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি
প্রশ্নমতে,  r + ২ = ৬
বা, r = ৪ সেমি

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২৮ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২৮ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২৮
= ১৭৬ সেমি

আবার,
ধরি, আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ ৮ক = ১৭৬
∴ ক = ১৭৬ ÷ ৮ = ২২ 
∴ প্রস্থ = ক = ২২ সে.মি.
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ২২ = ৬৬ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৬৬ × ২২
= ১৪৫২ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৪৫২ বর্গ সে.মি

প্রশ্ন: x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2 এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1 বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2   ∴ বিন্দু (2, 0)
y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1  ∴ বিন্দু (0, - 1)

এখন, (2, 0) এবং (0, - 1) বিন্দুর ঢাল, 
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
⇒ m = (- 1 - 0)/(0 - 2) = 1/2
∴ m = 1/2

এখন, রেখার সমীকরণ
y = mx + b, [যেখানে, ঢাল m এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b ].
⇒ y = (1/2)x - 1  ; [m = 1/2, y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b = - 1]
⇒ 2y = x - 2
∴ x - 2y = 2

প্রশ্ন: (1, 13) এবং (- 3, 6) বিন্দুগামী রেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
(1, 13) এবং (- 3, 6) এ
x₁ = 1, x₂ = - 3, y₁ = 13, y₂ = 6

∴ রেখার ঢাল = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (6 - 13)/(- 3 - 1)
= (- 7)/ (- 4)
= 7/4

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫৫° ও ৫০° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
এবং যেকোনো অন্তঃস্থ কোণ এবং তার বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া অন্তঃস্থ কোণ দুটি = ৫৫° + ৫০° = ১০৫°
∴ তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১০৫° = ৭৫°
∴ তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৭৫° = ১০৫°

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্যঃ
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলে,
D + B = 180°
B = 180° - 105°
= 75°
A = 2B
= 2 × 75°
= 150°
∴ C = 180° - 150°
= 30°

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই (অনেক বই তে রেখার প্রান্তবিন্দু ২ টা দেওয়া আছে সেটা ভুল। নবম শ্রেণীর বোর্ড বইতে দেওয়া আছে রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই)
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 10 সে.মি. 
তাহলে, ব্যাস = 2r = (10 × 2) = 20   [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান] 

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (20)²
= 400/2
= 200 বর্গ সে.মি. 

∴ ক্ষেত্রফল = 200 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি. হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১৮/২ = ৯ সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৩০° 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?

আমরা জানি,
s = πrθ/১৮০°
⇒ s =  (π × ৯ × ৩০°)/১৮০°
∴ s = ১.৫π সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১.৫π  সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 60° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = x
অপর কোণ = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 60°
বা, x = 60°/2
∴ x = 30°

∴ 30° এর পূরক কোণ = (90 - 30)°
= 60° । 

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:



ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°।
∠C = 180° - 40° - 80°
= 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। 
∴ ∠ACD = ∠BCD = 30°

∴ ∠CDA = 180° - 30° - 40°
= 110°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 20° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(90 - ক) - ক = 20°
⇒ 90° - 2ক = 20°
⇒ 2ক = 90° - 20°
⇒ 2ক = 70°
⇒ ক = 70°/2
⇒ ক = 35°

বর্গের একবাহু = a
কর্ন = √২ x বাহুর দৈর্ঘ্য
বাহু = a/√২
পরিসীমা = 4 x a/√2 = 2√2a

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?

সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1

অপশন গুলোর মধ্যে (খ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x² + y² = 25 ; এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র (0,0), ব্যাসার্ধ 5। এটি সরল রেখা নয়।

তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।

সঠিক উত্তর খ) x² + y² = 25